सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें. एक रेखा का सामान्य समीकरण

बिंदु K(x 0 ; y 0) से गुजरने वाली रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा पाई जाती है:

वाई - वाई 0 = के(एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k रेखा का ढलान है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) से गुजरने वाली और रेखा Ax+By+C=0 के समानांतर एक रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

बिंदु K से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें( ;) सीधी रेखा y = के समानांतर एक्स+ .

उदाहरण क्रमांक 1. बिंदु M 0 (-2,1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें और साथ ही:
a) सीधी रेखा 2x+3y -7 = 0 के समानांतर;
बी) सीधी रेखा 2x+3y -7 = 0 के लंबवत।
समाधान . आइए समीकरण की कल्पना करें ढलान y = kx + a के रूप में। ऐसा करने के लिए, y को छोड़कर सभी मानों को स्थानांतरित करें दाहिनी ओर: 3y = -2x + 7 . फिर दाईं ओर को 3 के गुणक से विभाजित करें। हमें मिलता है: y = -2/3x + 7/3
आइए बिंदु K(-2;1) से गुजरने वाली सीधी रेखा y = -2 / 3 x + 7 / 3 के समानांतर समीकरण NK खोजें
x 0 = -2, k = -2/3, y 0 = 1 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
या
y = -2 / 3 x - 1 / 3 या 3y + 2x +1 = 0

उदाहरण क्रमांक 2. रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक रेखा का समीकरण लिखें और निर्देशांक अक्षों के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाएं जिसका क्षेत्रफल 5 है।
समाधान . चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0 है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, जहाँ a और b इसके पैर हैं। आइए निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:
;
.
तो, ए(-सी/2,0), बी(0,-सी/5)। आइए इसे क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करें: . हमें दो समाधान मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y – 10 = 0.

उदाहरण संख्या 3. बिंदु (-2; 5) से गुजरने वाली और रेखा 5x-7y-4=0 के समानांतर एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5 / 7 x – 4 / 7 (यहाँ a = 5 / 7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। वांछित रेखा का समीकरण y - 5 = 5/7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7(y-5)=5(x+2) या 5x-7y+45=0 .

उदाहरण संख्या 4. सूत्र (2) का उपयोग करके उदाहरण 3 (A=5, B=-7) को हल करने पर, हम 5(x+2)-7(y-5)=0 पाते हैं।

उदाहरण क्रमांक 5. बिंदु (-2;5) से गुजरने वाली और रेखा 7x+10=0 के समानांतर एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान। यहां A=7, B=0. सूत्र (2) 7(x+2)=0 देता है, अर्थात। x+2=0. फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है)।

इस लेख में हम एक समतल पर एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण पर विचार करेंगे। आइए हम एक रेखा के सामान्य समीकरण के निर्माण का उदाहरण दें यदि इस रेखा के दो बिंदु ज्ञात हों या यदि इस रेखा का एक बिंदु और सामान्य वेक्टर ज्ञात हो। आइए हम समीकरण को रूपांतरित करने की विधियों का परिचय दें सामान्य रूप से देखेंविहित और पैरामीट्रिक दृश्यों में।

मान लीजिए कि एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सी. प्रथम डिग्री के समीकरण पर विचार करें या रेखीय समीकरण:

कुल्हाड़ी+द्वारा+सी=0,

(1)

कहाँ ए, बी, सी- कुछ स्थिरांक, और कम से कम एक तत्व एऔर बीशून्य से भिन्न.

हम दिखाएंगे कि एक समतल पर एक रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। आइए हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय 1. एक समतल पर एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, प्रत्येक सीधी रेखा को एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक समतल पर एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रत्येक रैखिक समीकरण (1) एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

सबूत। यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि सीधी रेखा एलकिसी एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली के लिए एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, तब से यह कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली के किसी भी विकल्प के लिए एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

मान लीजिए समतल पर एक सीधी रेखा दी गई है एल. आइए हम एक समन्वय प्रणाली चुनें ताकि अक्ष बैलएक सीधी रेखा से मेल खाता है एल, और अक्ष ओएइसके लंबवत था। फिर रेखा का समीकरण एलनिम्नलिखित रूप लेगा:

y=0.

