विशेष दाहिनी ओर वाले रैखिक समीकरण। दूसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण

दूसरे क्रम (LNDU-2) के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के मूल सिद्धांत स्थिर गुणांक(पीसी)

स्थिर गुणांक $p$ और $q$ के साथ दूसरे क्रम के LDDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left(x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ एलएनडीयू 2 के संबंध में, निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

आइए मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना आंशिक समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का सामान्य समाधान (GS) है। फिर का GR LHDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, यानी $y=U+Y$।

यदि दूसरे क्रम के LMDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+..+f_(r) \left(x\right)$, तो पहले हम PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ढूंढ सकते हैं जो संगत हैं प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, और उसके बाद CR LNDU-2 को $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में लिखें।

पीसी के साथ दूसरे क्रम के एलपीडीई का समाधान

यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए LNDU-2 के एक या दूसरे PD $U$ के प्रकार पर निर्भर करता है विशिष्ट प्रकारइसका दाहिना भाग $f\left(x\right)$ है। पीडी एलएनडीयू-2 की खोज के सबसे सरल मामले निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किए गए हैं।

नियम 1।

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, यानी इसे a कहा जाता है घात का बहुपद $n$। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है उसका बहुपद $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है, शून्य के बराबर. बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (यूके) की विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 2.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left( x\right)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n ) \ बाएँ(x\दाएँ)$, $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का एक और बहुपद है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\alpha $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 3.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) का रूप है \दाएं) $, जहां $a$, $b$ और $\beta$ ज्ञात संख्याएं हैं। फिर इसका PD $U$ इस रूप में मांगा जाता है $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है, जो $i\cdot के बराबर है \बीटा$. गुणांक $A$ और $B$ गैर-विनाशकारी विधि का उपयोग करके पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 4.

LNDU-2 के दाईं ओर का रूप $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है घात $ n$ का एक बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ घात $m$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right)$ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ वाले बहुपद हैं, संख्या $s$ दो संख्याओं $n$ और $m$ में से अधिकतम है, और $r$ मूलों की संख्या है संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण का, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनके पद्धति में निम्नलिखित नियम लागू करना शामिल है। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDU-2 के आंशिक समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• सामान्य रूप में लिखे गए PD $U$ को LNDU-2 के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें;
• LNDU-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों $x$ के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें;
• परिणामी पहचान में, बाएँ और दाएँ पक्ष की समान घात $x$ वाले पदों के गुणांकों को बराबर करें;
• परिणामी प्रणाली को हल करें रेखीय समीकरणअज्ञात गुणांकों के सापेक्ष.

उदाहरण 1

कार्य: या LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ढूंढें। PD भी खोजें , $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ को पूरा करना।

हम संबंधित LOD-2 लिखते हैं: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. विशिष्ट समीकरण के मूल हैं: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ये जड़ें वैध और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

इस LNDU-2 के दाईं ओर $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ का रूप है। घातांक $\alpha =3$ के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक विशेषता समीकरण की किसी भी जड़ से मेल नहीं खाता है। इसलिए, इस LNDU-2 के PD का फॉर्म $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम एनसी विधि का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की खोज करेंगे।

हमें चेक गणराज्य का पहला व्युत्पन्न मिलता है:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हमें चेक गणराज्य का दूसरा व्युत्पन्न मिलता है:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(() ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए NLDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के स्थान पर फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x). $ इसके अलावा, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x) $ को एक कारक के रूप में शामिल किया गया है सभी घटकों में, तो इसे छोड़ा जा सकता है:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर क्रियाएँ करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनडीटी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$.

हमारी समस्या के लिए PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ इस तरह दिखता है इस अनुसार: $U=\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\दाएँ)\cdot e^(3\cdot x) $।

दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करने वाले पीडी की खोज करने के लिए, हम ओपी का व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

आइए इसे सुलझाएं. हम Cramer के सूत्र का उपयोग करके $C_(1) $ पाते हैं, और $C_(2) $ हम पहले समीकरण से निर्धारित करते हैं:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण के PD का रूप है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \दाएं )\cdot e^(3\cdot x) $.

