भिन्नता कैसे ज्ञात करें. पूर्ण विविधताएँ
अपेक्षा और विचरण किसी यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता बताते हैं: इसकी स्थिति और बिखरने की डिग्री। कई व्यावहारिक समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर की पूर्ण, विस्तृत विशेषता - वितरण कानून - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं की जा सकती है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, कोई संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित है।
अपेक्षित मान को अक्सर यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है। यादृच्छिक चर का फैलाव - फैलाव की एक विशेषता, उसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर का प्रसार गणितीय अपेक्षा.
असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा
आइए पहले असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या के आधार पर गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर विचार करें। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया गया है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का एक संगत द्रव्यमान होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. भौतिक बिंदुओं की संपूर्ण प्रणाली की स्थिति को दर्शाते हुए, उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए, एब्सिस्सा अक्ष पर एक बिंदु का चयन करना आवश्यक है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिससे प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंगत संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का औसत मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।
एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
उदाहरण 1.एक जीत-जीत लॉटरी का आयोजन किया गया है. 1000 जीतें हैं, जिनमें से 400 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक। 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। क्या मध्यम आकारउन लोगों के लिए जीत जिन्होंने एक टिकट खरीदा?
समाधान। यदि हम जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित करने पर हमें औसत जीत मिलेगी। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत जीत की गणना के लिए अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत की जा सकती है:
दूसरी ओर, इन स्थितियों में, जीतने वाली राशि एक यादृच्छिक चर है, जो 10, 20, 100 और 200 रूबल का मान ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत जीत जीत के आकार और उन्हें प्राप्त करने की संभावना के उत्पादों के योग के बराबर है।
उदाहरण 2.प्रकाशक ने प्रकाशित करने का निर्णय लिया नई पुस्तक. वह किताब को 280 रूबल में बेचने की योजना बना रहा है, जिसमें से वह खुद 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये देगा। तालिका किसी पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियां बेचने की संभावना के बारे में जानकारी प्रदान करती है।
प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात करें।
समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल का नुकसान हुआ। निम्न तालिका यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों का सारांश प्रस्तुत करती है - लाभ:
| संख्या | लाभ एक्समैं | संभावना पीमैं | एक्समैं पीमैं |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| कुल: | 1,00 | 25000 |
इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:
.
उदाहरण 3.एक ही बार में मारने की संभावना पी= 0.2. प्रोजेक्टाइल की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करती है।
समाधान। उसी गणितीय अपेक्षा सूत्र से जिसे हमने अब तक प्रयोग किया है, व्यक्त करते हैं एक्स- शैल खपत:
.
उदाहरण 4.एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ एक हिट की संभावना पी = 0,4 .
संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली का सूत्र .
गणितीय अपेक्षा के गुण
आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।
संपत्ति 1.एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:
संपत्ति 2.स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:
संपत्ति 3.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:
संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:
संपत्ति 5.यदि एक यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सउसी संख्या से कमी (वृद्धि)। साथ, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (बढ़ेगी):
जब आप खुद को केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रख सकते
ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चित्रित नहीं कर सकती है।
चलो यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:
| अर्थ एक्स | संभावना |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| अर्थ वाई | संभावना |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
इन मात्राओं की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:
हालाँकि, उनके वितरण पैटर्न भिन्न हैं। अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से थोड़ा भिन्न होते हैं, और अनियमित परिवर्तनशील वस्तु वाईऐसे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हों। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों की हिस्सेदारी का आकलन करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह अनुमान नहीं लगा सकता कि इससे क्या विचलन, कम से कम औसतन, संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात करना होगा।
असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण
झगड़ाअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:
एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान कहलाता है:
.
उदाहरण 5.यादृच्छिक चर के प्रसरण और मानक विचलन की गणना करें एक्सऔर वाई, जिसके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।
समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएँ एक्सऔर वाई, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। फैलाव सूत्र के अनुसार ई(एक्स)=ई(य)=0 हमें मिलता है:
फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सऔर वाईपूरा करना
.
इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का विचरण एक्सबहुत छोटा, लेकिन एक यादृच्छिक चर वाई- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।
उदाहरण 6.निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ को संबंधित संभावना के साथ सारांशित करती है।
| प्रोजेक्ट 1 | प्रोजेक्ट 2 | प्रोजेक्ट 3 | प्रोजेक्ट 4 |
| 500, पी=1 | 1000, पी=0,5 | 500, पी=0,5 | 500, पी=0,5 |
| 0, पी=0,5 | 1000, पी=0,25 | 10500, पी=0,25 | |
| 0, पी=0,25 | 9500, पी=0,25 |
प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।
समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मानों की गणना कैसे की जाती है:
तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों का सारांश प्रस्तुत करती है।
सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं। इसका मतलब यह है कि लंबे समय में सभी की आय समान होगी। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना अधिक होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है वह प्रोजेक्ट 1 चुनेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक जोखिम पसंद करता है और बड़ी आयछोटी अवधि में, वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना का चयन करेगा - परियोजना 4।
फैलाव गुण
आइए हम फैलाव के गुण प्रस्तुत करें।
संपत्ति 1.एक स्थिर मान का प्रसरण शून्य है:
संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है:
.
संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटा दिया जाता है:
,
कहाँ 
.
संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:
उदाहरण 7.यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: -3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: ई(एक्स) = 4 . एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। आइए हम इसे निरूपित करें पीवह संभाव्यता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर एक मान लेता है एक्स1 = −3 . फिर मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 होगा - पी. आइए हम गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:
ई(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,
जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .
यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:
| एक्स | −3 | 7 |
| पी | 0,3 | 0,7 |
हम फैलाव की संपत्ति 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के विचरण की गणना करते हैं:
डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
किसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं ज्ञात करें, और फिर समाधान देखें
उदाहरण 8.असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह प्रायिकता 0.4 के साथ 3 के बड़े मान को स्वीकार करता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का विचरण ज्ञात होता है डी(एक्स) = 6 . एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 9.कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। निकाली गई गेंदों में से सफेद गेंदों की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्समान 0, 1, 2, 3 ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना इससे की जा सकती है संभाव्यता गुणन नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:
| एक्स | 0 | 1 | 2 | 3 |
| पी | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:
एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
किसी दिए गए यादृच्छिक चर का विचरण है:
डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
एक सतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा और विचरण
एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ बनाए रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स). एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसका कार्य तर्क एक्समैंअचानक परिवर्तन; एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके औसत मूल्य से भी संबंधित है।
एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित अभिन्न अंग खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया गया है, तो यह सीधे इंटीग्रैंड में प्रवेश करता है। यदि एक संभाव्यता वितरण फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।
सभी का अंकगणितीय औसत संभावित माननिरंतर यादृच्छिक चर को इसका कहा जाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।
.
इसके विपरीत, यदि एक गैर-नकारात्मक ae है। ऐसे कार्य करें 
, तो इस पर एक बिल्कुल निरंतर संभाव्यता माप है जैसे कि यह इसका घनत्व है।
लेब्सेग इंटीग्रल में माप को बदलना:
,
कोई बोरेल फ़ंक्शन कहां है जो संभाव्यता माप के संबंध में एकीकृत है।
फैलाव, प्रकार और फैलाव के गुण फैलाव की अवधारणा
आंकड़ों में बिखरावऔसत के समान है मानक विचलनअंकगणित माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मान का वर्ग। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, यह सरल और भारित विचरण सूत्रों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:
1. सरल विचरण(असमूहीकृत डेटा के लिए) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
2. भारित विचरण (भिन्नता श्रृंखला के लिए):
जहां n आवृत्ति है (कारक X की पुनरावृत्ति)
भिन्नता खोजने का एक उदाहरण
यह पृष्ठ भिन्नता खोजने का एक मानक उदाहरण बताता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य समस्याओं को भी देख सकते हैं
उदाहरण 1. समूह, समूह औसत, अंतरसमूह और कुल विचरण का निर्धारण
उदाहरण 2. समूहीकरण तालिका में विचरण और भिन्नता का गुणांक ज्ञात करना
उदाहरण 3. इसमें भिन्नता ज्ञात करना असतत श्रृंखला
उदाहरण 4. निम्नलिखित डेटा 20 पत्राचार छात्रों के समूह के लिए उपलब्ध है। बनाने की जरूरत है अंतराल श्रृंखलाकिसी विशेषता का वितरण, विशेषता के औसत मूल्य की गणना करें और उसके विचरण का अध्ययन करें
आइए एक अंतराल समूह बनाएं। आइए सूत्र का उपयोग करके अंतराल की सीमा निर्धारित करें:
जहां एक्स अधिकतम समूहीकरण विशेषता का अधिकतम मूल्य है; एक्स मिनट - समूहीकरण विशेषता का न्यूनतम मूल्य; n - अंतरालों की संख्या:
हम n=5 स्वीकार करते हैं। चरण है: h = (192 - 159)/5 = 6.6
आइए एक अंतराल समूह बनाएं
आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:
X"i - अंतराल का मध्य। (उदाहरण के लिए, अंतराल 159 - 165.6 = 162.3 का मध्य)
हम भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके छात्रों की औसत ऊंचाई निर्धारित करते हैं:
आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण निर्धारित करें:
सूत्र को इस प्रकार बदला जा सकता है:
इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है विचरण बराबर है विकल्पों के वर्गों के औसत और वर्ग तथा औसत के बीच का अंतर।
में भिन्नता विविधता श्रृंखला क्षणों की विधि का उपयोग करके समान अंतराल के साथ फैलाव की दूसरी संपत्ति (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करके) का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है। विचरण का निर्धारण, क्षणों की विधि का उपयोग करके गणना की गई, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना कम श्रमसाध्य है:
जहां i अंतराल का मान है; ए एक पारंपरिक शून्य है, जिसके लिए उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य का उपयोग करना सुविधाजनक है; m1 प्रथम क्रम क्षण का वर्ग है; एम2 - दूसरे क्रम का क्षण
वैकल्पिक गुण विचरण (यदि किसी सांख्यिकीय जनसंख्या में कोई विशेषता इस प्रकार बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
इस विचरण सूत्र में q = 1-p प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
विचरण के प्रकार
कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या में किसी विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह x के समग्र माध्य मान से किसी विशेषता x के व्यक्तिगत मानों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे सरल विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
समूह के भीतर भिन्नता यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात भिन्नता का वह भाग जो बेहिसाब कारकों के प्रभाव के कारण होता है और समूह का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता पर निर्भर नहीं होता है। ऐसा फैलाव समूह के अंकगणितीय माध्य से समूह X के भीतर विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना साधारण फैलाव या भारित फैलाव के रूप में की जा सकती है।
इस प्रकार, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
जहां xi समूह का औसत है; ni समूह में इकाइयों की संख्या है।
उदाहरण के लिए, किसी कार्यशाला में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने की समस्या में अंतर-समूह भिन्नताएं निर्धारित की जानी चाहिए, जो सभी संभावित कारकों के कारण प्रत्येक समूह में आउटपुट में भिन्नता दिखाती हैं ( तकनीकी स्थितिउपकरण, उपकरण और सामग्री की उपलब्धता, श्रमिकों की आयु, श्रम की तीव्रता, आदि), योग्यता श्रेणी में अंतर को छोड़कर (एक समूह के भीतर, सभी श्रमिकों की योग्यता समान होती है)।
समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत यादृच्छिक भिन्नता को दर्शाता है, अर्थात, भिन्नता का वह हिस्सा जो समूहीकरण कारक के अपवाद के साथ अन्य सभी कारकों के प्रभाव में हुआ। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
अंतरसमूह विचरणपरिणामी विशेषता की व्यवस्थित भिन्नता को दर्शाता है, जो समूह का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता के प्रभाव के कारण होता है। यह समग्र माध्य से समूह माध्य के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है। अंतरसमूह विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
यह पृष्ठ भिन्नता खोजने का एक मानक उदाहरण बताता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य समस्याओं को भी देख सकते हैं
उदाहरण 1. समूह, समूह औसत, अंतरसमूह और कुल विचरण का निर्धारण
उदाहरण 2. समूहीकरण तालिका में विचरण और भिन्नता का गुणांक ज्ञात करना
उदाहरण 3. एक असतत श्रृंखला में भिन्नता ढूँढना
उदाहरण 4. निम्नलिखित डेटा 20 पत्राचार छात्रों के समूह के लिए उपलब्ध है। विशेषता के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण करना, विशेषता के औसत मूल्य की गणना करना और उसके फैलाव का अध्ययन करना आवश्यक है
आइए एक अंतराल समूह बनाएं। आइए सूत्र का उपयोग करके अंतराल की सीमा निर्धारित करें:
जहां एक्स अधिकतम समूहीकरण विशेषता का अधिकतम मूल्य है;
एक्स मिनट - समूहीकरण विशेषता का न्यूनतम मूल्य;
n - अंतरालों की संख्या:
हम n=5 स्वीकार करते हैं। चरण है: h = (192 - 159)/5 = 6.6
आइए एक अंतराल समूह बनाएं
आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:
X"i - अंतराल का मध्य। (उदाहरण के लिए, अंतराल 159 - 165.6 = 162.3 का मध्य)
हम भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके छात्रों की औसत ऊंचाई निर्धारित करते हैं:
आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण निर्धारित करें:
सूत्र को इस प्रकार बदला जा सकता है:
इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है विचरण बराबर है विकल्पों के वर्गों के औसत और वर्ग तथा औसत के बीच का अंतर।
भिन्नता श्रृंखला में फैलावक्षणों की विधि का उपयोग करके समान अंतराल के साथ फैलाव की दूसरी संपत्ति (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करके) का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है। विचरण का निर्धारण, क्षणों की विधि का उपयोग करके गणना की गई, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना कम श्रमसाध्य है:
जहां i अंतराल का मान है;
ए एक पारंपरिक शून्य है, जिसके लिए उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य का उपयोग करना सुविधाजनक है;
m1 प्रथम क्रम क्षण का वर्ग है;
एम2 - दूसरे क्रम का क्षण
वैकल्पिक गुण विचरण (यदि किसी सांख्यिकीय जनसंख्या में कोई विशेषता इस प्रकार बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
इस विचरण सूत्र में q = 1-p प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
विचरण के प्रकार
कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या में किसी विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह x के समग्र माध्य मान से किसी विशेषता x के व्यक्तिगत मानों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे सरल विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
समूह के भीतर भिन्नता यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात भिन्नता का वह भाग जो बेहिसाब कारकों के प्रभाव के कारण होता है और समूह का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता पर निर्भर नहीं होता है। ऐसा फैलाव समूह के अंकगणितीय माध्य से समूह X के भीतर विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना साधारण फैलाव या भारित फैलाव के रूप में की जा सकती है।
इस प्रकार, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
जहां xi समूह का औसत है;
ni समूह में इकाइयों की संख्या है।
उदाहरण के लिए, किसी कार्यशाला में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने के कार्य में इंट्राग्रुप भिन्नताएं निर्धारित की जानी चाहिए, जो सभी संभावित कारकों (उपकरणों की तकनीकी स्थिति, उपलब्धता) के कारण प्रत्येक समूह में आउटपुट में भिन्नता दिखाती हैं। उपकरण और सामग्री, श्रमिकों की आयु, श्रम तीव्रता, आदि), योग्यता श्रेणी में अंतर को छोड़कर (एक समूह के भीतर सभी श्रमिकों की योग्यता समान होती है)।
फैलाव के प्रकार:
कुल विचरणउन सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या की एक विशेषता की भिन्नता को दर्शाता है जो इस भिन्नता का कारण बने। यह मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
अध्ययनाधीन संपूर्ण जनसंख्या का समग्र अंकगणितीय माध्य कहां है।
समूह के भीतर औसत भिन्नताएक यादृच्छिक भिन्नता को इंगित करता है जो किसी भी बेहिसाब कारकों के प्रभाव में उत्पन्न हो सकती है और जो समूहीकरण का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता पर निर्भर नहीं करती है। इस विचरण की गणना निम्नानुसार की जाती है: सबसे पहले, व्यक्तिगत समूहों के लिए विचरण की गणना की जाती है (), फिर समूह के भीतर औसत विचरण की गणना की जाती है:
जहाँ n i समूह में इकाइयों की संख्या है
अंतरसमूह विचरण(समूह साधनों का विचरण) व्यवस्थित भिन्नता की विशेषता बताता है, अर्थात। अध्ययन की गई विशेषता के मूल्य में अंतर जो कारक-चिह्न के प्रभाव में उत्पन्न होता है, जो समूहीकरण का आधार है।
एक अलग समूह के लिए औसत मूल्य कहां है.
तीनों प्रकार के विचरण एक-दूसरे से संबंधित हैं: कुल विचरण समूह के भीतर और समूह के बीच विचरण के औसत के योग के बराबर है:
गुण:
25 भिन्नता के सापेक्ष माप
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दोलन गुणांक |
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सापेक्ष रैखिक विचलन |
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गुणांक का परिवर्तन |
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कोएफ़. Osc. हेऔसत के आसपास किसी विशेषता के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है। रिले. लिन. बंद. से पूर्ण विचलन के संकेत के औसत मूल्य के हिस्से की विशेषता है सामान्य आकार. कोएफ़. भिन्नता परिवर्तनशीलता का सबसे सामान्य माप है जिसका उपयोग औसत की विशिष्टता का आकलन करने के लिए किया जाता है।
आंकड़ों में, 30-35% से अधिक भिन्नता गुणांक वाली आबादी को विषम माना जाता है।
वितरण श्रृंखला की नियमितता. वितरण के क्षण.
वितरण आकार संकेतक भिन्नता श्रृंखला में आवृत्तियों और भिन्न विशेषता के मूल्यों के बीच एक संबंध होता है: विशेषता में वृद्धि के साथ, आवृत्ति मान पहले एक निश्चित सीमा तक बढ़ता है और फिर घट जाता है। ऐसे परिवर्तन कहलाते हैं
वितरण पैटर्न.
वितरण के आकार का अध्ययन तिरछापन और कर्टोसिस संकेतकों का उपयोग करके किया जाता है। इन संकेतकों की गणना करते समय, वितरण क्षणों का उपयोग किया जाता है।
Kवें क्रम का क्षण किसी स्थिर मान से किसी विशेषता के भिन्न मानों के विचलन की kth डिग्री का औसत है। क्षण का क्रम k के मान से निर्धारित होता है। विविधता श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, व्यक्ति पहले चार आदेशों के क्षणों की गणना करने तक ही सीमित होता है। क्षणों की गणना करते समय, आवृत्तियों या आवृत्तियों का उपयोग भार के रूप में किया जा सकता है। स्थिर मान की पसंद के आधार पर, प्रारंभिक, सशर्त और केंद्रीय क्षणों को प्रतिष्ठित किया जाता है।
वितरण प्रपत्र संकेतक:विषमता .
