अनुसंधान चार्ट ऑनलाइन। डिफरेंशियल कैलकुलस विधियों का उपयोग करके फ़ंक्शन \(y=\frac(x3)(1-x)\) की जांच करें और इसका ग्राफ बनाएं

कार्यों का अध्ययन करते समय और उनके ग्राफ़ बनाते समय संदर्भ बिंदु विशिष्ट बिंदु होते हैं - समन्वय अक्षों के साथ असंततता, चरम, विभक्ति, प्रतिच्छेदन के बिंदु। डिफरेंशियल कैलकुलस का उपयोग करके आप स्थापित कर सकते हैं विशेषताएँकार्यों में परिवर्तन: वृद्धि और कमी, अधिकतम और न्यूनतम, उत्तलता की दिशा और ग्राफ की अवतलता, स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच स्पर्शोन्मुख और चरम बिंदुओं को खोजने के बाद खींचा जा सकता है (और चाहिए), और जैसे-जैसे अध्ययन आगे बढ़ता है, फ़ंक्शन के अध्ययन की सारांश तालिका भरना सुविधाजनक होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित फ़ंक्शन अध्ययन योजना का उपयोग किया जाता है।

1.परिभाषा का क्षेत्र, निरंतरता के अंतराल और फ़ंक्शन के विराम बिंदु खोजें.

2.समता या विषमता (ग्राफ की अक्षीय या केंद्रीय समरूपता) के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।

3.अनंतस्पर्शी (ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज या तिरछा) खोजें।

4.फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल, उसके चरम बिंदु खोजें और अध्ययन करें।

5.वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल, उसके विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

6.यदि वे मौजूद हैं तो निर्देशांक अक्षों के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।

7.अध्ययन की एक सारांश तालिका संकलित करें।

8.ऊपर वर्णित बिंदुओं के अनुसार किए गए फ़ंक्शन के अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ का निर्माण किया जाता है।

उदाहरण।फ़ंक्शन का अन्वेषण करें

और इसका ग्राफ बनाएं।

7. आइए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एक सारांश तालिका संकलित करें, जहां हम सभी विशेषता बिंदुओं और उनके बीच के अंतराल को दर्ज करेंगे। फ़ंक्शन की समता को ध्यान में रखते हुए, हमें निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

				चार्ट विशेषताएँ
[-1, 0[			की बढ़ती	उत्तल
				(0; 1)- अधिकतम बिंदु
]0, 1[			अवरोही	उत्तल
				अक्ष के साथ विभक्ति बिन्दु बनता है बैलअधिक कोण

आचरण पूर्ण शोधऔर फ़ंक्शन को प्लॉट करें

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) समारोह का दायरा. चूँकि फलन एक भिन्न है, इसलिए हमें हर का शून्य ज्ञात करना होगा।

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

हम फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से एकमात्र बिंदु x=1x=1 को बाहर करते हैं और प्राप्त करते हैं:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) आइए हम असंततता बिंदु के आसपास फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करें। आइए एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें:

चूँकि सीमाएँ अनंत के बराबर हैं, बिंदु x=1x=1 दूसरे प्रकार का असंततता है, सीधी रेखा x=1x=1 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

3) आइए हम निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।

आइए ऑर्डिनेट अक्ष OyOy के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, जिसके लिए हम x=0x=0 के बराबर हैं:

इस प्रकार, OyOy अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0;8)(0;8) हैं।

आइए भुज अक्ष OxOx के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, जिसके लिए हम y=0y=0 निर्धारित करते हैं:

समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए ऑक्सऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

ध्यान दें कि किसी भी xx के लिए x2+8>0x2+8>0। इसलिए, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) के लिए, फ़ंक्शन y>0y>0 (सकारात्मक मान लेता है, ग्राफ़ x-अक्ष से ऊपर है), x∈(1;+∞) के लिए )x∈(1; +∞) फ़ंक्शन y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) फलन न तो सम है और न ही विषम है क्योंकि:

5) आइए आवधिकता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। फलन आवर्त नहीं है, क्योंकि यह एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है।

6) आइए एक्स्ट्रेमा और एकरसता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए पहले व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और स्थिर बिंदु खोजें (जिस पर y'=0y'=0):

हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिले: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. आइए हम फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे क्षेत्र को इन बिंदुओं के साथ अंतराल में विभाजित करें और प्रत्येक अंतराल में व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) के लिए व्युत्पन्न y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) व्युत्पन्न y′>0y′>0 के लिए, इन अंतरालों पर फ़ंक्शन बढ़ता है।

इस मामले में, x=−2x=−2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है (फ़ंक्शन घटता है और फिर बढ़ता है), x=4x=4 एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है (फ़ंक्शन बढ़ता है और फिर घटता है)।

आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें:

इस प्रकार, न्यूनतम बिंदु (−2;4)(−2;4) है, अधिकतम बिंदु (4;−8)(4;−8) है।

7) आइए किंक और उत्तलता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। आइए फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

आइए हम दूसरे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

परिणामी समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, इसलिए कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं। इसके अलावा, जब x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 संतुष्ट होता है, यानी, फ़ंक्शन अवतल होता है, जब x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y'' से संतुष्ट है<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) आइए अनंत पर, यानी, फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें।

चूँकि सीमाएँ अनंत हैं, कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

आइए फॉर्म y=kx+by=kx+b के तिरछे अनंतस्पर्शी को निर्धारित करने का प्रयास करें। हम ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके k,bk,b के मानों की गणना करते हैं:

हमने पाया कि फ़ंक्शन में एक तिरछी अनंतस्पर्शी y=−x−1y=−x−1 है।

9) अतिरिक्त अंक. आइए ग्राफ़ को अधिक सटीक रूप से बनाने के लिए कुछ अन्य बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम एक ग्राफ का निर्माण करेंगे, इसे अनंतस्पर्शी x=1x=1 (नीला), y=−x−1y=−x−1 (हरा) के साथ पूरक करेंगे और विशेषता बिंदुओं (ऑर्डिनेट के साथ बैंगनी प्रतिच्छेदन) को चिह्नित करेंगे अक्ष, नारंगी एक्स्ट्रेमा, काला अतिरिक्त बिंदु) :

कार्य 4: ज्यामितीय, आर्थिक समस्याएं (मुझे नहीं पता कि क्या, यहां समाधान और सूत्रों के साथ समस्याओं का अनुमानित चयन दिया गया है)

उदाहरण 3.23. ए

समाधान। एक्सऔर य य
y = a - 2×a/4 =a/2. चूँकि x = a/4 ही एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए जाँच करें कि इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है या नहीं। xa/4 S " > 0 के लिए, और x >a/4 S " के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24.