विजातीय विभेदक समीकरणस्थिर गुणांकों के साथ दूसरा क्रम

सामान्य समाधान की संरचना इस प्रकार के एक रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप है: कहाँ पी, क्यू− स्थिर संख्याएँ (जो वास्तविक या जटिल हो सकती हैं)। ऐसे प्रत्येक समीकरण के लिए हम संगत लिख सकते हैं सजातीय समीकरण: प्रमेय: सामान्य निर्णय अमानवीय समीकरणसामान्य समाधान का योग है य 0 (एक्स) संगत सजातीय समीकरण और विशेष समाधान का य 1 (एक्स) अमानवीय समीकरण: नीचे हम अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने के दो तरीकों पर विचार करेंगे। स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि अगर सामान्य निर्णय यसंबंधित सजातीय समीकरण का 0 ज्ञात है, तो अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान का उपयोग करके पाया जा सकता है निरंतर परिवर्तन विधि. मान लीजिए कि एक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है: स्थायी के बजाय सी 1 और सी 2 हम सहायक कार्यों पर विचार करेंगे सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स). हम समाधान की तरह इन कार्यों की तलाश करेंगे दाहिनी ओर से अमानवीय समीकरण को संतुष्ट किया एफ(एक्स). अज्ञात कार्य सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स) दो समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं: अनिश्चित गुणांक विधि दाहिना भाग एफ(एक्स) एक अमानवीय विभेदक समीकरण अक्सर एक बहुपद, घातांकीय या त्रिकोणमितीय फलन या इन फलनों का कुछ संयोजन होता है। इस मामले में, इसका उपयोग करके समाधान खोजना अधिक सुविधाजनक है अनिश्चित गुणांक की विधि. हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह विधि केवल दाईं ओर के सीमित वर्ग के कार्यों के लिए काम करती है, जैसे कि दोनों ही मामलों में, किसी विशेष समाधान का चुनाव अमानवीय अंतर समीकरण के दाईं ओर की संरचना के अनुरूप होना चाहिए। स्थिति 1 में, यदि संख्या α वी घातांक प्रकार्यविशेषता समीकरण की जड़ के साथ मेल खाता है, तो विशेष समाधान में एक अतिरिक्त कारक शामिल होगा एक्स एस, कहाँ एस− जड़ की बहुलता α विशेषता समीकरण में. स्थिति 2 में, यदि संख्या α + βiविशेषता समीकरण की जड़ के साथ मेल खाता है, तो विशेष समाधान के लिए अभिव्यक्ति में एक अतिरिक्त कारक शामिल होगा एक्स. अज्ञात गुणांकों को मूल अमानवीय अंतर समीकरण में किसी विशेष समाधान के लिए पाए गए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके निर्धारित किया जा सकता है। सुपरपोजिशन सिद्धांत यदि अमानवीय समीकरण का दाहिना पक्ष है मात्राप्रपत्र के कई कार्य तो अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान दाईं ओर प्रत्येक पद के लिए अलग से बनाए गए आंशिक समाधानों का योग भी होगा।

उदाहरण 1

अवकल समीकरण हल करें y"" + y= पाप(2 एक्स). समाधान। सबसे पहले हम संगत सजातीय समीकरण को हल करते हैं y"" + y= 0. इस मामले में, विशेषता समीकरण की जड़ें पूरी तरह से काल्पनिक हैं: फलस्वरूप, सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान व्यंजक द्वारा दिया जाता है आइए फिर से अमानवीय समीकरण पर लौटते हैं। हम फॉर्म में इसका समाधान तलाशेंगे स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग करना। कार्य सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स) समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली से पाया जा सकता है: आइए व्युत्पत्ति को व्यक्त करें सी 1 " (एक्स) पहले समीकरण से: दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम अवकलज पाते हैं सी 2 " (एक्स): यह इस प्रकार है कि डेरिवेटिव के लिए अभिव्यक्ति को एकीकृत करना सी 1 " (एक्स) और सी 2 " (एक्स), हम पाते हैं: कहाँ ए 1 , ए 2 - एकीकरण के स्थिरांक. आइए अब पाए गए फ़ंक्शंस को प्रतिस्थापित करें सी 1 (एक्स) और सी 2 (एक्स) के लिए सूत्र में य 1 (एक्स) और अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान लिखें:

उदाहरण 2

समीकरण का सामान्य हल खोजें y"" + y" −6य = 36एक्स. समाधान। आइए अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करें। दाहिनी ओर पीछे दिया गया समीकरणका प्रतिनिधित्व करता है रैखिक प्रकार्य एफ(एक्स)= कुल्हाड़ी + बी. इसलिए, हम फॉर्म में एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे व्युत्पन्न बराबर हैं: इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं: अंतिम समीकरण एक पहचान है, अर्थात यह सभी के लिए मान्य है एक्स, इसलिए हम पदों के गुणांकों को समान डिग्री के साथ बराबर करते हैं एक्सबाएँ और दाएँ तरफ: परिणामी प्रणाली से हम पाते हैं: ए = −6, बी= −1. परिणामस्वरूप, विशेष समाधान फॉर्म में लिखा जाता है आइए अब सजातीय अवकल समीकरण का सामान्य समाधान खोजें। आइए सहायक विशेषता समीकरण की जड़ों की गणना करें: इसलिए, संगत सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है: अतः, मूल अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

डीई का सामान्य अभिन्न अंग।

अवकल समीकरण हल करें

लेकिन सबसे मजेदार बात यह है कि उत्तर पहले से ही ज्ञात है:, अधिक सटीक रूप से, हमें एक स्थिरांक भी जोड़ना होगा: सामान्य अभिन्न अंग अंतर समीकरण का एक समाधान है।

मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि. समाधान के उदाहरण

अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मनमाने स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है। यह पाठ उन छात्रों के लिए है जो पहले से ही इस विषय में कमोबेश पारंगत हैं। यदि आप अभी रिमोट कंट्रोल से परिचित होना शुरू कर रहे हैं, यानी। यदि आप चायदानी हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठ से शुरुआत करें: प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण. और यदि आप पहले ही समाप्त कर रहे हैं, तो कृपया संभावित पूर्वधारणा को त्याग दें कि विधि कठिन है। क्योंकि यह सरल है.

मनमाने अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग किन मामलों में किया जाता है?

