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किसी बिंदु पर अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। किसी अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का उच्च क्रम व्युत्पन्न

या संक्षेप में - एक अंतर्निहित कार्य का व्युत्पन्न। एक अंतर्निहित कार्य क्या है? चूँकि मेरे पाठ व्यावहारिक हैं, मैं परिभाषाओं और प्रमेयों से बचने की कोशिश करता हूँ, लेकिन यहाँ ऐसा करना उचित होगा। वैसे भी फ़ंक्शन क्या है?

एकल चर फ़ंक्शन एक नियम है जो बताता है कि स्वतंत्र चर के प्रत्येक मान के लिए फ़ंक्शन का एक और केवल एक मान होता है।

वेरिएबल को कहा जाता है स्वतंत्र चरया तर्क.
वेरिएबल को कहा जाता है निर्भर चरया समारोह.

मोटे तौर पर कहें तो, इस मामले में अक्षर "Y" कार्य है।

अब तक हमने इसमें परिभाषित कार्यों को देखा है मुखररूप। इसका मतलब क्या है? आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके एक डीब्रीफिंग करें।

फ़ंक्शन पर विचार करें

हम देखते हैं कि बाईं ओर हमारे पास एक अकेला "Y" (फ़ंक्शन) है, और दाईं ओर - केवल "एक्स". यानी फंक्शन स्पष्ट रूप सेस्वतंत्र चर के माध्यम से व्यक्त किया गया।

आइए एक अन्य फ़ंक्शन देखें:

यह वह जगह है जहां चर मिश्रित होते हैं। इसके अतिरिक्त किसी भी तरह से असंभव"Y" को केवल "X" के माध्यम से व्यक्त करें। ये तरीके क्या हैं? चिह्न के परिवर्तन के साथ शब्दों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना, उन्हें कोष्ठक से बाहर निकालना, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को फेंकना, आदि। समानता को फिर से लिखें और "y" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने का प्रयास करें:। आप घंटों तक समीकरण को घुमा-फिरा सकते हैं, लेकिन आप सफल नहीं होंगे।

मैं आपका परिचय कराता हूँ:- उदाहरण अंतर्निहित कार्य.

गणितीय विश्लेषण के दौरान यह सिद्ध हो गया कि अंतर्निहित कार्य मौजूद(हालाँकि, हमेशा नहीं), इसमें एक ग्राफ़ होता है (बिल्कुल "सामान्य" फ़ंक्शन की तरह)। अंतर्निहित कार्य बिल्कुल वैसा ही है मौजूदपहला व्युत्पन्न, दूसरा व्युत्पन्न, आदि। जैसा कि वे कहते हैं, यौन अल्पसंख्यकों के सभी अधिकारों का सम्मान किया जाता है।

और इस पाठ में हम सीखेंगे कि अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए। यह उतना कठिन नहीं है! सभी विभेदीकरण नियम और प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका लागू रहती है। अंतर एक अजीब क्षण में है, जिसे हम अभी देखेंगे।

हां, और मैं आपको अच्छी खबर बताऊंगा - नीचे चर्चा किए गए कार्य तीन ट्रैक के सामने एक पत्थर के बिना काफी सख्त और स्पष्ट एल्गोरिदम के अनुसार किए जाते हैं।

उदाहरण 1

1) पहले चरण में, हम दोनों हिस्सों में स्ट्रोक लगाते हैं:

2) हम अवकलज की रैखिकता के नियमों (पाठ के पहले दो नियम) का उपयोग करते हैं व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान के उदाहरण):

3) प्रत्यक्ष विभेदन।
अंतर कैसे करना है यह पूरी तरह से स्पष्ट है। जहां स्ट्रोक्स के नीचे "गेम" हों वहां क्या करें?

बस अपमान की हद तक किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उसके व्युत्पन्न के बराबर होता है: .

