तात्कालिक वेग केंद्र का उपयोग करके एक समतल आकृति पर बिंदुओं के वेग का निर्धारण करना। समतल आकृति के शरीर पर बिंदुओं की गति का निर्धारण करना समतल आकृति के किसी भी बिंदु की गति का निर्धारण कैसे करें
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समतल-समानांतर या किसी कठोर पिंड की समतल गति एक ऐसी गति है जिसमें पिंड के सभी बिंदु ऐसे तलों में चलते हैं जो किसी निश्चित तल (आधार) के समानांतर होते हैं।
एक पूर्णतः कठोर पिंड की समतल गति का अध्ययन एक खंड के अध्ययन तक सिमट कर रह जाएगा सपाट आकृति, जो तीन बिंदुओं की गति से निर्धारित होता है जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं।
खंड तल के लंबवत ध्रुव A से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के चारों ओर पिंड के घूमने के कोण को निर्दिष्ट करके, हम समतल-समानांतर गति का नियम प्राप्त करते हैं
एक कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति में स्थानान्तरणीय गति होती है, जिसमें पिंड के बिंदु ध्रुव के साथ-साथ चलते हैं, और ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति होती है।
समतल पिंड गति की बुनियादी गतिक विशेषताएँ:
- ध्रुव की स्थानांतरीय गति की गति और त्वरण,
- ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति का कोणीय वेग और कोणीय त्वरण।
एक समतल आकृति के एक मनमाना बिंदु का प्रक्षेपवक्र बिंदु से ध्रुव A तक की दूरी और ध्रुव के चारों ओर घूमने के कोण से निर्धारित होता है।
एक समतल आकृति पर बिंदुओं के वेग का निर्धारण
रफ़्तार कोई भी बिंदु बराबर है ज्यामितीय योगउस बिंदु की गति जिसे ध्रुव के रूप में लिया जाता है, और ध्रुव के चारों ओर शरीर के साथ-साथ इस बिंदु की घूर्णन गति।
संगत समांतर चतुर्भुज का निर्माण करके वेग का परिमाण और दिशा ज्ञात की जाती है।
तात्कालिक वेग केंद्र (आईवीसी)
तात्क्षणिक वेग केंद्र
(एमसीएस) - एक बिंदु जिसकी गति में है इस पलसमय शून्य है. एमसीएस को एक ध्रुव माना जाता है।
- पिंड के एक मनमाने बिंदु की गति, जो एक सपाट आकृति से संबंधित है, वेगों के तात्कालिक केंद्र के चारों ओर इसकी घूर्णन गति के बराबर है। एक मनमाना बिंदु A के वेग का मापांक बिंदु से MCS तक खंड की लंबाई द्वारा शरीर के कोणीय वेग के उत्पाद के बराबर है। वेक्टर को शरीर के घूमने की दिशा में बिंदु से एमसीएस तक खंड के लंबवत निर्देशित किया जाता है
- शरीर बिंदुओं के वेग मॉड्यूल एमसीएस से उनकी दूरी के समानुपाती होते हैं
तात्कालिक वेग केंद्र का निर्धारण करने के मामले
- यदि पिंड के एक बिंदु की गति और पिंड के घूर्णन की कोणीय गति ज्ञात हो, तो MCS (P) ज्ञात करने के लिए बिंदु के गति वेक्टर को घूर्णन की दिशा में 90 0 से घुमाना और आलेखित करना आवश्यक है पाई गई किरण पर खंड एपी
- यदि शरीर के दो बिंदुओं के वेग इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समानांतर और लंबवत हैं, तो एमसीएस इस रेखा के चौराहे बिंदु पर स्थित है और वह रेखा जो वेग वैक्टर के सिरों को जोड़ती है
- यदि पिंड के दो बिंदुओं के वेग की दिशाएं ज्ञात हैं और उनकी दिशाएं समानांतर नहीं हैं, तो एमसीएस इन बिंदुओं पर वेगों पर खींचे गए लंबवत के चौराहे के बिंदु पी पर स्थित है
- यदि कोई पहिया किसी स्थिर सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है, तो MCS (P) स्थिर सतह के साथ पहिये के संपर्क बिंदु पर स्थित होता है
मामले 2 और 3 में, संभावित अपवाद (तात्कालिक आगे की गति या तात्कालिक आराम)।
जटिल बिंदु आंदोलन
जटिल बिंदु आंदोलन - एक आंदोलन जिसमें एक बिंदु एक साथ कई आंदोलनों में भाग लेता है।
सापेक्षिक गति - गतिमान संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष गति।
पोर्टेबल मूवमेंट - स्थिर संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष एक बिंदु के साथ गतिमान संदर्भ प्रणाली (वाहक माध्यम) की गति।
पूर्ण गति- संदर्भ के एक निश्चित फ्रेम के सापेक्ष एक बिंदु की गति
किसी बिंदु की पूर्ण गति एक जटिल गति है, क्योंकि इसमें सापेक्ष और अनुवादात्मक गतिविधियाँ शामिल हैं।
जटिल गति में, किसी बिंदु की पूर्ण गति उसकी सापेक्ष और पोर्टेबल गति के ज्यामितीय योग के बराबर होती है
बिंदु त्वरण का निर्धारण
किसी बिंदु का पूर्ण त्वरण तीन सदिशों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है: सापेक्ष त्वरण, जो सापेक्ष गति में सापेक्ष गति में परिवर्तन को दर्शाता है; पोर्टेबल त्वरण, पोर्टेबल गति में एक बिंदु की पोर्टेबल गति में परिवर्तन को दर्शाता है, और कोरिओलिस त्वरण, पोर्टेबल गति में एक बिंदु की सापेक्ष गति और सापेक्ष गति में पोर्टेबल गति में परिवर्तन को दर्शाता है।
किसी बिंदु का कोरिओलिस त्वरण स्थानांतरित माध्यम के कोणीय वेग और बिंदु के सापेक्ष वेग का दोहरा वेक्टर उत्पाद है।
प्रारूप: पीडीएफ
भाषा: रूसी, यूक्रेनी
स्पर गियर की गणना का उदाहरण
स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण. सामग्री का चयन, अनुमेय तनाव की गणना, संपर्क और झुकने की ताकत की गणना की गई है।
बीम झुकने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
उदाहरण में, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाए गए, एक खतरनाक खंड पाया गया और एक आई-बीम का चयन किया गया। समस्या ने विभेदक निर्भरता का उपयोग करके आरेखों के निर्माण का विश्लेषण किया और बीम के विभिन्न क्रॉस सेक्शन का तुलनात्मक विश्लेषण किया।
शाफ्ट मरोड़ की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य किसी दिए गए व्यास, सामग्री और स्वीकार्य तनाव पर स्टील शाफ्ट की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, टॉर्क, कतरनी तनाव और मोड़ कोण के आरेख बनाए जाते हैं। शाफ्ट के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है
किसी छड़ के तनाव-संपीड़न की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य निर्दिष्ट अनुमेय तनाव पर स्टील बार की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, अनुदैर्ध्य बलों, सामान्य तनाव और विस्थापन के आरेख बनाए जाते हैं। छड़ के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है
गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का अनुप्रयोग
किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण
गति के दिए गए समीकरणों का उपयोग करके एक बिंदु की गति और त्वरण का निर्धारण करना
किसी बिंदु की गति और त्वरण निर्धारित करने के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिए गए समीकरणआंदोलन
समतल-समानांतर गति के दौरान किसी कठोर पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण
समतल-समानांतर गति के दौरान किसी कठोर पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण को निर्धारित करने के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण
एक फ्लैट ट्रस की सलाखों में बलों का निर्धारण
रिटर विधि और नोड्स काटने की विधि का उपयोग करके एक फ्लैट ट्रस की छड़ों में बलों को निर्धारित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
एक मनमाना बिंदु की गति एमहम आकृति को उन वेगों के योग के रूप में परिभाषित करते हैं जो बिंदु को ध्रुव और ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति के साथ-साथ स्थानान्तरणीय गति के दौरान प्राप्त होता है।
आइए बिंदु की स्थिति की कल्पना करें एमजैसे (चित्र 1.6)।
समय के संबंध में इस अभिव्यक्ति को अलग करने पर हमें यह मिलता है:
, क्योंकि 
.
साथ ही, गति वी एमए. कौन सा बिंदु एमएक आकृति को एक खंभे के चारों ओर घुमाकर प्राप्त किया गया ए, अभिव्यक्ति से निर्धारित किया जाएगा
वी एमए=ω · एम.ए.,
कहाँ ω - एक सपाट आकृति का कोणीय वेग।
किसी भी बिंदु की गति एमसमतल आकृति ज्यामितीय रूप से बिंदु की गति से बनी होती है ए, ध्रुव के रूप में लिया जाता है, और गति, बिंदु एमजब कोई आकृति किसी ध्रुव के चारों ओर घूमती है। वेगों का एक समांतर चतुर्भुज बनाकर इस वेग के वेग का परिमाण और दिशा ज्ञात की जाती है।
समस्या 1
एक बिंदु की गति निर्धारित करें ए,यदि रोलर के केंद्र की गति 5 मीटर/सेकेंड है, तो रोलर की कोणीय गति है 
. रोलर त्रिज्या r=0.2m,कोना । रोलर बिना फिसले लुढ़कता है।
चूँकि पिंड समतल-समानांतर गति करता है, बिंदु की गति एइसमें ध्रुव गति (बिंदु) शामिल होगी साथ) और बिंदु द्वारा प्राप्त गति एएक ध्रुव के चारों ओर घूमते समय साथ.
,
उत्तर: 
किसी पिंड के समानांतर गतिमान विमान के दो बिंदुओं के वेगों के प्रक्षेपण पर प्रमेय
आइए कुछ दो बिंदुओं पर विचार करें एऔर मेंसपाट आकृति. एक बिंदु ले रहा हूँ एप्रति पोल (चित्र 1.7), हम पाते हैं
इसलिए, समानता के दोनों पक्षों को निर्देशित अक्ष पर प्रक्षेपित करना अब, और दिया गया है कि वेक्टर लंबवत है अब, हम देखतें है
वी.बी· cosβ=वीए· cosα+ v V A· cos90°.
क्योंकि वी वी ए· cos90°=0हम प्राप्त करते हैं: इन बिंदुओं से गुजरने वाली धुरी पर एक कठोर शरीर के दो बिंदुओं के वेगों का प्रक्षेपण बराबर होता है।
समस्या 1
गुठली अबएक चिकनी दीवार और एक चिकनी फर्श पर बिंदु गति से फिसलता है ए वी ए =5मी/सेकेंड,फर्श और रॉड के बीच का कोण अबके बराबर होती है 30 0 . एक बिंदु की गति निर्धारित करें में।
तात्कालिक वेग केंद्र का उपयोग करके समतल आकृति पर बिंदुओं के वेग का निर्धारण करना
ध्रुव की गति के माध्यम से एक सपाट आकृति के बिंदुओं की गति निर्धारित करते समय, ध्रुव की गति और ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति की गति परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत हो सकती है, और एक बिंदु P है जिसकी गति पर है समय में दिया गया क्षण शून्य है 
, इसे वेगों का तात्कालिक केंद्र कहें।
तात्क्षणिक वेग केंद्रएक समतल आकृति से जुड़ा एक बिंदु है जिसकी गति किसी निश्चित समय पर शून्य होती है।
एक सपाट आकृति के बिंदुओं के वेग एक निश्चित समय पर निर्धारित किए जाते हैं जैसे कि आकृति की गति वेगों के तात्कालिक केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर तुरंत घूम रही हो (चित्र 1.8)।
वीए=ω · देहात; ().
क्योंकि वी.बी=ω · पी.बी.; (), वह w=vB/पी.बी.=वीए/देहात
एक समतल आकृति के बिंदुओं का वेग इन बिंदुओं से वेगों के तात्कालिक केंद्र तक की न्यूनतम दूरी के समानुपाती होता है।
प्राप्त परिणामों से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलते हैं:
1) तात्कालिक वेग केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए, आपको वेग का परिमाण और दिशा तथा किन्हीं दो बिंदुओं के वेग की दिशा जानने की आवश्यकता है एऔर मेंसपाट आकृति; तात्कालिक वेग केंद्र पीबिंदुओं से निर्मित लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है एऔर मेंइन बिंदुओं के वेग के लिए;
2) कोणीय वेग ω किसी निश्चित समय पर सपाट आंकड़ा गति और उससे तात्कालिक केंद्र की दूरी के अनुपात के बराबर होता है आरगति: ω =वी ए/देहात;
3) तात्क्षणिक वेग केंद्र P के सापेक्ष बिंदु का वेग कोणीय वेग w की दिशा को इंगित करेगा।
4) किसी बिंदु की गति उस बिंदु से न्यूनतम दूरी के अनुक्रमानुपाती होती है में तात्कालिक वेग केंद्र की ओर आर वी ए = ω·बीपी
समस्या 1
सनकी ओएलंबाई 0.2 मीकोणीय वेग से समान रूप से घूमता है ω=8 रेड/सेकेंड. कनेक्टिंग रॉड को अबबिंदु पर साथकनेक्टिंग रॉड टिका हुआ है सीडी.तंत्र की दी गई स्थिति के लिए, बिंदु की गति निर्धारित करें डीयदि कोण है तो स्लाइडर।
बिंदु आंदोलन मेंक्षैतिज गाइडों द्वारा सीमित, स्लाइडर केवल क्षैतिज गाइडों के साथ अनुवादात्मक गति कर सकता है। बिंदु गति मेंउसी दिशा में निर्देशित किया गया है। चूँकि कनेक्टिंग रॉड के दो बिंदुओं के वेग की दिशा समान होती है, शरीर तात्कालिक अनुवादात्मक गति से गुजरता है, और कनेक्टिंग रॉड के सभी बिंदुओं के वेग की दिशा और मान समान होते हैं।
एक सपाट आकृति की गति अनुवादात्मक गति से बनी होती है, जब आकृति के सभी बिंदु ध्रुव की गति से चलते हैं ए, और इस ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति से (चित्र 3.4)। किसी भी बिंदु की गति एमआकृति ज्यामितीय रूप से उस गति से बनती है जो बिंदु को इनमें से प्रत्येक गति में प्राप्त होती है।
चित्र 3.4
दरअसल, बिंदु की स्थिति एमअक्षों के संबंध में ओहयत्रिज्या-वेक्टर द्वारा निर्धारित 
, कहाँ 
- ध्रुव की त्रिज्या सदिश ए,
=
- बिंदु की स्थिति को परिभाषित करने वाला त्रिज्या वेक्टर एमअपेक्षाकृत 
, ध्रुव के साथ घूम रहा है एउत्तरोत्तर. तब
.
ध्रुव की गति है ए,
गति के बराबर 
, कौन सा बिंदु एमपर प्राप्त होता है 
, अर्थात। अक्षों के सापेक्ष 
, या, दूसरे शब्दों में, जब कोई आकृति किसी ध्रुव के चारों ओर घूमती है ए. इस प्रकार यह उसका अनुसरण करता है
कहाँ ω – आकृति का कोणीय वेग.
चित्र 3.5
इस प्रकार, एक सपाट आकृति के किसी भी बिंदु M की गति ज्यामितीय रूप से किसी अन्य बिंदु A की गति का योग है, जिसे एक ध्रुव के रूप में लिया जाता है, और वह गति जो बिंदु M को तब मिलती है जब आकृति इस ध्रुव के चारों ओर घूमती है।गति का मॉड्यूल और दिशा 
संगत समांतर चतुर्भुज की रचना करके पाए जाते हैं (चित्र 3.5)।
10.3. किसी पिंड पर दो बिंदुओं के वेग के प्रक्षेपण पर प्रमेय
में से एक सरल तरीकेएक समतल आकृति (या एक पिंड जो समतल-समानांतर गतिमान है) के बिंदुओं के वेग का निर्धारण करना प्रमेय है: इन बिंदुओं से गुजरने वाली धुरी पर एक कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेगों का प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होता है।
चित्र 3.6
आइए कुछ दो बिंदुओं पर विचार करें एऔर मेंसपाट आकृति (या शरीर) (चित्र 3.6)। एक बिंदु ले रहा हूँ एध्रुव के लिए हमें वह मिलता है 
. इसलिए, समानता के दोनों पक्षों को निर्देशित अक्ष पर प्रक्षेपित करना अब, और यह देखते हुए कि वेक्टर 
सीधा अब, हम देखतें है
|
|
,और प्रमेय सिद्ध है. ध्यान दें कि यह परिणाम विशुद्ध रूप से भौतिक विचारों से भी स्पष्ट है: यदि समानता 
बिंदुओं के बीच की दूरी बढ़ने पर पूरा नहीं होगा एऔर मेंबदलना होगा, जो असंभव है - शरीर बिल्कुल ठोस है। इसलिए, यह समानता न केवल समतल-समानांतर गति के लिए, बल्कि किसी कठोर पिंड की किसी भी गति के लिए भी लागू होती है।
10.4. तात्कालिक वेग केंद्र का उपयोग करके समतल आकृति पर बिंदुओं के वेग का निर्धारण करना
एक सपाट आकृति (या समतल गति में एक पिंड) के बिंदुओं के वेग को निर्धारित करने की एक और सरल और दृश्य विधि वेगों के तात्कालिक केंद्र की अवधारणा पर आधारित है।
तात्कालिक वेग केंद्र (IVC) एक सपाट आकृति का बिंदु है जिसका वेग किसी निश्चित समय पर शून्य है।
यदि कोई आकृति अप्रगतिशील रूप से गति करती है, तो समय के प्रत्येक क्षण पर ऐसा एक बिंदु होता है टीमौजूद है और, इसके अलावा, केवल एक ही है। एक पल में चलो टीअंक एऔर मेंआकृति के तलों में गति है 
और 
, एक दूसरे के समानांतर नहीं (चित्र 3.7.)। फिर इंगित करें आर, लंबवत के चौराहे पर स्थित है आहवेक्टर के लिए 
और मेंबीवेक्टर के लिए 
, और तब से, वेगों का तात्कालिक केंद्र होगा 
.
चित्र 3.7
वास्तव में, यदि 
, फिर वेग प्रक्षेपण प्रमेय द्वारा वेक्टर 
लंबवत और दोनों होना चाहिए एआर(क्योंकि 
), और वी.आर(क्योंकि 
), जो असंभव है. उसी प्रमेय से यह स्पष्ट है कि इस समय आकृति के किसी अन्य बिंदु की गति नहीं हो सकती है शून्य के बराबर.
यदि अब समय के क्षण में टीएक बिंदु ले लो आरपोल के पीछे. फिर बिंदु की गति एइच्छा
,
क्योंकि 
=0. आकृति के किसी अन्य बिंदु के लिए भी यही परिणाम प्राप्त होता है। तब, एक सपाट आकृति के बिंदुओं के वेग समय में एक निश्चित क्षण पर निर्धारित होते हैं जैसे कि आकृति की गति वेगों के तात्कालिक केंद्र के चारों ओर एक घूर्णन थी।जिसमें
|
|
(
);
(
)और इसी प्रकार चित्र के किसी भी बिंदु के लिए।
इससे यह भी पता चलता है कि 
और 
, तब
|
|
=
,वे। क्या एक समतल आकृति के बिंदुओं का वेग तात्क्षणिक वेग केंद्र से उनकी दूरी के समानुपाती होता है।
प्राप्त परिणामों से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलते हैं:
1. वेगों का तात्कालिक केंद्र निर्धारित करने के लिए, आपको केवल वेगों की दिशाएँ जानने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए,
और
एक समतल आकृति के कुछ दो बिंदु A और B.
2. किसी समतल आकृति के किसी बिंदु की गति निर्धारित करने के लिए, आपको आकृति के किसी एक बिंदु A की गति का परिमाण और दिशा तथा उसके दूसरे बिंदु B की गति की दिशा जानने की आवश्यकता है।
3. कोणीय वेग
एक सपाट आकृति का समय के प्रत्येक क्षण में आकृति के किसी बिंदु की गति और वेग के तात्कालिक केंद्र P से उसकी दूरी का अनुपात बराबर होता है:
|
|
.आइए इसके लिए एक और अभिव्यक्ति खोजें ω
समानता से 
और 
उसका अनुसरण करता है 
और 
, कहाँ
|
|
.आइए एमसीएस को परिभाषित करने के कुछ विशेष मामलों पर विचार करें, जो सैद्धांतिक यांत्रिकी को हल करने में मदद करेंगे।
1. यदि एक बेलनाकार पिंड को दूसरे स्थिर पिंड की सतह पर बिना फिसले घुमाकर समतल-समानांतर गति की जाती है, तो बिंदु आरएक स्थिर सतह को छूते हुए एक लुढ़कते हुए पिंड की (चित्र 3.8), किसी निश्चित समय पर, फिसलने की अनुपस्थिति के कारण, गति शून्य के बराबर होती है ( 
), और इसलिए वेगों का तात्कालिक केंद्र है।
चित्र 3.8
2. यदि अंकों की गति एऔर मेंसमतल आकृतियाँ एक दूसरे और रेखा के समानांतर होती हैं अबलंबवत नहीं 
(चित्र 3.9, ए), तब वेगों का तात्कालिक केंद्र अनंत पर होता है और सभी बिंदुओं के वेग // 
. इसके अलावा, वेग प्रक्षेपण पर प्रमेय से यह निम्नानुसार है 
, अर्थात। 
, इस मामले में आकृति में तात्कालिक अनुवादात्मक गति है।
3. यदि गति इंगित करती है एऔर मेंसमतल आकृति // एक दूसरे से और एक ही समय में एक रेखा अबसीधा 
, फिर तात्कालिक वेग केंद्र आरनिर्माण द्वारा निर्धारित (चित्र 3.9,बी)।
चित्र 3.9
निर्माण की वैधता इस प्रकार है 
. इस मामले में, पिछले वाले के विपरीत, केंद्र खोजने के लिए आरनिर्देशों के अलावा, आपको गति मॉड्यूल को भी जानना होगा 
और 
.
4. यदि वेग सदिश ज्ञात हो 
बात में दम है मेंआकृति और उसका कोणीय वेग ω
, फिर तात्कालिक वेग केंद्र की स्थिति आर, के लंबवत् पड़ा हुआ 
(चित्र देखें?), समानता से पाया जा सकता है 
जो देता है 
.
एक कठोर शरीर की समतल गति
अध्ययन प्रश्न:
1. किसी कठोर पिंड की समतल गति के समीकरण।
2. समतल आकृति के बिंदुओं की गति
3. तात्क्षणिक वेग केन्द्र
4. समतल आकृति के बिंदुओं का त्वरण
1. किसी कठोर पिंड की समतल गति के समीकरण
किसी कठोर पिंड की समतल गतिवे इसे कहते हैंवह गति जिसमें किसी पिंड के सभी अनुप्रस्थ-काट बिंदु अपने-अपने तल में गति करते हैं।
चलो कठोर शरीर 1 एक सपाट गति करता है.
काटनेवालाविमान 
शरीर में 1
एक खंड P बनाता है जो सेकेंड प्लेन में चलता है 
.
यदि समतल के समान्तर हो 
शरीर के अन्य भागों का प्रदर्शन करें, उदाहरण के लिए बिंदुओं के माध्यम से 
आदि, खंडों के समान लंबवत पर स्थित हैं, तो ये सभी बिंदु और शरीर के सभी खंड समान रूप से आगे बढ़ेंगे।
नतीजतन, इस मामले में शरीर की गति पूरी तरह से किसी भी समानांतर विमान में उसके एक खंड की गति से निर्धारित होती है, और खंड की स्थिति इस खंड के दो बिंदुओं की स्थिति से निर्धारित होती है, उदाहरण के लिए एऔर में.
अनुभाग स्थिति पीप्लेन में ओहोखंड की स्थिति से निर्धारित होता है एबी,इस अनुभाग में किया गया. एक समतल पर दो बिंदुओं की स्थिति ए(
)
और में(
)
चार मापदंडों (निर्देशांक) की विशेषता, जो एक सीमा के अधीन हैं - खंड की लंबाई के रूप में कनेक्शन समीकरण एबी:
इसलिए, विमान में अनुभाग पी की स्थिति निर्दिष्ट की जा सकती है तीन स्वतंत्र पैरामीटर - निर्देशांक
अंकए
और कोण
,
जो एक खंड बनाता है अबधुरी के साथ ओह।पूर्ण विराम ए,अनुभाग पी की स्थिति निर्धारित करने के लिए चयनित को कहा जाता है ध्रुव.
जब कोई शरीर खंड चलता है, तो उसके गतिक पैरामीटर समय के कार्य होते हैं
समीकरण एक कठोर पिंड की समतल (समतल-समानांतर) गति के गतिज समीकरण हैं। अब हम दिखाएंगे कि, प्राप्त समीकरणों के अनुसार, समतल गति में एक पिंड अनुवादात्मक और घूर्णी गति से गुजरता है। चलो चित्र में. किसी खंड द्वारा निर्दिष्ट निकाय का अनुभाग 
समन्वय प्रणाली में ओह,आरंभिक स्थिति से हट गया 1
अंतिम स्थिति तक 2.
हम किसी स्थिति से किसी पिंड की संभावित गति के दो तरीके दिखाएंगे 1 स्थिति 2 तक.
पहला तरीका.चलो बात को ध्रुव मान लेते हैं 
.खंड को स्थानांतरित करें 
खुद के समानांतर, यानी उत्तरोत्तर, एक प्रक्षेप पथ के साथ 
,
बिंदुओं को संयोजित करने से पहले 
और 
. हमें खंड की स्थिति मिलती है 
.
एक कोण पर 
और हम खंड द्वारा निर्दिष्ट समतल आकृति की अंतिम स्थिति प्राप्त करते हैं 
.
दूसरा तरीका.चलो बात को ध्रुव मान लेते हैं 
. खंड को स्थानांतरित करना 
खुद के समानांतर, यानी प्रक्षेप पथ पर उत्तरोत्तर 
बिंदुओं को संयोजित करने से पहले 
और 
.खंड की स्थिति प्राप्त करें 
.
इसके बाद, हम इस खंड को ध्रुव के चारों ओर घुमाते हैं 
पर
कोना 
और हम खंड द्वारा निर्दिष्ट समतल आकृति की अंतिम स्थिति प्राप्त करते हैं 
.
आइए निम्नलिखित निष्कर्ष निकालें।
1. समतल गति, समीकरणों के अनुसार पूर्ण रूप से, अनुवादात्मक और घूर्णी गति का एक संयोजन है, और किसी पिंड की समतल गति के मॉडल को ध्रुव और घूर्णन के साथ-साथ शरीर के सभी बिंदुओं की अनुवादात्मक गति के रूप में माना जा सकता है। ध्रुव के सापेक्ष शरीर.
2. किसी पिंड की स्थानांतरीय गति का प्रक्षेप पथ ध्रुव की पसंद पर निर्भर करता है
.
चित्र में. 13.3 विचाराधीन मामले में, हम देखते हैं कि गति की पहली विधि में, जब एक बिंदु को ध्रुव के रूप में लिया गया था 
,अनुवादात्मक आंदोलन का प्रक्षेपवक्र 
प्रक्षेपवक्र से काफी भिन्न है 
दूसरे ध्रुव के लिए में।
3. शरीर का घूमना ध्रुव की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। कोना
पिंड के घूमने से परिमाण और घूमने की दिशा स्थिर रहती है
. दोनों मामलों में चित्र में माना गया है। 13.3, घूर्णन वामावर्त हुआ।
समतल गति में किसी पिंड की मुख्य विशेषताएं हैं: ध्रुव का प्रक्षेप पथ, ध्रुव के चारों ओर पिंड के घूमने का कोण, ध्रुव की गति और त्वरण, कोणीय वेग और शरीर का कोणीय त्वरण। अतिरिक्त अक्ष 
अनुवादात्मक गति के दौरान वे ध्रुव के साथ-साथ चलते हैं एमुख्य अक्षों के समानांतर ओहोध्रुव के प्रक्षेप पथ के साथ.
किसी समतल आकृति के ध्रुव की गति को समीकरणों से समय व्युत्पन्न का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:
शरीर की कोणीय विशेषताएँ इसी प्रकार निर्धारित की जाती हैं: कोणीय वेग 
;
कोणीय त्वरण
.
चित्र में. ध्रुव पर एवेग वेक्टर के प्रक्षेपण दिखाए गए हैं 
अक्ष पर ओ ओ।शरीर का घूमने का कोण 
, कोणीय वेग 
और कोणीय त्वरण 
एक बिंदु के चारों ओर चाप तीरों द्वारा दिखाया गया है एक।ध्रुव की पसंद से गति की घूर्णी विशेषताओं की स्वतंत्रता के कारण, कोणीय विशेषताएं 
,
,
चाप तीरों के साथ एक सपाट आकृति के किसी भी बिंदु पर दिखाया जा सकता है, उदाहरण के लिए बिंदु बी पर।
एक सपाट आकृति (या समतल गति में एक पिंड) के बिंदुओं के वेग को निर्धारित करने की एक और सरल और दृश्य विधि वेगों के तात्कालिक केंद्र की अवधारणा पर आधारित है।
तात्कालिक वेग केंद्र (IVC) एक सपाट आकृति का बिंदु है जिसका वेग किसी निश्चित समय पर शून्य है।
यदि कोई आकृति अप्रगतिशील रूप से गति करती है, तो समय के प्रत्येक क्षण पर ऐसा एक बिंदु होता है टीमौजूद है और, इसके अलावा, केवल एक ही है। एक पल में चलो टीअंक एऔर मेंआकृति के तलों की गति एक दूसरे के समानांतर नहीं है (चित्र 2.21)। फिर इंगित करें आर, लंबवत के चौराहे पर स्थित है आहवेक्टर के लिए और बी बीवेक्टर के लिए, और तात्कालिक वेग केंद्र होगा, क्योंकि।
चित्र 2.21
वास्तव में, यदि, तो वेग प्रक्षेपण प्रमेय के अनुसार, वेक्टर लंबवत और दोनों होना चाहिए एआर(से ), और वी.आर(चूंकि) जो असंभव है. उसी प्रमेय से यह स्पष्ट है कि इस समय आकृति के किसी अन्य बिंदु की गति शून्य के बराबर नहीं हो सकती है।
यदि अब समय के क्षण में टीएक बिंदु ले लो आरपोल के पीछे. फिर बिंदु की गति एइच्छा
और इसी प्रकार चित्र के किसी भी बिंदु के लिए।
इससे यह भी निष्कर्ष निकलता है कि वह और , फिर
| = , | (2.54) |
वे। क्या एक समतल आकृति के बिंदुओं का वेग तात्क्षणिक वेग केंद्र से उनकी दूरी के समानुपाती होता है।
प्राप्त परिणामों से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलते हैं:
1. वेगों का तात्कालिक केंद्र निर्धारित करने के लिए, आपको केवल वेगों की दिशाएँ जानने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, और एक समतल आकृति के कुछ दो बिंदु A और B.
2. किसी समतल आकृति के किसी बिंदु की गति निर्धारित करने के लिए, आपको आकृति के किसी एक बिंदु A की गति का परिमाण और दिशा तथा उसके दूसरे बिंदु B की गति की दिशा जानने की आवश्यकता है।
3. कोणीय वेग एक सपाट आकृति का समय के प्रत्येक क्षण में आकृति के किसी बिंदु की गति और वेग के तात्कालिक केंद्र P से उसकी दूरी का अनुपात बराबर होता है:
आइए एमसीएस को परिभाषित करने के कुछ विशेष मामलों पर विचार करें, जो सैद्धांतिक यांत्रिकी को हल करने में मदद करेंगे।
1. यदि एक बेलनाकार पिंड को दूसरे स्थिर पिंड की सतह पर बिना फिसले घुमाकर समतल-समानांतर गति की जाती है, तो बिंदु आरएक स्थिर सतह को छूते हुए एक लुढ़कते हुए पिंड की (चित्र 2.22), किसी निश्चित समय पर, फिसलने की अनुपस्थिति के कारण, गति शून्य () के बराबर होती है, और इसलिए वेगों का एक तात्कालिक केंद्र है।
चित्र 2.22
2. यदि अंकों की गति एऔर मेंसमतल आकृतियाँ एक दूसरे और रेखा के समानांतर होती हैं अबलंबवत नहीं है (चित्र 2.23, ए), तो वेगों का तात्कालिक केंद्र अनंत पर होता है और सभी बिंदुओं के वेग // . इस मामले में, वेग प्रक्षेपण पर प्रमेय से यह निम्नानुसार है, अर्थात। , इस मामले में आकृति में तात्कालिक अनुवादात्मक गति है। जो देता है।