(जैसा) वितरण विषमता की डिग्री को दर्शाने वाला संकेतक 
इसलिए, (बाएं तरफा) नकारात्मक विषमता के साथ 
.
. (दाहिनी ओर) सकारात्मक विषमता के साथ
,
विषमता की गणना के लिए केंद्रीय क्षणों का उपयोग किया जा सकता है। तब: 3 कहां μ
- - तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण। कर्टोसिस (ई ) को
,
भिन्नता की समान शक्ति पर सामान्य वितरण की तुलना में फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्थिरता को दर्शाता है:
जहां μ 4 चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण है।
सामान्य वितरण कानून
सामान्य वितरण (गाऊसी वितरण) के लिए, वितरण फ़ंक्शन का निम्न रूप होता है:
अपेक्षा - मानक विचलन
सामान्य वितरण सममित है और निम्नलिखित संबंध द्वारा विशेषता है: Xav=Me=Mo
सामान्य वितरण का कुर्टोसिस 3 है, और तिरछापन गुणांक 0 है।
सामान्य वितरण वक्र एक बहुभुज (सममित घंटी के आकार की सीधी रेखा) है
फैलाव के प्रकार. प्रसरण जोड़ने का नियम.
मूल जनसंख्या का कुल विचरण:
मूल जनसंख्या का समग्र औसत मान कहाँ है; f मूल जनसंख्या की आवृत्ति है। कुल फैलाव मूल जनसंख्या के समग्र औसत मूल्य से किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन को दर्शाता है।
समूह के भीतर भिन्नताएँ:
जहां j समूह की संख्या है; प्रत्येक j-वें समूह में औसत मान है; j-वें समूह की आवृत्ति है; समूह के भीतर भिन्नताएं समूह के औसत मूल्य से प्रत्येक समूह में एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य के विचलन को दर्शाती हैं। समूह के भीतर सभी भिन्नताओं से, औसत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:, प्रत्येक जे-वें समूह में इकाइयों की संख्या कहां है।
अंतरसमूह विचरण:
अंतरसमूह फैलाव मूल जनसंख्या के समग्र औसत से समूह औसत के विचलन को दर्शाता है।
प्रसरण योग नियमयह है कि मूल जनसंख्या का कुल विचरण मध्य-समूह के योग और भीतर-समूह प्रसरणों के औसत के बराबर होना चाहिए:
निर्धारण का अनुभवजन्य गुणांकसमूहीकरण विशेषता में भिन्नता के कारण अध्ययन की गई विशेषता में भिन्नता के अनुपात को दर्शाता है और सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:
औसत मान और विचरण की गणना के लिए सशर्त शून्य से गिनती की विधि (क्षणों की विधि)।
क्षणों की विधि द्वारा फैलाव की गणना सूत्र के उपयोग और फैलाव के 3 और 4 गुणों पर आधारित है।
(3. यदि विशेषता (विकल्प) के सभी मानों को किसी स्थिर संख्या A द्वारा बढ़ाया (घटाया) जाता है, तो नई जनसंख्या का प्रसरण नहीं बदलेगा।
4. यदि विशेषता (विकल्प) के सभी मूल्यों को K गुना बढ़ाया (गुणा) किया जाता है, जहां K एक स्थिर संख्या है, तो नई जनसंख्या का विचरण K 2 गुना बढ़ (घट) जाएगा।)
हम क्षणों की विधि का उपयोग करके समान अंतराल के साथ भिन्नता श्रृंखला में फैलाव की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:
ए - सशर्त शून्य, अधिकतम आवृत्ति वाले विकल्प के बराबर (अधिकतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य)
क्षणों की विधि द्वारा औसत मान की गणना भी औसत के गुणों के उपयोग पर आधारित होती है।
चयनात्मक अवलोकन की अवधारणा. नमूना पद्धति का उपयोग करके आर्थिक घटनाओं के अध्ययन के चरण
नमूना अवलोकन एक ऐसा अवलोकन है जिसमें मूल जनसंख्या की सभी इकाइयों की जांच और अध्ययन नहीं किया जाता है, बल्कि इकाइयों का केवल एक हिस्सा होता है, जबकि जनसंख्या के एक हिस्से की परीक्षा का परिणाम पूरी मूल जनसंख्या पर लागू होता है। वह जनसंख्या कहलाती है जिसमें से आगे की परीक्षा और अध्ययन के लिए इकाइयों का चयन किया जाता है सामान्यऔर इस समग्रता को दर्शाने वाले सभी संकेतक कहलाते हैं सामान्य.
सामान्य औसत से नमूना औसत के विचलन की संभावित सीमाएं कहलाती हैं नमूनाकरण त्रुटि.