अंतर कैसे करें

हम यहाँ है जटिल कार्य. क्यों? ऐसा लगता है कि साइन के नीचे केवल एक अक्षर "Y" है। लेकिन तथ्य यह है कि केवल एक ही अक्षर "y" है - यह स्वयं एक कार्य है(पाठ की शुरुआत में परिभाषा देखें)। इस प्रकार, साइन एक बाहरी कार्य है और एक आंतरिक कार्य है। हम विभेदीकरण नियम का उपयोग करते हैं जटिल कार्य :

हम सामान्य नियम के अनुसार उत्पाद में अंतर करते हैं :

कृपया ध्यान दें कि - यह भी एक जटिल कार्य है, कोई भी "घंटियाँ और सीटियों वाला खेल" एक जटिल कार्य है:

समाधान स्वयं कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

यदि कोष्ठक हैं, तो उनका विस्तार करें:

4) बाईं ओर हम उन शब्दों को एकत्र करते हैं जिनमें अभाज्य के साथ "Y" होता है। में दाहिनी ओर- बाकी सब कुछ स्थानांतरित करें:

5) बाईं ओर हम कोष्ठक से व्युत्पन्न निकालते हैं:

6) और अनुपात के नियम के अनुसार, हम इन कोष्ठकों को दाईं ओर के हर में छोड़ देते हैं:

व्युत्पन्न पाया गया है. तैयार।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि किसी भी फ़ंक्शन को अंतर्निहित रूप से फिर से लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: . और अभी चर्चा किए गए एल्गोरिदम का उपयोग करके इसे अलग करें। वास्तव में, वाक्यांश "अंतर्निहित कार्य" और "अंतर्निहित कार्य" एक अर्थ संबंधी बारीकियों में भिन्न हैं। वाक्यांश "अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन" अधिक सामान्य और सही है, - यह फ़ंक्शन अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट है, लेकिन यहां आप "गेम" को व्यक्त कर सकते हैं और फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं। वाक्यांश "अंतर्निहित फ़ंक्शन" "शास्त्रीय" अंतर्निहित फ़ंक्शन को संदर्भित करता है जब "y" को व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

दूसरा उपाय

ध्यान!आप स्वयं को दूसरी विधि से केवल तभी परिचित कर सकते हैं यदि आप जानते हैं कि आत्मविश्वास से आंशिक व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए। गणितीय विश्लेषण का अध्ययन करने वाले शुरुआती और नौसिखिए, कृपया इस बिंदु को न पढ़ें और छोड़ें, अन्यथा आपका सिर पूरी तरह से खराब हो जाएगा।

आइए दूसरी विधि का उपयोग करके अंतर्निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

हम सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाते हैं:

और दो चरों के एक फ़ंक्शन पर विचार करें:

तब सूत्र का उपयोग करके हमारा व्युत्पन्न पाया जा सकता है

आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

इस प्रकार:

दूसरा समाधान आपको जाँच करने की अनुमति देता है। लेकिन उनके लिए असाइनमेंट के अंतिम संस्करण को लिखना उचित नहीं है, क्योंकि आंशिक डेरिवेटिव में बाद में महारत हासिल की जाती है, और "एक चर के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न" विषय का अध्ययन करने वाले छात्र को अभी तक आंशिक डेरिवेटिव के बारे में नहीं पता होना चाहिए।

आइए कुछ और उदाहरण देखें.

उदाहरण 2

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

दोनों भागों में स्ट्रोक जोड़ें:

हम रैखिकता नियमों का उपयोग करते हैं:

डेरिवेटिव ढूँढना:

सभी कोष्ठक खोलना:

हम सभी पदों को बाईं ओर ले जाते हैं, शेष को दाईं ओर ले जाते हैं:

बाईं ओर हम इसे कोष्ठक से बाहर रखते हैं:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 3

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और नमूना डिज़ाइन।

विभेदीकरण के बाद भिन्नों का उत्पन्न होना कोई असामान्य बात नहीं है। ऐसे मामलों में, आपको भिन्नों से छुटकारा पाने की आवश्यकता है। आइए दो और उदाहरण देखें।

अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

या, संक्षेप में, एक अंतर्निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। एक अंतर्निहित कार्य क्या है? चूँकि मेरे पाठ व्यावहारिक हैं, मैं परिभाषाओं और प्रमेयों से बचने की कोशिश करता हूँ, लेकिन यहाँ ऐसा करना उचित होगा। वैसे भी फ़ंक्शन क्या है?

