Чему равен объем фигуры. Цилиндр, конус и усеченный конус

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Измерьте все необходимые расстояния в метрах. Объем многих трехмерных фигур легко вычислить по соответствующим формулам. Однако все значения, подставляемые в формулы, должны измеряться в метрах. Таким образом, перед подстановкой значений в формулу убедитесь, что все они измеряются в метрах, или что вы конвертировали другие единицы измерения в метры.

• 1 мм = 0,001 м
• 1 см = 0,01 м
• 1 км = 1000 м

Инструкция

Если школьник пытается рассчитать объем прямоугольника, то уточните: о конкретно фигуре идет речь – или его объемном аналоге, прямоугольном . Узнайте также: что именно требуется найти по условиям задачи – объем, или длину. Кроме того, выясните: какая часть рассматриваемой фигуры имеется ввиду – вся фигура, грань, ребро, вершина, сторона или .

Чтобы вычислить объем прямоугольного , перемножьте между собой его длину, ширину и высоту (). То есть воспользуйтесь формулой:

где: a, b и с – длина, ширина и высота параллелепипеда (соответственно), а V – его объем.

Все длины сторон предварительно приведите к одной единице измерения, тогда и объем параллелепипеда получится в соответствующих «кубических» единицах.

Какова будет емкость бака для воды, имеющего размеры:
длина – 2 метра;
ширина – 1 метр 50 сантиметров;
высота – 200 сантиметров.

1. Приводим длины сторон к метрам: 2; 1,5; 2.
2. Перемножаем полученные числа: 2 * 1,5 * 2 = 6 (кубических ).

Если речь в задаче идет все-таки о прямоугольнике, то наверняка требуется вычислить его площадь. Для этого просто умножьте длину прямоугольника на его ширину. То есть примените формулу:

где:
a и b – длины сторон прямоугольника,
S – площадь прямоугольника.

Используйте эту же формулу, если в задаче грань прямоугольного параллелепипеда – согласно определения, она также имеет форму прямоугольника.

Объем куба составляет 27 м³. Чему равна площадь прямоугольника, образуемого гранью куба?

Наклонным называется параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны граням основания. В этом случае объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Высота наклонного параллелепипеда - перпендикулярный отрезок, опущенный из любой верхней вершины на соответствующую сторону основания грани (то есть высота любой боковой грани).

Кубом называется прямой параллелепипед, у которого все ребра равны, а все шесть граней являются . Объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Основание - квадрат, площадь основания которого равна произведению двух его сторон, то есть величина стороны в . Высота куба - та же величина, поэтому в данном случае объемом будет величина ребра куба, возведенная в третью - V=a³.

Обратите внимание

Основания параллелепипеда всегда параллельны друг другу, это следует из определения призмы.

Полезный совет

Измерения параллелепипеда - это длины его ребер.

Объем всегда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда может быть вычислен, как произведение величины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

Чтобы вычислить объем любого тела, нужно знать его линейные размеры. Это касается таких фигур как призма, пирамида, шар, цилиндр и конус. Для каждой из этих фигур есть своя определения объема.

Вам понадобится

• - линейка;
• - знание свойств объемных фигур;
• - формулы площади многоугольника.

Инструкция

Например, для того, чтобы найти объем , основание которой представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 см, а высота 7 см произведите такие расчеты:
вычислите площадь прямоугольного , который является основанием призмы. Для этого перемножьте длины катетов, а результат поделите на 2. Sосн=3∙4/2=6 см²;
умножьте площадь основания на высоту, это и будет объем призмы V=6∙7=42 см³.

Чтобы вычислить объем пирамиды, найдите произведения площади ее основания на высоту, а результат умножьте на 1/3 V=1/3∙Sосн∙H. Высота пирамиды – отрезок, опущенный из ее вершины на плоскость основания. Наиболее часто встречаются так называемые правильные пирамиды, вершина проецируется в центр основания, которое представляет собой правильный .