(2)

सभी बिंदु एक रेखा पर एलरैखिक समीकरण (2) को संतुष्ट करेगा, और इस रेखा के बाहर के सभी बिंदु समीकरण (2) को संतुष्ट नहीं करेंगे। प्रमेय का पहला भाग सिद्ध हो चुका है।

मान लीजिए कि एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है और एक रैखिक समीकरण (1) दिया गया है, जहां कम से कम एक तत्व एऔर बीशून्य से भिन्न. आइए उन बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान ज्ञात करें जिनके निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं। चूंकि कम से कम एक गुणांक एऔर बीशून्य से भिन्न है, तो समीकरण (1) का कम से कम एक हल है एम(एक्स 0 ,य 0). (उदाहरण के लिए, जब ए≠0, बिंदु एम 0 (−सीए, 0) बिंदुओं के दिए गए ज्यामितीय स्थान से संबंधित है)। इन निर्देशांकों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें पहचान प्राप्त होती है

कुल्हाड़ी 0 +द्वारा 0 +सी=0.

(3)

आइए हम पहचान (3) को (1) से घटाएँ:

ए(एक्स−एक्स 0)+बी(य−य 0)=0.

(4)

जाहिर है, समीकरण (4) समीकरण (1) के बराबर है। इसलिए, यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि (4) एक निश्चित रेखा को परिभाषित करता है।

चूँकि हम एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार कर रहे हैं, यह समानता (4) से निम्नानुसार है कि घटकों के साथ वेक्टर ( x−x 0 , y−y 0 ) वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल एननिर्देशांक के साथ ( ए,बी}.

आइए कुछ सीधी रेखा पर विचार करें एल, बिंदु से गुजर रहा है एम 0 (एक्स 0 , य 0) और वेक्टर के लंबवत एन(चित्र .1)। आइए बात को स्पष्ट करें एम(एक्स,y) लाइन से संबंधित है एल. फिर निर्देशांक के साथ वेक्टर x−x 0 , y−y 0 लंबवत एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट है (वेक्टर का अदिश गुणनफल)। एनऔर शून्य के बराबर)। इसके विपरीत, यदि बिंदु एम(एक्स,y) एक रेखा पर स्थित नहीं है एल, फिर निर्देशांक वाला वेक्टर x−x 0 , y−y 0 वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल नहीं है एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट नहीं है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सबूत। चूँकि रेखाएँ (5) और (6) एक ही रेखा को परिभाषित करती हैं, तो सामान्य सदिश एन 1 ={ए 1 ,बी 1) और एन 2 ={ए 2 ,बी 2) संरेख. वैक्टर के बाद से एन 1 ≠0, एन 2 ≠0, तो ऐसी संख्या है λ , क्या एन 2 =एन 1 λ . यहाँ से हमारे पास है: ए 2 =ए 1 λ , बी 2 =बी 1 λ . आइए इसे साबित करें सी 2 =सी 1 λ . जाहिर है, संपाती रेखाओं में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है एम 0 (एक्स 0 , य 0). समीकरण (5) को इससे गुणा करना λ और इसमें से समीकरण (6) घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

चूँकि अभिव्यक्ति (7) से पहली दो समानताएँ संतुष्ट हैं सी 1 λ −सी 2=0. वे। सी 2 =सी 1 λ . टिप्पणी सिद्ध हो गई है।

ध्यान दें कि समीकरण (4) बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करता है एम 0 (एक्स 0 , य 0) और एक सामान्य वेक्टर होना एन={ए,बी). इसलिए, यदि किसी रेखा का सामान्य वेक्टर और इस रेखा से संबंधित बिंदु ज्ञात हो, तो समीकरण (4) का उपयोग करके रेखा के सामान्य समीकरण का निर्माण किया जा सकता है।

उदाहरण 1. एक सीधी रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है एम=(4,−1) और इसका एक सामान्य सदिश है एन=(3,5). एक रेखा का सामान्य समीकरण बनाइये।

समाधान। हमारे पास है: एक्स 0 =4, य 0 =−1, ए=3, बी=5. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए, हम इन मानों को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करते हैं:

उत्तर:

वेक्टर रेखा के समानांतर है एलऔर, इसलिए, रेखा के सामान्य वेक्टर के लंबवत एल. आइए एक सामान्य रेखा वेक्टर बनाएं एल, यह ध्यान में रखते हुए कि सदिशों का अदिश गुणनफल एनऔर शून्य के बराबर. उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं, एन={1,−3}.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आइए बिंदु के निर्देशांकों को (4) में प्रतिस्थापित करें एम 1 (हम बिंदु के निर्देशांक भी ले सकते हैं एम 2) और सामान्य वेक्टर एन:

बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करना एम 1 और एम 2 इन (9) में हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि समीकरण (9) द्वारा दी गई सीधी रेखा इन बिंदुओं से होकर गुजरती है।

उत्तर:

(1) से (10) घटाएँ:

हमें मिला विहित समीकरणसीधा। वेक्टर क्यू={−बी, ए) रेखा (12) का दिशा सदिश है।

उलटा रूपांतरण देखें.

