शंकु के जनरेटर की लंबाई का सूत्र। शंकु के पार्श्व एवं कुल सतह का क्षेत्रफल

स्कूल में अध्ययन किए गए घूर्णन के पिंड सिलेंडर, शंकु और गेंद हैं।

यदि गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की किसी समस्या में आपको शंकु के आयतन या गोले के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने आप को भाग्यशाली समझें।

बेलन, शंकु और गोले के आयतन और सतह क्षेत्र के लिए सूत्र लागू करें। वे सभी हमारी तालिका में हैं। कंठस्थ करना। यहीं से स्टीरियोमेट्री का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी ऊपर से दृश्य खींचना अच्छा होता है। या, जैसा कि इस समस्या में है, नीचे से।

2. एक शंकु का आयतन कितनी बार सही के चारों ओर वर्णित है? चतुर्भुज पिरामिड, इस पिरामिड में अंकित शंकु के आयतन से अधिक है?

यह सरल है - नीचे से दृश्य बनाएं। हम देखते हैं कि बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त की त्रिज्या से कई गुना बड़ी है। दोनों शंकुओं की ऊँचाई समान है। इसलिए, बड़े शंकु का आयतन दोगुना बड़ा होगा।

एक और महत्वपूर्ण बात. याद रखें कि भाग बी की समस्याओं में एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्पगणित में, उत्तर पूर्ण संख्या या परिमित दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है। अत: आपके उत्तर में भाग बी में कोई भी या नहीं होना चाहिए। संख्या के अनुमानित मान को प्रतिस्थापित करने की भी कोई आवश्यकता नहीं है! यह निश्चित रूप से सिकुड़ना चाहिए! यह इस उद्देश्य के लिए है कि कुछ समस्याओं में कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: "सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल विभाजित करके ज्ञात करें।"

क्रांति के पिंडों के आयतन और सतह क्षेत्र के लिए सूत्र और कहाँ उपयोग किए जाते हैं? बेशक, समस्या C2 (16) में। हम आपको इसके बारे में भी बताएंगे.

यहां शंकु के साथ समस्याएं हैं, स्थिति इसकी सतह क्षेत्र से संबंधित है। विशेषकर, कुछ समस्याओं में शंकु की ऊँचाई या उसके आधार की त्रिज्या को बढ़ाने (घटाने) पर क्षेत्रफल बदलने का प्रश्न उठता है। समस्याओं को हल करने का सिद्धांत. आइए निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें:

27135. शंकु के आधार की परिधि 3 है, जनक 2 है। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्रफल बराबर है:

डेटा को प्रतिस्थापित करना:

75697. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कितने गुना बढ़ जाएगा यदि इसके जेनरेट्रिक्स को 36 गुना बढ़ा दिया जाए, और आधार की त्रिज्या समान रहे?

शंकु पार्श्व सतह क्षेत्र:

जेनरेट्रिक्स 36 गुना बढ़ जाता है। त्रिज्या वही रहती है, जिसका अर्थ है कि आधार की परिधि नहीं बदली है।

इसका मतलब है कि संशोधित शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र का रूप होगा:

इस प्रकार, यह 36 गुना बढ़ जाएगा।

*रिश्ता सीधा है, इसलिए इस समस्या को मौखिक रूप से आसानी से हल किया जा सकता है।

27137. यदि शंकु के आधार की त्रिज्या 1.5 गुना कम कर दी जाए तो शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कितनी गुना कम हो जाएगा?

शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्रफल बराबर है:

त्रिज्या 1.5 गुना घट जाती है, अर्थात:

यह पाया गया कि पार्श्व सतह क्षेत्र 1.5 गुना कम हो गया।

27159. शंकु की ऊंचाई 6 है, जनरेटर 10 है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें पूर्ण सतह, पाई द्वारा विभाजित।

पूर्ण शंकु सतह:

आपको त्रिज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है:

ऊंचाई और जेनरेट्रिक्स ज्ञात हैं, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम त्रिज्या की गणना करते हैं:

इस प्रकार:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

76299. शंकु का कुल सतह क्षेत्रफल 108 है। ऊंचाई को आधे में विभाजित करते हुए, शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा जाता है। कटे हुए शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यह खंड आधार के समानांतर ऊंचाई के मध्य से होकर गुजरता है। इसका मतलब यह है कि कटे हुए शंकु के आधार की त्रिज्या और जेनरेट्रिक्स मूल शंकु की त्रिज्या और जेनरेट्रिक्स से 2 गुना कम होगी। आइए कटे हुए शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखें:

हमने पाया कि यह मूल के सतह क्षेत्र से 4 गुना कम होगा, यानी 108:4 = 27.