एकल चर फ़ंक्शनएक नियम है जिसके अनुसार स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान फ़ंक्शन के एक और केवल एक मान से मेल खाता है।

मोटे तौर पर कहें तो, इस मामले में अक्षर "Y" कार्य है।

फ़ंक्शन पर विचार करें

हम देखते हैं कि बाईं ओर हमारे पास एक अकेला "गेम" (फ़ंक्शन) है, और दाईं ओर - केवल "एक्स". यानी फंक्शन स्पष्ट रूप सेस्वतंत्र चर के माध्यम से व्यक्त किया गया।

आइए एक अन्य फ़ंक्शन देखें:

आइए मैं आपका परिचय कराता हूँ:- उदाहरण अंतर्निहित कार्य.

उदाहरण 1

1) पहले चरण में, हम दोनों हिस्सों में स्ट्रोक लगाते हैं:

- बस अपमान की हद तक, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उसके व्युत्पन्न के बराबर होता है: .

अंतर कैसे करें
हम यहाँ है जटिल कार्य. क्यों? ऐसा लगता है कि साइन के नीचे केवल एक अक्षर "Y" है। लेकिन तथ्य यह है कि केवल एक ही अक्षर "y" है - यह स्वयं एक कार्य है(पाठ की शुरुआत में परिभाषा देखें)। इस प्रकार, साइन एक बाहरी कार्य है और एक आंतरिक कार्य है। हम किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं :

हम सामान्य नियम के अनुसार उत्पाद में अंतर करते हैं :

समाधान स्वयं कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

यदि कोष्ठक हैं, तो उनका विस्तार करें:

4) बाईं ओर हम उन शब्दों को एकत्र करते हैं जिनमें अभाज्य के साथ "Y" होता है। बाकी सभी चीज़ों को दाईं ओर ले जाएँ:

5) बाईं ओर हम कोष्ठक से व्युत्पन्न निकालते हैं:

व्युत्पन्न पाया गया है. तैयार।

दूसरा उपाय

ध्यान!आप स्वयं को दूसरी विधि से तभी परिचित कर सकते हैं यदि आप जानते हैं कि आत्मविश्वास से कैसे खोजना है आंशिक अवकलज. कैलकुलस के शुरुआती और नौसिखिए, कृपया इस बिंदु को न पढ़ें और न छोड़ें, अन्यथा आपका सिर पूरी तरह खराब हो जाएगा।

आइए दूसरी विधि का उपयोग करके अंतर्निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

हम सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाते हैं:

और दो चरों के एक फ़ंक्शन पर विचार करें:

तब सूत्र का उपयोग करके हमारा व्युत्पन्न पाया जा सकता है
आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

इस प्रकार:

आइए कुछ और उदाहरण देखें.

उदाहरण 2

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

दोनों भागों में स्ट्रोक जोड़ें:

हम रैखिकता नियमों का उपयोग करते हैं:

डेरिवेटिव ढूँढना:

सभी कोष्ठक खोलना:

हम सभी पदों को बाईं ओर ले जाते हैं, शेष को दाईं ओर:

बाईं ओर हम इसे कोष्ठक से बाहर रखते हैं:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 3

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और नमूना डिज़ाइन।

उदाहरण 4

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम दोनों हिस्सों को स्ट्रोक के नीचे संलग्न करते हैं और रैखिकता नियम का उपयोग करते हैं:

परिभाषा।मान लीजिए कि फ़ंक्शन $y = f(x)$ को बिंदु $x_0$ वाले एक निश्चित अंतराल में परिभाषित किया गया है। आइए तर्क को एक वृद्धि दें $\Delta x $ ताकि यह इस अंतराल को न छोड़े। आइए फ़ंक्शन $\Delta y $ की संगत वृद्धि ज्ञात करें (बिंदु $x_0 $ से बिंदु $x_0 + \Delta x $ तक जाने पर) और संबंध बनाएं $\frac(\Delta y)(\डेल्टा x) $. यदि इस अनुपात की कोई सीमा $\Delta x \rightarrow 0$ पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न$y=f(x) $ बिंदु $x_0 $ पर और $f"(x_0) $ को निरूपित करें।

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है।" ध्यान दें कि y" = f(x) है नयी विशेषता, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है, जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस प्रकार कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y = f(x).