चयनित इकाइयों के समुच्चय को कहा जाता है चयनात्मकऔर इस समग्रता को दर्शाने वाले सभी संकेतक कहलाते हैं चयनात्मक.
नमूना अनुसंधान में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
अध्ययन की वस्तु की विशेषताएँ (सामूहिक आर्थिक घटनाएँ)। यदि जनसंख्या छोटी है, तो नमूनाकरण की अनुशंसा नहीं की जाती है;
नमूना आकार गणना. इष्टतम मात्रा निर्धारित करना महत्वपूर्ण है जो नमूनाकरण त्रुटि को न्यूनतम लागत पर स्वीकार्य सीमा के भीतर होने की अनुमति देगा;
यादृच्छिकता और आनुपातिकता की आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए अवलोकन इकाइयों का चयन।
नमूनाकरण त्रुटि के अनुमान के आधार पर प्रतिनिधित्व का साक्ष्य। यादृच्छिक नमूने के लिए, त्रुटि की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। लक्ष्य नमूने के लिए, गुणात्मक तरीकों (तुलना, प्रयोग) का उपयोग करके प्रतिनिधित्वशीलता का आकलन किया जाता है;
विश्लेषण नमूना जनसंख्या. यदि उत्पन्न नमूना प्रतिनिधित्व की आवश्यकताओं को पूरा करता है, तो इसका विश्लेषण विश्लेषणात्मक संकेतकों (औसत, सापेक्ष, आदि) का उपयोग करके किया जाता है।
हालाँकि, यह विशेषता अकेले यादृच्छिक चर का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त नहीं है। आइए कल्पना करें कि दो निशानेबाज एक लक्ष्य पर निशाना साध रहे हैं। एक सटीक निशाना लगाता है और केंद्र के करीब जाकर मारता है, जबकि दूसरा... बस मजे कर रहा है और निशाना भी नहीं लगाता। लेकिन मजे की बात यह है कि वह औसतनतीजा बिल्कुल पहले शूटर जैसा ही होगा! इस स्थिति को पारंपरिक रूप से निम्नलिखित यादृच्छिक चर द्वारा चित्रित किया गया है:
हालाँकि, "दिलचस्प व्यक्ति" के लिए "स्नाइपर" गणितीय अपेक्षा के बराबर है: - यह भी शून्य है!
इस प्रकार, कितनी दूर तक इसकी मात्रा निर्धारित करने की आवश्यकता है बिखरा हुआलक्ष्य के केंद्र के सापेक्ष गोलियां (यादृच्छिक चर मान) (गणितीय अपेक्षा)। कुंआ बिखरनेलैटिन से अनुवाद के अलावा कोई अन्य तरीका नहीं है फैलाव .
आइए देखें कि यह कैसे निर्धारित होता है संख्यात्मक विशेषतापाठ के पहले भाग के उदाहरणों में से एक का उपयोग करते हुए: 
वहां हमें इस खेल की निराशाजनक गणितीय अपेक्षा मिली, और अब हमें इसके विचरण की गणना करनी है, जो द्वारा निरूपितके माध्यम से ।
आइए जानें कि औसत मूल्य के सापेक्ष जीत/हार कितनी दूर तक "बिखरी हुई" हैं। जाहिर है इसके लिए हमें गणना करने की जरूरत है मतभेदबीच में यादृच्छिक चर मानऔर वह गणितीय अपेक्षा:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
अब ऐसा लगता है कि आपको परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है, लेकिन यह तरीका उपयुक्त नहीं है - इस कारण से कि बाईं ओर के उतार-चढ़ाव दाईं ओर के उतार-चढ़ाव के साथ एक दूसरे को रद्द कर देंगे। तो, उदाहरण के लिए, एक "शौकिया" शूटर (ऊपर उदाहरण)मतभेद होंगे 
, और जोड़ने पर वे शून्य देंगे, इसलिए हमें उसकी शूटिंग के फैलाव का कोई अनुमान नहीं मिलेगा।
इस समस्या से निजात पाने के लिए आप विचार कर सकते हैं मॉड्यूलमतभेद, लेकिन तकनीकी कारणों से जब उन्हें चुकता किया जाता है तो दृष्टिकोण ने जड़ें जमा ली हैं। तालिका में समाधान तैयार करना अधिक सुविधाजनक है: 
और यहाँ यह गणना करने के लिए भीख माँगता है भारित औसतवर्ग विचलन का मान. और यह क्या है? यह उनका है गणितीय अपेक्षा, जो प्रकीर्णन का माप है:
– परिभाषाभिन्नताएँ परिभाषा से यह तुरंत स्पष्ट है कि विचरण नकारात्मक नहीं हो सकता- अभ्यास के लिए ध्यान दें!