Например, для того, чтобы найти объем пирамиды, в основе которой лежит правильный шестиугольник со стороной 2 см, высота которой составляет 5 см, проделайте такие действия:
по формуле S=(n/4) a² ctg(180º/n), где n – сторон правильного многоугольника, а – длина одной из сторон, найдите площадь основания. S=(6/4) 2² ctg(180º/6)≈10,4 см²;
рассчитайте объем пирамиды по формуле V=1/3∙Sосн∙H=1/3∙10,4∙5≈17,33 см³.

Объем найдите так же, как призмы, через произведение площади одного из оснований на его высоту V=Sосн∙H. При расчетах учитывайте, что основание цилиндра представляет собой круг, площадь которого равна Sосн=2∙π∙R², где π≈3,14, а R – радиус круга, который является основанием цилиндра.

Объем конуса по аналогии с пирамидой найдите по формуле V=1/3∙Sосн∙H. Основанием конуса является круг, площадь которого найдите так, как это описано для цилиндра.

Видео по теме

Шаром называют простейшую объемную фигуру геометрически правильной формы, все точки пространства внутри границ которой удалены от ее центра на расстояние, не превышающее радиуса. Поверхность, образуемая множеством максимально удаленных от центра точек, называется сферой. Для количественного выражения меры пространства, заключенного внутри сферы, предназначен параметр, который называется объемом шара.

Инструкция

Если требуется измерить объем шара не теоретически, а только подручными средствами, то сделать это можно, например, определив объем вытесненной им воды. Этот способ применим в том случае, когда есть возможность поместить шар в какую-либо соразмерную ему емкость - мензурку, стакан, банку, ведро, бочку, бассейн и т.д. В этом случае перед помещением шара отметьте уровень воды, сделайте это повторно после полного его погружения, а затем найдите разность между отметками. Обычно мерная емкость заводского производства имеет деления, показывающие объем в литрах и производных от него единицах - , и т.д. Если полученное значение надо в и кратные ему единицы объема, то исходите из того, что один литр соответствует одному кубическому дециметру или одной тысячной доле кубометра.

Если известен , из которого изготовлен шар, и плотность этого материала можно узнать, например, из справочника, то определить объем можно взвесив этот предмет. Просто разделите результат взвешивания на справочную плотность изготовления: V=m/p.

Если радиус шара известен из условий задачи или его можно измерить, то для вычисления объема можно использовать соответствующую математическую формулу. Умножьте учетверенное число Пи на третью степень радиуса, а полученный результат разделите на тройку: V=4*π*r³/3. Например, при радиусе в 40см объем шара составит 4*3,14*40³/3 = 267946,67см³ ≈ 0,268м³.

Измерить диаметр чаще проще, чем радиус. В этом случае нет необходимости делить его пополам для использования с формулой из предыдущего шага - лучше саму формулу. В соответствии с преобразованной формулой умножьте число Пи на диаметр в третьей степени, а результат разделите на шестерку: V=π*d³/6. Например, в 50см должен иметь объем в 3,14*50³/6 = 65416,67см³ ≈ 0,654м³.

В силу некоторых обстоятельств может возникнуть необходимость из листа прямоугольной формы сделать квадрат , например, во время изготовления многих поделок из бумаги в технике оригами. Но далеко не всегда под рукой есть карандаш и линейка. Однако существуют способы, благодаря которым можно получить квадрат , не имея ничего, кроме смекалки.

Вам понадобится

• - прямоугольник;
• - линейка;
• - карандаш;
• - ножницы.

Инструкция

Прямоугольник – это геометрическая фигура, у которой все четыре угла прямые, а пары сторон параллельны друг другу. Противоположные стороны прямоугольника по длине между собой , а между парами - разные. Квадрат отличается от предыдущей фигуры только тем, что у него все четыре стороны одинаковы.

Для того чтобы квадрат из прямоугольника , можно воспользоваться и карандашом. Например, стороны прямоугольника равны 30 см (длина) и 20 см (ширина). Тогда квадрат будет иметь стороны с меньшим значением, то есть 20 см. Отмерьте на верхней длинной стороне прямоугольника 20 см. Выполните то же действие, но только с нижней стороной. Соедините полученные точки с помощью линейки. В случае надобности отрежьте излишек, в результате чего получится квадрат со сторонами 20 см.

