आइए परिणामी व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें। यौगिक

एक चर वाले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

परिचय।

असली पद्धतिगत विकासऔद्योगिक और सिविल इंजीनियरिंग संकाय के छात्रों के लिए अभिप्रेत है। इन्हें गणित पाठ्यक्रम कार्यक्रम के संबंध में "एक चर के कार्यों की विभेदक गणना" खंड में संकलित किया गया था।

ये घटनाक्रम एक एकल कार्यप्रणाली मार्गदर्शिका का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिनमें शामिल हैं: संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी; इन समाधानों के लिए विस्तृत समाधान और स्पष्टीकरण के साथ "मानक" समस्याएं और अभ्यास; परीक्षण विकल्प.

प्रत्येक अनुच्छेद के अंत में अतिरिक्त अभ्यास हैं। विकास की यह संरचना उन्हें शिक्षक की न्यूनतम सहायता से अनुभाग में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए उपयुक्त बनाती है।

§1. व्युत्पन्न की परिभाषा.

यांत्रिक और ज्यामितीय अर्थ

व्युत्पन्न.

व्युत्पन्न की अवधारणा गणितीय विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है, यह 17वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई थी। व्युत्पन्न की अवधारणा का गठन ऐतिहासिक रूप से दो समस्याओं से जुड़ा हुआ है: वैकल्पिक गति की गति की समस्या और वक्र के स्पर्शरेखा की समस्या।

ये समस्याएं, उनकी अलग-अलग सामग्री के बावजूद, उसी गणितीय ऑपरेशन की ओर ले जाती हैं जिसे फ़ंक्शन पर निष्पादित किया जाना चाहिए। इस ऑपरेशन को गणित में एक विशेष नाम प्राप्त हुआ। इसे किसी फ़ंक्शन के विभेदन की संक्रिया कहा जाता है। विभेदन संक्रिया के परिणाम को व्युत्पन्न कहा जाता है।

तो, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है) है
पर
.

व्युत्पन्न को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार

प्रतीकों का उपयोग डेरिवेटिव को दर्शाने के लिए भी किया जाता है
.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ.

यदि s=s(t) किसी भौतिक बिंदु की सीधी गति का नियम है, तो
समय t पर इस बिंदु की गति है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.

यदि फ़ंक्शन y=f(x) के बिंदु पर एक व्युत्पन्न है , फिर बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक
के बराबर होती है
.

उदाहरण।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
बिंदु पर =2:

1) आइए इसे एक बिंदु दें =2 वृद्धि
. नोटिस जो।

2) बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें =2:

3) आइए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात बनाएं:

आइए अनुपात की सीमा ज्ञात करें
:

.

इस प्रकार,
.

§ 2. कुछ के व्युत्पन्न

सरलतम कार्य.

छात्र को यह सीखना होगा कि विशिष्ट कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कैसे करें: y=x,y= और सामान्य तौर पर= .

आइए फलन y=x का अवकलज ज्ञात करें।

वे। (x)'=1.

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यौगिक

होने देना
तब

किसी पावर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के भावों में एक पैटर्न को नोटिस करना आसान है
n=1,2,3 के साथ।

इस तरह,

. (1)

यह सूत्र किसी भी वास्तविक n के लिए मान्य है।

विशेष रूप से, सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

;

.

उदाहरण।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

.

.

यह फ़ंक्शन प्रपत्र के फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है

पर
.

सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

.

फ़ंक्शन y=sin x और y=cos x के व्युत्पन्न।

माना y=sinx.

∆x से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

∆x→0 पर सीमा पार करते हुए, हमारे पास है

माना y=cosx.

∆x→0 की सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

;
. (2)

§3. विभेदीकरण के बुनियादी नियम.

आइए विभेदीकरण के नियमों पर विचार करें।

प्रमेय1 . यदि फ़ंक्शन u=u(x) और v=v(x) किसी दिए गए बिंदु x पर भिन्न हैं, तो उनका योग इस बिंदु पर भिन्न है, और योग का व्युत्पन्न पदों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है : (u+v)"=u"+v"।(3 )

प्रमाण: फलन y=f(x)=u(x)+v(x) पर विचार करें।

तर्क x की वृद्धि ∆x, फ़ंक्शन u और v की वृद्धि ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) से मेल खाती है। तब फलन y बढ़ जाएगा

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

इस तरह,

तो, (u+v)"=u"+v"।

प्रमेय2. यदि फ़ंक्शन u=u(x) और v=v(x) किसी दिए गए बिंदुx पर भिन्न हैं, तो उनका उत्पाद एक ही बिंदु पर भिन्न है, इस मामले में, उत्पाद का व्युत्पन्न निम्नलिखित सूत्र द्वारा पाया जाता है: ( uv)"=u"v+uv"। (4)

प्रमाण: मान लीजिए y=uv, जहां u और v x के कुछ भिन्न फलन हैं। आइए x को ∆x की वृद्धि दें; फिर आपको ∆u की वृद्धि मिलेगी, v को ∆v की वृद्धि मिलेगी, और y को ∆y की वृद्धि मिलेगी।

हमारे पास y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), या है

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

इसलिए, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

यहाँ से

∆x→0 पर सीमा से गुजरते हुए और यह ध्यान में रखते हुए कि u और v ∆x पर निर्भर नहीं हैं, हमारे पास होगा

प्रमेय 3. दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका हर विभाजक के वर्ग के बराबर होता है, और अंश भाजक द्वारा लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद और विभाजक के उत्पाद के बीच का अंतर होता है। भाजक के व्युत्पन्न द्वारा लाभांश, अर्थात्।

अगर
वह
(5)

प्रमेय 4.किसी स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है, अर्थात यदि y=C, जहां C=const, तो y"=0.

प्रमेय 5.अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है, अर्थात्। यदि y=Cu(x), जहां С=const, तो y"=Cu"(x).

उदाहरण 1।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

.

इस फ़ंक्शन का स्वरूप है
, जहाँu=x,v=cosx. विभेदीकरण नियम (4) को लागू करने पर, हम पाते हैं

.

उदाहरण 2.

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

.

आइए सूत्र (5) लागू करें।

यहाँ
;
.

कार्य.

निम्नलिखित कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं, तो किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है Δ यतर्क वृद्धि के लिए Δ एक्स:

सब कुछ साफ नजर आ रहा है. लेकिन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप सब कुछ परिभाषा के अनुसार करते हैं, तो गणना के कुछ पृष्ठों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि कार्यों की संपूर्ण विविधता से हम तथाकथित प्राथमिक कार्यों को अलग कर सकते हैं। ये अपेक्षाकृत सरल अभिव्यक्तियाँ हैं, जिनके व्युत्पन्नों की गणना और सारणीबद्धता लंबे समय से की गई है। ऐसे कार्यों को याद रखना काफी आसान है - उनके डेरिवेटिव के साथ।

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध सभी हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्न को हृदय से जानना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है - यही कारण है कि वे प्राथमिक हैं।

तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:

नाम	समारोह	यौगिक
स्थिर	एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर	0 (हाँ, शून्य!)
तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति	एफ(एक्स) = एक्स एन	एन · एक्स एन − 1
साइनस	एफ(एक्स) = पाप एक्स	ओल एक्स
कोज्या	एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स	−पाप एक्स(शून्य से साइन)
स्पर्शरेखा	एफ(एक्स) = टीजी एक्स	1/cos 2 एक्स
कोटैंजेंट	एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स	− 1/पाप 2 एक्स
प्राकृतिक	एफ(एक्स) = लॉग एक्स	1/एक्स
मनमाना लघुगणक	एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स	1/(एक्सएल.एन ए)
घातांक प्रकार्य	एफ(एक्स) = इ एक्स	इ एक्स(कुछ भी नहीं बदला)

यदि किसी प्राथमिक फ़ंक्शन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना भी आसानी से की जाती है:

(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.

सामान्य तौर पर, स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(2एक्स 3)' = 2 · ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .

जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक-दूसरे से जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है - और भी बहुत कुछ। इस प्रकार नए कार्य प्रकट होंगे, जो अब विशेष रूप से प्राथमिक नहीं होंगे, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार विभेदित भी होंगे। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।

योग और अंतर का व्युत्पन्न

फ़ंक्शंस दिए जाएं एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिसके व्युत्पन्न हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

1. (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
2. (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.

कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए अंतर है एफ − जीयोग के रूप में पुनः लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।

एफ(एक्स) = एक्स 2 + पाप एक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 2 + पाप एक्स)’ = (एक्स 2)' + (पाप) एक्स)’ = 2एक्स+ क्योंकि x;

हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क करते हैं जी(एक्स). केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):

जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ क्योंकि x;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्पाद का व्युत्पन्न

गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि किसी योग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल">डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन भाड़ में जाओ! किसी उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:

(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’

सूत्र सरल है, लेकिन इसे अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 क्योंकि x; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स .

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' क्योंकि एक्स + एक्स 3 (कोस एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (−पाप) एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)

समारोह जी(एक्स) पहला कारक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजनायह नहीं बदलता. जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला कारक जी(एक्स) एक बहुपद है और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · ( इ एक्स)’ = (2एक्स+7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स = इ एक्स· (2 एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

कृपया ध्यान दें कि अंतिम चरण में व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन की जांच करने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर किया जाएगा, इसके संकेत निर्धारित किए जाएंगे, इत्यादि। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना बेहतर है।

यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) ≠ 0 जिस सेट में हमारी रुचि है, उसे हम परिभाषित कर सकते हैं नयी विशेषता एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स). ऐसे फ़ंक्शन के लिए आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:

कमज़ोर नहीं, है ना? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? और इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर में प्रारंभिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें भागफल के व्युत्पन्न के लिए केवल सूत्र की आवश्यकता होती है:

परंपरा के अनुसार, आइए अंश का गुणनखंड करें - इससे उत्तर बहुत सरल हो जाएगा:

एक जटिल फ़ंक्शन आवश्यक रूप से आधा किलोमीटर लंबा सूत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर वेरिएबल को बदलें एक्स, कहो, पर एक्स 2 + एल.एन एक्स. हो जाएगा एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) - यह एक जटिल कार्य है। इसका एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन ऊपर चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके इसे ढूंढना संभव नहीं होगा।

मुझे क्या करना चाहिए? ऐसे मामलों में, चर और व्युत्पन्न सूत्र को बदलने से मदद मिलती है जटिल कार्य:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).

एक नियम के रूप में, इस सूत्र को समझने की स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, इसे विशिष्ट उदाहरणों के साथ समझाना भी बेहतर है विस्तृत विवरणहर कदम.

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)

ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 के स्थान पर एक्स+3 आसान होगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र का उपयोग करके एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’

और अब - ध्यान! हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं: टी = 2एक्स+3. हमें मिलता है:

एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+3(2 एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3

अब आइए फ़ंक्शन पर नजर डालें जी(एक्स). जाहिर है इसे बदलने की जरूरत है एक्स 2 + एल.एन एक्स = टी. हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी'= (पाप टी)’ · टी' = क्योंकि टी · टी ’

उलटा प्रतिस्थापन: टी = एक्स 2 + एल.एन एक्स. तब:

जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · (2 एक्स + 1/एक्स).

बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या व्युत्पन्न योग की गणना करने के लिए कम हो गई है।

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2· इ 2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स).

मैं अक्सर अपने पाठों में "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय "प्राइम" शब्द का उपयोग करता हूँ। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर होता है। क्या यह अधिक स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार व्युत्पन्न की गणना इन्हीं स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर वापस लौटें:

(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1

इस भूमिका के बारे में कम ही लोग जानते हैं एनयह एक भिन्नात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. अगर जड़ के नीचे कुछ फैंसी हो तो क्या होगा? फिर, परिणाम एक जटिल कार्य होगा - वे ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं परीक्षणऔर परीक्षा.

काम। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

सबसे पहले, आइए मूल को एक तर्कसंगत घातांक के साथ घात के रूप में फिर से लिखें:

एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .

अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न पाते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' · टी' = 0.5 · टी−0.5 · टी ’.

आइए उलटा प्रतिस्थापन करें: टी = एक्स 2 + 8एक्स− 7. हमारे पास है:

एफ ’(एक्स) = 0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7) −0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7)' = 0.5 (2 एक्स+8)( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .

अंत में, जड़ों की ओर वापस जाएँ:

एक अनुपात बनाएं और सीमा की गणना करें.

यह कहां से आया था? व्युत्पन्न और विभेदीकरण नियमों की तालिका? एकमात्र सीमा के लिए धन्यवाद. यह जादू जैसा लगता है, लेकिन असल में यह हाथ की सफाई है और कोई धोखाधड़ी नहीं है। सबक पर व्युत्पन्न क्या है?मैंने विशिष्ट उदाहरणों को देखना शुरू किया, जहां, परिभाषा का उपयोग करते हुए, मुझे रैखिक और के व्युत्पन्न मिले द्विघात फंक्शन. संज्ञानात्मक वार्म-अप के उद्देश्य से, हम परेशान करना जारी रखेंगे डेरिवेटिव की तालिका, एल्गोरिदम और तकनीकी समाधानों का सम्मान करना:

उदाहरण 1

मूलतः, आपको साबित करने की आवश्यकता है विशेष मामलायौगिक ऊर्जा समीकरण, जो आमतौर पर तालिका में दिखाई देता है: .

समाधानतकनीकी रूप से दो प्रकार से औपचारिक रूप दिया गया। आइए पहले, पहले से ही परिचित दृष्टिकोण से शुरू करें: सीढ़ी एक तख़्त से शुरू होती है, और व्युत्पन्न फ़ंक्शन एक बिंदु पर व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।

चलो गौर करते हैं कुछ(विशिष्ट) बिंदु से संबंधित परिभाषा का क्षेत्रवह फ़ंक्शन जिसमें कोई व्युत्पन्न है। आइए इस बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें (बेशक, दायरे के भीतरओ/ओ -मैं)और फ़ंक्शन की संगत वृद्धि लिखें:

आइए सीमा की गणना करें:

अनिश्चितता 0:0 को एक मानक तकनीक द्वारा समाप्त किया जाता है, जिसे पहली शताब्दी ईसा पूर्व में माना जाता था। अंश और हर को संयुग्मी व्यंजक से गुणा करें :

ऐसी सीमा को हल करने की तकनीक पर परिचयात्मक पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है। कार्यों की सीमा के बारे में.

चूँकि आप अंतराल के किसी भी बिंदु को गुणवत्ता के रूप में चुन सकते हैं, तो, प्रतिस्थापन करने पर, हमें यह मिलता है:

उत्तर

आइए एक बार फिर लघुगणक पर आनंद लें:

उदाहरण 2

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान: आइए एक ही कार्य को बढ़ावा देने के लिए एक अलग दृष्टिकोण पर विचार करें। यह बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन डिजाइन के मामले में अधिक तर्कसंगत है। विचार यह है कि समाधान की शुरुआत में सबस्क्रिप्ट से छुटकारा पा लिया जाए और अक्षर के बजाय अक्षर का उपयोग किया जाए।

चलो गौर करते हैं मनमानासे संबंधित बिंदु परिभाषा का क्षेत्रफ़ंक्शन (अंतराल) और उसमें वृद्धि निर्धारित करें। लेकिन यहाँ, वैसे, जैसा कि ज्यादातर मामलों में होता है, आप बिना किसी आरक्षण के कर सकते हैं, क्योंकि लघुगणकीय कार्यपरिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर विभेदीकरणीय।

फिर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

डिज़ाइन की सादगी उस भ्रम से संतुलित होती है जो शुरुआती लोगों (और न केवल) के लिए उत्पन्न हो सकती है। आख़िरकार, हम इस तथ्य के आदी हैं कि "X" अक्षर सीमा में बदलता है! लेकिन यहां सब कुछ अलग है: - एक प्राचीन मूर्ति, और - एक जीवित आगंतुक, जो संग्रहालय के गलियारे में तेजी से चल रहा है। अर्थात्, "x" "एक स्थिरांक की तरह" है।

मैं चरण दर चरण अनिश्चितता के उन्मूलन पर टिप्पणी करूंगा:

(1) हम लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करते हैं .

