एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार का केंद्र. पिरामिड

एक त्रि-आयामी आकृति जो अक्सर ज्यामितीय समस्याओं में दिखाई देती है वह पिरामिड है। इस वर्ग की सभी आकृतियों में सबसे सरल आकृति त्रिभुजाकार है। इस लेख में हम सही के मूल सूत्रों और गुणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे

आकृति के बारे में ज्यामितीय विचार

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के गुणों पर विचार करने से पहले, आइए देखें कि हम किस प्रकार की आकृति के बारे में बात कर रहे हैं।

आइए मान लें कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक मनमाना त्रिभुज है। आइए इस स्थान में किसी ऐसे बिंदु का चयन करें जो त्रिभुज के तल में नहीं है और इसे त्रिभुज के तीन शीर्षों से जोड़ें। हमें एक त्रिकोणीय पिरामिड मिला।

इसमें 4 भुजाएँ हैं, जो सभी त्रिभुज हैं। वे बिंदु जहाँ तीन फलक मिलते हैं, शीर्ष कहलाते हैं। चित्र में भी उनमें से चार हैं। दो चेहरों की प्रतिच्छेदन रेखाएं किनारे हैं। विचाराधीन पिरामिड में 6 किनारे हैं। नीचे दिया गया चित्र इस आकृति का एक उदाहरण दिखाता है।

चूँकि आकृति चार भुजाओं से बनी है, इसलिए इसे चतुष्फलक भी कहा जाता है।

सही पिरामिड

ऊपर हमने त्रिकोणीय आधार वाली एक मनमानी आकृति पर विचार किया। अब मान लीजिए कि हम पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक एक लंबवत खंड खींचते हैं। इस खंड को ऊँचाई कहा जाता है। जाहिर है, आप आकृति के लिए 4 अलग-अलग ऊंचाइयां खींच सकते हैं। यदि ऊंचाई त्रिकोणीय आधार को ज्यामितीय केंद्र पर काटती है, तो ऐसे पिरामिड को सीधा कहा जाता है।

एक सीधा पिरामिड, जिसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है, नियमित कहलाता है। उसके लिए, आकृति की पार्श्व सतह बनाने वाले सभी तीन त्रिभुज समद्विबाहु और एक दूसरे के बराबर हैं। नियमित पिरामिड का एक विशेष मामला वह स्थिति है जब सभी चार भुजाएँ समबाहु समान त्रिभुज होती हैं।

आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के गुणों पर विचार करें और इसके मापदंडों की गणना के लिए संबंधित सूत्र दें।

आधार पक्ष, ऊँचाई, पार्श्व किनारा और एपोथेम

सूचीबद्ध मापदंडों में से कोई भी दो अन्य दो विशेषताओं को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं। आइए हम ऐसे सूत्र प्रस्तुत करें जो इन मात्राओं से संबंधित हों।

आइए मान लें कि एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की भुजा एक है। इसके पार्श्व किनारे की लंबाई b है। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड और उसके एपोथेम की ऊंचाई क्या होगी?

ऊँचाई h के लिए हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है जिसके लिए पार्श्व किनारा, ऊंचाई और आधार की ऊंचाई का 2/3 है।

पिरामिड का एपोटेम किसी भी भुजा त्रिभुज की ऊंचाई है। एपोथेम a b की लंबाई बराबर है:

ए बी = √(बी 2 - ए 2 /4)

इन सूत्रों से यह स्पष्ट है कि त्रिकोणीय नियमित पिरामिड के आधार का किनारा और उसके पार्श्व किनारे की लंबाई जो भी हो, एपोथेम हमेशा पिरामिड की ऊंचाई से अधिक होगा।

प्रस्तुत दो सूत्रों में प्रश्न में आकृति की सभी चार रैखिक विशेषताएं शामिल हैं। इसलिए, उनमें से ज्ञात दो को देखते हुए, आप लिखित समानता की प्रणाली को हल करके बाकी पा सकते हैं।

चित्रा मात्रा

बिल्कुल किसी भी पिरामिड (एक झुके हुए सहित) के लिए, उसके द्वारा सीमित स्थान की मात्रा का मूल्य आकृति की ऊंचाई और उसके आधार के क्षेत्र को जानकर निर्धारित किया जा सकता है। संबंधित सूत्र है:

इस अभिव्यक्ति को प्रश्न में दिए गए चित्र पर लागू करने पर, हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

जहां एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई h है और इसका आधार पक्ष a है।

चतुष्फलक के आयतन के लिए एक सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है जिसमें सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हों और समबाहु त्रिभुजों का प्रतिनिधित्व करें। इस मामले में, आकृति का आयतन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अर्थात्, यह भुजा a की लंबाई से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

सतह क्षेत्रफल

आइए हम एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के गुणों पर विचार करना जारी रखें। किसी आकृति के सभी फलकों का कुल क्षेत्रफल उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है। उत्तरार्द्ध का संबंधित विकास पर विचार करके आसानी से अध्ययन किया जा सकता है। नीचे दिया गया चित्र दिखाता है कि एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का विकास कैसा दिखता है।

आइए मान लें कि हम आकृति की ऊँचाई h और आधार a की भुजा जानते हैं। तब इसके आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:

प्रत्येक स्कूली बच्चा इस अभिव्यक्ति को प्राप्त कर सकता है यदि वह याद रखता है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है और यह भी ध्यान में रखता है कि एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई भी एक समद्विभाजक और एक माध्यिका है।

तीन समान समद्विबाहु त्रिभुजों द्वारा निर्मित पार्श्व सतह क्षेत्र है:

एस बी = 3/2*√(ए 2 /12+एच 2)*ए

यह समानता आधार की ऊंचाई और लंबाई के संदर्भ में पिरामिड के एपोथेम की अभिव्यक्ति से उत्पन्न होती है।

आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

एस = एस ओ + एस बी = √3/4*ए 2 + 3/2*√(ए 2 /12+एच 2)*ए

ध्यान दें कि एक चतुष्फलक के लिए जिसकी सभी चार भुजाएँ समान समबाहु त्रिभुज हैं, क्षेत्रफल S इसके बराबर होगा:

एक नियमित रूप से काटे गए त्रिकोणीय पिरामिड के गुण

यदि विचारित त्रिकोणीय पिरामिड के शीर्ष को आधार के समान्तर समतल से काट दिया जाए तो शेष निचला भाग कटा हुआ पिरामिड कहलाएगा।

त्रिकोणीय आधार के मामले में, वर्णित सेक्शनिंग विधि का परिणाम है नया त्रिकोण, जो समबाहु भी है, लेकिन आधार की भुजा की तुलना में इसकी भुजा की लंबाई कम है। एक छोटा त्रिकोणीय पिरामिड नीचे दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि यह आंकड़ा पहले से ही दो त्रिकोणीय आधारों और तीन समद्विबाहु समलम्बाकार द्वारा सीमित है।

आइए मान लें कि परिणामी आकृति की ऊंचाई h के बराबर है, निचले और ऊपरी आधारों की भुजाओं की लंबाई क्रमशः 1 और 2 है, और एपोथेम (ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई) b के बराबर है। फिर काटे गए पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

एस = 3/2*(ए 1 +ए 2)*ए बी + √3/4*(ए 1 2 + ए 2 2)

यहां पहला पद पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है, दूसरा पद त्रिकोणीय आधारों का क्षेत्रफल है।

आकृति की मात्रा की गणना की जाती है इस अनुसार:

वी = √3/12*एच*(ए 1 2 + ए 2 2 + ए 1 *ए 2)

एक काटे गए पिरामिड की विशेषताओं को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको इसके तीन मापदंडों को जानना होगा, जो दिए गए सूत्रों द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

परिभाषा। पार्श्व किनारा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियाँ- ये पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज के कोण होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह पिरामिड के ऊपर से आधार तक डाला गया एक लंब है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व मुख का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र. पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड के गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिराया गया एक लंब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं।

पार्श्व पसलियाँ तब बराबर होती हैं जब वे आधार के तल के साथ बनती हैं समान कोणया यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को उसके केंद्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हों, तो पार्श्व फलक के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के अक्षर समान होते हैं।

5. सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल बराबर है।

6. सभी फलकों का डायहेड्रल (सपाट) कोण समान होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिबद्ध गोले का केंद्र किनारों के मध्य से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. आप एक गोले को पिरामिड में फिट कर सकते हैं। अंकित गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि उत्कीर्ण गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π के बराबर है या इसके विपरीत, एक कोण π/n के बराबर है, जहां n संख्या है पिरामिड के आधार पर कोणों का.

पिरामिड और गोले के बीच संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन तब किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

एक गोले को हमेशा किसी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा.

पिरामिड और शंकु के बीच संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित हो।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

पिरामिड और सिलेंडर के बीच संबंध

एक पिरामिड को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर अंकित है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिड प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर खंड तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े पिरामिड के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (चतुष्फलक)एक पिरामिड है जिसके तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन वे स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिकोणीय कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है चतुष्फलक का माध्यिका(जीएम).

बिमेडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड कहा जाता है जो स्पर्श नहीं करते (केएल)।

चतुष्फलक की सभी द्विमध्यरेखाएँ और मध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, द्विमध्यरेखाओं को आधे में विभाजित किया जाता है, और शीर्ष से शुरू करके मध्यिकाओं को 3:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा। तिरछा पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक किनारा आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है।

परिभाषा। न्यूनकोण पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। कुंठित पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हों। यह पाँच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलकीय कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी फलक का एपोटेम आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। समफलकीय चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की ओर जाने वाली सभी ऊँचाइयाँ (लंब) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा है।

परिभाषा। bipyramid- एक बहुफलक जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को काटा भी जा सकता है), जिसका आधार एक समान होता है और शीर्ष तल के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं।

त्रिकोणीय पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है जिसके आधार पर एक त्रिकोण होता है। इस पिरामिड की ऊँचाई वह लम्ब है जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक उतारा जाता है।

पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करना

पिरामिड की ऊंचाई कैसे पता करें? बहुत सरल! किसी भी त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आप आयतन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: V = (1/3)Sh, जहां S आधार का क्षेत्रफल है, V पिरामिड का आयतन है, h इसकी ऊंचाई है। इस सूत्र से, ऊँचाई का सूत्र प्राप्त करें: त्रिकोणीय पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन को 3 से गुणा करना होगा, और फिर परिणामी मान को आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करना होगा, यह होगा: h = (3वी)/एस. चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है, आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम जानते हैं: त्रिभुज S और उसकी भुजा z का क्षेत्रफल, तो क्षेत्रफल सूत्र S=(1/2)γh के अनुसार: h = (2S)/γ, जहां h पिरामिड की ऊंचाई है, γ त्रिभुज का किनारा है; त्रिभुज की भुजाओं और दोनों भुजाओं के बीच का कोण, फिर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके: S = (1/2)γφsinQ, जहां γ, φ त्रिभुज की भुजाएं हैं, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। कोण Q की ज्या का मान ज्या की तालिका में देखने की जरूरत है, जो इंटरनेट पर उपलब्ध है। इसके बाद, हम क्षेत्र मान को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: h = (2S)/γ। यदि कार्य में त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो पिरामिड का आयतन पहले से ही ज्ञात है।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें, अर्थात, एक पिरामिड जिसमें सभी चेहरे समबाहु त्रिकोण हैं, किनारे γ के आकार को जानते हुए। इस मामले में, पिरामिड के किनारे समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई होगी: h = γ√(2/3), जहां γ समबाहु त्रिभुज का किनारा है, h पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार (एस) का क्षेत्र अज्ञात है, और केवल किनारे की लंबाई (γ) और पॉलीहेड्रॉन की मात्रा (वी) दी गई है, तो पिछले चरण से सूत्र में आवश्यक चर को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए इसके समतुल्य द्वारा, जिसे किनारे की लंबाई के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (नियमित) 3 के वर्गमूल द्वारा वर्गित इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के 1/4 के बराबर है। हम पिछले में आधार के क्षेत्रफल के बजाय इस सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं सूत्र, और हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3)। टेट्राहेड्रोन का आयतन उसके किनारे की लंबाई के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, फिर किसी आकृति की ऊंचाई की गणना करने के सूत्र से, आप सभी चर हटा सकते हैं और आकृति के त्रिकोणीय चेहरे के केवल किनारे को छोड़ सकते हैं। ऐसे पिरामिड के आयतन की गणना उसके फलक की घन लंबाई के गुणनफल को 2 के वर्गमूल से विभाजित करके 12 से विभाजित करके की जा सकती है।

इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. इसके अलावा, एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म को एक गोले में अंकित किया जा सकता है, और केवल गोले की त्रिज्या (आर) को जानकर ही टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई का पता लगाया जा सकता है। टेट्राहेड्रोन किनारे की लंबाई है: γ = 4R/√6। हम पिछले सूत्र में इस अभिव्यक्ति के साथ चर γ को प्रतिस्थापित करते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3। चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या (R) जानकर वही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज के किनारे की लंबाई बीच के 12 अनुपातों के बराबर होगी वर्गमूल 6 और त्रिज्या का. हम इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे पास है: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड की ऊंचाई की लंबाई कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक नियमित पिरामिड क्या है। चतुर्भुज पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है जिसके आधार पर एक चतुर्भुज होता है। यदि समस्या की स्थितियों में हमारे पास है: आयतन (V) और पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल (S), तो बहुफलक की ऊंचाई (h) की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा - आयतन को गुणा से विभाजित करें क्षेत्र S द्वारा 3 से: h = (3V)/S। दिए गए आयतन (V) और भुजा की लंबाई γ के साथ पिरामिड के वर्गाकार आधार को देखते हुए, पिछले सूत्र में क्षेत्रफल (S) को भुजा की लंबाई के वर्ग से बदलें: S = γ 2; एच = 3V/γ2. एक नियमित पिरामिड की ऊँचाई h = SO आधार के निकट परिचालित वृत्त के ठीक केंद्र से होकर गुजरती है। चूँकि इस पिरामिड का आधार एक वर्ग है, बिंदु O विकर्ण AD और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हमारे पास है: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6। इसके बाद, समकोण त्रिभुज SOC में हम पाते हैं (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके): SO = √(SC 2 -OC 2)। अब आप जानते हैं कि एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें।

यह वीडियो ट्यूटोरियल उपयोगकर्ताओं को पिरामिड थीम का अंदाजा लगाने में मदद करेगा। सही पिरामिड. इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे और इसकी परिभाषा देंगे। आइए विचार करें कि एक नियमित पिरामिड क्या है और इसमें क्या गुण हैं। फिर हम एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के बारे में प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे और इसकी परिभाषा देंगे।

एक बहुभुज पर विचार करें ए 1 ए 2...एक, जो α तल और बिंदु में स्थित है पी, जो α तल में स्थित नहीं है (चित्र 1)। आइए बिंदुओं को जोड़ें पीशीर्षों के साथ ए 1, ए 2, ए 3, … एक. हम पाते हैं एनत्रिभुज: ए 1 ए 2 आर, ए 2 ए 3 आरऔर इसी तरह।

परिभाषा. बहुतल आरए 1 ए 2 ...ए एन, से बना एन-वर्ग ए 1 ए 2...एकऔर एनत्रिभुज आरए 1 ए 2, आरए 2 ए 3 …आरए एन ए एन-1 कहा जाता है एन-कोयला पिरामिड. चावल। 1.

चावल। 1

एक चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(अंक 2)।

आर- पिरामिड का शीर्ष.

ए बी सी डी- पिरामिड का आधार.

आरए- पार्श्व पसली.

अब- आधार पसली.

बिन्दु से आरचलो लम्बवत को गिरा दें आर एनआधार तल तक ए बी सी डी. खींचा गया लंब पिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 2

पिरामिड की पूरी सतह में पार्श्व सतह, यानी सभी पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल और आधार का क्षेत्रफल शामिल है:

एस पूर्ण = एस पक्ष + एस मुख्य

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि:

• इसका आधार एक नियमित बहुभुज है;
• पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला खंड इसकी ऊंचाई है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके स्पष्टीकरण

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(चित्र 3)।

आर- पिरामिड का शीर्ष. पिरामिड का आधार ए बी सी डी- एक नियमित चतुर्भुज, यानी एक वर्ग। डॉट के बारे मेंविकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, वर्ग का केंद्र है। मतलब, आरओपिरामिड की ऊंचाई है.