Сделать квадрат из прямоугольника можно даже в том случае, если отсутствуют чертежные принадлежности. Положите перед собой и согните один из его прямых углов (это может быть любой угол) строго пополам. Если поставить полученную фигуру на длинную сторону, то будет прямоугольная трапеция, визуально состоящая из треугольника и другого прямоугольника . Загните полученный прямоугольник на треугольник ( будет двойным за счет сложенной ), загладьте пальцами и отрежьте или аккуратно его оторвите. Разверните бумагу, которая и будет собой представлять квадрат . Из маленького оставшегося прямоугольника можно снова получить квадрат , только меньшего размера. Способы допустимо использовать те же самые.

Прямоугольник может иметь и несколько иные

Содержимое:

Объем – это количество занимаемого телом пространства, а плотность равна массе тела, поделенной на его объем. Прежде чем вычислить плотность тела, необходимо найти его объем. Если тело имеет правильную геометрическую форму, его объем можно рассчитать при помощи простой формулы. Объем измеряется обычно в кубических сантиметрах (см 3) или кубических метрах (м 3). Используя найденный объем тела, легко рассчитать его плотность. Для измерения плотности служат граммы на кубический сантиметр (г/см 3) или граммы на миллилитр (г/мл).

Шаги

Часть 1 Вычисление объема тела правильной формы

1. 1 Определите форму тела. Знание формы позволит вам выбрать правильную формулу и провести измерения, необходимые для расчета объема.
   • Сфера представляет собой идеально круглый трехмерный объект, все точки поверхности которого отстоят на равном расстоянии от центра. Иными словами, сферическое тело похоже на круглый мяч.
   • Конус – это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг, а вершину составляет единственная точка, называемая вершиной конуса. Конус можно представить также в виде пирамиды с круглым основанием.
   • Куб представляет собой трехмерную фигуру, составленную из шести одинаковых квадратных граней.
   • Прямоугольный параллелепипед , называемый также прямоугольной призмой, похож на куб: он также имеет шесть граней, однако в этом случае они представляют собой прямоугольники, а не квадраты.
   • Цилиндр – это трехмерная фигура, состоящая из одинаковых круглых концов, края которых соединены округлой поверхностью.
   • Пирамида является трехмерной фигурой, в основании которой лежит многоугольник, который соединен с вершиной боковыми гранями. Правильной пирамидой называется такая пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, все стороны и углы которого равны между собой.
   • Если тело имеет неправильную форму, его объем можно найти, полностью погрузив его в воду.
2. 2 Выберите для вычисления объема правильное уравнение. Для тела каждого типа существует своя формула, позволяющая рассчитать занимаемый им объем. Ниже приведены формулы для нахождения объема перечисленных выше фигур. Более подробные сведения и иллюстрации можно найти в статье.
   • Сфера : V = (4/3) π r 3 , где r – радиус сферы, а π – константа, равная примерно 3,14.
   • Конус : V = (1/3) π r 2 h , где r – радиус круглого основания, h – высота конуса, π – константа, равная приблизительно 3,14.
   • Куб : V = s 3 , где s – длина ребра куба (стороны любой из его квадратных граней).
   • Прямоугольный параллелепипед : V = l x w x h , где l – длина прямоугольной грани, w – ее ширина, h – высота параллелепипеда (призмы).
   • Цилиндр : V= π r 2 h , где r – радиус круглого основания, h – высота цилиндра, π – константа, составляющая примерно 3,14.
   • Пирамида : V= (1/3) b x h , где b – площадь основания пирамиды (l x w), h – высота пирамиды.
3. 3 Произведите необходимые измерения. Они будут зависеть от того, с телом какого вида вы имеете дело. Для большинства тел простой формы понадобится измерить высоту; если у фигуры круглое основание, необходимо также определить его радиус, если же в основании лежит прямоугольник – его длину и ширину.
   • Радиус круга равен половине его диаметра. Измерьте диаметр, приложив к середине круга линейку, после чего поделите полученный результат на 2.
   • Радиус сферы измерить немного сложнее, однако и это не составит труда, если вы воспользуетесь методами, подробно изложенными в статье.
   • Длину, ширину и высоту тела можно определить, приложив к нему линейку в соответствующих местах и записав результаты измерений.
4. 4 Вычислите объем. Выяснив форму тела, выберите подходящую формулу и измерьте входящие в нее величины. Подставьте в формулу измеренные значения и выполните необходимые математические действия. В результате вы получите объем тела.
   • Помните о том, что ответ должен выражаться в кубических единицах независимо от того, какой системой единиц вы пользуетесь (метрической либо другой). После полученной величины обязательно напишите единицы, в которых она измеряется.