उदाहरण 3. एक समतल पर एक सीधी रेखा को निम्नलिखित सामान्य समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:

आइए दूसरे पद को दाईं ओर ले जाएं और समीकरण के दोनों पक्षों को 2·5 से विभाजित करें।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण. लेख में" " मैंने आपसे वादा किया था कि आप व्युत्पन्न खोजने की प्रस्तुत समस्याओं को हल करने के दूसरे तरीके पर गौर करेंगे, जिसमें एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ और इस ग्राफ़ की स्पर्शरेखा दी गई है। हम इस पद्धति पर चर्चा करेंगे , देखिये जरूर! क्योंअगले में?

सच तो यह है कि वहाँ सीधी रेखा के समीकरण का सूत्र प्रयोग किया जायेगा। बेशक, हम बस यह फॉर्मूला दिखा सकते हैं और आपको इसे सीखने की सलाह दे सकते हैं। लेकिन यह समझाना बेहतर होगा कि यह कहाँ से आता है (यह कैसे प्राप्त होता है)। यह जरूरी है! यदि आप इसे भूल जाते हैं, तो आप इसे तुरंत पुनर्स्थापित कर सकते हैंमुश्किल नहीं होगा. सब कुछ नीचे विस्तार से बताया गया है। तो, हमारे पास निर्देशांक तल पर दो बिंदु A हैं(x 1;y 1) और B(x 2;y 2), संकेतित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है:

यहाँ प्रत्यक्ष सूत्र ही है:

*अर्थात्, बिंदुओं के विशिष्ट निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=kx+b के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

**यदि आप इस सूत्र को बस "याद" करते हैं, तो सूचकांकों के साथ भ्रमित होने की उच्च संभावना है जब एक्स. इसके अलावा, सूचकांकों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

इसलिए इसका मतलब समझना जरूरी है.

अब इस सूत्र की व्युत्पत्ति. सब कुछ बहुत सरल है!

त्रिभुज ABE और ACF न्यून कोण में समान हैं (समानता का पहला संकेत)। समकोण त्रिभुज). इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संगत तत्वों के अनुपात बराबर हैं, अर्थात्:

अब हम इन खंडों को बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर के माध्यम से व्यक्त करते हैं:

बेशक, यदि आप तत्वों के संबंधों को एक अलग क्रम में लिखते हैं तो कोई त्रुटि नहीं होगी (मुख्य बात स्थिरता बनाए रखना है):

परिणाम रेखा का वही समीकरण होगा. यह सब है!

यानी, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बिंदु स्वयं (और उनके निर्देशांक) कैसे निर्दिष्ट किए गए हैं, इस सूत्र को समझने से आप हमेशा एक सीधी रेखा का समीकरण पाएंगे।

सूत्र सदिशों के गुणों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन व्युत्पत्ति का सिद्धांत समान होगा, क्योंकि हम उनके निर्देशांक की आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। इस मामले में, समकोण त्रिभुजों की वही समानता काम करती है। मेरी राय में, ऊपर वर्णित निष्कर्ष अधिक स्पष्ट है))।

वेक्टर निर्देशांक >>> का उपयोग करके आउटपुट देखें

मान लीजिए निर्देशांक तल पर दो दिए गए बिंदुओं A(x 1;y 1) और B(x 2;y 2) से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाई गई है। आइए हम निर्देशांक के साथ रेखा पर एक मनमाना बिंदु C चिह्नित करें ( एक्स; य). हम दो सदिशों को भी निरूपित करते हैं:

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं (या एक ही रेखा पर) पर स्थित वैक्टरों के लिए, उनके संबंधित निर्देशांक आनुपातिक होते हैं, अर्थात:

— हम संगत निर्देशांकों के अनुपातों की समानता लिखते हैं:

आइए एक उदाहरण देखें:

निर्देशांक (2;5) और (7:3) वाले दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आपको सीधी रेखा भी बनाने की ज़रूरत नहीं है। हम सूत्र लागू करते हैं:

यह महत्वपूर्ण है कि अनुपात बनाते समय आप पत्राचार को समझ लें। यदि आप लिखते हैं तो आप गलत नहीं हो सकते:

उत्तर: y=-2/5x+29/5 गो y=-0.4x+5.8

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणामी समीकरण सही पाया गया है, यह जांचना सुनिश्चित करें - इसमें बिंदुओं की स्थिति में डेटा के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें। समीकरण सही होने चाहिए.