(2) कोष्ठकों में अंश को हर से विभाजित करें।

(3) हर में, हम लाभ लेने के लिए कृत्रिम रूप से "x" से गुणा और भाग करते हैं उल्लेखनीय सीमा , के रूप में करते हुए बहुत छोताअलग दिखना।

उत्तर: व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार:

या संक्षेप में:

मैं स्वयं दो और तालिका सूत्र बनाने का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 3

इस मामले में, संकलित वेतन वृद्धि को तुरंत एक सामान्य हर में कम करना सुविधाजनक है। पाठ के अंत में असाइनमेंट का एक अनुमानित नमूना (पहली विधि)।

उदाहरण 3:समाधान : कुछ बिंदु पर विचार करें , फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित . आइए इस बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की संगत वृद्धि लिखें:

आइए बिंदु पर व्युत्पन्न खोजें :


चूंकि एक के रूप में आप कोई भी बिंदु चुन सकते हैं फ़ंक्शन डोमेन , वह और
उत्तर : व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार

उदाहरण 4

परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें

और यहां हर चीज को कम करने की जरूरत है अद्भुत सीमा . समाधान को दूसरे तरीके से औपचारिक रूप दिया जाता है।

अन्य कई सारणीबद्ध व्युत्पन्न. पूरी सूचीकिसी स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है, या, उदाहरण के लिए, फिचटेनहोल्ट्ज़ के पहले खंड में। मुझे किताबों से विभेदन नियमों के प्रमाणों की नकल करने में कोई खास मतलब नहीं दिखता - वे भी सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं।

उदाहरण 4:समाधान , से संबंधित , और इसमें वेतन वृद्धि निर्धारित करें

आइए व्युत्पन्न खोजें:

एक अद्भुत सीमा का उपयोग करना

उत्तर : एक-प्राथमिकता

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए

समाधान: हम पहली डिज़ाइन शैली का उपयोग करते हैं। आइए से संबंधित कुछ बिंदु पर विचार करें, और उस पर तर्क की वृद्धि निर्दिष्ट करें। फिर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि है:

शायद कुछ पाठक अभी तक उस सिद्धांत को पूरी तरह नहीं समझ पाए हैं जिसके द्वारा वेतन वृद्धि की जानी चाहिए। एक बिंदु (संख्या) लें और उसमें फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: , अर्थात्, फ़ंक्शन में के बजाय"X" प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए. अब इसे भी ले लीजिए विशिष्ट संख्याऔर इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित भी करें के बजाय"इक्सा": . हम अंतर लिखते हैं, और यह आवश्यक है पूर्णतः कोष्ठक में रखें.

संकलित फ़ंक्शन वृद्धि इसे तुरंत सरल बनाना फायदेमंद हो सकता है. किस लिए? समाधान को आगे की सीमा तक सुगम बनाएं और छोटा करें।

हम सूत्रों का उपयोग करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और जो कुछ भी कम किया जा सकता है उसे कम करते हैं:

टर्की नष्ट हो गया है, भूनने में कोई समस्या नहीं:

अंततः:

चूँकि हम किसी भी वास्तविक संख्या को मान के रूप में चुन सकते हैं, हम प्रतिस्थापन करते हैं और प्राप्त करते हैं .

उत्तर: एक-प्राथमिकता.

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, आइए व्युत्पन्न का उपयोग करके खोजें विभेदीकरण नियम और तालिकाएँ:

पहले से सही उत्तर जानना हमेशा उपयोगी और सुखद होता है, इसलिए समाधान की शुरुआत में ही प्रस्तावित फ़ंक्शन को "त्वरित" तरीके से, या तो मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में अलग करना बेहतर होता है।

उदाहरण 6

व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। परिणाम स्पष्ट है:

उदाहरण 6:समाधान : कुछ बिंदु पर विचार करें , से संबंधित , और इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें . फिर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि है:


आइए व्युत्पन्न की गणना करें:


इस प्रकार:
क्योंकि के रूप में फिर आप कोई भी वास्तविक संख्या चुन सकते हैं और
उत्तर : एक-प्राथमिकता.

आइए शैली #2 पर वापस जाएँ:

उदाहरण 7

आइए तुरंत जानें कि क्या होना चाहिए। द्वारा जटिल कार्यों के विभेदन का नियम:

समाधान: से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें, उस पर तर्क की वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की वृद्धि की रचना करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:


(1) प्रयोग त्रिकोणमितीय सूत्र .

(2) ज्या के नीचे हम कोष्ठक खोलते हैं, कोज्या के नीचे हम समान पद प्रस्तुत करते हैं।

(3) साइन के तहत हम पदों को कम करते हैं, कोसाइन के तहत हम अंश को हर से विभाजित करते हैं।

(4) साइन की विषमता के कारण हम "माइनस" निकाल देते हैं। कोज्या के अंतर्गत हम इंगित करते हैं कि पद।

(5) हम हर का उपयोग करने के लिए उसमें कृत्रिम गुणन करते हैं पहली अद्भुत सीमा. इस प्रकार, अनिश्चितता समाप्त हो गई है, आइए परिणाम को व्यवस्थित करें।

उत्तर: एक-प्राथमिकता

जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन समस्या की मुख्य कठिनाई सीमा की जटिलता + पैकेजिंग की थोड़ी विशिष्टता पर टिकी हुई है। व्यवहार में, डिज़ाइन की दोनों विधियाँ होती हैं, इसलिए मैं दोनों दृष्टिकोणों का यथासंभव विस्तार से वर्णन करता हूँ। वे समतुल्य हैं, लेकिन फिर भी, मेरी व्यक्तिपरक धारणा में, डमी के लिए "एक्स-शून्य" के साथ विकल्प 1 पर टिके रहना अधिक उचित है।

उदाहरण 8

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 8:समाधान : एक मनमाना बिंदु पर विचार करें , से संबंधित , आइए इसमें वेतन वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की वृद्धि लिखें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं और पहली उल्लेखनीय सीमा:

उत्तर : एक-प्राथमिकता

आइए समस्या के एक दुर्लभ संस्करण पर नजर डालें:

उदाहरण 9

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

सबसे पहले, अंतिम पंक्ति क्या होनी चाहिए? संख्या

आइए मानक तरीके से उत्तर की गणना करें:

समाधान: स्पष्टता के दृष्टिकोण से, यह कार्य बहुत सरल है, क्योंकि सूत्र इसके बजाय एक विशिष्ट मान पर विचार करता है।

आइए वेतन वृद्धि को बिंदु पर सेट करें और फ़ंक्शन की संबंधित वृद्धि लिखें:

आइए बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करें:

हम एक बहुत ही दुर्लभ स्पर्शरेखा अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं और एक बार फिर हम समाधान को कम करते हैं पहली अद्भुत सीमा:

उत्तर: एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार।

समस्या को हल करना इतना कठिन नहीं है और “अंदर” सामान्य रूप से देखें» - यह डिज़ाइन विधि के आधार पर या केवल इसे बदलने के लिए पर्याप्त है। इस मामले में, यह स्पष्ट है कि परिणाम एक संख्या नहीं, बल्कि एक व्युत्पन्न फ़ंक्शन होगा।

उदाहरण 10

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें एक बिंदु पर (जिनमें से एक अनंत हो सकता है), जिसके बारे में मैं बात कर रहा हूं सामान्य रूपरेखापर पहले ही बताया जा चुका है व्युत्पन्न के बारे में सैद्धांतिक पाठ.