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थइस प्रकार है। यदि फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ पर भुज x=a वाले बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है, जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, तो f(a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है :
$k = f"(a)$

चूँकि $k = tg(a) $, तो समानता $f"(a) = tan(a) $ सत्य है।

आइए अब अनुमानित समानता के दृष्टिकोण से व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन $y = f(x)$ का एक विशिष्ट बिंदु $x$ पर व्युत्पन्न है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास अनुमानित समानता $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, यानी $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ डेल्टा x$. परिणामी अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मूल्य है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $y = x^2$ के लिए अनुमानित समानता $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिदम शामिल है।

आइए इसे तैयार करें.

फ़ंक्शन y = f(x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

1. $x$ का मान ठीक करें, $f(x)$ खोजें
2. तर्क $x$ को वृद्धि $\Delta x$ दें, एक नए बिंदु $x+ \Delta x $ पर जाएं, $f(x+ \Delta x) $ ढूंढें
3. फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. संबंध बनाएं $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा बिंदु x पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है।

यदि किसी फ़ंक्शन y = f(x) का एक बिंदु x पर अवकलज है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फलन y = f(x) का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभावफलन y = f(x).

आइए निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं?

मान लीजिए कि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M(x; f(x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, और, याद रखें, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ़ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M पर, अर्थात फ़ंक्शन बिंदु x पर निरंतर होना चाहिए।

ये "व्यावहारिक" तर्क थे। आइए हम और अधिक कठोर तर्क दें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो अनुमानित समानता $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ कायम रहती है। यदि इस समानता में $\Delta x $ शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, फिर $\Delta y $ शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।

इसलिए, यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु x पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर निरंतर है.

उलटा कथन सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "जंक्शन बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती है, तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

एक और उदाहरण. फ़ंक्शन $y=\sqrt(x)$ संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, जिसमें बिंदु x = 0 भी शामिल है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, यानी, यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x = 0 है। ढलान गुणांकऐसी कोई रेखा नहीं है, जिसका अर्थ है कि $f"(0) $ का भी अस्तित्व नहीं है

तो, हम किसी फ़ंक्शन की एक नई संपत्ति - भिन्नता से परिचित हुए। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से कोई यह निष्कर्ष कैसे निकाल सकता है कि यह अवकलनीय है?

उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न नहीं है।

विभेदीकरण के नियम

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को निष्पादित करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "कार्यों के कार्य", यानी जटिल कार्यों के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं जो इस कार्य को आसान बनाते हैं। यदि C एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ भिन्न फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं विभेदन नियम:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

कुछ फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव की तालिका

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

फ़ंक्शन y(x) पर विचार करें, जो अंतर्निहित रूप से लिखा गया है सामान्य रूप से देखें$ F(x,y(x)) = 0 $. किसी अंतर्निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दो तरीकों से पाया जाता है:

समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करके
तैयार सूत्र का उपयोग करके $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

कैसे ढूंढें?

विधि 1

फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से कास्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आपको तुरंत $ x $ के संबंध में समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में अंतर करना शुरू करना होगा। यह ध्यान देने योग्य है कि व्युत्पन्न $ y" $ की गणना एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम के अनुसार की जाती है। उदाहरण के लिए, $ (y^2)"_x = 2yy" $। व्युत्पन्न खोजने के बाद, इसे व्यक्त करना आवश्यक है परिणामी समीकरण से $ y" $ और बाईं ओर $ y" $ रखें।

विधि 2

आप एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो अंश और हर में अंतर्निहित फ़ंक्शन $ F(x,y(x)) = 0 $ के आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करता है। अंश को खोजने के लिए, $ x $ के संबंध में व्युत्पन्न लें, और हर के लिए, $ y $ के संबंध में व्युत्पन्न लें।

अंतर्निहित फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न, अंतर्निहित फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न को बार-बार विभेदित करके पाया जा सकता है।

समाधान के उदाहरण

आइए अंतर्निहित रूप से व्युत्पन्न की गणना के लिए समाधानों के व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार करें दिया गया कार्य.