बस इतना ही। मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

साभार, अलेक्जेंडर।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

परिभाषा।समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक्स + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम कोटि समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.मूल्यों पर निर्भर करता है स्थिरांक ए, बीऔर C निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (बाय + सी = 0) - ऑक्स अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = 0, ए ≠0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = सी = 0, ए ≠0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए = सी = 0, बी ≠0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती होती है

एक सीधी रेखा के समीकरण को इसमें दर्शाया जा सकता है विभिन्न रूपों मेंकिसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर।

एक बिंदु और सामान्य वेक्टर से सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा।कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) वाला एक वेक्टर रेखा के लंबवत होता है, समीकरण द्वारा दिया गयाएक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) से (3, -1) के लंबवत गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. A = 3 और B = -1 के साथ, आइए सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: 3 – 2 + सी = 0, इसलिए, सी = -1। कुल: आवश्यक समीकरण: 3x – y – 1 = 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:

यदि कोई हर है शून्य के बराबर, संगत अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

यदि x 1 ≠ x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।

भिन्न = k कहा जाता है ढलानसीधा।

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।ऊपर लिखे सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:

एक बिंदु और ढलान से एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि कुल Ax + Bu + C = 0 है, तो इस प्रकार प्राप्त करें:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक दिशा वेक्टर का समीकरण

एक सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा की परिभाषा और सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को दर्ज कर सकते हैं।

परिभाषा।प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिसके घटक स्थिति A α 1 + B α 2 = 0 को संतुष्ट करते हैं, रेखा का निर्देशन वेक्टर कहलाते हैं

एक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण। दिशा सदिश (1, -1) वाली और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।हम वांछित रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: Ax + By + C = 0. परिभाषा के अनुसार, गुणांकों को शर्तों को पूरा करना होगा:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी.

फिर सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 के लिए हमें C/ A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात। आवश्यक समीकरण:

खंडों में एक रेखा का समीकरण

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ах + Ву + С = 0 С≠0 है, तो, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: या

ज्यामितीय अर्थगुणांक वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x – y + 1 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इस रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1, , ए = -1, बी = 1.

एक रेखा का सामान्य समीकरण

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को संख्या से गुणा किया जाता है जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

एक रेखा का सामान्य समीकरण. सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

उदाहरण. सीधी रेखा 12x – 5y – 65 = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए आपको लिखना होगा विभिन्न प्रकार केइस रेखा के समीकरण.

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

; क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में एक समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण. सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए यदि इन खंडों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।

समाधान।सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: , ab /2 = 8; एबी=16; ए=4, ए=-4. ए = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

उदाहरण. बिंदु A(-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान. सीधी रेखा का समीकरण है: , जहां x 1 = y 1 = 0; एक्स 2 = -2; y2 = -3.

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ दी गई हैं y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, तो तेज़ कोनेइन सीधी रेखाओं के बीच को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा

.

यदि k 1 = k 2 है तो दो रेखाएँ समानांतर हैं। यदि k 1 = -1/ k 2 है तो दो रेखाएँ लंबवत हैं।

प्रमेय.रेखाएँ Ax + Bу + C = 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 = λA, B 1 = λB आनुपातिक हैं। यदि C 1 = λC भी है, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दी गई रेखा के लंबवत किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत एक सीधी रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय.यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा Ax + Bу + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है

.

सबूत।मान लीजिए बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई सीधी रेखा पर डाले गए लंबवत का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

समीकरणों की प्रणाली को हल करके निर्देशांक x 1 और y 1 पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण गुजरने वाली रेखा का समीकरण है दिया गया बिंदु M 0 किसी दी गई सीधी रेखा पर लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

के 1 = -3; के 2 = 2; टीजीφ = ; φ= π /4.

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x – 5y + 7 = 0 और 10x + 6y – 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 x = 6 y – 6;

2 एक्स – 3 वाई + 3 = 0;

आवश्यक ऊँचाई समीकरण का रूप है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। क = . फिर y = . क्योंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक संतुष्ट होते हैं यह समीकरण: जहाँ से b = 17. कुल: .

उत्तर: 3 x + 2 y – 34 = 0.

किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण. दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण. दो सीधी रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , य 1) किसी दी गई दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

य - य 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , य 1), जिसे किरण केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , य 1) और बी(एक्स 2 , य 2), इस प्रकार लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का कोणीय गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा घूमनी चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त घुमाएँ जब तक कि यह दूसरी रेखा से मेल न खा जाए बी. यदि दो सीधी रेखाएँ ढलान वाले समीकरणों द्वारा दी गई हैं

य = क 1 एक्स + बी 1 ,