1) किसी मनमाने स्थिरांक के परिवर्तन की विधि का उपयोग हल करने के लिए किया जा सकता है प्रथम क्रम का रैखिक अमानवीय DE. चूँकि समीकरण प्रथम कोटि का है तो अचर भी एक ही है।

2) कुछ को हल करने के लिए मनमाने स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण. यहां दो स्थिरांक भिन्न-भिन्न हैं।

यह मानना ​​तर्कसंगत है कि पाठ में दो पैराग्राफ होंगे... इसलिए मैंने यह वाक्य लिखा, और लगभग 10 मिनट तक मैं दर्द से सोचता रहा कि व्यावहारिक उदाहरणों में सहज परिवर्तन के लिए मैं और क्या चतुर बकवास जोड़ सकता हूं। लेकिन किसी कारण से छुट्टियों के बाद मेरे मन में कोई विचार नहीं आता, हालाँकि ऐसा नहीं लगता कि मैंने किसी चीज़ का दुरुपयोग किया है। इसलिए, चलिए सीधे पहले पैराग्राफ पर आते हैं।

एक मनमाना स्थिरांक के परिवर्तन की विधि प्रथम कोटि के रैखिक अमानवीय समीकरण के लिए

किसी मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर विचार करने से पहले, लेख से परिचित होना उचित है प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण. उस पाठ में हमने अभ्यास किया पहला समाधानअमानवीय प्रथम क्रम डीई। यह पहला समाधान, मैं आपको याद दिला दूं, कहा जाता है प्रतिस्थापन विधिया बर्नौली विधि(भ्रमित न हों बर्नौली का समीकरण!!!)

अब हम देखेंगे दूसरा समाधान- एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि। मैं केवल तीन उदाहरण दूंगा, और मैं उन्हें उपर्युक्त पाठ से लूंगा। इतने कम क्यों? क्योंकि वास्तव में, दूसरे तरीके का समाधान पहले तरीके के समाधान के समान ही होगा। इसके अलावा, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग प्रतिस्थापन विधि की तुलना में कम बार किया जाता है।

उदाहरण 1

अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें (पाठ के उदाहरण संख्या 2 से भिन्न)। प्रथम क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण)

समाधान:यह समीकरण रैखिक अमानवीय है और इसका एक परिचित रूप है:

पहले चरण में, एक सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है: यानी, हम मूर्खतापूर्ण तरीके से दाईं ओर शून्य पर रीसेट करते हैं - इसके बजाय शून्य लिखें। मैं समीकरण बताऊंगा सहायक समीकरण.

इस उदाहरण में, आपको निम्नलिखित सहायक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

हमारे सामने वियोज्य समीकरण, जिसका समाधान (मुझे आशा है) अब आपके लिए कठिन नहीं है:

इस प्रकार:- सहायक समीकरण का सामान्य हल.

दूसरे चरण पर हम बदल देंगेकुछ स्थिर अभी के लिएअज्ञात फ़ंक्शन जो "x" पर निर्भर करता है:

इसलिए विधि का नाम - हम स्थिरांक बदलते हैं। वैकल्पिक रूप से, स्थिरांक कुछ फ़ंक्शन हो सकता है जिसे अब हमें ढूंढना है।

में मूलअमानवीय समीकरण में हम प्रतिस्थापन करते हैं:

आइए समीकरण में स्थानापन्न करें:

नियंत्रण बिंदु - बायीं ओर के दो पद रद्द हो जाते हैं. यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपको उपरोक्त त्रुटि की तलाश करनी चाहिए।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, वियोज्य चर वाला एक समीकरण प्राप्त हुआ। हम चरों को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं।

क्या आशीर्वाद है, प्रतिपादक भी रद्द कर देते हैं:

हम पाए गए फ़ंक्शन में एक "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं:

अंतिम चरण में, हमें अपने प्रतिस्थापन के बारे में याद आता है:

फ़ंक्शन अभी मिल गया है!

तो सामान्य समाधान यह है:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

यदि आप दोनों समाधानों को प्रिंट करते हैं, तो आप आसानी से देखेंगे कि दोनों मामलों में हमें समान अभिन्न अंग मिले। एकमात्र अंतर समाधान एल्गोरिथ्म में है।

अब और अधिक जटिल चीज़ के लिए, मैं दूसरे उदाहरण पर भी टिप्पणी करूँगा:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें (पाठ के उदाहरण संख्या 8 से भिन्न)। प्रथम क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण)

समाधान:आइए समीकरण को इस रूप में लाएं:

आइए दाएँ पक्ष को रीसेट करें और सहायक समीकरण को हल करें:

हम चरों को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं: सहायक समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण में हम प्रतिस्थापन करते हैं:

उत्पाद विभेदन नियम के अनुसार:

आइए हम मूल अमानवीय समीकरण में स्थानापन्न करें:

बाईं ओर के दो शब्द रद्द हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि हम सही रास्ते पर हैं:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र का स्वादिष्ट अक्षर पहले से ही समाधान में शामिल है, इसलिए हम उदाहरण के लिए, "ए" और "बी" अक्षरों का उपयोग करते हैं:

अंततः:

आइए अब प्रतिस्थापन को याद करें:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम समीकरण के लिए निरंतर गुणांक के साथ

मैंने अक्सर यह राय सुनी है कि दूसरे क्रम के समीकरण के लिए मनमाने स्थिरांक को अलग-अलग करने की विधि कोई आसान बात नहीं है। लेकिन मैं निम्नलिखित मानता हूं: सबसे अधिक संभावना है, यह विधि कई लोगों को कठिन लगती है क्योंकि ऐसा अक्सर नहीं होता है। लेकिन वास्तव में कोई विशेष कठिनाइयां नहीं हैं - निर्णय की प्रक्रिया स्पष्ट, पारदर्शी और समझने योग्य है। और खूबसूरत।