उदाहरण 1
अंतर्निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $
समाधान
आइए विधि संख्या 1 का उपयोग करें। अर्थात्, हम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को अलग करते हैं: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ विभेदन करते समय, कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना न भूलें: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x वर्ष^2 - 5 = 3 वर्ष" - 6x^2 वर्ष" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम प्रदान करेंगे विस्तृत समाधान. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!
उत्तर
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

उदाहरण 2
फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से दिया गया है, व्युत्पन्न खोजें $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
समाधान
आइए विधि संख्या 2 का उपयोग करें। फ़ंक्शन $ F(x,y) = 0 $ का आंशिक व्युत्पन्न ढूँढना $ y $ को स्थिर रहने दें और $ x $ के संबंध में अंतर करें: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ अब हम $ x $ को एक स्थिरांक मानते हैं और $ y $ के संबंध में अंतर करते हैं: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ अब हम सूत्र में $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
उत्तर
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।
पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

इस लेख में हम दो और विशिष्ट कार्यों पर गौर करेंगे जो अक्सर पाए जाते हैं परीक्षणद्वारा उच्च गणित. सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर डेरिवेटिव ढूंढने में सक्षम होना चाहिए। आप दो बुनियादी पाठों में स्क्रैच से व्यावहारिक रूप से डेरिवेटिव ढूंढना सीख सकते हैं एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. यदि आपकी विभेदीकरण कौशल ठीक है, तो चलिए।

अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

या, संक्षेप में, एक अंतर्निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। एक अंतर्निहित कार्य क्या है? आइए सबसे पहले एक वेरिएबल के फ़ंक्शन की परिभाषा को याद रखें:

फ़ंक्शन पर विचार करें

हम देखते हैं कि बाईं ओर हमारे पास एक अकेला "खिलाड़ी" है, और दाईं ओर - केवल "एक्स". यानी फंक्शन स्पष्ट रूप सेस्वतंत्र चर के माध्यम से व्यक्त किया गया।

आइए एक अन्य फ़ंक्शन देखें:

आइए मैं आपका परिचय कराता हूँ:- उदाहरण अंतर्निहित कार्य.

उदाहरण 1

1) पहले चरण में, हम दोनों हिस्सों में स्ट्रोक लगाते हैं:

हम सामान्य नियम के अनुसार उत्पाद में अंतर करते हैं :

समाधान स्वयं कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

यदि कोष्ठक हैं, तो उनका विस्तार करें:

5) बाईं ओर हम कोष्ठक से व्युत्पन्न निकालते हैं:

व्युत्पन्न पाया गया है. तैयार।

दूसरा उपाय

आइए दूसरी विधि का उपयोग करके अंतर्निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

हम सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाते हैं:

और दो चरों के एक फ़ंक्शन पर विचार करें:

इस प्रकार:

आइए कुछ और उदाहरण देखें.

उदाहरण 2

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

दोनों भागों में स्ट्रोक जोड़ें:

हम रैखिकता नियमों का उपयोग करते हैं:

डेरिवेटिव ढूँढना:

सभी कोष्ठक खोलना:

हम सभी पदों को बाईं ओर ले जाते हैं, शेष को दाईं ओर:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 3

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और नमूना डिज़ाइन।

उदाहरण 4

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम का उपयोग करके विभेदन करें और भागफल के विभेदन का नियम :

कोष्ठक का विस्तार:

अब हमें भिन्न से छुटकारा पाना होगा। यह बाद में किया जा सकता है, लेकिन इसे तुरंत करना अधिक तर्कसंगत है। भिन्न के हर में . गुणा पर । विस्तार से, यह इस तरह दिखेगा:

कभी-कभी विभेदन के बाद 2-3 अंश प्रकट हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक और अंश होता, तो ऑपरेशन को दोहराना होगा - गुणा करें प्रत्येक भाग का प्रत्येक पदपर

बाईं ओर हम इसे कोष्ठक से बाहर रखते हैं:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 5

अंतर्निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। एकमात्र बात यह है कि भिन्न से छुटकारा पाने से पहले, आपको भिन्न की तीन मंजिला संरचना से छुटकारा पाना होगा। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

आइए तनाव न लें, इस पैराग्राफ में सब कुछ काफी सरल है। आप पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के लिए सामान्य सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं तुरंत एक विशिष्ट उदाहरण लिखूंगा। पैरामीट्रिक रूप में, फ़ंक्शन दो समीकरणों द्वारा दिया गया है:। अक्सर समीकरण घुंघराले कोष्ठक के नीचे नहीं, बल्कि क्रमिक रूप से लिखे जाते हैं: , .