चावल। 3

स्पष्टीकरण:सही में एनएक त्रिभुज में, अंकित वृत्त का केंद्र और परिवृत्त का केंद्र संपाती होता है। इस केंद्र को बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। कभी-कभी वे कहते हैं कि शीर्ष को केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

किसी नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊँचाई कहलाती है एपोटेमऔर नामित किया गया है हा ए.

1. एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं;

2. पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके इन गुणों का प्रमाण देंगे।

दिया गया: पीएबीसीडी- नियमित चतुर्भुज पिरामिड,

ए बी सी डी- वर्ग,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई.

सिद्ध करना:

1. आरए = पीबी = आरएस = पीडी

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP चित्र देखें। 4.

चावल। 4

सबूत.

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई. यानी सीधा आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष जेएससी, वीओ, एसओऔर करनाउसमें लेटा हुआ. तो त्रिकोण आरओए, आरओवी, आरओएस, रॉड- आयताकार.

एक वर्ग पर विचार करें ए बी सी डी. वर्ग के गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है एओ = वीओ = सीओ = करना।

फिर समकोण त्रिभुज आरओए, आरओवी, आरओएस, रॉडटांग आरओ- सामान्य और पैर जेएससी, वीओ, एसओऔर करनाबराबर हैं, जिसका अर्थ है कि ये त्रिभुज दो तरफ बराबर हैं। त्रिभुजों की समानता से खंडों की समानता आती है, आरए = पीबी = आरएस = पीडी।बिंदु 1 सिद्ध हो चुका है.

सेगमेंट अबऔर सूरजबराबर हैं क्योंकि वे एक ही वर्ग की भुजाएँ हैं, आरए = पीबी = आरएस. तो त्रिकोण ए.वी.आरऔर वीएसआर -समद्विबाहु और तीन तरफ बराबर।

इसी प्रकार हम त्रिभुज पाते हैं एबीपी, वीसीपी, सीडीपी, डीएपीसमद्विबाहु और समान हैं, जैसा कि पैराग्राफ 2 में सिद्ध किया जाना आवश्यक है।

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर है:

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड चुनें।

दिया गया: आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड.

एबी = बीसी = एसी.

आरओ- ऊंचाई।

सिद्ध करना: . चित्र देखें. 5.

चावल। 5

सबूत।

आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड. वह है अब= एसी = बीसी. होने देना के बारे में-त्रिभुज का केंद्र एबीसी, तब आरओपिरामिड की ऊंचाई है. पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज स्थित है एबीसी. नोटिस जो .

त्रिभुज आरएवी, आरवीएस, आरएसए- समान समद्विबाहु त्रिभुज (संपत्ति द्वारा)। एक त्रिकोणीय पिरामिड के तीन पार्श्व फलक होते हैं: आरएवी, आरवीएस, आरएसए. इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

एस साइड = 3एस रॉ

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है, पिरामिड की ऊंचाई 4 मीटर है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

दिया गया: नियमित चतुर्भुज पिरामिड ए बी सी डी,

ए बी सी डी- वर्ग,

आर= 3 मीटर,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई,

आरओ= 4 मी.

खोजो: एस साइड. चित्र देखें. 6.

चावल। 6

समाधान.

सिद्ध प्रमेय के अनुसार,.

आइए सबसे पहले आधार का किनारा खोजें अब. हम जानते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है।

फिर, एम.

वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिये ए बी सी डी 6 मीटर की भुजा के साथ:

एक त्रिभुज पर विचार करें बीसीडी. होने देना एम- किनारे के बीच में डीसी. क्योंकि के बारे में- मध्य बी.डी, वह (एम)।

त्रिकोण डीपीसी- समद्विबाहु. एम- मध्य डीसी. वह है, आर एम- माध्यिका, और इसलिए त्रिभुज में ऊँचाई डीपीसी. तब आर एम- पिरामिड का एपोटेम।

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई. फिर, सीधे आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष ओम, उसमें लेटा हुआ। आइए एपोथेम खोजें आर एमसे सही त्रिकोण ROM.