*चूंकि मूल और कटे हुए शंकु समान पिंड हैं, इसलिए समानता गुण का उपयोग करना भी संभव था:

27167. शंकु के आधार की त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 है। पाई द्वारा विभाजित शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

शंकु की कुल सतह का सूत्र:

त्रिज्या ज्ञात है, जेनरेट्रिक्स ज्ञात करना आवश्यक है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

इस प्रकार:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

काम। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का चार गुना है। ज्ञात कीजिए कि शंकु के जेनरेट्रिक्स और आधार के तल के बीच के कोण की कोज्या क्या है।

शंकु के आधार का क्षेत्रफल है:

आज हम आपको बताएंगे कि शंकु का जेनरेट्रिक्स कैसे खोजा जाए, जिसकी अक्सर स्कूल ज्यामिति समस्याओं में आवश्यकता होती है।

शंकु जनरेटर की अवधारणा

एक सीधा शंकु एक आकृति है जो घूर्णन के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है सही त्रिकोणउसके एक पैर के चारों ओर. शंकु का आधार एक वृत्त बनाता है। शंकु का ऊर्ध्वाधर भाग एक त्रिभुज है, क्षैतिज खंड एक वृत्त है। शंकु की ऊंचाई शंकु के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला खंड है। शंकु का जेनरेट्रिक्स एक खंड है जो शंकु के शीर्ष को आधार वृत्त की रेखा पर किसी भी बिंदु से जोड़ता है।

चूँकि एक शंकु एक समकोण त्रिभुज को घुमाने से बनता है, यह पता चलता है कि ऐसे त्रिभुज का पहला पैर ऊँचाई है, दूसरा आधार पर स्थित वृत्त की त्रिज्या है, और कर्ण शंकु का जनक है। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि पाइथागोरस प्रमेय जनरेटर की लंबाई की गणना के लिए उपयोगी है। और अब शंकु के जेनरेट्रिक्स की लंबाई कैसे ज्ञात करें इसके बारे में और जानें।

जनरेटर ढूँढना

जनरेटर कैसे ढूंढें यह समझने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है। मान लीजिए कि समस्या की निम्नलिखित स्थितियाँ दी गई हैं: ऊंचाई 9 सेमी है, आधार वृत्त का व्यास 18 सेमी है। एक जेनरेटर ढूंढना आवश्यक है।

तो, शंकु की ऊंचाई (9 सेमी) समकोण त्रिभुज के पैरों में से एक है जिसकी मदद से यह शंकु बनाया गया था। दूसरा चरण आधार वृत्त की त्रिज्या होगी। त्रिज्या व्यास का आधा है. इस प्रकार, हम हमें दिए गए व्यास को आधे में विभाजित करते हैं और त्रिज्या की लंबाई प्राप्त करते हैं: 18:2 = 9। त्रिज्या 9 है।

अब शंकु का जेनरेट्रिक्स ढूंढना बहुत आसान है। चूँकि यह एक कर्ण है, इसकी लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होगा, अर्थात त्रिज्या और ऊँचाई के वर्गों का योग। तो, जेनरेटर की लंबाई का वर्ग = 64 (त्रिज्या की लंबाई का वर्ग) + 64 (ऊंचाई की लंबाई का वर्ग) = 64x2 = 128। अब हम निकालते हैं वर्गमूल 128 से। परिणामस्वरूप, हमें दो से आठ जड़ें प्राप्त होती हैं। यह शंकु का जेनरेट्रिक्स होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। उदाहरण के लिए, हमने लिया सरल स्थितियाँकार्य, लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम में वे अधिक कठिन हो सकते हैं। याद रखें कि जेनरेट्रिक्स की लंबाई की गणना करने के लिए आपको वृत्त की त्रिज्या और शंकु की ऊंचाई का पता लगाना होगा। इस डेटा को जानने से जेनरेटरिक्स की लंबाई का पता लगाना आसान है।