समाधान।
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

उदाहरण 3.22.फलन f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।चूँकि f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), तो फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 = 2 और x 2 = 3। एक्स्ट्रेमा केवल पर हो सकता है इन बिंदुओं पर, जैसे कि बिंदु x 1 = 2 से गुजरने पर व्युत्पन्न अपना चिह्न प्लस से माइनस में बदल देता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है। बिंदु x 2 = 3 से गुजरने पर व्युत्पन्न अपना चिह्न माइनस से बदल देता है प्लस के लिए, इसलिए बिंदु x 2 = 3 पर फ़ंक्शन के मानों की गणना न्यूनतम है
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का चरम पाते हैं: अधिकतम f(2) = 14 और न्यूनतम f(3) = 13।

उदाहरण 3.23.पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि यह तीन तरफ से तार की जाली से घिरा हो, और चौथा पक्ष दीवार से सटा हो। इसके लिए वहाँ है एजाल के रैखिक मीटर. किस पहलू अनुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।आइए हम प्लेटफ़ॉर्म के किनारों को इससे निरूपित करें एक्सऔर य. साइट का क्षेत्रफल S = xy है. होने देना य- यह दीवार से सटे किनारे की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समानता 2x + y = a कायम रहनी चाहिए। इसलिए y = a - 2x और S = x(a - 2x), जहां
0 ≤ x ≤ a/2 (पैड की लंबाई और चौड़ाई नकारात्मक नहीं हो सकती)। S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4 पर, जहाँ से
y = a - 2×a/4 =a/2. चूँकि x = a/4 ही एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए जाँच करें कि इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है या नहीं। xa/4 S " > 0 के लिए, और x >a/4 S " के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 की क्षमता वाला एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक है। टैंक का आयाम (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) क्या होना चाहिए ताकि इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग किया जाए?

समाधान।सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल S = 2pR(R+H) है। हम सिलेंडर का आयतन जानते हैं V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2। इसका मतलब है S(R) = 2p(R 2 +16/R). हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस " (आर) = 2पी(2आर- 16/आर 2) = 4पी (आर- 8/आर 2)। एस " (आर) = 0 आर 3 = 8 के लिए, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

सम्बंधित जानकारी।

विभेदक कैलकुलस के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक कार्यों के व्यवहार का अध्ययन करने के सामान्य उदाहरणों का विकास है।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) अंतराल पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है या अंतराल (a,b) पर 0 के बराबर है, तो y=f(x) (f"(x)0) से बढ़ जाता है यदि फ़ंक्शन y=f (x) खंड पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न अंतराल (a,b) पर नकारात्मक या 0 के बराबर है, तो y=f(x) (f"(x)0 से घट जाता है। )

वे अंतराल जिनमें फलन घटता या बढ़ता नहीं है, फलन की एकरसता के अंतराल कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन की एकरसता उसकी परिभाषा के क्षेत्र के केवल उन्हीं बिंदुओं पर बदल सकती है, जहां पहले व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है। वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाता है या असंततता हो जाती है, क्रिटिकल कहलाते हैं।

प्रमेय 1 (एक चरम के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है और एक पड़ोस δ>0 होने दिया गया है, ताकि फ़ंक्शन अंतराल पर निरंतर हो और अंतराल पर भिन्न हो (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , और इसका व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक अंतराल पर एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है। फिर यदि x 0 -δ,x 0) और (x 0 , x 0 +δ) पर अवकलज के चिह्न भिन्न हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और यदि वे मेल खाते हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु नहीं है . इसके अलावा, यदि, बिंदु x0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न को प्लस से माइनस में बदल देता है (x 0 के बाईं ओर f"(x)>0 संतुष्ट है, तो x 0 अधिकतम बिंदु है; यदि व्युत्पन्न से चिह्न बदलता है माइनस से प्लस (x 0 के दाईं ओर निष्पादित f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को इसके चरम मान कहा जाता है।

प्रमेय 2 (स्थानीय चरम का एक आवश्यक संकेत)।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) का चरम वर्तमान x=x 0 पर है, तो या तो f'(x 0)=0 या f'(x 0) मौजूद नहीं है।
अवकलनीय फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं पर, इसके ग्राफ़ की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है।

किसी चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात। वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।
3) प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर विचार करें, और इस बिंदु के बाईं और दाईं ओर व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करें।
4) इसके लिए चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें, महत्वपूर्ण बिंदुओं के मानों को इस फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें। चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियों का उपयोग करते हुए, उचित निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 18. चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन y=x 3 -9x 2 +24x की जांच करें

समाधान।
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) अवकलज को शून्य के बराबर करने पर, हम x 1 =2, x 2 =4 पाते हैं। इस मामले में, व्युत्पन्न को हर जगह परिभाषित किया गया है; इसका मतलब यह है कि पाए गए दो बिंदुओं के अलावा, कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
3) व्युत्पन्न y"=3(x-2)(x-4) का चिह्न अंतराल के आधार पर बदलता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बिंदु x=2 से गुजरने पर, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, और बिंदु x=4 से गुजरते समय - ऋण से धन की ओर।
4) बिंदु x=2 पर फ़ंक्शन का अधिकतम y अधिकतम =20 है, और बिंदु x=4 पर - न्यूनतम y न्यूनतम =16 है।

प्रमेय 3. (एक चरम के अस्तित्व के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए f"(x 0) और बिंदु x 0 पर f""(x 0) मौजूद है। फिर यदि f""(x 0)>0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है, और यदि f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

एक खंड पर, फ़ंक्शन y=f(x) सबसे छोटे (y सबसे कम) या सबसे बड़े (y उच्चतम) मान तक पहुंच सकता है या तो अंतराल (a;b) में स्थित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, या पर खंड के सिरे.

खंड पर निरंतर फ़ंक्शन y=f(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) f"(x) खोजें।
2) उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर f"(x)=0 या f"(x) मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं।
3) चरण 2 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर फ़ंक्शन y=f(x) के मान की गणना करें और उनमें से सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें: वे क्रमशः सबसे बड़े (y) हैं अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा) और सबसे छोटा (y सबसे कम) मान।

उदाहरण 19. खंड पर सतत फलन y=x 3 -3x 2 -45+225 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

1) हमारे पास खंड पर y"=3x 2 -6x-45 है
2) व्युत्पन्न y" सभी x के लिए मौजूद है। आइए वे बिंदु खोजें जिन पर y"=0; हम पाते हैं:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; एक्स 2 =5
3) बिंदुओं x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
खंड में केवल बिंदु x=5 है। फ़ंक्शन के पाए गए मानों में सबसे बड़ा 225 है, और सबसे छोटी संख्या 50 है। तो, y अधिकतम = 225, y न्यूनतम = 50।

उत्तलता पर एक फ़ंक्शन का अध्ययन

यह चित्र दो कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। उनमें से पहला ऊपर की ओर उत्तल है, दूसरा नीचे की ओर उत्तल है।

फ़ंक्शन y=f(x) एक अंतराल पर निरंतर है और अंतराल (a;b) में भिन्न है, इस अंतराल पर उत्तल ऊपर (नीचे की ओर) कहा जाता है यदि, axb के लिए, इसका ग्राफ इससे अधिक नहीं (कम नहीं) है किसी भी बिंदु M 0 (x 0 ;f(x 0)) पर खींची गई स्पर्शरेखा, जहां axb.

प्रमेय 4. मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) का खंड के किसी भी आंतरिक बिंदु x पर दूसरा व्युत्पन्न है और इस खंड के सिरों पर निरंतर है। फिर यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर बनी रहती है, तो फ़ंक्शन अंतराल पर नीचे की ओर उत्तल होता है; यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर बनी रहती है, तो फ़ंक्शन ऊपर की ओर उत्तल होता है।

प्रमेय 5. यदि फ़ंक्शन y=f(x) का अंतराल (a;b) पर दूसरा व्युत्पन्न है और यदि यह बिंदु x 0 से गुजरने पर संकेत बदलता है, तो M(x 0 ;f(x 0)) है एक विभक्ति बिंदु.

विभक्ति बिंदु ज्ञात करने का नियम:

1) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर f""(x) मौजूद नहीं है या गायब हो जाता है।
2) पहले चरण में पाए गए प्रत्येक बिंदु के बाईं और दाईं ओर f""(x) चिह्न की जांच करें।
3) प्रमेय 4 के आधार पर निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 20. फ़ंक्शन y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 के ग्राफ़ के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु खोजें।

हमारे पास f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 है। जाहिर है, f"(x)=0 जब x 1 =0, x 2 =1। बिंदु x=0 से गुजरने पर, व्युत्पन्न चिह्न को ऋण से प्लस में बदल देता है, लेकिन बिंदु x=1 से गुजरने पर यह चिह्न नहीं बदलता है। इसका मतलब है कि x=0 न्यूनतम बिंदु है (y न्यूनतम =12), और बिंदु x=1 पर कोई चरम सीमा नहीं है। अगला, हम पाते हैं . दूसरा अवकलज x 1 =1, x 2 =1/3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाता है। दूसरे व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत इस प्रकार हैं: किरण (-∞;) पर हमारे पास f""(x)>0 है, अंतराल (;1) पर हमारे पास f""(x) है<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. इसलिए, x= फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से नीचे उत्तलता से ऊपर की ओर संक्रमण) और x=1 भी विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से ऊपर की ओर उत्तलता से नीचे की ओर संक्रमण)। यदि x=, तो y= ; यदि, तो x=1, y=13.

ग्राफ़ का अनंतस्पर्शी पता लगाने के लिए एल्गोरिथम

I. यदि y=f(x) x → a के रूप में है, तो x=a एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
द्वितीय. यदि y=f(x) x → ∞ या x → -∞ के रूप में है, तो y=A एक क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है।
तृतीय. तिरछी अनंतस्पर्शी को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
1) गणना करें. यदि सीमा मौजूद है और b के बराबर है, तो y=b एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है; यदि , तो दूसरे चरण पर जाएँ।
2) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और k के बराबर है, तो तीसरे चरण पर जाएँ।
3) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और b के बराबर है, तो चौथे चरण पर जाएँ।
4) तिरछी अनंतस्पर्शी y=kx+b का समीकरण लिखिए।

उदाहरण 21: किसी फ़ंक्शन के लिए अनंतस्पर्शी खोजें

1)
2)
3)
4) तिर्यक अनंतस्पर्शी समीकरण का रूप है

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने की योजना

I. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें।
द्वितीय. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
तृतीय. स्पर्शोन्मुख खोजें।
चतुर्थ. संभावित चरम बिंदु खोजें.
वी. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
VI. सहायक आकृति का उपयोग करते हुए, पहले और दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न का पता लगाएं। बढ़ते और घटते फलन के क्षेत्र निर्धारित करें, ग्राफ की उत्तलता की दिशा, चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ज्ञात करें।
सातवीं. पैराग्राफ 1-6 में किए गए शोध को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण 22: उपरोक्त चित्र के अनुसार फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं

समाधान।
I. किसी फ़ंक्शन का डोमेन x=1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
द्वितीय. चूँकि समीकरण x 2 +1=0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, लेकिन ओए अक्ष को बिंदु (0;-1) पर प्रतिच्छेद करता है।
तृतीय. आइए हम स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करें। आइए असंततता बिंदु x=1 के निकट फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करें। चूँकि y → ∞ as x → -∞, y → +∞ as x → 1+, तो सीधी रेखा x=1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ का ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।
यदि x → +∞(x → -∞), तो y → +∞(y → -∞); इसलिए, ग्राफ़ में कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है। इसके अलावा, सीमाओं के अस्तित्व से

समीकरण x 2 -2x-1=0 को हल करने पर हमें दो संभावित चरम बिंदु प्राप्त होते हैं:
x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2

V. महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

चूँकि f""(x) लुप्त नहीं होता है, इसलिए कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
VI. आइए पहले और दूसरे डेरिवेटिव के चिह्न की जांच करें। विचार किए जाने वाले संभावित चरम बिंदु: x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2, फ़ंक्शन के अस्तित्व के डोमेन को अंतराल (-∞;1-√2),(1-√2;1) में विभाजित करें +√2) और (1+√2;+∞).

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है: पहले में - प्लस, दूसरे में - माइनस, तीसरे में - प्लस। प्रथम अवकलज के चिन्हों का क्रम इस प्रकार लिखा जायेगा: +,-,+.
हम पाते हैं कि फ़ंक्शन (-∞;1-√2) पर बढ़ता है, (1-√2;1+√2) पर घटता है, और (1+√2;+∞) पर फिर से बढ़ता है। चरम बिंदु: अधिकतम x=1-√2 पर, और f(1-√2)=2-2√2 न्यूनतम x=1+√2 पर, और f(1+√2)=2+2√2। (-∞;1) पर ग्राफ़ ऊपर की ओर उत्तल है, और (1;+∞) पर यह नीचे की ओर उत्तल है।
VII आइए प्राप्त मूल्यों की एक तालिका बनाएं

VIII प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाते हैं

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन कैसे करें और उसका ग्राफ़ कैसे बनाएं?

ऐसा लगता है कि मैं 55 खंडों में संकलित रचनाओं के लेखक, विश्व सर्वहारा के नेता के आध्यात्मिक रूप से अंतर्दृष्टिपूर्ण चेहरे को समझने लगा हूं... लंबी यात्रा की शुरुआत बुनियादी जानकारी के साथ हुई फ़ंक्शन और ग्राफ़, और अब एक श्रम-गहन विषय पर काम एक तार्किक परिणाम के साथ समाप्त होता है - एक लेख फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन के बारे में. लंबे समय से प्रतीक्षित कार्य इस प्रकार तैयार किया गया है:

विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर उसका ग्राफ़ बनाएं

या संक्षेप में: फ़ंक्शन की जांच करें और एक ग्राफ़ बनाएं।

अन्वेषण क्यों करें?साधारण मामलों में, हमारे लिए प्राथमिक कार्यों को समझना और इसका उपयोग करके प्राप्त ग्राफ बनाना मुश्किल नहीं होगा प्राथमिक ज्यामितीय परिवर्तनऔर इसी तरह। हालाँकि, अधिक जटिल कार्यों के गुण और चित्रमय निरूपण स्पष्ट नहीं हैं, यही कारण है कि एक संपूर्ण अध्ययन की आवश्यकता है।

समाधान के मुख्य चरणों को संदर्भ सामग्री में संक्षेपित किया गया है कार्य अध्ययन योजना, यह अनुभाग के लिए आपकी मार्गदर्शिका है। डमी को किसी विषय की चरण-दर-चरण व्याख्या की आवश्यकता होती है, कुछ पाठक नहीं जानते कि अपना शोध कहाँ से शुरू करें या कैसे व्यवस्थित करें, और उन्नत छात्र केवल कुछ बिंदुओं में रुचि ले सकते हैं। लेकिन आप जो भी हों, प्रिय आगंतुक, विभिन्न पाठों के संकेतों के साथ प्रस्तावित सारांश आपको तुरंत रुचि की दिशा में उन्मुख और मार्गदर्शन करेगा। रोबोटों ने आँसू बहाए =) मैनुअल को एक पीडीएफ फ़ाइल के रूप में रखा गया और पृष्ठ पर अपना उचित स्थान ले लिया गणितीय सूत्र और तालिकाएँ.

मैं किसी फ़ंक्शन के शोध को 5-6 बिंदुओं में विभाजित करने का आदी हूं:

6) शोध परिणामों के आधार पर अतिरिक्त बिंदु और ग्राफ़।

अंतिम कार्रवाई के संबंध में, मुझे लगता है कि सब कुछ सभी के लिए स्पष्ट है - यह बहुत निराशाजनक होगा यदि कुछ ही सेकंड में इसे काट दिया जाए और कार्य को पुनरीक्षण के लिए वापस कर दिया जाए। एक सही और सटीक ड्राइंग समाधान का मुख्य परिणाम है! यह विश्लेषणात्मक त्रुटियों को "छिपाने" की संभावना है, जबकि एक गलत और/या लापरवाह कार्यक्रम पूरी तरह से आयोजित अध्ययन के साथ भी समस्याएं पैदा करेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अन्य स्रोतों में अनुसंधान बिंदुओं की संख्या, उनके कार्यान्वयन का क्रम और डिजाइन शैली मेरे द्वारा प्रस्तावित योजना से काफी भिन्न हो सकती है, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह काफी पर्याप्त है। समस्या के सबसे सरल संस्करण में केवल 2-3 चरण होते हैं और इसे कुछ इस तरह तैयार किया जाता है: "व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें और एक ग्राफ़ बनाएं" या "पहले और दूसरे डेरिवेटिव का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें, एक ग्राफ़ बनाएं।"