Часть 2 Вычисление объема тела неправильной формы

1. 1 Определите объем тела по количеству вытесняемой им воды. Тело может иметь неправильную форму, что затрудняет измерение его размеров и ведет к неточному определению объема. В этом случае прекрасно работает метод, заключающийся в определении объема воды, вытесняемой телом при полном погружении.
   • Данный метод можно применить и для нахождения объема тел правильной формы, чтобы избежать вычислений.
2. 2 Наполните водой мерный цилиндр (мензурку). Это лабораторная емкость с метками на боковой поверхности, позволяющая измерять объем жидкостей. Выберите достаточно большой цилиндр, чтобы в него полностью поместился измеряемый объект. Необходимо наполнить цилиндр водой так, чтобы в нее можно было полностью погрузить объект, но при этом она не выливалась. Запишите начальный объем воды без измеряемого тела.
   • Наблюдая первоначальный объем воды, наклонитесь так, чтобы ваши глаза находились на одном уровне с поверхностью жидкости, после чего запишите высоту, на которой расположено дно мениска. Мениск – это внешняя поверхность воды, которая искривляется при контакте с другими поверхностями (в нашем случае это стенки сосуда).
3. 3 Аккуратно поместите в емкость измеряемое тело. Делайте это плавно, чтобы не уронить объект, поскольку в этом случае часть воды может выплеснуться из мерного цилиндра. Убедитесь в том, что тело полностью погрузилось в воду. Запишите новые показания уровня воды в емкости, вновь расположившись так, чтобы ваши глаза находились на одном уровне с мениском.
   • Если при погружении тела часть воды выплеснулась, попробуйте повторить с самого начала, налив меньше воды или взяв больший мерный цилиндр.
4. 4 Вычтите из окончательного уровня воды его первоначальное значение. Количество вытесненной предметом воды будет равняться его объему в кубических сантиметрах. Обычно объем жидкостей измеряют в миллилитрах, но один миллилитр как раз и равен одному кубическому сантиметру.
   • Например, если сначала уровень воды был 35 мл, а после опускания в нее предмета поднялся до 65 мл, объем этого предмета составляет 65 – 35 = 30 мл, или 30 см 3 .

Часть 3 Вычисление плотности

1. 1 Определите массу предмета. Масса объекта соответствует количеству материи, из которой он состоит. Массу находят путем прямого взвешивания на весах, она измеряется в граммах или килограммах.
   • Возьмите точные измерительные весы и поместите на них предмет. Запишите показания весов в свой блокнот.
   • Массу тела можно определить и при помощи чашечных весов. Положив объект на одну чашу, на вторую поместите гирьки с известными массами так, чтобы обе чаши уравновесили друг друга, расположившись на одинаковой высоте. В этом случае искомая масса предмета будет равна сумме масс использованных гирек.
   • Перед взвешиванием проследите, чтобы предмет не был влажным, иначе погрешность измерений возрастет.
2. 2 Определите объем тела. Если предмет имеет правильную форму, для определения его объема используйте одну из формул, приведенных выше. Если форма тела неправильна, измерьте объем, погрузив его в воду, как описано выше.
3. 3 Вычислите плотность. Согласно определению, плотность равна массе, деленной на объем. Таким образом, поделите измеренную массу на вычисленный объем. В результате вы получите плотность тела, измеренную в г/см 3 .
   • Например, вычислим плотность предмета объемом 8 см 3 и массой 24 г.
   • плотность = масса / объем
   • d = 24 г / 8 см 3
   • d = 3 г/см 3

• Нередко предметы состоят из нескольких частей, имеющих правильные геометрические формы. В этом случае разделите составляющие элементы на группы, относящиеся к той или иной правильной форме, найдите объем каждого элемента, а затем сложите их вместе, определив тем самым общий объем всего предмета.
• Можно определить объем какого-либо предмета как путем вычислений, так и погружением в воду, после чего сравнить полученные результаты.