अब हम पिरामिड की पार्श्व सतह ज्ञात कर सकते हैं:

उत्तर: 60 एम2.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या m के बराबर है, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 18 m 2 है। एपोथेम की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया गया: एबीसीपी- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड,

एबी = बीसी = एसए,

आर= एम,

S भुजा = 18 m2.

खोजो: . चित्र देखें. 7.

चावल। 7

समाधान.

एक समकोण त्रिभुज में एबीसीपरिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है। आइए एक पक्ष खोजें अबयह त्रिभुज ज्या के नियम का उपयोग करता है।

एक नियमित त्रिभुज (m) की भुजा जानने पर, हम उसका परिमाप ज्ञात करते हैं।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, जहां हा ए- पिरामिड का एपोटेम। तब:

उत्तर: 4 मी.

तो, हमने देखा कि पिरामिड क्या है, नियमित पिरामिड क्या है, और हमने नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के बारे में प्रमेय को सिद्ध किया। अगले पाठ में हम काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे।

ग्रन्थसूची

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3. इंटरनेट पोर्टल "स्लाइडशेयर.नेट" ()

गृहकार्य

1. क्या एक नियमित बहुभुज एक अनियमित पिरामिड का आधार हो सकता है?
2. सिद्ध कीजिए कि एक नियमित पिरामिड के असंयुक्त किनारे लंबवत होते हैं।
3. यदि पिरामिड का एपोथेम उसके आधार की भुजा के बराबर है, तो एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार के किनारे पर डायहेड्रल कोण का मान ज्ञात करें।
4. आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड. पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण की रचना करें।

परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय इसलिए पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और हमारे बाद से भविष्य का पेशावास्तुकार, इस आकृति से प्रेरित होकर, हम सोचते हैं कि वह हमें महान परियोजनाओं की ओर प्रेरित कर सकती है।

वास्तु संरचनाओं की मजबूती उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण है। ताकत को जोड़ने से, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ जिनसे वे बनाए जाते हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चलता है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम एक ज्यामितीय आकृति के बारे में बात कर रहे हैं जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार एक वास्तुशिल्प संरचना की ताकत भी निर्धारित करता है।

प्राचीन काल से, मिस्र के पिरामिडों को सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचनाएं माना जाता रहा है। जैसा कि आप जानते हैं, इनका आकार नियमित चतुर्भुज पिरामिड जैसा होता है।

यह वह ज्यामितीय आकृति है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करती है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान कम होता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत बनाते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिडों के बारे में कुछ नया सीखें, अपने ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

· पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी जानें

· पिरामिड को ऐसे समझें ज्यामितीय आकृति

· जीवन और वास्तुकला में अनुप्रयोग ढूंढें

· में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें विभिन्न भागस्वेता

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे सक्रिय रूप से विकसित किया गया था प्राचीन ग्रीस. पिरामिड का आयतन स्थापित करने वाले पहले व्यक्ति डेमोक्रिटस थे, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया था। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने "एलिमेंट्स" के XII खंड में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी निकाली: एक विमान से एक बिंदु तक एकत्रित होने वाले विमानों से घिरी एक ठोस आकृति।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़े - एल गीज़ा में चेप्स, खाफ़्रे और मिकेरिन के पिरामिड - प्राचीन काल में दुनिया के सात आश्चर्यों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं के अभूतपूर्व गौरव और क्रूरता का एक स्मारक देखा था, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को अर्थहीन निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया था, सबसे महत्वपूर्ण पंथ कार्य था और जाहिर तौर पर इसे व्यक्त करना था। देश और उसके शासक की रहस्यमयी पहचान। देश की आबादी कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के कुछ समय के दौरान मकबरे के निर्माण पर काम करती थी। कई ग्रंथ इस बात की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे के निर्माण और उसके निर्माताओं पर ध्यान और देखभाल दी थी। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो पिरामिड को ही दिए गए थे।

बुनियादी अवधारणाओं

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक त्रिभुज होते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, उसके शीर्ष से खींची गई;

पार्श्व चेहरे- एक शीर्ष पर मिलने वाले त्रिकोण;

पार्श्व पसलियाँ- पार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष;

पिरामिड का शीर्ष- पार्श्व पसलियों को जोड़ने वाला और आधार के तल में न पड़ा हुआ एक बिंदु;

ऊंचाई- पिरामिड के शीर्ष से होकर उसके आधार के तल तक खींचा गया एक लंबवत खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाला पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

एक नियमित पिरामिड के मूल गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः बराबर हैं।

आधार पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु आधार के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है।

प्रत्येक ऊँचाई बिंदु सभी पार्श्व फलकों से समान दूरी पर है।

बुनियादी पिरामिड सूत्र

पार्श्व क्षेत्र और पूर्ण सतहपिरामिड.