स्वाभाविक रूप से, यदि आपका मैनुअल किसी अन्य एल्गोरिदम का विस्तार से वर्णन करता है या आपका शिक्षक सख्ती से मांग करता है कि आप उसके व्याख्यानों का पालन करें, तो आपको समाधान में कुछ समायोजन करना होगा। चेनसॉ काँटे को चम्मच से बदलने से अधिक कठिन कुछ नहीं है।

आइए सम/विषम के लिए फ़ंक्शन की जाँच करें:

इसके बाद एक टेम्पलेट उत्तर दिया गया है:
, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

चूंकि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, इसलिए कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख भी नहीं हैं।

टिप्पणी : मैं तुम्हें याद दिलाता हूँ कि उच्चतर विकास क्रम, से , इसलिए अंतिम सीमा बिल्कुल " है प्लसअनंत।"

आइए जानें कि फ़ंक्शन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है:

दूसरे शब्दों में, यदि हम दाईं ओर जाते हैं, तो ग्राफ़ असीम रूप से ऊपर चला जाता है, यदि हम बाईं ओर जाते हैं, तो यह असीम रूप से नीचे चला जाता है। हाँ, एक ही प्रविष्टि के अंतर्गत दो सीमाएँ भी हैं। यदि आपको संकेतों को समझने में कठिनाई हो रही है, तो कृपया इसके बारे में पाठ देखें अतिसूक्ष्म कार्य.

तो समारोह ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं. यह मानते हुए कि हमारे पास कोई ब्रेकप्वाइंट नहीं है, यह स्पष्ट हो जाता है फ़ंक्शन रेंज: - कोई वास्तविक संख्या भी।

उपयोगी तकनीकी तकनीक

कार्य का प्रत्येक चरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में नई जानकारी लाता है, इसलिए, समाधान के दौरान एक प्रकार के LAYOUT का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए एक ड्राफ्ट पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाएं। क्या पहले से ही निश्चित रूप से ज्ञात है? सबसे पहले, ग्राफ़ में कोई अनंतस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए सीधी रेखाएँ खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है। दूसरे, हम जानते हैं कि फलन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है। विश्लेषण के अनुसार, हम पहला अनुमान लगाते हैं:

कृपया ध्यान दें कि के कारण निरंतरताफ़ंक्शन चालू है और तथ्य यह है कि ग्राफ़ को कम से कम एक बार अक्ष को पार करना होगा। या हो सकता है कि प्रतिच्छेदन के कई बिंदु हों?

3) फलन के शून्य और अचर चिह्न के अंतराल।

सबसे पहले, आइए कोटि अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। यह आसान है। फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक है:

समुद्र तल से डेढ़ ऊपर.

अक्ष (फ़ंक्शन के शून्य) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, और यहां एक अप्रिय आश्चर्य हमारा इंतजार कर रहा है:

अंत में एक स्वतंत्र सदस्य छिपा हुआ है, जो कार्य को और अधिक कठिन बना देता है।

ऐसे समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है, और प्रायः यह मूल अपरिमेय होता है। सबसे खराब परी कथा में, तीन छोटे सूअर हमारा इंतजार कर रहे हैं। समीकरण तथाकथित का उपयोग करके हल करने योग्य है कार्डानो सूत्र, लेकिन कागज को हुआ नुकसान लगभग पूरे अध्ययन के बराबर है। इस संबंध में, मौखिक रूप से या ड्राफ्ट में कम से कम एक का चयन करने का प्रयास करना बुद्धिमानी है। साबुतजड़। आइए देखें कि क्या ये संख्याएँ हैं:
- उपयुक्त नहीं;
- वहाँ है!

यहाँ भाग्यशाली हूँ. विफलता की स्थिति में, आप परीक्षण भी कर सकते हैं, और यदि ये संख्याएँ फिट नहीं होती हैं, तो मुझे डर है कि समीकरण के लाभदायक समाधान की संभावना बहुत कम है। फिर अनुसंधान बिंदु को पूरी तरह से छोड़ देना बेहतर है - शायद अंतिम चरण में कुछ स्पष्ट हो जाएगा, जब अतिरिक्त बिंदुओं को तोड़ दिया जाएगा। और यदि जड़ें स्पष्ट रूप से "खराब" हैं, तो संकेतों की स्थिरता के अंतराल के बारे में विनम्रतापूर्वक चुप रहना और अधिक सावधानी से आकर्षित करना बेहतर है।

हालाँकि, हमारे पास एक सुंदर जड़ है, इसलिए हम बहुपद को विभाजित करते हैं बिना किसी शेष के:

एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने की एल्गोरिथ्म पर पाठ के पहले उदाहरण में विस्तार से चर्चा की गई है जटिल सीमाएँ.

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण का बाईं ओर उत्पाद में विघटित हो जाता है:

और अब स्वस्थ जीवन शैली के बारे में थोड़ा। निःसंदेह, मैं इसे समझता हूं द्विघातीय समीकरणइसे हर दिन हल करने की आवश्यकता है, लेकिन आज हम एक अपवाद बनाएंगे: समीकरण इसकी दो वास्तविक जड़ें हैं.

आइए पाए गए मानों को संख्या रेखा पर आलेखित करें और अंतराल विधिआइए फ़ंक्शन के संकेतों को परिभाषित करें:


इस प्रकार, अंतराल पर शेड्यूल स्थित है
x-अक्ष के नीचे, और अंतराल पर - इस अक्ष के ऊपर.

निष्कर्ष हमें अपने लेआउट को परिष्कृत करने की अनुमति देते हैं, और ग्राफ़ का दूसरा सन्निकटन इस तरह दिखता है:

कृपया ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन में एक अंतराल पर कम से कम एक अधिकतम और एक अंतराल पर कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। लेकिन हम अभी तक नहीं जानते कि शेड्यूल कितनी बार, कहां और कब लूप होगा। वैसे, एक फ़ंक्शन में अपरिमित रूप से अनेक हो सकते हैं चरम.

4)कार्य का बढ़ना, घटना और चरम होना।

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

इस समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर रखें और अवकलज के चिह्न निर्धारित करें:


इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ जाता है और घट जाती है.
इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .
इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

स्थापित तथ्य हमारे टेम्पलेट को एक कठोर ढाँचे में बाँधने के लिए बाध्य करते हैं:

कहने की जरूरत नहीं है, डिफरेंशियल कैलकुलस एक शक्तिशाली चीज़ है। आइए अंततः ग्राफ़ के आकार को समझें:

5) उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदु।

आइए दूसरे व्युत्पन्न के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तल और अवतल है। आइए विभक्ति बिंदु की कोटि की गणना करें: .

लगभग सब कुछ स्पष्ट हो गया है.

6) यह अतिरिक्त बिंदु ढूंढना बाकी है जो आपको अधिक सटीक रूप से ग्राफ़ बनाने और आत्म-परीक्षण करने में मदद करेगा। इस मामले में उनमें से कुछ हैं, लेकिन हम उनकी उपेक्षा नहीं करेंगे:

आइए चित्र बनाएं:

विभक्ति बिंदु को हरे रंग में चिह्नित किया गया है, अतिरिक्त बिंदुओं को क्रॉस के साथ चिह्नित किया गया है। एक घन फलन का ग्राफ उसके विभक्ति बिंदु के बारे में सममित होता है, जो हमेशा अधिकतम और न्यूनतम के बीच में स्थित होता है।

जैसे-जैसे कार्य आगे बढ़ा, मैंने तीन काल्पनिक अंतरिम चित्र उपलब्ध कराए। व्यवहार में, एक समन्वय प्रणाली बनाना, पाए गए बिंदुओं को चिह्नित करना और अनुसंधान के प्रत्येक बिंदु के बाद मानसिक रूप से अनुमान लगाना पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिख सकता है। अच्छे स्तर की तैयारी वाले छात्रों के लिए किसी ड्राफ्ट को शामिल किए बिना केवल अपने दिमाग में इस तरह का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं होगा।

इसे स्वयं हल करने के लिए:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ़ बनाएं।

यहां सब कुछ तेज़ और अधिक मज़ेदार है, पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित उदाहरण।

भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों के अध्ययन से कई रहस्य उजागर होते हैं:

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करें और, अध्ययन के परिणामों के आधार पर, इसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: परिभाषा क्षेत्र में एक छेद के अपवाद के साथ, अध्ययन का पहला चरण कुछ भी उल्लेखनीय नहीं है:

1) फ़ंक्शन बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है, कार्यक्षेत्र: .

, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

फ़ंक्शन का ग्राफ बाएं और दाएं आधे-तल में स्थित दो निरंतर शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है - यह शायद बिंदु 1 का सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है।

2) अनंतस्पर्शी, अनंत पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार।

ए) एक तरफा सीमाओं का उपयोग करते हुए, हम एक संदिग्ध बिंदु के पास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं, जहां स्पष्ट रूप से एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होना चाहिए:

वास्तव में, कार्य कायम रहते हैं अंतहीन अंतरालबिंदु पर
और सीधी रेखा (अक्ष) है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटललित कलाएं ।

बी) आइए देखें कि क्या तिरछी अनंतस्पर्शी मौजूद हैं:

हाँ, यह सीधा है तिरछा अनंतस्पर्शीग्राफ़िक्स, यदि.

सीमाओं का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि फ़ंक्शन अपने तिरछे अनंतस्पर्शी को अपनाता है ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

दूसरे शोध बिंदु से फ़ंक्शन के बारे में बहुत सी महत्वपूर्ण जानकारी प्राप्त हुई। आइए एक मोटा स्केच बनाएं:

निष्कर्ष संख्या 1 स्थिर चिह्न के अंतराल से संबंधित है। "माइनस इनफिनिटी" पर फ़ंक्शन का ग्राफ स्पष्ट रूप से एक्स-अक्ष के नीचे स्थित है, और "प्लस इनफिनिटी" पर यह इस अक्ष के ऊपर है। इसके अलावा, एकतरफ़ा सीमाओं ने हमें बताया कि बिंदु के बाएँ और दाएँ दोनों ओर फ़ंक्शन शून्य से भी बड़ा है। कृपया ध्यान दें कि बाएं आधे तल में ग्राफ़ को कम से कम एक बार x-अक्ष को पार करना होगा। दाहिने आधे तल में फ़ंक्शन का कोई शून्य नहीं हो सकता है।

निष्कर्ष संख्या 2 यह है कि फ़ंक्शन बिंदु के बायीं ओर बढ़ता है ("नीचे से ऊपर तक जाता है")। इस बिंदु के दाईं ओर, फ़ंक्शन घटता है ("ऊपर से नीचे तक जाता है")। ग्राफ़ की दाहिनी शाखा में निश्चित रूप से कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। बाईं ओर, चरम की गारंटी नहीं है।

निष्कर्ष संख्या 3 बिंदु के आसपास ग्राफ की समतलता के बारे में विश्वसनीय जानकारी प्रदान करता है। हम अनंत पर उत्तलता/अवतलता के बारे में अभी तक कुछ नहीं कह सकते हैं, क्योंकि एक रेखा को ऊपर और नीचे दोनों से उसके अनंतस्पर्शी की ओर दबाया जा सकता है। सामान्यतया, अभी इसका पता लगाने का एक विश्लेषणात्मक तरीका मौजूद है, लेकिन ग्राफ का आकार बाद के चरण में स्पष्ट हो जाएगा।

इतने सारे शब्द क्यों? बाद के शोध बिंदुओं को नियंत्रित करने और गलतियों से बचने के लिए! आगे की गणना से निकाले गए निष्कर्षों का खंडन नहीं होना चाहिए।

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है.

अंतराल विधि का उपयोग करके हम संकेत निर्धारित करते हैं:

, अगर ;
, अगर .