Предупреждения

• Будьте внимательны: прежде чем приступать к вычислениям, обязательно переведите все измеренные величины в метрическую систему (систему единиц СИ).

Для того чтобы определить плотность вещества, надо массу тела разделить на его объем:

Массу тела можно определить с помощью весов. А как найти объем тела?

Если тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 24), то его объем находится по формуле

V = аbс .

Если же у него какая-то другая форма, то его объем можно найти методом, который был открыт древнегреческим ученым Архимедом в III в. до н. э.

Архимед родился в Сиракузах на острове Сицилия. Его отец, астроном Фидий, был родственником Гиерона, ставшего в 270 г. до н. э. царем города, в котором они жили.

До нас дошли не все сочинения Архимеда. О многих его открытиях стало известно благодаря более поздним авторам, в сохранившихся трудах которых описываются его изобретения. Так, например, римский архитектор Витрувий (I в. до н. э.) в одном из своих сочинений рассказал следующую историю:
«Что касается Архимеда, то изо всех его многочисленных и разнообразных открытий то открытие, о котором я расскажу, представляется мне сделанным с безграничным остроумием. Во время своего царствования в Сиракузах Гиерон после благополучного окончания всех своих мероприятий дал обет пожертвовать в какой-то храм золотую корону бессмертным богам. Он условился с мастером о большой цене за работу и дал ему нужное по весу количество золота. В назначенный день мастер принес свою работу царю, который нашел ее отлично исполненной; после взвешивания вес короны оказался соответствующим выданному весу золота.

После этого был сделан донос, что из короны была взята часть золота и вместо него примешано такое же количество серебра. Гиерон разгневался на то, что его провели, и, не находя способа уличить это воровство, попросил Архимеда хорошенько подумать об этом. Тот, погруженный в думы по этому вопросу, как-то случайно пришел в баню и там, опустившись в ванну, заметил, что из нее вытекает такое количество воды, каков объем его тела, погруженного в ванну. Выяснив себе ценность этого факта, он, не долго думая, выскочил с радостью из ванны, пошел домой голым и громким голосом сообщал всем, что он нашел то, что искал. Он бежал и кричал одно и то же по-гречески: «Эврика, эврика! (Нашел, нашел!)».

Затем, пишет Витрувий, Архимед взял сосуд, доверху наполненный водой, и опустил в него золотой слиток, равный по весу короне. Измерив объем вытесненной воды, он снова наполнил сосуд водой и опустил в него корону. Объем воды, вытесненной короной, оказался больше объема воды, вытесненной золотым слитком. Больший объем короны означал, что в ней присутствует менее плотное, чем золото, вещество. Поэтому опыт, проделанный Архимедом, показал, что часть золота была похищена.

Итак, для определения объема тела, имеющего неправильную форму, достаточно измерить объем воды, вытесняемой данным телом. Располагая измерительным цилиндром (мензуркой), это сделать несложно.

В тех случаях, когда известны масса и плотность тела, его объем можно найти по формуле, вытекающей из формулы (10.1):

Отсюда видно, что для определения объема тела надо массу этого тела разделить на его плотность .

Если, наоборот, объем тела известен, то, зная, из какого вещества оно состоит, можно найти его массу:

m = ρV . (10.3)

Чтобы определить массу тела, надо плотность тела умножить на его объем.

1. Какие способы определения объема вы знаете? 2. Что вам известно об Архимеде? 3. Как можно найти массу тела по его плотности и объему?
Экспериментальное задание. Возьмите кусок мыла, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, на котором обозначена его масса. Проделав необходимые измерения, определите плотность мыла.