वेरिएबल को पैरामीटर कहा जाता हैऔर "माइनस इनफिनिटी" से "प्लस इनफिनिटी" तक मान ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान पर विचार करें और इसे दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करें: . या मानवीय शब्दों में: "यदि x चार के बराबर है, तो y एक के बराबर है।" आप समन्वय तल पर एक बिंदु चिह्नित कर सकते हैं, और यह बिंदु पैरामीटर के मान के अनुरूप होगा। इसी तरह, आप पैरामीटर "ते" के किसी भी मान के लिए एक बिंदु पा सकते हैं। जहां तक "नियमित" फ़ंक्शन का सवाल है, पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के अमेरिकी भारतीयों के लिए, सभी अधिकारों का भी सम्मान किया जाता है: आप एक ग्राफ़ बना सकते हैं, डेरिवेटिव ढूंढ सकते हैं, आदि। वैसे, यदि आपको पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है, तो आप मेरे प्रोग्राम का उपयोग कर सकते हैं।

सरलतम मामलों में, फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना संभव है। आइए हम पहले समीकरण से पैरामीटर व्यक्त करें: - और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: . परिणाम एक साधारण घन फलन है.

अधिक "गंभीर" मामलों में, यह तरकीब काम नहीं करती। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने का एक सूत्र है:

हम "परिवर्तनीय टी के संबंध में खेल" का व्युत्पन्न पाते हैं:

सभी विभेदीकरण नियम और व्युत्पन्न की तालिका, स्वाभाविक रूप से, पत्र के लिए मान्य हैं, इस प्रकार, डेरिवेटिव खोजने की प्रक्रिया में कोई नवीनता नहीं है. बस मानसिक रूप से तालिका के सभी "X" को "Te" अक्षर से बदल दें।

हम चर te के संबंध में x का व्युत्पन्न पाते हैं:

अब जो कुछ बचा है वह हमारे सूत्र में पाए गए डेरिवेटिव को प्रतिस्थापित करना है:

तैयार। फ़ंक्शन की तरह ही व्युत्पन्न भी पैरामीटर पर निर्भर करता है।

जहां तक संकेतन की बात है, इसे सूत्र में लिखने के बजाय, कोई इसे सबस्क्रिप्ट के बिना ही लिख सकता है, क्योंकि यह "एक्स के संबंध में" एक "नियमित" व्युत्पन्न है। लेकिन साहित्य में हमेशा एक विकल्प होता है, इसलिए मैं मानक से नहीं हटूंगा।

उदाहरण 6

हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

इस प्रकार:

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की एक विशेष विशेषता यह तथ्य है प्रत्येक चरण में परिणाम को यथासंभव सरल बनाना लाभदायक होता है. इसलिए, विचार किए गए उदाहरण में, जब मुझे यह मिला, तो मैंने मूल के नीचे कोष्ठक खोल दिए (हालाँकि मैंने ऐसा नहीं किया होगा)। इस बात की अच्छी संभावना है कि सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर कई चीजें अच्छी तरह से कम हो जाएंगी। हालाँकि, निश्चित रूप से, अनाड़ी उत्तरों वाले उदाहरण भी हैं।

उदाहरण 7

पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

लेख में डेरिवेटिव के साथ सबसे सरल विशिष्ट समस्याएंहमने ऐसे उदाहरण देखे जिनमें हमें किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता थी। पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के लिए, आप दूसरा व्युत्पन्न भी पा सकते हैं, और इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको पहले पहला व्युत्पन्न खोजना होगा।

उदाहरण 8

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न खोजें

सबसे पहले, आइए पहला व्युत्पन्न खोजें।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में: