किसी आकृति को घुमाने पर प्राप्त वस्तु का आयतन। घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना

परिभाषा 3. परिक्रमण पिंड वह पिंड है जो एक सपाट आकृति को एक अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त किया जाता है जो आकृति को प्रतिच्छेद नहीं करता है और उसके साथ एक ही तल में स्थित होता है।

घूर्णन की धुरी आकृति को काट सकती है यदि यह आकृति की समरूपता की धुरी है।

प्रमेय 2.
, एक्सिस
और सीधे खंड
और

एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. फिर घूर्णन के परिणामी निकाय की मात्रा की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

(2)

सबूत। ऐसे शरीर के लिए, एब्सिस्सा के साथ क्रॉस सेक्शन त्रिज्या का एक वृत्त है
, मतलब
और सूत्र (1) आवश्यक परिणाम देता है।

यदि आंकड़ा दो निरंतर कार्यों के ग्राफ़ द्वारा सीमित है
और
, और रेखा खंड
और
, और
और
, फिर x-अक्ष के चारों ओर घूमने पर हमें एक पिंड प्राप्त होता है जिसका आयतन होता है

उदाहरण 3. एक वृत्त से घिरे एक वृत्त को घुमाने से प्राप्त टोरस के आयतन की गणना करें

भुज अक्ष के चारों ओर।

आर फ़ैसला। संकेतित वृत्त नीचे फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित है
, और ऊपर से -
. इन कार्यों के वर्गों का अंतर:

आवश्यक मात्रा

(इंटीग्रैंड का ग्राफ़ ऊपरी अर्धवृत्त है, इसलिए ऊपर लिखा गया इंटीग्रल अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है)।

उदाहरण 4. आधार के साथ परवलयिक खंड
, और ऊंचाई , आधार के चारों ओर घूमता है। परिणामी पिंड के आयतन की गणना करें (कैवेलियरी द्वारा "नींबू")।

आर फ़ैसला। चित्र में दिखाए अनुसार परवलय को रखें। फिर उसका समीकरण
, और
. आइए पैरामीटर का मान ज्ञात करें :
. तो, आवश्यक मात्रा:

प्रमेय 3. मान लीजिए कि एक वक्ररेखीय समलम्बाकार एक सतत गैर-नकारात्मक फलन के ग्राफ से घिरा है
, एक्सिस
और सीधे खंड
और
, और
, एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. फिर परिक्रमण के परिणामी पिंड का आयतन सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

(3)

प्रमाण का विचार. हमने खंड को विभाजित कर दिया
डॉट्स

, भागों में और सीधी रेखाएँ खींचें
. पूरे ट्रेपेज़ॉइड को स्ट्रिप्स में विघटित किया जाएगा, जिसे आधार के साथ लगभग आयताकार माना जा सकता है
और ऊंचाई
.

हम ऐसे आयत को उसके जेनरेट्रिक्स के साथ घुमाकर परिणामी सिलेंडर को काटते हैं और उसे खोलते हैं। हमें आयामों के साथ एक "लगभग" समानता मिलती है:
,
और
. इसकी मात्रा
. इसलिए, परिक्रमण पिंड के आयतन के लिए हमारे पास लगभग समानता होगी

सटीक समानता प्राप्त करने के लिए, किसी को सीमा तक जाना होगा
. ऊपर लिखा गया योग फलन का अभिन्न योग है
, इसलिए, सीमा में हम सूत्र (3) से अभिन्न अंग प्राप्त करते हैं। प्रमेय सिद्ध है.

नोट 1। प्रमेय 2 और 3 में शर्त
छोड़ा जा सकता है: सूत्र (2) आमतौर पर संकेत के प्रति असंवेदनशील है
, और सूत्र (3) में यह पर्याप्त है
द्वारा प्रतिस्थापित
.

उदाहरण 5. परवलयिक खंड (आधार
, ऊंचाई ) ऊंचाई के चारों ओर घूमता है। परिणामी पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए परवलय को चित्र में दिखाए अनुसार रखें। और यद्यपि घूर्णन की धुरी आकृति को काटती है, यह - धुरी - समरूपता की धुरी है। इसलिए, हमें केवल खंड के दाहिने आधे हिस्से पर विचार करने की आवश्यकता है। परवलय समीकरण
, और
, मतलब
. वॉल्यूम के लिए हमारे पास है:

नोट 2। यदि एक वक्ररेखीय समलंब की वक्ररेखीय सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी गई है
,
,
और
,
तब आप प्रतिस्थापन के साथ सूत्र (2) और (3) का उपयोग कर सकते हैं पर
और
पर
जब यह बदलता है टीसे
पहले .

उदाहरण 6. यह आंकड़ा चक्रवात के पहले चाप द्वारा सीमित है
,
,
, और एक्स-अक्ष। इस आकृति को चारों ओर घुमाकर प्राप्त वस्तु का आयतन ज्ञात कीजिए: 1) अक्ष
; 2) कुल्हाड़ियाँ
.

समाधान। 1) सामान्य सूत्र
हमारे मामले में:

2) सामान्य सूत्र
हमारे आंकड़े के लिए:

हम विद्यार्थियों को सभी गणनाएँ स्वयं करने के लिए आमंत्रित करते हैं।

नोट 3। मान लीजिए कि एक घुमावदार त्रिज्यखंड एक सतत रेखा से घिरा है
और किरणें
,

, एक ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी पिंड के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

उदाहरण 7. कार्डियोइड से घिरी आकृति का भाग
, घेरे के बाहर लेटा हुआ
, एक ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान। दोनों रेखाएँ, और इसलिए जिस आकृति को वे सीमित करते हैं, ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित हैं। अत: केवल उसी भाग पर विचार करना आवश्यक है जिसके लिए
. वक्र प्रतिच्छेद करते हैं
और

पर
. इसके अलावा, इस आंकड़े को दो क्षेत्रों के अंतर के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए वॉल्यूम की गणना दो अभिन्नों के अंतर के रूप में की जा सकती है। हमारे पास है:

कार्य स्वतंत्र निर्णय के लिए.

1. एक वृत्ताकार खंड जिसका आधार
, ऊंचाई , आधार के चारों ओर घूमता है। घूमने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

2. परिक्रमण के उस परवलय का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार है , और ऊंचाई है .

3. एक क्षुद्रग्रह से घिरी हुई आकृति
,
भुज अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

4. रेखाओं से घिरी आकृति
और
x-अक्ष के चारों ओर घूमता है। घूमने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

I. घूर्णन पिंडों का आयतन। जी. एम. फिख्तेंगोल्ट्स की पाठ्यपुस्तक से अध्याय XII, पैराग्राफ 197, 198 का ​​प्रारंभिक अध्ययन करें * पैराग्राफ 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. ऑक्स अक्ष के चारों ओर एक दीर्घवृत्त को घुमाने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस प्रकार,

530. बिंदु

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें।

532. निर्मित सतह क्षेत्र की गणना करें

एस्ट्रोइड x3 -)- y* - a3 का ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमना।

533. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र 18 ug - x (6 - x) z के लूप को घुमाने से बने सतह क्षेत्र की गणना करें।

534. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वृत्त X2 - j - (y-3)2 = 4 के घूमने से उत्पन्न टोरस की सतह ज्ञात कीजिए।

535. वृत्त के घूमने से बने सतह क्षेत्र की गणना करें

536. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के लूप के घूमने से बने सतह क्षेत्र की गणना करें।

537. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र x = e*sint, y = el लागत के चाप को घुमाने से बनने वाला सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

t = 0 से t = — तक।

538. दिखाएँ कि ओय अक्ष के चारों ओर चक्रवात चाप x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) के घूमने से बनी सतह 16 u2 o2 के बराबर है।

539. ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर कार्डियोइड को घुमाने से प्राप्त सतह ज्ञात कीजिए।

540. लेम्निस्केट के घूमने से बना सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर.

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों का क्षेत्रफल

541. वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष बैल.

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

और अक्ष बैल.

543. प्रथम चतुर्थांश में स्थित तथा वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिये

एल समन्वय अक्ष।

544. अन्दर समाहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

लूप:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

546. लूप के अंदर समाहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

और अक्ष बैल.

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

और अक्ष बैल.

549. ऑक्सर अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधा और वक्र

के अलावा एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना (देखें 7.2.3.)विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना करना. सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: आपको हल करने में सक्षम होना चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्नमध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करें निश्चित अभिन्न, एनआपको मजबूत ड्राइंग कौशल की भी आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, इंटीग्रल कैलकुलस में कई दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं; एक निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र, घूर्णन के पिंड का आयतन, एक चाप की लंबाई, एक पिंड के सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। और भी बहुत कुछ। कुछ कल्पना कीजिए सपाट आकृतिसमन्वय तल पर. परिचय? ... अब इस आकृति को घुमाया भी जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास ;

- कोर्डिनेट अक्ष के चारों ओर .

आइए दोनों मामलों पर नजर डालें। घूर्णन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है; यह सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वही है जो एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य घूर्णन में होता है। आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरुआत करें।

शरीर की मात्रा की गणना, घूर्णन द्वारा निर्मितएक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति बैल

उदाहरण 1

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:जैसे क्षेत्र खोजने की समस्या में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्रण से शुरू होता है. यानी हवाई जहाज़ पर XOYएक आकृति बनाना आवश्यक है, रेखाओं से घिरा हुआ, , और यह मत भूलो कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। यहाँ चित्रांकन काफी सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है; यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। घूर्णन के परिणामस्वरूप, धुरी पर दो तेज चोटियों के साथ थोड़ा अंडाकार उड़न तश्तरी प्राप्त होती है बैल, अक्ष के बारे में सममित बैल. वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, संदर्भ पुस्तक में देखें।

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना कैसे करें? यदि कोई पिंड किसी अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप बनता हैबैल, यह मानसिक रूप से छोटी मोटाई की समानांतर परतों में विभाजित है डीएक्स, जो अक्ष के लंबवत हैं बैल. पूरे शरीर का आयतन स्पष्ट रूप से ऐसी प्राथमिक परतों के आयतन के योग के बराबर है। प्रत्येक परत, नींबू के गोल टुकड़े की तरह, ऊंचाई में एक कम सिलेंडर है डीएक्सऔर आधार त्रिज्या के साथ एफ(एक्स). फिर एक परत का आयतन आधार क्षेत्र π का ​​गुणनफल है एफ 2 प्रति सिलेंडर ऊंचाई ( डीएक्स), या π∙ एफ 2 (एक्स)∙डीएक्स. और घूर्णन के संपूर्ण पिंड का क्षेत्रफल प्राथमिक आयतनों या तदनुरूप का योग है समाकलन परिभाषित करें. परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

.

"ए" और "बी" के एकीकरण की सीमा कैसे निर्धारित की जाए, इसका अंदाजा पूरी ड्राइंग से आसानी से लगाया जा सकता है। फ़ंक्शन... यह फ़ंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें. समतल आकृति शीर्ष पर परवलय के ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है। व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है बैल. इससे कुछ भी नहीं बदलता - सूत्र में फ़ंक्शन का वर्ग किया गया है: एफ 2 (एक्स), इस प्रकार, परिक्रमण पिंड का आयतन सदैव गैर-ऋणात्मक होता है, जो बहुत तार्किक है. आइए इस सूत्र का उपयोग करके घूर्णन पिंड के आयतन की गणना करें:

.

जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, अभिन्न अंग लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

अपने उत्तर में आपको आयाम - घन इकाई अवश्य बताना होगा। अर्थात्, हमारे घूर्णन पिंड में लगभग 3.35 "क्यूब" होते हैं। घन क्यों इकाइयां? क्योंकि यह सर्वाधिक सार्वभौमिक सूत्रीकरण है। घन सेंटीमीटर हो सकता है, हो सकता है घन मीटर, शायद घन किलोमीटर, इत्यादि, यानी आपकी कल्पना एक उड़न तश्तरी में कितने छोटे हरे आदमी रख सकती है।

उदाहरण 2

किसी अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए बैलरेखाओं से घिरी एक आकृति , , .

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति को , , तथा भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:आइए समीकरण को भूले बिना, रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को चित्र में चित्रित करें एक्स= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है ओए:

वांछित आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलपरिणाम एक सपाट, कोणीय डोनट (दो शंक्वाकार सतहों वाला एक वॉशर) है।

आइए हम परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना इस प्रकार करें पिंडों के आयतन में अंतर. सबसे पहले, आइए लाल घेरे वाली आकृति को देखें। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलपरिणाम एक छोटा शंकु है. आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को इससे निरूपित करें वी 1 .

उस आकृति पर विचार करें जिस पर घेरा बनाया गया है हरा. यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं बैल, फिर आपको वही कटा हुआ शंकु मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए हम इसके आयतन को इससे निरूपित करें वी 2 .

यह स्पष्ट है कि मात्रा में अंतर है वी = वी 1 - वी 2 हमारे "डोनट" का आयतन है।

हम उपयोग करते हैं मानक सूत्रपरिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए:

1) लाल रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह दिलचस्प है कि इस मामले में काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा लिखा जाता है, कुछ इस प्रकार:

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

सूत्र में, संख्या पूर्णांक से पहले मौजूद होनी चाहिए। तो ऐसा हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा हुआ है।

मुझे लगता है कि पूर्ण ड्राइंग से यह अनुमान लगाना आसान है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमाएं कैसे निर्धारित की जाएं।

फ़ंक्शन... यह फ़ंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें. समतल आकृति शीर्ष पर परवलय ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। इससे कुछ भी नहीं बदलता - सूत्र में समाकलन का वर्ग किया जाता है: इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-नकारात्मक होता है , जो बहुत तार्किक है।

आइए इस सूत्र का उपयोग करके घूर्णन पिंड के आयतन की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, अभिन्न अंग लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

अपने उत्तर में आपको आयाम - घन इकाई अवश्य बताना होगा। अर्थात्, हमारे घूर्णन पिंड में लगभग 3.35 "क्यूब" होते हैं। घन क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण. घन सेंटीमीटर हो सकता है, घन मीटर हो सकता है, घन किलोमीटर हो सकता है, आदि, यानी आपकी कल्पना एक उड़न तश्तरी में कितने हरे आदमी रख सकती है।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी एक आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका व्यवहार में भी अक्सर सामना किया जाता है।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान: आइए हम रेखाचित्र में रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को चित्रित करें,,,, बिना यह भूले कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है। जब यह अपनी धुरी पर घूमता है, तो यह चार कोनों वाला एक असली डोनट बन जाता है।

आइए हम परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना इस प्रकार करें पिंडों के आयतन में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल घेरे वाली आकृति को देखें। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को इससे निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसके आयतन को इससे निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम घूमने वाले पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) घूर्णन के वांछित पिंड का आयतन:

उत्तर:

यह दिलचस्प है कि इस मामले में काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा लिखा जाता है, कुछ इस प्रकार:

आइए अब थोड़ा आराम करें और आपको ज्यामितीय भ्रम के बारे में बताएं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (दूसरे) ने किताब में देखा था मनोरंजक ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाइयों से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में एक कमरे के 18 वर्ग मीटर के बराबर तरल पदार्थ पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत कम मात्रा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सर्वश्रेष्ठ थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, जो 1950 में प्रकाशित हुई थी, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, सोच विकसित करती है और आपको समस्याओं के मूल, गैर-मानक समाधान ढूंढना सिखाती है। मैंने हाल ही में कुछ अध्यायों को बड़ी रुचि के साथ दोबारा पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने खाली समय दिया, संचार में विद्वता और व्यापक क्षितिज बहुत अच्छी बात है।

एक गीतात्मक विषयांतर के बाद, एक रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी मामले बैंड में होते हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की तैयार सीमाएँ वास्तव में दी जाती हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ सही ढंग से बनाएं, मैं आपको इसके बारे में पाठ सामग्री की याद दिला दूं ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन : यदि तर्क को दो: से विभाजित किया जाता है, तो ग्राफ़ अक्ष के अनुदिश दो बार खिंचते हैं। कम से कम 3-4 अंक खोजने की सलाह दी जाती है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसार ड्राइंग को अधिक सटीकता से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।