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पाठ का प्रकार:समस्या-आधारित विकासात्मक शिक्षण पद्धति के तत्वों का उपयोग करके नई सामग्री सीखने का एक पाठ।

पाठ मकसद:

• शैक्षिक:
  • एक नई गणितीय अवधारणा से परिचित होना;
  • नये प्रशिक्षण केन्द्रों का गठन;
  • व्यावहारिक समस्या समाधान कौशल का निर्माण।
• विकसित होना:
  • छात्रों की स्वतंत्र सोच का विकास;
  • स्कूली बच्चों के सही भाषण कौशल का विकास।
• शैक्षिक:
  • टीम वर्क कौशल विकसित करना।

पाठ उपकरण:चुंबकीय बोर्ड, कंप्यूटर, स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, शंकु मॉडल, पाठ प्रस्तुति, हैंडआउट्स।

पाठ के उद्देश्य (छात्रों के लिए):

• एक नई ज्यामितीय अवधारणा से परिचित हों - शंकु;
• शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकेंगे;
• व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय अर्जित ज्ञान को लागू करना सीखें।

कक्षाओं के दौरान

स्टेज I संगठनात्मक.

कवर किए गए विषय पर गृह परीक्षण कार्य के साथ नोटबुक सौंपना।

छात्रों को पहेली को हल करके आगामी पाठ का विषय जानने के लिए आमंत्रित किया जाता है (स्लाइड 1):

चित्र 1।

छात्रों को पाठ के विषय और उद्देश्यों की घोषणा करना (स्लाइड 2).

चरण II. नई सामग्री की व्याख्या.

1) शिक्षक का व्याख्यान.

बोर्ड पर एक मेज है जिस पर शंकु का चित्र है। नई सामग्रीकार्यक्रम सामग्री "स्टीरियोमेट्री" के साथ समझाया गया है। स्क्रीन पर एक शंकु की त्रि-आयामी छवि दिखाई देती है। शिक्षक शंकु की परिभाषा देते हैं और उसके तत्वों के बारे में बात करते हैं। (स्लाइड 3). ऐसा कहा जाता है कि शंकु एक पिंड है जो एक पैर के सापेक्ष एक समकोण त्रिभुज के घूमने से बनता है। (स्लाइड्स 4,5)।शंकु की पार्श्व सतह के स्कैन की एक छवि दिखाई देती है। (स्लाइड 6)

2) व्यावहारिक कार्य.

बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना: एक वृत्त का क्षेत्रफल, एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, एक वृत्त की लंबाई, एक वृत्त के चाप की लंबाई की गणना के लिए सूत्रों को दोहराएं। (स्लाइड्स 7-10)

कक्षा को समूहों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक समूह को कागज से काटे गए शंकु की पार्श्व सतह (एक निर्धारित संख्या के साथ एक वृत्त का एक सेक्टर) का स्कैन प्राप्त होता है। छात्र आवश्यक माप लेते हैं और परिणामी क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। कार्य करने के निर्देश, प्रश्न - समस्या विवरण - स्क्रीन पर दिखाई देंगे (स्लाइड्स 11-14). प्रत्येक समूह का एक प्रतिनिधि गणना के परिणामों को बोर्ड पर तैयार तालिका में लिखता है। प्रत्येक समूह के प्रतिभागी अपने पास मौजूद पैटर्न से शंकु के एक मॉडल को एक साथ चिपकाते हैं। (स्लाइड 15)

3) समस्या का कथन एवं समाधान।

यदि केवल आधार की त्रिज्या और शंकु के जनरेटर की लंबाई ज्ञात हो तो शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें? (स्लाइड 16)

प्रत्येक समूह आवश्यक माप लेता है और उपलब्ध डेटा का उपयोग करके आवश्यक क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करता है। यह कार्य करते समय, छात्रों को ध्यान देना चाहिए कि शंकु के आधार की परिधि त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई के बराबर है - इस शंकु की पार्श्व सतह का विकास। (स्लाइड्स 17-21)आवश्यक सूत्रों का उपयोग करके वांछित सूत्र प्राप्त किया जाता है। छात्रों के तर्क कुछ इस तरह दिखने चाहिए:

सेक्टर-स्वीप त्रिज्या के बराबर है मैं,चाप की डिग्री माप - φ. त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: इस त्रिज्यखंड को घेरने वाले चाप की लंबाई शंकु R के आधार की त्रिज्या के बराबर है। शंकु के आधार पर स्थित वृत्त की लंबाई C = 2πR है . ध्यान दें कि चूँकि शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसकी पार्श्व सतह के विकास क्षेत्र के बराबर है, तो

तो, शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है एस बीओडी = πRl.

स्वतंत्र रूप से प्राप्त सूत्र का उपयोग करके शंकु मॉडल की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना करने के बाद, प्रत्येक समूह का एक प्रतिनिधि मॉडल संख्याओं के अनुसार बोर्ड पर एक तालिका में गणना के परिणाम लिखता है। प्रत्येक पंक्ति में गणना परिणाम समान होना चाहिए। इसके आधार पर शिक्षक प्रत्येक समूह के निष्कर्षों की सत्यता का निर्धारण करता है। परिणाम तालिका इस तरह दिखनी चाहिए:

मॉडल पैरामीटर:

1. एल=12 सेमी, φ =120°
2. एल=10 सेमी, φ =150°
3. एल=15 सेमी, φ =120°
4. एल=10 सेमी, φ =170°
5. एल=14 सेमी, φ =110°

गणनाओं का सन्निकटन माप त्रुटियों से जुड़ा है।

परिणामों की जांच करने के बाद, शंकु की पार्श्व और कुल सतहों के क्षेत्रों के लिए सूत्रों का आउटपुट स्क्रीन पर दिखाई देता है (स्लाइड्स 22-26), छात्र नोटबुक में नोट्स रखते हैं।

चरण III. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

1) छात्रों को ऑफर किया जाता है तैयार चित्रों पर मौखिक समाधान के लिए समस्याएं।

आकृतियों में दर्शाए गए शंकुओं की संपूर्ण सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (स्लाइड्स 27-32).

2) प्रश्न:क्या शंकुओं का पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर है? घूर्णन द्वारा निर्मितविभिन्न भुजाओं के सापेक्ष एक समकोण त्रिभुज? छात्र एक परिकल्पना लेकर आते हैं और उसका परीक्षण करते हैं। समस्याओं को हल करके परिकल्पना का परीक्षण किया जाता है और छात्र द्वारा बोर्ड पर लिखा जाता है।

दिया गया:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" - घूर्णन के पिंड।

खोजो:एस पीपीके 1, एस पीपीके 2।

चित्र 5. (स्लाइड 33)

समाधान:

1) आर=बीसी = ए; एस पीपीके 1 = एस बीओडी 1 + एस मुख्य 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) आर=एसी = बी; एस पीपीके 2 = एस बीओडी 2 + एस बेस 2 = π बी सी+π बी 2 = π बी (बी + सी).

यदि एस पीपीके 1 = एस पीपीके 2, तो ए 2 +एसी = बी 2 + बीसी, ए 2 - बी 2 + एसी - बीसी = 0, (ए-बी)(ए+बी+सी) = 0।क्योंकि ए, बी, सी -धनात्मक संख्याएँ (त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई), समानता तभी सत्य है जब ए =बी।

निष्कर्ष:दो शंकुओं का पृष्ठीय क्षेत्रफल तभी समान होता है जब त्रिभुज की भुजाएँ समान हों। (स्लाइड 34)

3) पाठ्यपुस्तक से समस्या का समाधान: क्रमांक 565।

चरण IV. पाठ का सारांश.

गृहकार्य: अनुच्छेद 55, 56; क्रमांक 548, क्रमांक 561. (स्लाइड 35)

निर्दिष्ट ग्रेडों की घोषणा.

पाठ के दौरान निष्कर्ष, पाठ के दौरान प्राप्त मुख्य जानकारी की पुनरावृत्ति।

साहित्य (स्लाइड 36)

1. ज्योमेट्री ग्रेड 10-11 - अतानासियन, वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कडोम्त्सेव एट अल., एम., "प्रोस्वेशचेनी", 2008।
2. "गणितीय पहेलियाँ और सारथी" - एन.वी. उदाल्त्सोवा, लाइब्रेरी "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", श्रृंखला "गणित", अंक 35, एम., चिस्टे प्रूडी, 2010।