आइए याद रखें कि अपेक्षित मूल्य कैसे ज्ञात करें। वर्गांकित अंतरों को संगत संभावनाओं से गुणा करें (तालिका जारी):
- लाक्षणिक रूप से कहें तो, यह "कर्षण बल" है,
और परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:
क्या आपको नहीं लगता कि जीत की तुलना में नतीजा बहुत बड़ा निकला? यह सही है - हमने इसे बराबर कर लिया है, और अपने खेल के आयाम पर लौटने के लिए, हमें इसे निकालने की आवश्यकता है वर्गमूल. यह मानबुलाया मानक विचलन
और इसे ग्रीक अक्षर "सिग्मा" द्वारा दर्शाया गया है:
इस मान को कभी-कभी कहा जाता है मानक विचलन .
इसका मतलब क्या है? यदि हम मानक विचलन द्वारा गणितीय अपेक्षा से बाएँ और दाएँ विचलित होते हैं: 
- फिर यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान इस अंतराल पर "केंद्रित" होंगे। हम वास्तव में क्या देखते हैं:
हालाँकि, ऐसा होता है कि प्रकीर्णन का विश्लेषण करते समय व्यक्ति लगभग हमेशा प्रकीर्णन की अवधारणा के साथ काम करता है। आइए जानें कि खेलों के संबंध में इसका क्या अर्थ है। यदि तीर के मामले में हम लक्ष्य के केंद्र के सापेक्ष हिट की "सटीकता" के बारे में बात कर रहे हैं, तो यहां फैलाव दो चीजों की विशेषता है:
सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे दांव बढ़ते हैं, फैलाव भी बढ़ता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम 10 गुना बढ़ जाते हैं, तो गणितीय अपेक्षा 10 गुना बढ़ जाएगी, और विचरण 100 गुना बढ़ जाएगा (चूँकि यह एक द्विघात मात्रा है). लेकिन ध्यान दें कि खेल के नियम स्वयं नहीं बदले हैं! केवल दरें बदल गई हैं, मोटे तौर पर कहें तो, पहले हम 10 रूबल का दांव लगाते थे, अब 100।
दूसरा, और अधिक दिलचस्प बातक्या यह भिन्नता खेल की शैली की विशेषता है। खेल के दांव को मानसिक रूप से ठीक करें कुछ निश्चित स्तर पर, और आइए देखें क्या है:
कम विचरण वाला खेल एक सतर्क खेल है। खिलाड़ी सबसे विश्वसनीय योजनाएं चुनता है, जहां वह एक समय में बहुत अधिक हारता/जीतता नहीं है। उदाहरण के लिए, रूलेट में लाल/काली प्रणाली (लेख का उदाहरण 4 देखें यादृच्छिक चर) .
उच्च विचरण खेल. उसे अक्सर बुलाया जाता है फैलानेवालाखेल। यह खेल की एक साहसिक या आक्रामक शैली है जहां खिलाड़ी "एड्रेनालाईन" योजनाएं चुनता है। आइए कम से कम याद रखें "मार्टिंगेल", जिसमें दांव पर लगी रकम पिछले बिंदु के "शांत" खेल से अधिक परिमाण की है।
पोकर में स्थिति सांकेतिक है: तथाकथित हैं कसा हुआऐसे खिलाड़ी जो अपने गेमिंग फ़ंड को लेकर सतर्क और "अस्थिर" रहते हैं (बैंकरोल). आश्चर्य की बात नहीं, उनके बैंकरोल में महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव (कम भिन्नता) नहीं होता है। इसके विपरीत, यदि किसी खिलाड़ी में उच्च भिन्नता है, तो वह आक्रामक है। वह अक्सर जोखिम लेता है, बड़े दांव लगाता है और या तो एक बड़ा बैंक तोड़ सकता है या स्मिथेरेन्स से हार सकता है।
विदेशी मुद्रा वगैरह में भी यही होता है - इसके बहुत सारे उदाहरण हैं।
इसके अलावा, सभी मामलों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल पैसों के लिए खेला जाता है या हजारों डॉलर के लिए। हर स्तर पर निम्न और उच्च फैलाव वाले खिलाड़ी होते हैं। खैर, जैसा कि हमें याद है, औसत जीत "जिम्मेदार" है गणितीय अपेक्षा.
आपने शायद देखा होगा कि भिन्नता ढूँढ़ना एक लंबी और श्रमसाध्य प्रक्रिया है। लेकिन गणित उदार है:
भिन्नता ज्ञात करने का सूत्र
यह सूत्र सीधे विचरण की परिभाषा से लिया गया है, और हम इसे तुरंत उपयोग में लाते हैं। मैं उपरोक्त हमारे खेल के साथ चिह्न की प्रतिलिपि बनाऊंगा: 
और गणितीय अपेक्षा पाई गई।
आइए दूसरे तरीके से विचरण की गणना करें। सबसे पहले, आइए गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें - यादृच्छिक चर का वर्ग। द्वारा गणितीय अपेक्षा का निर्धारण:
इस मामले में:
इस प्रकार, सूत्र के अनुसार:
जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें। और व्यवहार में, निश्चित रूप से, सूत्र का उपयोग करना बेहतर है (जब तक कि स्थिति अन्यथा आवश्यक न हो)।
हम हल करने और डिज़ाइन करने की तकनीक में महारत हासिल करते हैं:
उदाहरण 6
इसकी गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
यह कार्य हर जगह पाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, बिना किसी सार्थक अर्थ के चला जाता है।
आप संख्याओं वाले कई प्रकाश बल्बों की कल्पना कर सकते हैं जो कुछ संभावनाओं के साथ पागलखाने में जलते हैं :)
समाधान: बुनियादी गणनाओं को एक तालिका में संक्षेपित करना सुविधाजनक है। सबसे पहले, हम प्रारंभिक डेटा को शीर्ष दो पंक्तियों में लिखते हैं। फिर हम उत्पादों की गणना करते हैं, फिर और अंत में सही कॉलम में योग की गणना करते हैं: 
दरअसल, लगभग सब कुछ तैयार है. तीसरी पंक्ति एक तैयार गणितीय अपेक्षा को दर्शाती है: 
.
हम सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करते हैं:
और अंत में, मानक विचलन:
- व्यक्तिगत रूप से, मैं आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों तक चक्कर लगाता हूँ।
सभी गणनाएँ कैलकुलेटर पर, या इससे भी बेहतर - एक्सेल में की जा सकती हैं:
यहां गलत होना कठिन है :)
उत्तर:
जो लोग चाहें वे अपने जीवन को और भी सरल बना सकते हैं और मेरा लाभ उठा सकते हैं कैलकुलेटर (डेमो), जो न केवल इस समस्या का तुरंत समाधान करेगा, बल्कि निर्माण भी करेगा विषयगत ग्राफिक्स (हम जल्द ही वहां पहुंचेंगे). प्रोग्राम हो सकता है लाइब्रेरी से डाउनलोड करें- यदि आपने कम से कम एक डाउनलोड किया है शैक्षणिक सामग्री, या प्राप्त करें एक और तरीका. परियोजना का समर्थन करने के लिए धन्यवाद!
कुछ कार्य जिन्हें आपको स्वयं हल करना है:
उदाहरण 7
परिभाषा के अनुसार पिछले उदाहरण में यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करें।
और एक समान उदाहरण:
उदाहरण 8
एक असतत यादृच्छिक चर को उसके वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है:
हाँ, यादृच्छिक चर मान काफी बड़े हो सकते हैं (वास्तविक कार्य से उदाहरण), और यहां, यदि संभव हो तो एक्सेल का उपयोग करें। वैसे, उदाहरण 7 में - यह तेज़, अधिक विश्वसनीय और अधिक आनंददायक है।
समाधान और उत्तर पृष्ठ के निचले भाग में हैं।
पाठ के दूसरे भाग को समाप्त करने के लिए, हम एक और विशिष्ट समस्या पर गौर करेंगे, कोई इसे एक छोटी पहेली भी कह सकता है:
उदाहरण 9
एक असतत यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है: और, और। संभाव्यता, गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात हैं।
समाधान: आइए एक अज्ञात संभावना से शुरुआत करें। चूँकि एक यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है, संबंधित घटनाओं की संभावनाओं का योग है:
और तब से, तब से।
जो कुछ बचा है उसे ढूंढना है..., यह कहना आसान है :) लेकिन ओह ठीक है, हम चलते हैं। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार: 
- ज्ञात मात्राएँ बदलें:
- और इस समीकरण से और कुछ भी नहीं निकाला जा सकता है, सिवाय इसके कि आप इसे सामान्य दिशा में फिर से लिख सकते हैं: 
या: 
के बारे में आगे की कार्रवाई, मुझे लगता है आप अनुमान लगा सकते हैं। आइए सिस्टम बनाएं और हल करें: 
निस्संदेह, दशमलव पूर्णतया अपमानजनक है; दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें: 
और 2 से विभाजित करें: 
वह बेहतर है। पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: 
(यह आसान तरीका है)- दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:
हम निर्माण कर रहे हैं Squaredऔर सरलीकरण करें: 
गुणा करके: 
नतीजा ये हुआ द्विघात समीकरण, हम इसका विभेदक पाते हैं:
- महान!
और हमें दो समाधान मिलते हैं:
1) यदि 
, वह 
;
2) यदि 
, वह ।
शर्त मानों की पहली जोड़ी से संतुष्ट होती है। उच्च संभावना के साथ सब कुछ सही है, लेकिन, फिर भी, आइए वितरण कानून लिखें: 
और जाँच करें, अर्थात् अपेक्षा ज्ञात करें:
