किसी खंड उदाहरण पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान। किसी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान

आइए देखें कि ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करें। यह पता चलता है कि ग्राफ़ को देखकर, हम वह सब कुछ पता लगा सकते हैं जिसमें हमारी रुचि है, अर्थात्:

• किसी फ़ंक्शन का डोमेन
• फ़ंक्शन रेंज
• फ़ंक्शन शून्य
• बढ़ने और घटने का अंतराल
• अधिकतम और न्यूनतम अंक
• महानतम और सबसे छोटा मूल्यएक खंड पर कार्य करता है।

आइए शब्दावली स्पष्ट करें:

सूच्याकार आकृति का भुजबिंदु का क्षैतिज निर्देशांक है.
तालमेल- लंबवत समन्वय.
एब्सिस्सा अक्ष- क्षैतिज अक्ष, जिसे अक्सर अक्ष कहा जाता है।
Y अक्ष- ऊर्ध्वाधर अक्ष, या अक्ष।

तर्क- एक स्वतंत्र चर जिस पर फ़ंक्शन मान निर्भर करते हैं। सबसे अधिक बार संकेत दिया गया है।
दूसरे शब्दों में, हम फ़ंक्शन को सूत्र में चुनते हैं, स्थानापन्न करते हैं और प्राप्त करते हैं।

कार्यक्षेत्रफ़ंक्शंस - उन (और केवल उन) तर्क मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मौजूद है।
द्वारा संकेतित: या .

हमारे चित्र में, फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खंड है। इसी खंड पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचा जाता है। केवल यहां यह फ़ंक्शनमौजूद।

फ़ंक्शन रेंजमानों का वह समूह है जो एक चर लेता है। हमारे चित्र में, यह एक खंड है - निम्नतम से उच्चतम मान तक।

फ़ंक्शन शून्य- वे बिंदु जहां फ़ंक्शन का मान शून्य है, अर्थात। हमारे चित्र में ये बिंदु हैं और।

फ़ंक्शन मान सकारात्मक हैंकहाँ । हमारे चित्र में ये अंतराल हैं और।
फ़ंक्शन मान नकारात्मक हैंकहाँ । हमारे लिए, यह से तक का अंतराल (या अंतराल) है।

सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ - बढ़ता और घटता कार्यकिसी सेट पर. एक सेट के रूप में, आप एक खंड, एक अंतराल, अंतरालों का एक संघ या संपूर्ण संख्या रेखा ले सकते हैं।

समारोह बढ़ती है

दूसरे शब्दों में, जितना अधिक, उतना अधिक, यानी ग्राफ़ दाईं ओर और ऊपर जाता है।

समारोह कम हो जाती हैकिसी सेट पर यदि किसी के लिए और सेट से संबंधित है, तो असमानता का तात्पर्य असमानता से है।

घटते फ़ंक्शन के लिए, बड़ा मान छोटे मान से मेल खाता है। ग्राफ़ दाएँ और नीचे जाता है।

हमारे चित्र में, फलन अंतराल पर बढ़ता है और अंतराल पर घटता है।

आइए परिभाषित करें कि यह क्या है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक.

अधिकतम बिंदु- यह परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु है, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान इसके पर्याप्त करीब सभी बिंदुओं से अधिक है।
दूसरे शब्दों में, अधिकतम बिंदु वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का मान होता है अधिकपड़ोसी की तुलना में. यह चार्ट पर एक स्थानीय "पहाड़ी" है।

हमारे चित्र में एक अधिकतम बिंदु है।

न्यूनतम बिंदु- परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान इसके पर्याप्त रूप से करीब सभी बिंदुओं से कम है।
यानी न्यूनतम बिंदु ऐसा है कि इसमें फ़ंक्शन का मान उसके पड़ोसियों की तुलना में कम है। यह ग्राफ़ पर एक स्थानीय "छेद" है।

हमारे चित्र में न्यूनतम बिंदु है।

बात सीमा की है. यह परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु नहीं है और इसलिए अधिकतम बिंदु की परिभाषा में फिट नहीं बैठता है। आख़िरकार, बाईं ओर उसका कोई पड़ोसी नहीं है। उसी तरह, हमारे चार्ट पर कोई न्यूनतम बिंदु नहीं हो सकता।

अधिकतम और न्यूनतम अंक एक साथ कहलाते हैं फ़ंक्शन के चरम बिंदु. हमारे मामले में यह है और .

यदि आपको खोजने की आवश्यकता हो तो क्या करें, उदाहरण के लिए, न्यूनतम कार्यखंड पर? इस मामले में उत्तर है: . क्योंकि न्यूनतम कार्यन्यूनतम बिंदु पर इसका मान है.

इसी प्रकार, हमारे कार्य की अधिकतम सीमा है। यह बिंदु पर पहुंच गया है.

हम कह सकते हैं कि फलन का चरम और के बराबर है।

कभी-कभी समस्याओं को खोजने की आवश्यकता होती है किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मानकिसी दिए गए खंड पर. जरूरी नहीं कि वे चरम सीमाओं से मेल खाते हों।

हमारे मामले में सबसे छोटा फ़ंक्शन मानखंड पर फ़ंक्शन के न्यूनतम के बराबर है और उसके साथ मेल खाता है। लेकिन इस सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा मूल्य बराबर है। यह खंड के बाएँ छोर पर पहुँच जाता है।

किसी भी मामले में, सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान सतत कार्यकिसी खंड पर या तो चरम बिंदु पर या खंड के अंत में प्राप्त किया जाता है।

कार्य करने दो य =एफ(एक्स)अंतराल पर निरंतर है [ ए, बी]. जैसा कि ज्ञात है, ऐसा फ़ंक्शन इस खंड पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है। फ़ंक्शन इन मानों को खंड के आंतरिक बिंदु पर भी ले सकता है [ ए, बी], या खंड की सीमा पर।

खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए [ ए, बी] ज़रूरी:

1) खोजें महत्वपूर्ण बिंदुअंतराल में कार्य ( ए, बी);

2) पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें;

3) खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात, जब एक्स=एऔर एक्स = बी;

4) फ़ंक्शन के सभी परिकलित मानों में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

उदाहरण।किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

खंड पर.

महत्वपूर्ण बिंदु ढूँढना:

ये बिंदु खंड के अंदर स्थित हैं; य(1) = ‒ 3; य(2) = ‒ 4; य(0) = ‒ 8; य(3) = 1;

बिंदु पर एक्स= 3 और बिंदु पर एक्स= 0.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन।

समारोह य = एफ (एक्स) बुलाया उत्तलबीच में (ए, बी) , यदि इसका ग्राफ इस अंतराल में किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के अंतर्गत आता है, और कहा जाता है उत्तल नीचे (अवतल), यदि इसका ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है।

वह बिंदु जिसके माध्यम से उत्तलता को अवतलता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है या इसके विपरीत कहा जाता है संक्रमण का बिन्दु.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु की जांच के लिए एल्गोरिदम:

1. दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात वे बिंदु जिन पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

2. महत्वपूर्ण बिंदुओं को अंतरालों में विभाजित करते हुए संख्या रेखा पर आलेखित करें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे अवकलज का चिह्न ज्ञात करें; यदि, तो फलन ऊपर की ओर उत्तल है, यदि, तो फलन नीचे की ओर उत्तल है।

3. यदि, दूसरे प्रकार के क्रांतिक बिंदु से गुजरते समय, चिह्न बदल जाता है और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो यह बिंदु विभक्ति बिंदु का भुज है। इसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख। स्पर्शोन्मुख के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन।

परिभाषा।किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी को कहा जाता है सीधा, जिसमें यह गुण है कि ग्राफ़ पर किसी भी बिंदु से इस रेखा की दूरी शून्य हो जाती है क्योंकि ग्राफ़ पर बिंदु मूल बिंदु से अनिश्चित काल तक चलता है।

अनंतस्पर्शी तीन प्रकार के होते हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और झुका हुआ।

परिभाषा।सीधी रेखा कहलाती है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स), यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन की कम से कम एक तरफा सीमा अनंत के बराबर है, अर्थात

फ़ंक्शन का असंततता बिंदु कहां है, अर्थात यह परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है।

उदाहरण।

डी ( य) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स= 2 – विराम बिंदु.

परिभाषा।सीधा य =एबुलाया समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखाफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)पर, यदि

उदाहरण।

एक्स
य

परिभाषा।सीधा य =कएक्स +बी (क≠ 0) कहा जाता है तिरछा अनंतस्पर्शीफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)कहा पर

फ़ंक्शंस का अध्ययन करने और ग्राफ़ बनाने की सामान्य योजना।

फ़ंक्शन अनुसंधान एल्गोरिदमवाई = एफ(एक्स) :

1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें डी (य).

2. निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि संभव हो) खोजें (यदि संभव हो)। एक्स= 0 और पर य = 0).

3. फ़ंक्शन की समरूपता और विषमता की जांच करें ( य (‒ एक्स) = य (एक्स) ‒ समानता; य(‒ एक्स) = ‒ य (एक्स) ‒ विषम)।

4. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख खोजें।

5. फलन की एकरसता के अंतराल ज्ञात कीजिए।

6. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

7. फ़ंक्शन ग्राफ़ के उत्तलता (अवतलता) और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल का पता लगाएं।

8. किए गए शोध के आधार पर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

उदाहरण।फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

1) डी (य) =

एक्स= 4 – विराम बिंदु.

2) कब एक्स = 0,

(0; ‒ 5) - प्रतिच्छेदन बिंदु ओह.

पर य = 0,

3) य(‒ एक्स)= समारोह सामान्य रूप से देखें(न तो सम और न ही विषम)।

4) हम स्पर्शोन्मुखता की जांच करते हैं।

ए) लंबवत

बी) क्षैतिज

ग) जहां परोक्ष अनंतस्पर्शी खोजें

‒परोक्ष अनंतस्पर्शी समीकरण

5)बी दिया गया समीकरणफ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल को खोजने की कोई आवश्यकता नहीं है।

6)

ये महत्वपूर्ण बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे डोमेन को अंतराल (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) और (10; +∞) में विभाजित करते हैं। प्राप्त परिणामों को निम्नलिखित तालिका के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

इस सेवा से आप कर सकते हैं किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें Word में स्वरूपित समाधान के साथ एक चर f(x)। इसलिए, यदि फलन f(x,y) दिया गया है, तो दो चरों के फलन का चरम ज्ञात करना आवश्यक है। आप बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल भी पा सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

आप=

खंड पर [ ;]

सिद्धांत शामिल करें

कार्यों में प्रवेश के नियम:

एक चर के फलन के चरम के लिए आवश्यक शर्त

समीकरण f" 0 (x *) = 0 है आवश्यक शर्तएक चर के फलन का चरम, अर्थात् बिंदु x * पर फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाना चाहिए। यह स्थिर बिंदुओं x c की पहचान करता है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ता या घटता नहीं है।

एक चर के फलन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए f 0 (x) समुच्चय D से संबंधित x के संबंध में दो बार अवकलनीय है। यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *) > 0

तब बिंदु x * फ़ंक्शन का स्थानीय (वैश्विक) न्यूनतम बिंदु है।

यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *)< 0

तब बिंदु x * एक स्थानीय (वैश्विक) अधिकतम है।

उदाहरण क्रमांक 1. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें: खंड पर।
समाधान।

क्रांतिक बिंदु एक x 1 = 2 (f'(x)=0) है। यह बिंदु खंड का है. (बिंदु x=0 महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि 0∉)।
हम खंड के अंत और महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
उत्तर: f मिनट = 5/2 x=2 पर; f अधिकतम =9 x=1 पर

उदाहरण क्रमांक 2. उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके, फ़ंक्शन y=x-2sin(x) का चरम ज्ञात करें।
समाधान।
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y'=1-2cos(x) । आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z। हम y''=2sin(x) पाते हैं, गणना करते हैं, जिसका अर्थ है कि x= π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं; , जिसका अर्थ है x=- π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु हैं।

उदाहरण संख्या 3. बिंदु x=0 के आसपास चरम फ़ंक्शन की जांच करें।
समाधान। यहां फलन का चरम खोजना आवश्यक है। यदि चरम x=0 है, तो इसका प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) ज्ञात कीजिए। यदि पाए गए बिंदुओं में कोई x = 0 नहीं है, तो फ़ंक्शन f(x=0) के मान की गणना करें।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब किसी दिए गए बिंदु के प्रत्येक पक्ष पर व्युत्पन्न अपना संकेत नहीं बदलता है, तो संभावित स्थितियां अलग-अलग कार्यों के लिए भी समाप्त नहीं होती हैं: ऐसा हो सकता है कि बिंदु x 0 के एक तरफ एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए या दोनों तरफ व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न। इन बिंदुओं पर चरम सीमा पर कार्यों का अध्ययन करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करना आवश्यक है।

किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम एक सुविख्यात एल्गोरिदम का पालन करते हैं:

1 . हमें ODZ फ़ंक्शंस मिलते हैं।

2 . फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना

3 . व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करना

4 . हम वे अंतराल पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल I पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" title='f^( prime)(x)>0 है">, то функция !} इस अंतराल में वृद्धि होती है।

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।

5 . हम देखतें है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक.

में फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है.

में फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न चिन्ह "-" से "+" में बदल जाता है.

6 . हम खंड के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं,

• फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है तो उनमें से सबसे बड़ा चुनें
• या खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करना है तो उनमें से सबसे छोटा चुनें

हालाँकि, फ़ंक्शन सेगमेंट पर कैसे व्यवहार करता है, इसके आधार पर, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

फ़ंक्शन पर विचार करें . इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए ओपन टास्क बैंक से समस्याओं को हल करने के कई उदाहरण देखें

1 . टास्क बी15 (नंबर 26695)

खंड पर.

1. फ़ंक्शन x के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और x के सभी मानों के लिए व्युत्पन्न सकारात्मक है। नतीजतन, फ़ंक्शन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर, यानी x=0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।

उत्तर: 5.

2 . टास्क बी15 (नंबर 26702)

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर.

1. ओडीजेड कार्य शीर्षक='x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हालाँकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, title='3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मान लेता है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि अवकलज चिह्न क्यों नहीं बदलता, हम अवकलज के लिए व्यंजक को रूपांतरित करते हैं इस अनुसार:

शीर्षक='y^(प्राइम)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

उत्तर: 5.

3. टास्क बी15 (नंबर 26708)

खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: title='x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

आइए इस समीकरण की जड़ों को त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।

अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: और

आइए संकेत लगाएं. ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x=0 पर अवकलज का चिह्न निर्धारित करते हैं: . बिंदुओं से गुजरते समय तथा, व्युत्पन्न चिह्न बदल देता है।

आइए हम समन्वय रेखा पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन को चित्रित करें:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जिस पर व्युत्पन्न का चिह्न "-" से "+" में बदल जाता है), और खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु और खंड के बाएँ छोर पर, .

इस आर्टिकल में मैं बात करूंगा सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदमकार्य, न्यूनतम और अधिकतम अंक।

सैद्धान्तिक दृष्टि से यह निश्चित ही हमारे लिये उपयोगी होगा व्युत्पन्न तालिकाऔर विभेदन नियम. यह सब इस प्लेट पर है:

सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम।

एक विशिष्ट उदाहरण के साथ समझाना मेरे लिए अधिक सुविधाजनक है। विचार करना:

उदाहरण:खंड [-4;0] पर फ़ंक्शन y=x^5+20x^3–65x का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

स्टेप 1।हम व्युत्पन्न लेते हैं।

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

चरण दो।चरम बिंदु ढूँढना.

चरम बिंदुहम उन बिंदुओं को कहते हैं जिन पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है।

चरम बिंदु खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को शून्य (y" = 0) के बराबर करना होगा

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

अब हम इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं और पाए गए मूल हमारे चरम बिंदु हैं।

मैं t = x^2 को प्रतिस्थापित करके ऐसे समीकरणों को हल करता हूं, फिर 5t^2 + 60t - 65 = 0।

आइए समीकरण को 5 से कम करें, हमें मिलता है: t^2 + 12t - 13 = 0

डी = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

टी_(1) = (-12 + वर्ग(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

हम विपरीत परिवर्तन x^2 = t करते हैं:

X_(1 और 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 और 4) = ±sqrt(-13) (हम छोड़ देते हैं, मूल के नीचे ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हो सकतीं, जब तक कि हम सम्मिश्र संख्याओं के बारे में बात नहीं कर रहे हों)

कुल: x_(1) = 1 और x_(2) = -1 - ये हमारे चरम बिंदु हैं।

चरण 3।सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें.

प्रतिस्थापन विधि.

शर्त में, हमें खंड [बी][–4;0] दिया गया था। बिंदु x=1 इस खंड में शामिल नहीं है। इसलिए हम इस पर विचार नहीं कर रहे हैं. लेकिन बिंदु x=-1 के अलावा, हमें अपने खंड की बाईं और दाईं सीमाओं, यानी बिंदु -4 और 0 पर भी विचार करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम इन तीनों बिंदुओं को मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं। ध्यान दें कि मूल वह है जो स्थिति (y=x^5+20x^3–65x) में दिया गया है, कुछ लोग इसे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करना शुरू कर देते हैं...