कुछ टुकड़े-टुकड़े परिभाषित फ़ंक्शन ग्राफ़ के "जंक्शन" बिंदुओं पर भी भिन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, कैटडॉग बिंदु पर एक उभयनिष्ठ अवकलज और एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (x-अक्ष) है। वक्र, लेकिन द्वारा भिन्न! जो लोग रुचि रखते हैं वे अभी हल किए गए उदाहरण का उपयोग करके इसे स्वयं सत्यापित कर सकते हैं।

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पेज निर्माण दिनांक: 2017-06-11

ज्यामिति, यांत्रिकी, भौतिकी और ज्ञान की अन्य शाखाओं की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, इस फ़ंक्शन से समान विश्लेषणात्मक प्रक्रिया का उपयोग करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई y=f(x)एक नया फ़ंक्शन कॉल करें व्युत्पन्न कार्य(या केवल किसी दिए गए फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न)और प्रतीक द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

वह प्रक्रिया जिसके द्वारा किसी दिए गए फ़ंक्शन से एफ(एक्स)एक नई सुविधा प्राप्त करें एफ" (एक्स), बुलाया भेदभावऔर इसमें निम्नलिखित तीन चरण शामिल हैं: 1) तर्क दें एक्सवेतन वृद्धि  एक्सऔर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि निर्धारित करें  y = f(x+ एक्स) -एफ(एक्स); 2) रिश्ता बनाना

3)गिनती एक्सस्थिर और  एक्स0, हम पाते हैं
, जिसे हम निरूपित करते हैं एफ" (एक्स), मानो इस बात पर ज़ोर दे रहा हो कि परिणामी फ़ंक्शन केवल मान पर निर्भर करता है एक्स, जिस पर हम सीमा तक चले जाते हैं। परिभाषा: व्युत्पन्न y " =f " (x) दिया गया फलन y=f(x) किसी दिए गए x के लिएकिसी फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को कहा जाता है, बशर्ते कि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, यदि, निश्चित रूप से, यह सीमा मौजूद है, यानी। परिमित. इस प्रकार,
, या

ध्यान दें कि यदि कुछ मूल्य पर एक्स, उदाहरण के लिए जब एक्स=ए, नज़रिया
पर  एक्स0 परिमित सीमा की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, तो इस स्थिति में वे कहते हैं कि फलन एफ(एक्स)पर एक्स=ए(या बिंदु पर एक्स=ए) का कोई व्युत्पन्न नहीं है या बिंदु पर अवकलनीय नहीं है एक्स=ए.

2. व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ.

फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ पर विचार करें, जो बिंदु x 0 के आसपास अवकलनीय है

एफ(एक्स)

आइए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा पर विचार करें - बिंदु A(x 0, f (x 0)) और ग्राफ़ को किसी बिंदु B(x;f(x)) पर काटती है। ऐसी रेखा (AB) को छेदक रेखा कहा जाता है। ∆ABC से: ​​AC = ∆x; बीसी =∆у; tgβ=∆y/∆x.

चूंकि एसी || बैल, तो ALO = BAC = β (समानांतर के अनुरूप)। लेकिन ALO ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा में छेदक AB के झुकाव का कोण है। इसका मतलब यह है कि tanβ = k सीधी रेखा AB का कोणीय गुणांक है।

अब हम ∆x को कम करेंगे, अर्थात ∆х→ 0. इस स्थिति में, बिंदु B ग्राफ़ के अनुसार बिंदु A तक पहुंचेगा, और छेदक AB घूमेगा। ∆x→ 0 पर छेदक AB की सीमित स्थिति एक सीधी रेखा (a) होगी, जिसे बिंदु A पर फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ की स्पर्शरेखा कहा जाता है।

यदि हम समानता tgβ =∆y/∆x में ∆x → 0 के रूप में सीमा तक जाते हैं, तो हमें मिलता है
ortg =f "(x 0), चूँकि
-ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण
, एक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। लेकिन tg = k स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक है, जिसका अर्थ है k = tg = f "(x 0)।

इसलिए, ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न इस प्रकार है:

बिंदु x पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 के बराबर ढलानभुज x वाले बिंदु पर खींचे गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा 0 .

3. व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ.

एक सीधी रेखा में एक बिंदु की गति पर विचार करें। मान लीजिए किसी भी समय किसी बिंदु का निर्देशांक x(t) दिया गया है। यह ज्ञात है (भौतिकी पाठ्यक्रम से) कि किसी समयावधि में औसत गति इस अवधि के दौरान तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात।

वाव = ∆x/∆t. आइए अंतिम समानता में ∆t → 0 के रूप में सीमा पर जाएं।

लिम वाव (टी) = (टी 0) - तत्काल गतिसमय t 0, ∆t → 0 पर।

और lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार)।

तो, (t) =x"(t).

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्नय = एफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0 फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर हैएफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0

व्युत्पन्न का उपयोग भौतिकी में निर्देशांक बनाम समय के ज्ञात फ़ंक्शन से वेग खोजने के लिए किया जाता है, वेग बनाम समय के ज्ञात फ़ंक्शन से त्वरण का पता लगाने के लिए किया जाता है।

(t) = x"(t) - गति,

ए(एफ) = "(टी) - त्वरण, या

यदि किसी वृत्त में किसी भौतिक बिंदु की गति का नियम ज्ञात हो, तो घूर्णी गति के दौरान कोणीय वेग और कोणीय त्वरण ज्ञात किया जा सकता है:

φ = φ(t) - समय के साथ कोण में परिवर्तन,

ω = φ"(टी) - कोणीय वेग,

ε = φ"(t) - कोणीय त्वरण, या ε = φ"(t).

यदि किसी अमानवीय छड़ के द्रव्यमान वितरण का नियम ज्ञात हो, तो अमानवीय छड़ का रैखिक घनत्व पाया जा सकता है:

एम = एम(एक्स) - द्रव्यमान,

x  , एल - छड़ की लंबाई,

पी = एम"(एक्स) - रैखिक घनत्व।

व्युत्पन्न का उपयोग करके, लोच और हार्मोनिक कंपन के सिद्धांत की समस्याओं का समाधान किया जाता है। तो, हुक के नियम के अनुसार

एफ = -केएक्स, एक्स - चर निर्देशांक, के - स्प्रिंग लोच गुणांक। ω 2 =k/m रखने पर, हमें स्प्रिंग लोलक x"(t) + ω 2 x(t) = 0 का अवकल समीकरण प्राप्त होता है।

जहां ω = √k/√m दोलन आवृत्ति (l/c), k - स्प्रिंग कठोरता (H/m)।

फॉर्म y" + ω 2 y = 0 के समीकरण को हार्मोनिक दोलनों (मैकेनिकल, इलेक्ट्रिकल, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक) का समीकरण कहा जाता है। ऐसे समीकरणों का समाधान फ़ंक्शन है

y = Asin(ωt + φ 0) या y = Acos(ωt + φ 0), जहां

ए - दोलनों का आयाम, ω - चक्रीय आवृत्ति,

φ 0 - प्रारंभिक चरण।

गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना पूरी तरह से असंभव है। गणितीय विश्लेषण में व्युत्पन्न सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज का लेख इस मूलभूत विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , एक निश्चित अंतराल में निर्दिष्ट (ए, बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क बदलना - उसके मूल्यों में अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न की परिभाषा:

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? और यहाँ यह है:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक विशेष मार्ग है x=f(t) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

किसी समय में गति की गति का पता लगाना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: एक स्थिरांक निर्धारित करें

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय इसे एक नियम के रूप में लें - यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो उसे सरल बनाना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।

उपरोक्त उदाहरण में हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो फलनों के भागफल का अवकलज ज्ञात करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियाँ होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन परीक्षा को हल करने और कार्यों को समझने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी व्युत्पन्न गणना नहीं की हो।