विधि में महारत हासिल करने के लिए, दाहिने हाथ के रूप के आधार पर एक विशेष समाधान का चयन करके अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने में सक्षम होना वांछनीय है। इस विधि पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है। अमानवीय द्वितीय क्रम डीई. हमें याद है कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप है:

चयन विधि, जिसकी चर्चा उपरोक्त पाठ में की गई थी, केवल सीमित संख्या में मामलों में काम करती है जब दाईं ओर बहुपद, घातांक, साइन और कोसाइन होते हैं। लेकिन क्या करें जब दाईं ओर, उदाहरण के लिए, एक अंश, लघुगणक, स्पर्शरेखा हो? ऐसी स्थिति में, स्थिरांकों की भिन्नता की विधि बचाव में आती है।

उदाहरण 4

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजें

समाधान:इस समीकरण के दाईं ओर एक अंश है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि किसी विशेष समाधान को चुनने की विधि काम नहीं करती है। हम मनमाने अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं।

तूफ़ान के कोई संकेत नहीं हैं; समाधान की शुरुआत पूरी तरह से सामान्य है:

हम ढूंढ लेंगे सामान्य निर्णयउपयुक्त सजातीयसमीकरण:

आइए विशेषता समीकरण बनाएं और हल करें: - संयुग्मित जटिल जड़ें प्राप्त की जाती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

सामान्य समाधान के रिकॉर्ड पर ध्यान दें - यदि कोष्ठक हैं, तो उन्हें खोलें।

अब हम प्रथम-क्रम समीकरण के लिए लगभग वही चाल अपनाते हैं: हम स्थिरांकों को बदलते हैं, उन्हें अज्ञात कार्यों से प्रतिस्थापित करते हैं। वह है, अमानवीय का सामान्य समाधानहम इस रूप में समीकरण देखेंगे:

कहाँ - अभी के लिएअज्ञात कार्य.

एक लैंडफ़िल जैसा दिखता है घर का कचरा, लेकिन अब हम सब कुछ सुलझा लेंगे।

अज्ञात फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न हैं। हमारा लक्ष्य डेरिवेटिव ढूंढना है, और पाए गए डेरिवेटिव को सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना होगा।

"यूनानी" कहाँ से आते हैं? सारस उन्हें लाता है. हम पहले प्राप्त सामान्य समाधान को देखते हैं और लिखते हैं:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

बचे हुए हिस्सों का निपटारा हो चुका है. दाईं ओर क्या है?

इस मामले में, मूल समीकरण का दाहिना पक्ष है:

व्याख्यान में, एलएनडीई का अध्ययन किया जाता है - रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण। सामान्य समाधान की संरचना पर विचार किया जाता है, मनमाने ढंग से स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा एलपीडीई का समाधान, स्थिर गुणांक के साथ एलपीडीई का समाधान और दाईं ओर विशेष प्रकार. विचाराधीन मुद्दों का उपयोग भौतिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और इलेक्ट्रॉनिक्स में मजबूर दोलनों के अध्ययन और स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत में किया जाता है।

1. दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना।

आइए पहले हम मनमाने ढंग से क्रम के एक रैखिक अमानवीय समीकरण पर विचार करें:

अंकन को ध्यान में रखते हुए, हम लिख सकते हैं:

इस मामले में, हम मान लेंगे कि इस समीकरण के गुणांक और दाईं ओर एक निश्चित अंतराल पर निरंतर हैं।

प्रमेय. एक निश्चित डोमेन में एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान इसके किसी भी समाधान का योग और संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

सबूत।माना कि Y एक अमानवीय समीकरण का कोई हल है।

फिर, इस समाधान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें पहचान प्राप्त होती है:

होने देना
- मौलिक प्रणालीएक रैखिक सजातीय समीकरण का समाधान
. तब सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

विशेष रूप से, दूसरे क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के लिए, सामान्य समाधान की संरचना का रूप होता है:

कहाँ
संगत सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और
- किसी अमानवीय समीकरण का कोई विशेष समाधान।

इस प्रकार, एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण को हल करने के लिए, संबंधित सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान ढूंढना आवश्यक है और किसी तरह अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान ढूंढना आवश्यक है। आमतौर पर यह चयन द्वारा पाया जाता है। हम निम्नलिखित प्रश्नों में निजी समाधान चुनने के तरीकों पर विचार करेंगे।

2. परिवर्तन विधि

व्यवहार में, मनमाने स्थिरांकों को अलग-अलग करने की विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।

ऐसा करने के लिए, पहले संबंधित सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान इस रूप में खोजें:

फिर, गुणांक लगाना सी मैंसे कार्य करता है एक्स, अमानवीय समीकरण का समाधान खोजा गया है:

यह सिद्ध किया जा सकता है कि फ़ंक्शंस ढूंढना सी मैं (एक्स) हमें समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

उदाहरण।प्रश्न हल करें

एक रैखिक सजातीय समीकरण को हल करना

अमानवीय समीकरण का हल इस प्रकार होगा:

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

आइए इस प्रणाली को हल करें:

संबंध से हम फलन ज्ञात करते हैं ओह)।

अब हम पाते हैं बी(x).