वाई(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [बी]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [बी]44 है और इसे बिंदु [बी]-1 पर हासिल किया जाता है, जिसे सेगमेंट पर फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है [-4; 0].

हमने फैसला किया और जवाब मिला, हम महान हैं, आप आराम कर सकते हैं। लेकिन रुको! क्या आपको नहीं लगता कि y(-4) की गणना करना किसी तरह से बहुत कठिन है? सीमित समय की स्थितियों में, किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है, मैं इसे यह कहता हूँ:

संकेत स्थिरता के अंतराल के माध्यम से.

ये अंतराल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए पाए जाते हैं, यानी हमारे द्विघात समीकरण के लिए।

मैं इसे ऐसे ही करता हूं. मैं एक निर्देशित खंड बनाता हूं। मैं अंक रखता हूं: -4, -1, 0, 1। इस तथ्य के बावजूद कि 1 दिए गए खंड में शामिल नहीं है, संकेत की स्थिरता के अंतराल को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए इसे अभी भी नोट किया जाना चाहिए। आइए 1 से कई गुना बड़ी कोई संख्या लें, मान लीजिए 100, और मानसिक रूप से इसे हमारे द्विघात समीकरण 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 में प्रतिस्थापित करें। कुछ भी गिनने के बिना भी, यह स्पष्ट हो जाता है कि बिंदु 100 पर फ़ंक्शन में प्लस चिह्न है. इसका मतलब यह है कि 1 से 100 तक के अंतराल के लिए इसमें प्लस चिह्न होता है। 1 से गुजरते समय (हम दाएँ से बाएँ जाते हैं), फ़ंक्शन चिह्न को ऋण में बदल देगा। बिंदु 0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखेगा, क्योंकि यह केवल खंड की सीमा है, समीकरण की जड़ नहीं। -1 से गुजरने पर, फ़ंक्शन फिर से चिह्न को प्लस में बदल देगा।

सिद्धांत से हम जानते हैं कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहां है (और हमने इसके लिए सटीक रूप से यह निकाला है) चिह्न को धन से ऋण में बदलता है (हमारे मामले में बिंदु -1)फ़ंक्शन पहुंचता है यह स्थानीय अधिकतम है (y(-1)=44, जैसा कि पहले गणना की गई थी)इस खंड पर (यह तार्किक रूप से बहुत समझने योग्य है, फ़ंक्शन बढ़ना बंद हो गया क्योंकि यह अपने अधिकतम पर पहुंच गया और घटने लगा)।

तदनुसार, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहां है चिह्न को ऋण से धन में बदलता है, हासिल की है किसी फ़ंक्शन का स्थानीय न्यूनतम. हाँ, हाँ, हमने यह भी पाया कि स्थानीय न्यूनतम बिंदु 1 है, और y(1) खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है, मान लीजिए -1 से +∞ तक। कृपया ध्यान दें कि यह केवल एक स्थानीय न्यूनतम है, यानी एक निश्चित खंड पर न्यूनतम। चूंकि फ़ंक्शन का वास्तविक (वैश्विक) न्यूनतम वहां -∞ पर कहीं पहुंचेगा।

मेरी राय में, पहली विधि सैद्धांतिक रूप से सरल है, और दूसरी अंकगणितीय संक्रियाओं के दृष्टिकोण से सरल है, लेकिन सिद्धांत के दृष्टिकोण से बहुत अधिक जटिल है। आखिरकार, कभी-कभी ऐसे मामले होते हैं जब फ़ंक्शन समीकरण की जड़ से गुजरने पर संकेत नहीं बदलता है, और सामान्य तौर पर आप इन स्थानीय, वैश्विक मैक्सिमा और मिनिमा से भ्रमित हो सकते हैं, हालांकि आपको इसमें अच्छी तरह से महारत हासिल करनी होगी यदि आप एक तकनीकी विश्वविद्यालय में प्रवेश की योजना बनाएं (और इसके लिए प्रोफ़ाइल यूनिफ़ाइड स्टेट परीक्षा क्यों लें और इस कार्य को हल करें)। लेकिन अभ्यास और केवल अभ्यास आपको ऐसी समस्याओं को हमेशा के लिए हल करना सिखाएगा। और आप हमारी वेबसाइट पर प्रशिक्षण ले सकते हैं। यहाँ ।

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