इस बिंदु के परिणाम पूरी तरह से निष्कर्ष संख्या 1 के अनुरूप हैं। प्रत्येक चरण के बाद, ड्राफ्ट को देखें, मानसिक रूप से शोध की जांच करें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ पूरा करें।

विचाराधीन उदाहरण में, अंश को हर द्वारा पद दर पद विभाजित किया जाता है, जो विभेदन के लिए बहुत फायदेमंद है:

दरअसल, स्पर्शोन्मुख खोजते समय ऐसा पहले ही किया जा चुका है।

- महत्वपूर्ण बिन्दू।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

से बढ़ जाता है और घट जाती है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

निष्कर्ष संख्या 2 के साथ भी कोई विसंगतियां नहीं थीं, और, सबसे अधिक संभावना है, हम सही रास्ते पर हैं।

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर अवतल है।

बढ़िया - और आपको कुछ भी खींचने की ज़रूरत नहीं है।

कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं.

अवतलता निष्कर्ष संख्या 3 के अनुरूप है, इसके अलावा, यह इंगित करता है कि अनंत पर (वहां और वहां दोनों) फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चयह परोक्ष अनंतस्पर्शी है।

6) हम कर्तव्यनिष्ठा से अतिरिक्त बिंदुओं के साथ कार्य को पिन करेंगे। यहीं पर हमें कड़ी मेहनत करनी होगी, क्योंकि हम शोध से केवल दो बिंदु जानते हैं।

और एक तस्वीर जिसकी कल्पना शायद बहुत से लोगों ने बहुत पहले की थी:

कार्य के निष्पादन के दौरान, आपको सावधानीपूर्वक यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि अनुसंधान के चरणों के बीच कोई विरोधाभास न हो, लेकिन कभी-कभी स्थिति अत्यावश्यक या बेहद खराब हो जाती है। विश्लेषण "जोड़ता नहीं है" - बस इतना ही। इस मामले में, मैं एक आपातकालीन तकनीक की अनुशंसा करता हूं: हम ग्राफ़ से संबंधित जितना संभव हो उतने बिंदु ढूंढते हैं (जितना हमारे पास धैर्य है), और उन्हें समन्वय विमान पर चिह्नित करें। अधिकांश मामलों में पाए गए मूल्यों का ग्राफिकल विश्लेषण आपको बताएगा कि सत्य कहां है और झूठ कहां है। इसके अलावा, ग्राफ़ को किसी प्रोग्राम का उपयोग करके पूर्व-निर्मित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक्सेल में (बेशक, इसके लिए कौशल की आवश्यकता होती है)।

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने के लिए विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इसमें, फ़ंक्शन की समता से आत्म-नियंत्रण बढ़ाया जाता है - ग्राफ़ अक्ष के बारे में सममित है, और यदि आपके शोध में कुछ ऐसा है जो इस तथ्य का खंडन करता है, तो त्रुटि की तलाश करें।

किसी सम या विषम फ़ंक्शन का अध्ययन केवल पर किया जा सकता है, और फिर ग्राफ़ की समरूपता का उपयोग करें। यह समाधान इष्टतम है, लेकिन, मेरी राय में, यह बहुत ही असामान्य लगता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं संपूर्ण संख्या अक्ष को देखता हूं, लेकिन मुझे अभी भी केवल दाईं ओर अतिरिक्त बिंदु मिलते हैं:

उदाहरण 5

फ़ंक्शन का संपूर्ण अध्ययन करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: चीजें कठिन हो गईं:

1) फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है:।

इसका मतलब यह है कि यह फ़ंक्शन विषम है, इसका ग्राफ़ मूल के बारे में सममित है।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

2) अनंतस्पर्शी, अनंत पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार।

चूंकि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, इसलिए कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं

एक घातांक वाले फ़ंक्शन के लिए, यह विशिष्ट है अलग"प्लस" और "अनंत के माइनस" का अध्ययन, हालांकि, ग्राफ की समरूपता से हमारा जीवन आसान हो गया है - या तो बाएं और दाएं दोनों पर एक अनंतस्पर्शी है, या कोई नहीं है। अत: दोनों अनंत सीमाएँ एक ही प्रविष्टि के अंतर्गत लिखी जा सकती हैं। समाधान के दौरान हम उपयोग करते हैं एल हॉस्पिटल का नियम:

सीधी रेखा (अक्ष) ग्राफ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।

कृपया ध्यान दें कि कैसे मैंने तिरछी अनंतस्पर्शी को खोजने के लिए पूर्ण एल्गोरिदम को चालाकी से टाल दिया: सीमा पूरी तरह से कानूनी है और अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार को स्पष्ट करती है, और क्षैतिज अनंतस्पर्शी की खोज "मानो एक ही समय में" की गई थी।

निरंतरता और एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी के अस्तित्व से यह इस प्रकार है कि कार्य ऊपर से घिरा हुआऔर नीचे बंधा हुआ.

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, स्थिर चिह्न के अंतराल।

यहां हम समाधान को संक्षिप्त भी करते हैं:
ग्राफ़ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन का कोई अन्य बिंदु नहीं है। इसके अलावा, चिह्न की स्थिरता के अंतराल स्पष्ट हैं, और अक्ष को खींचने की आवश्यकता नहीं है:, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का चिह्न केवल "x" पर निर्भर करता है:
, अगर ;
, अगर ।

4)कार्य का बढ़ना,घटना,चरम।


- महत्वपूर्ण बिंदु।

बिंदु शून्य के बारे में सममित हैं, जैसा कि होना चाहिए।

आइए हम व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:


फलन एक अंतराल पर बढ़ता है और कुछ अंतराल पर घटता है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .

संपत्ति के कारण (फ़ंक्शन की विषमता) न्यूनतम की गणना करने की आवश्यकता नहीं है:

चूंकि फ़ंक्शन अंतराल पर घटता है, तो, जाहिर है, ग्राफ़ "माइनस इनफिनिटी" पर स्थित है अंतर्गतयह स्पर्शोन्मुख है. अंतराल के साथ, फलन भी घटता जाता है, लेकिन यहां विपरीत सत्य है - अधिकतम बिंदु से गुजरने के बाद, रेखा ऊपर से अक्ष के पास पहुंचती है।

उपरोक्त से यह भी पता चलता है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ "माइनस इनफिनिटी" पर उत्तल है और "प्लस इनफिनिटी" पर अवतल है।

अध्ययन के इस बिंदु के बाद, फ़ंक्शन मानों की सीमा तैयार की गई:

यदि आपको किसी बिंदु के बारे में कोई गलतफहमी है, तो मैं एक बार फिर आपसे आग्रह करता हूं कि आप अपनी नोटबुक में समन्वय अक्ष बनाएं और, अपने हाथों में एक पेंसिल लेकर, कार्य के प्रत्येक निष्कर्ष का दोबारा विश्लेषण करें।

5) ग्राफ की उत्तलता, अवतलता, मोड़।

- महत्वपूर्ण बिंदु।

बिंदुओं की समरूपता संरक्षित है, और, सबसे अधिक संभावना है, हम गलत नहीं हैं।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन का ग्राफ़ उत्तल है और अवतल पर .

चरम अंतराल पर उत्तलता/अवतलता की पुष्टि की गई।

सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ग्राफ़ में गड़बड़ी है। आइए विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें, और फिर से फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करके गणनाओं की संख्या कम करें:

निर्देश

फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पाप (x) को -∞ से +∞ तक पूरे अंतराल पर परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन 1/x को -∞ से +∞ तक परिभाषित किया गया है, बिंदु x = 0 को छोड़कर।

निरंतरता के क्षेत्रों और असंततता के बिंदुओं की पहचान करें। आमतौर पर कोई फ़ंक्शन उसी क्षेत्र में निरंतर होता है जहां उसे परिभाषित किया गया है। असंततताओं का पता लगाने के लिए, किसी को गणना करनी चाहिए क्योंकि तर्क परिभाषा के क्षेत्र के भीतर अलग-अलग बिंदुओं तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x x→0+ होने पर अनंत की ओर जाता है, और x→0- होने पर माइनस अनंत की ओर जाता है। इसका मतलब यह है कि बिंदु x = 0 पर इसमें दूसरे प्रकार का असंततता है।
यदि असंततता बिंदु पर सीमाएं परिमित हैं, लेकिन समान नहीं हैं, तो यह पहली तरह की असंततता है। यदि वे समान हैं, तो फ़ंक्शन को निरंतर माना जाता है, हालांकि इसे एक अलग बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

लंबवत अनंतस्पर्शी खोजें, यदि कोई हो। पिछले चरण की गणना आपको यहां मदद करेगी, क्योंकि ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी लगभग हमेशा दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु पर स्थित होता है। हालाँकि, कभी-कभी यह व्यक्तिगत बिंदु नहीं होते हैं जिन्हें परिभाषा डोमेन से बाहर रखा जाता है, बल्कि बिंदुओं के संपूर्ण अंतराल, और फिर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी इन अंतरालों के किनारों पर स्थित हो सकते हैं।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन में विशेष गुण हैं: सम, विषम और आवधिक।
फ़ंक्शन सम होगा यदि डोमेन f(x) = f(-x) में किसी x के लिए। उदाहरण के लिए, cos(x) और x^2 सम फलन हैं।

आवधिकता एक गुण है जो कहता है कि एक निश्चित संख्या T है, जिसे आवर्त कहा जाता है, जो कि किसी भी x f(x) = f(x + T) के लिए है। उदाहरण के लिए, सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) आवर्त हैं।

अंक खोजें. ऐसा करने के लिए, दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें और x के उन मानों को ढूंढें जहां यह शून्य हो जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x^3 + 9x^2 -15 का व्युत्पन्न g(x) = 3x^2 + 18x है, जो x = 0 और x = -6 पर गायब हो जाता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से चरम बिंदु मैक्सिमा हैं और कौन से मिनिमा हैं, पाए गए शून्य पर व्युत्पन्न के संकेतों में परिवर्तन को ट्रैक करें। g(x) बिंदु x = -6 पर प्लस से चिह्न बदलता है, और बिंदु x = 0 पर वापस माइनस से प्लस में बदल जाता है। नतीजतन, फ़ंक्शन f(x) के पहले बिंदु पर न्यूनतम और दूसरे पर न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, आपने एकरसता के क्षेत्र भी पाए हैं: f(x) अंतराल -∞;-6 पर एकसमान रूप से बढ़ता है, -6;0 पर एकसमान रूप से घटता है और 0;+∞ पर फिर से बढ़ता है।

दूसरा व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए। इसकी जड़ें बताएंगी कि किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ कहां उत्तल होगा और कहां अवतल होगा। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) का दूसरा व्युत्पन्न h(x) = 6x + 18 होगा। यह x = -3 पर शून्य हो जाता है, और चिह्न माइनस से प्लस में बदल जाता है। नतीजतन, इस बिंदु से पहले f(x) का ग्राफ उत्तल होगा, इसके बाद - अवतल, और यह बिंदु स्वयं एक विभक्ति बिंदु होगा।

किसी फ़ंक्शन में लंबवत अनंतस्पर्शी के अलावा अन्य अनंतस्पर्शी भी हो सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब इसकी परिभाषा के क्षेत्र में शामिल हो। उन्हें खोजने के लिए, x→∞ या x→-∞ होने पर f(x) की सीमा की गणना करें। यदि यह परिमित है, तो आपको क्षैतिज अनंतस्पर्शी मिल गया है।

तिरछी अनंतस्पर्शी kx + b रूप की एक सीधी रेखा है। K ज्ञात करने के लिए, f(x)/x की सीमा x→∞ के रूप में परिकलित करें। समान x→∞ के लिए b - सीमा (f(x) – kx) ज्ञात करने के लिए।

परिकलित डेटा के आधार पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। यदि कोई हो, तो स्पर्शोन्मुख को लेबल करें। चरम बिंदुओं और उन पर फ़ंक्शन मानों को चिह्नित करें। अधिक ग्राफ़ सटीकता के लिए, कई और मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें। अध्ययन पूरा हो गया है.