हम प्राप्त मानों को अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

अंतिम उत्तर:

सामान्यतया, किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण का समाधान खोजने के लिए मनमाने स्थिरांकों की भिन्नता की विधि उपयुक्त है। लेकिन क्योंकि संगत सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली खोजना काफी कठिन कार्य हो सकता है; इस विधि का उपयोग मुख्य रूप से स्थिर गुणांक वाले अमानवीय समीकरणों के लिए किया जाता है।

3. के साथ समीकरण दाहिनी ओरविशेष प्रकार

अमानवीय समीकरण के दाईं ओर के प्रकार के आधार पर किसी विशेष समाधान के प्रकार की कल्पना करना संभव लगता है।

निम्नलिखित मामले प्रतिष्ठित हैं:

I. रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण के दाएँ पक्ष का रूप है:

घात का बहुपद कहाँ है एम.

फिर एक विशेष समाधान इस रूप में मांगा जाता है:

यहाँ क्यू(एक्स) - के समान डिग्री का एक बहुपद पी(एक्स) , लेकिन अनिर्धारित गुणांकों के साथ, और आर- एक संख्या जो दर्शाती है कि कितनी बार संख्या  संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए विशेषता समीकरण की जड़ है।

उदाहरण।प्रश्न हल करें
.

आइए हम संगत सजातीय समीकरण को हल करें:

आइए अब मूल अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें।

आइए समीकरण के दाएँ पक्ष की तुलना ऊपर चर्चा किए गए दाएँ पक्ष के रूप से करें।

हम इस रूप में एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं:
, कहाँ

वे।

आइए अब अज्ञात गुणांक निर्धारित करें एऔर में.

आइए हम विशेष समाधान को सामान्य रूप में मूल अमानवीय अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

कुल, निजी समाधान:

तब एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का सामान्य समाधान है:

द्वितीय. रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण के दाएँ पक्ष का रूप है:

यहाँ आर 1 (एक्स)और आर 2 (एक्स)- डिग्री के बहुपद एम 1 और एम 2 क्रमश।

तब अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान इस प्रकार होगा:

नंबर कहां है आरदिखाता है कि एक संख्या कितनी बार है
संगत सजातीय समीकरण के लिए विशेषता समीकरण की जड़ है, और क्यू 1 (एक्स) और क्यू 2 (एक्स) - घात वाले बहुपद इससे अधिक नहीं एम, कहाँ एम- डिग्रियों में सबसे बड़ी एम 1 और एम 2 .

निजी समाधानों के प्रकारों की सारांश तालिका

विभिन्न प्रकार के दाएँ हाथ के लिए

	अवकल समीकरण का दाहिना भाग	विशेषता समीकरण	निजी के प्रकार
		1. संख्या अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है
		2. संख्या बहुलता के अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है
		1. संख्या विशेषता समीकरण का मूल नहीं है
		2. संख्या बहुलता के चारित्रिक समीकरण का मूल है
		1. संख्याएँ
		2. संख्याएँ बहुलता के अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें हैं
		1. संख्याएँ विशेषता बहुलता समीकरण की जड़ें नहीं हैं
		2. संख्याएँ बहुलता के अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें हैं

ध्यान दें कि यदि समीकरण का दाहिना पक्ष ऊपर विचार किए गए प्रकार के भावों का संयोजन है, तो समाधान सहायक समीकरणों के समाधान के संयोजन के रूप में पाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में शामिल अभिव्यक्ति के अनुरूप दाहिना हाथ होता है संयोजन में.

वे। यदि समीकरण है:
, तो इस समीकरण का एक विशेष हल होगा
कहाँ पर 1 और पर 2 - सहायक समीकरणों के विशेष समाधान

और

स्पष्ट करने के लिए, आइए उपरोक्त उदाहरण को अलग तरीके से हल करें।

उदाहरण।प्रश्न हल करें

आइए हम अंतर समीकरण के दाहिने पक्ष को दो कार्यों के योग के रूप में निरूपित करें एफ 1 (एक्स) + एफ 2 (एक्स) = एक्स + (- पाप एक्स).

आइए विशेषता समीकरण बनाएं और हल करें:

हमें मिलता है: यानी.

कुल:

वे। आवश्यक विशेष समाधान का रूप है:

एक गैर-सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान:

आइए वर्णित विधियों के अनुप्रयोग के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1..प्रश्न हल करें

आइए हम संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए एक विशेषता समीकरण बनाएं:

आइए अब इस रूप में अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें:

आइए अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करें।

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

एक विशेष समाधान का रूप इस प्रकार है:

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान:

उदाहरण।प्रश्न हल करें

विशेषता समीकरण:

सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण का विशेष समाधान:
.