एक पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और छोटा) उसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, कुल सतह क्षेत्रफल उसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार परिधि;

एच- एपोटेम।

काटे गए पिरामिड की पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

पी 1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोटेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस ओर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्र;

एस 1 + एस 2- आधार क्षेत्र

पिरामिड का आयतन

रूप वॉल्यूम यूला का उपयोग किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एच- पिरामिड की ऊंचाई.

पिरामिड कोने

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बने कोणों को पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

पार्श्व किनारे और आधार तल पर इसके प्रक्षेपण से बनने वाले कोण कहलाते हैं पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण.

दो पार्श्व किनारों से बनने वाला कोण कहलाता है पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

पिरामिड के एक फलक के दो पार्श्व किनारों से बनने वाला कोण कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोण.

पिरामिड खंड

पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह होती है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए काटने वाले तल द्वारा परिभाषित पिरामिड का खंड एक टूटी हुई रेखा है जिसमें अलग-अलग सीधी रेखाएँ होती हैं।

विकर्ण खंड

एक समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं, कहलाते हैं विकर्ण खंडपिरामिड.

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक विमान द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊंचाइयों को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस विमान का खंड आधार के समान एक बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्रफल शीर्ष से उनकी दूरी के वर्ग के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिड- एक पिरामिड जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है।

एक नियमित पिरामिड के लिए:

1. पार्श्व पसलियाँ बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर हैं

3. एपोथेम बराबर हैं

4. आधार पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं

6. ऊंचाई का प्रत्येक बिंदु आधार के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पार्श्व किनारों से समान दूरी पर है

कटा हुआ पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो इसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले तल के बीच घिरा हुआ है।

काटे गए पिरामिड के आधार और संगत खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई.

कार्य

नंबर 1. सही चतुर्भुज पिरामिडबिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी। SA का पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिए।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1. में सही पिरामिडसभी फलक और किनारे समान हैं।

OSB पर विचार करें: OSB एक आयताकार आयत है, क्योंकि।

एसबी 2 =एसओ 2 +ओबी 2

एसबी 2 =64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड एक साधारण नियमित ज्यामितीय पिरामिड के रूप में एक स्मारकीय संरचना है, जिसमें भुजाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। अपने कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफन या पंथ पूजा के स्थान थे। पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, या मनमाने ढंग से शीर्षों की संख्या के साथ बहुभुज के आकार में हो सकता है, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

यहां काफी संख्या में पिरामिड बने हुए हैं विभिन्न संस्कृतियां प्राचीन विश्वमुख्यतः मन्दिरों या स्मारकों के रूप में। बड़े पिरामिडों में मिस्र के पिरामिड भी शामिल हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाएँ देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिडमहानतम स्थापत्य स्मारक प्राचीन मिस्र, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। तलहटी से शीर्ष तक इसकी ऊंचाई 137.3 मीटर है, और शीर्ष खोने से पहले इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

उल्टे पिरामिड जैसा दिखने वाला स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत 1983 में बनाई गई थी। कार्यालयों और सेवा परिसरों के अलावा, वॉल्यूम के अंदर एक काफी विशाल कॉन्सर्ट हॉल है, जो स्लोवाकिया के सबसे बड़े अंगों में से एक है।

लौवर, जो "पिरामिड की तरह शांत, अपरिवर्तित और राजसी है," दुनिया का सबसे बड़ा संग्रहालय बनने से पहले सदियों से कई बदलाव हुए हैं। इसका जन्म एक किले के रूप में हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस ने बनवाया था, जो जल्द ही एक शाही निवास बन गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। वसीयत या खरीद के माध्यम से संग्रह को समृद्ध किया जाता है।