हम व्युत्पन्न ढूंढते हैं और उन्हें मूल अमानवीय समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम अमानवीय अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:

यह आलेख निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने के मुद्दे को संबोधित करता है। दी गई समस्याओं के उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर चर्चा की जाएगी। अस्पष्ट शब्दों को समझने के लिए, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की मूल परिभाषाओं और अवधारणाओं के विषय को संदर्भित करना आवश्यक है।

आइए फॉर्म y "" + p · y " + q · y = f (x) के निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अंतर समीकरण (LDE) पर विचार करें, जहां p और q मनमानी संख्याएं हैं, और मौजूदा फ़ंक्शन f (x) एकीकरण अंतराल x पर निरंतर है।

आइए हम एलएनडीई के सामान्य समाधान के लिए प्रमेय के निर्माण की ओर आगे बढ़ें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

एलडीएनयू के लिए सामान्य समाधान प्रमेय

प्रमेय 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + के रूप के एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान, अंतराल x पर स्थित है। . . + f 0 (x) · y = f (x) x अंतराल पर निरंतर एकीकरण गुणांक के साथ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , एफ एन - 1 (एक्स) और सतत कार्य f (x) सामान्य समाधान y 0 के योग के बराबर है, जो LOD और कुछ विशेष समाधान y ~ से मेल खाता है, जहां मूल अमानवीय समीकरण y = y 0 + y ~ है।

इससे पता चलता है कि ऐसे दूसरे क्रम के समीकरण के समाधान का रूप y = y 0 + y ~ है। Y 0 को खोजने के लिए एल्गोरिदम पर निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों पर लेख में चर्चा की गई है। जिसके बाद हमें y~ की परिभाषा पर आगे बढ़ना चाहिए।

एलपीडीई के लिए किसी विशेष समाधान का चुनाव समीकरण के दाईं ओर स्थित उपलब्ध फ़ंक्शन f (x) के प्रकार पर निर्भर करता है। ऐसा करने के लिए, निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों के समाधानों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

जब f (x) को nवीं डिग्री f (x) = P n (x) का बहुपद माना जाता है, तो यह इस प्रकार है कि LPDE का एक विशेष समाधान फॉर्म y ~ = Q n (x) के सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है ) x γ, जहां Q n ( x) घात n का एक बहुपद है, r विशेषता समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। मान y ~ एक विशेष समाधान y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) है, फिर उपलब्ध गुणांक जो बहुपद द्वारा परिभाषित होते हैं
Q n (x), हम समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) से अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके पाते हैं।

उदाहरण 1

कॉची के प्रमेय y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 का उपयोग करके गणना करें।

समाधान

दूसरे शब्दों में, स्थिर गुणांक y "" - 2 y " = x 2 + 1 के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान पर आगे बढ़ना आवश्यक है, जो दी गई शर्तों y (0) को पूरा करेगा। = 2, वाई " (0) = 1 4 .

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान सामान्य समाधान का योग है, जो समीकरण y 0 या अमानवीय समीकरण y ~ के एक विशेष समाधान से मेल खाता है, यानी, y = y 0 + y ~।

पहले, हम एलएनडीयू के लिए एक सामान्य समाधान ढूंढेंगे, और फिर एक विशेष समाधान ढूंढेंगे।

आइए y 0 खोजने की ओर आगे बढ़ें। अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से आपको मूल खोजने में मदद मिलेगी। हमें वह मिल गया

के 2 - 2 के = 0 के (के - 2) = 0 के 1 = 0 , के 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें अलग और वास्तविक हैं। तो चलिए लिखते हैं

वाई 0 = सी 1 ई 0 एक्स + सी 2 ई 2 एक्स = सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स।

आइए आपको खोजें~। यह देखा जा सकता है कि दाईं ओर दिया गया समीकरणदूसरी डिग्री का बहुपद है, तो जड़ों में से एक शून्य के बराबर है। इससे हमें पता चलता है कि y ~ के लिए एक विशेष समाधान होगा

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, जहां A, B, C के मान अनिर्धारित गुणांक लेते हैं।

आइए उन्हें y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 के रूप की समानता से खोजें।

तब हमें वह मिलता है:

वाई ~ "" - 2 वाई ~ " = एक्स 2 + 1 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "" - 2 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) " = एक्स 2 + 1 3 ए x 2 + 2 B x + C "- 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 ए एक्स 2 + एक्स (6 ए - 4 बी) + 2 बी - 2 सी = एक्स 2 + 1

गुणांकों को x के समान घातांकों के साथ बराबर करने पर, हमें रैखिक अभिव्यक्तियों की एक प्रणाली प्राप्त होती है - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। किसी भी विधि से हल करते समय, हम गुणांक ढूंढेंगे और लिखेंगे: ए = - 1 6, बी = - 1 4, सी = - 3 4 और वाई ~ = ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

इस प्रविष्टि को स्थिर गुणांक वाले मूल रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।

एक विशेष समाधान खोजने के लिए जो शर्तों y (0) = 2, y "(0) = 1 4 को संतुष्ट करता है, मान निर्धारित करना आवश्यक है सी 1और सी 2, फॉर्म y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x की समानता के आधार पर।

हमें वह मिलता है:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

हम फॉर्म सी 1 + सी 2 = 2 2 सी 2 - 3 4 = 1 4 के परिणामी समीकरण प्रणाली के साथ काम करते हैं, जहां सी 1 = 3 2, सी 2 = 1 2।

कॉची के प्रमेय को लागू करने पर, हमारे पास वह है

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

उत्तर: 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 एक्स 3 + 1 4 एक्स 2 + 3 4 एक्स।

जब फ़ंक्शन f (x) को डिग्री n और एक घातांक f (x) = P n (x) · e a x के साथ बहुपद के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, तो हम पाते हैं कि दूसरे क्रम के LPDE का एक विशेष समाधान एक होगा फॉर्म y ~ = e a x · Q n ( x) x γ का समीकरण, जहां Q n (x) nवीं डिग्री का एक बहुपद है, और r α के बराबर विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है।

Q n (x) से संबंधित गुणांक समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा पाए जाते हैं।

उदाहरण 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें।

समाधान

समीकरण सामान्य रूप से देखें y = y 0 + y ~ . संकेतित समीकरण LOD y "" - 2 y " = 0 से मेल खाता है। पिछले उदाहरण से यह देखा जा सकता है कि इसकी जड़ें बराबर हैं के 1 = 0और विशेषता समीकरण द्वारा k 2 = 2 और y 0 = C 1 + C 2 e 2 x।

यह देखा जा सकता है कि समीकरण का दाहिना पक्ष x 2 + 1 · e x है। यहां से एलपीडीई को y ~ = e a x · Q n (x) · x γ के माध्यम से पाया जाता है, जहां Q n (x) दूसरी डिग्री का बहुपद है, जहां α = 1 और r = 0, क्योंकि विशेषता समीकरण नहीं है एक जड़ 1 के बराबर है. यहीं से हमें वह मिलता है

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C।

ए, बी, सी अज्ञात गुणांक हैं जिन्हें समानता y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x द्वारा पाया जा सकता है।

मिला क्या

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 4 ए + बी + 2 ए + 2 बी + सी

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + बी + सी = एक्स 2 + 1 · ई एक्स ⇔ ई एक्स · - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = (एक्स 2 + 1) · ई एक्स ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = एक्स 2 + 1 ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = 1 एक्स 2 + 0 एक्स + 1

हम संकेतकों को समान गुणांकों के साथ जोड़ते हैं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यहां से हम A, B, C पाते हैं:

ए = 1 - बी = 0 2 ए - सी = 1 ⇔ ए = - 1 बी = 0 सी = - 3

उत्तर:यह स्पष्ट है कि y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE का एक विशेष समाधान है, और y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - दूसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण के लिए एक सामान्य समाधान।

जब फ़ंक्शन को f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 syn β x के रूप में लिखा जाता है, और ए 1और पहले मेंसंख्याएँ हैं, तो LPDE के आंशिक समाधान को y ~ = A cos β x + B syn β x · x γ के रूप का एक समीकरण माना जाता है, जहाँ A और B को अनिर्धारित गुणांक माना जाता है, और r की संख्या है विशेषता समीकरण से संबंधित जटिल संयुग्मी जड़ें, ± i β के बराबर। इस मामले में, गुणांक की खोज समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) का उपयोग करके की जाती है।

उदाहरण 3

फॉर्म y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 syn (2 x) के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजें।

समाधान

अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से पहले, हम y 0 पाते हैं। तब

के 2 + 4 = 0 के 2 = - 4 के 1 = 2 आई, के 2 = - 2 आई

हमारे पास जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी है। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें:

वाई 0 = ई 0 (सी 1 कॉस (2 एक्स) + सी 2 सिन (2 एक्स)) = सी 1 कॉस 2 एक्स + सी 2 सिन (2 एक्स)

अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों को संयुग्म युग्म ± 2 i माना जाता है, फिर f (x) = cos (2 x) + 3 syn (2 x)। इससे पता चलता है कि y ~ की खोज y ~ = (A cos (β x) + B syn (β x) x γ = (A cos (2 x) + B syn (2 x)) x से की जाएगी। अज्ञात हम y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 syn (2 x) के रूप की समानता से गुणांक A और B की तलाश करेंगे।

आइए परिवर्तन करें:

y ~ " = ((ए कॉस (2 एक्स) + बी साइन (2 एक्स) एक्स) " = = (- 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स) वाई ~ "" = ((- 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स)) " = = (- 4 ए कॉस (2 एक्स) - 4 बी साइन (2 एक्स)) एक्स - 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स) - - 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B पाप (2 x)) x - 4 A पाप (2 x) + 4 B cos (2 x)

तो यह बात साफ़ है

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 पाप (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B पाप (2 x)) x - 4 A पाप (2 x) + 4 बी कॉस (2 एक्स) + + 4 (ए कॉस (2 एक्स) + बी साइन (2 एक्स)) एक्स = कॉस (2 एक्स) + 3 साइन (2 एक्स) ⇔ - 4 ए साइन (2 एक्स) + 4 बी कॉस (2 एक्स) = कॉस (2 एक्स) + 3 साइन (2 एक्स)

ज्या और कोज्या के गुणांकों को बराबर करना आवश्यक है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

4 ए = 3 4 बी = 1 ⇔ ए = - 3 4 बी = 1 4

यह इस प्रकार है कि y ~ = (A cos (2 x) + B syn (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 syn (2 x) x।

उत्तर:स्थिर गुणांक वाले मूल दूसरे क्रम के एलडीडीई के सामान्य समाधान पर विचार किया जाता है

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 पाप (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 पाप (2 x) x

जब f (x) = e a x · P n (x) पाप (β x) + Q k (x) cos (β x), तो y ~ = e a x · (L m (x) पाप (β x) + N m (x) cos (β x) x γ। हमारे पास यह है कि r विशेषता समीकरण से संबंधित जड़ों के जटिल संयुग्मित जोड़े की संख्या है, जो α ± i β के बराबर है, जहां P n (x), Q k (x), एल एम (एक्स) और एनएम(एक्स)घात n, k, m, m, के बहुपद हैं एम = एम ए एक्स (एन, के). गुणांक ढूँढना एलएम(एक्स)और एनएम(एक्स)समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) के आधार पर बनाया गया है।

उदाहरण 4

सामान्य समाधान खोजें y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ।

समाधान

स्थिति के अनुसार यह स्पष्ट है कि

α = 3, β = 5, पी एन (एक्स) = - 38 एक्स - 45, क्यू के (एक्स) = - 8 एक्स + 5, एन = 1, के = 1

तब m = m a x (n, k) = 1. हम पहले फॉर्म का एक विशिष्ट समीकरण लिखकर y 0 पाते हैं:

के 2 - 3 के + 2 = 0 डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 के 1 = 3 - 1 2 = 1, के 2 = 3 + 1 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। अत: y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। इसके बाद, फॉर्म के अमानवीय समीकरण y ~ के आधार पर एक सामान्य समाधान की तलाश करना आवश्यक है

y ~ = e α x (L m (x) syn (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C एक्स + डी) पाप (5 एक्स)) एक्स 0 = = ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) क्योंकि (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 एक्स))

यह ज्ञात है कि ए, बी, सी गुणांक हैं, आर = 0, क्योंकि α ± i β = 3 ± 5 · i के साथ विशेषता समीकरण से संबंधित संयुग्म जड़ों की कोई जोड़ी नहीं है। हम परिणामी समानता से ये गुणांक पाते हैं:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) साइन (5 एक्स))) "" - - 3 (ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 x))) = - ई 3 एक्स ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

व्युत्पन्न और समान पद खोजने से पता चलता है

ई 3 एक्स ((15 ए + 23 सी) एक्स पाप (5 एक्स) + + (10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी) पाप (5 एक्स) + + (23 ए - 15 सी) · एक्स · कॉस (5 एक्स) + (- 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी) · कॉस (5 एक्स)) = = - ई 3 एक्स · (38 · एक्स · पाप (5 एक्स) + 45 · पाप (5 एक्स) ) + + 8 x कॉस (5 x) - 5 कॉस (5 x))

गुणांकों को बराबर करने के बाद, हमें प्रपत्र की एक प्रणाली प्राप्त होती है

15 ए + 23 सी = 38 10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी = 45 23 ए - 15 सी = 8 - 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी = - 5 ⇔ ए = 1 बी = 1 सी = 1 डी = 1

हर चीज़ से यही पता चलता है

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) पाप (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) पाप (5 x))

उत्तर:अब हमने दिए गए रैखिक समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त कर लिया है:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) पाप (5 x))

एलडीएनयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम

परिभाषा 1

समाधान के लिए किसी अन्य प्रकार के फ़ंक्शन f (x) के लिए समाधान एल्गोरिदम के अनुपालन की आवश्यकता होती है:

• संबंधित रैखिक सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजना, जहां y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, जहां य 1और य 2 LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान हैं, सी 1और सी 2मनमाना स्थिरांक माने जाते हैं;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 को एक सामान्य समाधान के रूप में स्वीकार करना;
• C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , और फ़ंक्शन ढूँढना सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स) एकीकरण के माध्यम से।

उदाहरण 5

y "" + 36 y = 24 syn (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x के लिए सामान्य समाधान खोजें।

समाधान

हम विशेषता समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं, पहले y 0, y "" + 36 y = 0 लिख चुके हैं। आइए लिखें और हल करें:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 पाप (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = पाप (6 x)

हमारे पास है कि दिए गए समीकरण का सामान्य समाधान y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · पाप (6 x) के रूप में लिखा जाएगा। व्युत्पन्न कार्यों की परिभाषा पर आगे बढ़ना आवश्यक है सी 1 (एक्स)और C2(x)समीकरणों वाली एक प्रणाली के अनुसार:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · पाप (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) पाप (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 पाप (6 x) + सी 2 "(एक्स) (6 कॉस (6 एक्स)) = = 24 साइन (6 एक्स) - 12 कॉस (6 एक्स) + 36 ई 6 एक्स

के संबंध में निर्णय लेने की आवश्यकता है सी 1" (एक्स)और सी 2" (एक्स)किसी भी विधि का उपयोग करना। फिर हम लिखते हैं:

सी 1 " (एक्स) = - 4 पाप 2 (6 एक्स) + 2 पाप (6 एक्स) क्योंकि (6 एक्स) - 6 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) सी 2 " (एक्स) = 4 पाप (6 एक्स) कॉस (6 x) - 2 कॉस 2 (6 x) + 6 e 6 x कॉस (6 x)

प्रत्येक समीकरण को एकीकृत किया जाना चाहिए। फिर हम परिणामी समीकरण लिखते हैं:

सी 1 (एक्स) = 1 3 सिन (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 2 एक्स - 1 6 कॉस 2 (6 एक्स) + + 1 2 ई 6 एक्स कॉस (6 एक्स) - 1 2 ई 6 एक्स सिन ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 syn (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सामान्य समाधान का स्वरूप इस प्रकार होगा:

y = 1 3 syn (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x पाप (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 syn (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स) = = - 2 एक्स कॉस (6 एक्स) - एक्स साइन (6 एक्स) - 1 6 कॉस (6 एक्स) + + 1 2 ई 6 एक्स + सी 3 कॉस (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स)

उत्तर: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x पाप (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 पाप (6 एक्स)

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