घातांकीय घात समीकरणों, एल्गोरिदम और उदाहरणों को हल करना। घातीय समीकरण
बेलगोरोड स्टेट यूनिवर्सिटी
विभाग बीजगणित, संख्या सिद्धांत और ज्यामिति
कार्य विषय: घातीय शक्ति समीकरण और असमानताएँ।
स्नातक कामभौतिकी और गणित संकाय के छात्र
वैज्ञानिक सलाहकार:
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समीक्षक: ________________________________
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बेलगोरोड। 2006
| परिचय | 3 | ||
| विषय मैं। | शोध विषय पर साहित्य का विश्लेषण। | ||
| विषय द्वितीय. | घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में उपयोग किए जाने वाले कार्य और उनके गुण। | ||
| मैं.1. | ऊर्जा समीकरणऔर उसके गुण. | ||
| मैं.2. | घातीय फलन और उसके गुण। | ||
| विषय तृतीय. | घातांकीय घात समीकरण, एल्गोरिदम और उदाहरणों को हल करना। | ||
| विषय चतुर्थ. | घातीय असमानताओं को हल करना, समाधान योजना और उदाहरण। | ||
| विषय वी | इस विषय पर स्कूली बच्चों के साथ कक्षाएं संचालित करने का अनुभव: "घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करना।" | ||
| वी 1. | शैक्षणिक सामग्री. | ||
| वी 2. | स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ. | ||
| निष्कर्ष। | निष्कर्ष और प्रस्ताव. | ||
| ग्रंथ सूची. | |||
| अनुप्रयोग | |||
परिचय।
"...देखने और समझने का आनंद..."
ए आइंस्टीन।
इस काम में, मैंने एक गणित शिक्षक के रूप में अपने अनुभव को व्यक्त करने की कोशिश की, कम से कम कुछ हद तक इसके शिक्षण के प्रति अपने दृष्टिकोण को व्यक्त करने के लिए - एक मानवीय प्रयास जिसमें गणितीय विज्ञान, शिक्षाशास्त्र, उपदेश, मनोविज्ञान और यहां तक कि दर्शनशास्त्र आश्चर्यजनक रूप से आपस में जुड़े हुए हैं।
मुझे बच्चों और स्नातकों के साथ, ध्रुवों पर खड़े बच्चों के साथ काम करने का अवसर मिला बौद्धिक विकास: जो मनोचिकित्सक के पास पंजीकृत थे और जो वास्तव में गणित में रुचि रखते थे
मुझे कई पद्धतिगत समस्याओं को हल करने का अवसर मिला। मैं उन लोगों के बारे में बात करने की कोशिश करूंगा जिन्हें मैं हल करने में कामयाब रहा। लेकिन और भी असफल, और जो सुलझते नजर आते हैं उनमें भी नए सवाल खड़े हो जाते हैं।
लेकिन अनुभव से भी अधिक महत्वपूर्ण शिक्षक के विचार और संदेह हैं: यह वास्तव में ऐसा क्यों है, यह अनुभव?
और गर्मी अब अलग है, और शिक्षा का विकास और अधिक दिलचस्प हो गया है। "अंडर द ज्यूपिटर" आज "हर किसी और हर चीज़" को पढ़ाने की एक पौराणिक इष्टतम प्रणाली की खोज नहीं है, बल्कि स्वयं बच्चे की खोज है। लेकिन फिर - आवश्यकता के अनुसार - शिक्षक।
बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम में और विश्लेषण शुरू हुआ, ग्रेड 10 - 11, से एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करनाप्रति कोर्स हाई स्कूलऔर विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षाओं में आधार और घातांक में अज्ञात वाले समीकरण और असमानताएं होती हैं - ये घातीय समीकरण और असमानताएं हैं।
स्कूल में उन पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है; पाठ्यपुस्तकों में इस विषय पर व्यावहारिक रूप से कोई असाइनमेंट नहीं है। हालाँकि, उन्हें हल करने की तकनीक में महारत हासिल करना, मुझे ऐसा लगता है, बहुत उपयोगी है: यह मानसिक और बढ़ाता है रचनात्मक कौशलविद्यार्थियों, हमारे सामने बिल्कुल नए क्षितिज खुल रहे हैं। समस्याओं को हल करते समय, छात्र पहले कौशल प्राप्त करते हैं अनुसंधान कार्य, उनकी गणितीय संस्कृति समृद्ध होती है, और तार्किक सोच की उनकी क्षमता विकसित होती है। स्कूली बच्चों में दृढ़ संकल्प, लक्ष्य-निर्धारण, स्वतंत्रता जैसे व्यक्तित्व गुण विकसित होते हैं, जो उनके लिए उपयोगी होंगे बाद का जीवन. और शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति, विस्तार और गहन आत्मसात भी होती है।
मैंने अपना कोर्सवर्क लिखकर थीसिस के लिए इस विषय पर काम करना शुरू किया। इस दौरान मैंने इस विषय पर गणितीय साहित्य का गहराई से अध्ययन और विश्लेषण किया, मैंने घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सबसे उपयुक्त विधि की पहचान की।
यह इस तथ्य में निहित है कि घातीय समीकरणों को हल करते समय आम तौर पर स्वीकृत दृष्टिकोण के अलावा (आधार 0 से अधिक लिया जाता है) और समान असमानताओं को हल करते समय (आधार 1 से बड़ा या 0 से अधिक, लेकिन 1 से कम लिया जाता है) , ऐसे मामलों पर भी विचार किया जाता है जब आधार नकारात्मक होते हैं, 0 और 1 के बराबर होते हैं।
छात्रों के लिखित परीक्षा पत्रों के विश्लेषण से पता चलता है कि स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में एक घातीय फ़ंक्शन के तर्क के नकारात्मक मूल्य के प्रश्न की कवरेज की कमी से उन्हें कई कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है और त्रुटियाँ होती हैं। और उन्हें प्राप्त परिणामों को व्यवस्थित करने के चरण में भी समस्याएं होती हैं, जहां, एक समीकरण - एक परिणाम या एक असमानता - एक परिणाम में संक्रमण के कारण, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। त्रुटियों को खत्म करने के लिए, हम मूल समीकरण या असमानता का उपयोग करके एक परीक्षण और घातीय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम, या घातीय असमानताओं को हल करने के लिए एक योजना का उपयोग करते हैं।
छात्रों को अंतिम और प्रवेश परीक्षा सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, मेरा मानना है कि कक्षाओं में, या इसके अतिरिक्त ऐच्छिक और क्लबों में घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने पर अधिक ध्यान देना आवश्यक है।
इस प्रकार विषय , मेरी थीसिस परिभाषित है इस अनुसार: "घातांकीय शक्ति समीकरण और असमानताएँ।"
लक्ष्य इस कार्य के हैं:
1. इस विषय पर साहित्य का विश्लेषण करें।
2. देना पूर्ण विश्लेषणघातीय शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करना।
3. इस विषय पर विभिन्न प्रकार के पर्याप्त संख्या में उदाहरण प्रदान करें।
4. कक्षा, ऐच्छिक और क्लब कक्षाओं में जांचें कि घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए प्रस्तावित तरीकों को कैसे समझा जाएगा। इस विषय का अध्ययन करने के लिए उचित अनुशंसाएँ दें।
विषय हमारा शोध घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए एक पद्धति विकसित करना है।
अध्ययन के उद्देश्य और विषय के लिए निम्नलिखित समस्याओं को हल करना आवश्यक है:
1. इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें: "घातांकीय शक्ति समीकरण और असमानताएँ।"
2. घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने की तकनीकों में महारत हासिल करें।
3. प्रशिक्षण सामग्री का चयन करें और अभ्यास की एक प्रणाली विकसित करें अलग - अलग स्तरविषय पर: "घातांकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करना।"
थीसिस अनुसंधान के दौरान, घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों के उपयोग पर 20 से अधिक पत्रों का विश्लेषण किया गया। यहीं से हमें मिलता है.
थीसिस योजना:
परिचय।
अध्याय I. शोध विषय पर साहित्य का विश्लेषण।
दूसरा अध्याय। घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में उपयोग किए जाने वाले कार्य और उनके गुण।
II.1. पावर फ़ंक्शन और उसके गुण।
II.2. घातीय फलन और उसके गुण।
अध्याय III. घातांकीय घात समीकरण, एल्गोरिदम और उदाहरणों को हल करना।
अध्याय चतुर्थ. घातीय असमानताओं को हल करना, समाधान योजना और उदाहरण।
अध्याय V. इस विषय पर स्कूली बच्चों के साथ कक्षाएं संचालित करने का अनुभव।
1.प्रशिक्षण सामग्री.
2. स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।
निष्कर्ष। निष्कर्ष और प्रस्ताव.
प्रयुक्त साहित्य की सूची.
अध्याय I साहित्य का विश्लेषण करता है
यह पाठ उन लोगों के लिए है जो अभी घातीय समीकरण सीखना शुरू कर रहे हैं। हमेशा की तरह, आइए परिभाषा और सरल उदाहरणों से शुरुआत करें।
यदि आप यह पाठ पढ़ रहे हैं, तो मुझे संदेह है कि आपको पहले से ही सबसे सरल समीकरणों की न्यूनतम समझ है - रैखिक और द्विघात: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, आदि। जिस विषय पर अब चर्चा की जाएगी, उसमें "फंसने" से बचने के लिए ऐसे निर्माणों को हल करने में सक्षम होना नितांत आवश्यक है।
तो, घातीय समीकरण। मैं आपको कुछ उदाहरण देता हूँ:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
उनमें से कुछ आपको अधिक जटिल लग सकते हैं, जबकि अन्य, इसके विपरीत, बहुत सरल हैं। लेकिन उन सभी में एक महत्वपूर्ण विशेषता समान है: उनके नोटेशन में घातीय फ़ंक्शन $f\left(x \right)=((a)^(x))$ शामिल है। इस प्रकार, आइए परिभाषा प्रस्तुत करें:
एक घातांकीय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें एक घातांकीय फलन होता है, अर्थात। फॉर्म की अभिव्यक्ति $((a)^(x))$. संकेतित फ़ंक्शन के अलावा, ऐसे समीकरणों में कोई अन्य बीजगणितीय निर्माण शामिल हो सकते हैं - बहुपद, मूल, त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि।
तो ठीक है। हमने परिभाषा सुलझा ली है. अब सवाल यह है कि इस सारी बकवास को कैसे हल किया जाए? उत्तर सरल और जटिल दोनों है.
आइए अच्छी खबर से शुरू करें: कई छात्रों को पढ़ाने के अपने अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि उनमें से अधिकांश को समान लघुगणक की तुलना में घातीय समीकरण बहुत आसान लगते हैं, और त्रिकोणमिति से भी अधिक।
लेकिन एक बुरी खबर है: कभी-कभी सभी प्रकार की पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं के लिए समस्याओं के लेखक "प्रेरणा" से प्रभावित हो जाते हैं, और उनका नशीली दवाओं से भरा मस्तिष्क ऐसे क्रूर समीकरण पैदा करना शुरू कर देता है कि उन्हें हल करना न केवल छात्रों के लिए बल्कि कई शिक्षकों के लिए भी समस्याग्रस्त हो जाता है। ऐसी समस्याओं में फंस जाते हैं.
हालाँकि, आइए दुखद बातों के बारे में बात न करें। और चलिए उन तीन समीकरणों पर लौटते हैं जो कहानी की शुरुआत में ही दिए गए थे। आइए उनमें से प्रत्येक को हल करने का प्रयास करें।
पहला समीकरण: $((2)^(x))=4$. खैर, संख्या 4 पाने के लिए आपको संख्या 2 को किस घात तक बढ़ाना होगा? शायद दूसरा? आख़िरकार, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - और हमें सही संख्यात्मक समानता मिल गई, यानी। वास्तव में $x=2$। खैर, धन्यवाद, कैप, लेकिन यह समीकरण इतना सरल था कि मेरी बिल्ली भी इसे हल कर सकती थी :)
आइए निम्नलिखित समीकरण देखें:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
लेकिन यहाँ यह थोड़ा अधिक जटिल है। कई छात्र जानते हैं कि $((5)^(2))=25$ गुणन सारणी है। कुछ लोगों को यह भी संदेह है कि $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ मूलतः नकारात्मक शक्तियों की परिभाषा है (सूत्र $((a)^(-n))= \ के समान frac(1)(((a)^(n)))$).
अंततः, केवल कुछ चुनिंदा लोगों को ही यह एहसास होता है कि इन तथ्यों को संयोजित किया जा सकता है और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हो सकते हैं:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
इस प्रकार, हमारा मूल समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\राइटएरो ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
लेकिन यह पहले से ही पूरी तरह से हल करने योग्य है! समीकरण में बाईं ओर एक घातीय फलन है, समीकरण में दाईं ओर एक घातांकीय फलन है, इनके अलावा कहीं और कुछ भी नहीं है। इसलिए, हम आधारों को "त्याग" सकते हैं और मूर्खतापूर्ण ढंग से संकेतकों की बराबरी कर सकते हैं:
हमने सबसे सरल रैखिक समीकरण प्राप्त किया है जिसे कोई भी छात्र केवल कुछ पंक्तियों में हल कर सकता है। ठीक है, चार पंक्तियों में:
\[\begin(संरेखित)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(संरेखित)\]
यदि आपको यह समझ में नहीं आया कि पिछली चार पंक्तियों में क्या हुआ, तो "रैखिक समीकरण" विषय पर वापस लौटना सुनिश्चित करें और इसे दोहराएँ। क्योंकि इस विषय की स्पष्ट समझ के बिना, आपके लिए घातीय समीकरणों को अपनाना जल्दबाजी होगी।
\[((9)^(x))=-3\]
तो हम इसे कैसे हल कर सकते हैं? पहला विचार: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, इसलिए मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
तब हमें याद आता है कि किसी घात को घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\राइटएरो ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(संरेखित)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(संरेखित)\]
और ऐसे निर्णय के लिए हमें ईमानदारी से योग्य दो लोग मिलेंगे। क्योंकि, एक पोकेमॉन की समभावता के साथ, हमने तीनों के सामने ऋण चिह्न को इसी तीन की घात पर भेजा। लेकिन आप ऐसा नहीं कर सकते. और यही कारण है। तीनों की विभिन्न शक्तियों पर एक नजर डालें:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]
इस टैबलेट को संकलित करते समय, मैंने कुछ भी विकृत नहीं किया: मैंने सकारात्मक शक्तियों, और नकारात्मक शक्तियों, और यहां तक कि भिन्नात्मक शक्तियों पर भी विचार किया... अच्छा, यहां कम से कम एक नकारात्मक संख्या कहां है? वह चला गया है! और यह नहीं हो सकता, क्योंकि घातीय फ़ंक्शन $y=((a)^(x))$, सबसे पहले, हमेशा केवल सकारात्मक मान लेता है (चाहे एक को दो से कितना भी गुणा या विभाजित किया जाए, यह अभी भी एक होगा सकारात्मक संख्या), और दूसरी बात, ऐसे फ़ंक्शन का आधार - संख्या $a$ - परिभाषा के अनुसार एक सकारात्मक संख्या है!
खैर, फिर समीकरण $((9)^(x))=-3$ को कैसे हल करें? लेकिन कोई रास्ता नहीं: कोई जड़ें नहीं हैं। और इस अर्थ में, घातांकीय समीकरण द्विघात समीकरणों के बहुत समान हैं - उनका कोई मूल भी नहीं हो सकता है। लेकिन यदि द्विघात समीकरणों में मूलों की संख्या विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है (सकारात्मक विभेदक - 2 मूल, ऋणात्मक - कोई मूल नहीं), तो घातांकीय समीकरणों में सब कुछ इस बात पर निर्भर करता है कि समान चिह्न के दाईं ओर क्या है।
इस प्रकार, आइए हम मुख्य निष्कर्ष तैयार करें: $((a)^(x))=b$ के रूप का सबसे सरल घातीय समीकरण का एक मूल है यदि और केवल यदि $b>0$। इस सरल तथ्य को जानकर आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि आपके सामने प्रस्तावित समीकरण के मूल हैं या नहीं। वे। क्या इसे बिल्कुल हल करना उचित है या तुरंत लिख देना चाहिए कि कोई जड़ें नहीं हैं।
यह ज्ञान हमें कई बार तब मदद करेगा जब हमें अधिक जटिल समस्याओं का समाधान करना होगा। अभी के लिए, गीत के बोल बहुत हो गए - अब घातीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी एल्गोरिदम का अध्ययन करने का समय आ गया है।
घातीय समीकरणों को कैसे हल करें
तो, आइए समस्या का सूत्रीकरण करें। घातीय समीकरण को हल करना आवश्यक है:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
"बेवकूफ" एल्गोरिथ्म के अनुसार, जिसका हमने पहले उपयोग किया था, संख्या $b$ को संख्या $a$ की घात के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है:
इसके अलावा, यदि वेरिएबल $x$ के बजाय कोई अभिव्यक्ति है, तो हमें एक नया समीकरण मिलेगा जिसे पहले ही हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\[\begin(संरेखित करें)& ((2)^(x))=8\राइटएरो ((2)^(x))=((2)^(3))\राइटएरो x=3; \\& ((3)^(-x))=81\राइटएरो ((3)^(-x))=((3)^(4))\राइटएरो -x=4\राइटएरो x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\राइटएरो ((5)^(2x))=((5)^(3))\राइटएरो 2x=3\राइटएरो x=\frac(3)( 2). \\\end(संरेखित करें)\]
और अजीब बात है कि यह योजना लगभग 90% मामलों में काम करती है। तो फिर शेष 10% का क्या? शेष 10% इस रूप के थोड़े "स्किज़ोफ्रेनिक" घातीय समीकरण हैं:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
खैर, 3 प्राप्त करने के लिए आपको 2 को किस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है? पहला? लेकिन नहीं: $((2)^(1))=2$ पर्याप्त नहीं है। दूसरा? नहीं भी: $((2)^(2))=4$ बहुत अधिक है। फिर कौन सा?
जानकार छात्रों ने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया है: ऐसे मामलों में, जब इसे "खूबसूरती से" हल करना संभव नहीं होता है, तो "भारी तोपखाना" - लघुगणक - काम में आता है। मैं आपको याद दिला दूं कि लघुगणक का उपयोग करके, किसी भी सकारात्मक संख्या को किसी अन्य सकारात्मक संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है (एक को छोड़कर):
यह सूत्र याद है? जब मैं अपने छात्रों को लघुगणक के बारे में बताता हूं, तो मैं हमेशा चेतावनी देता हूं: यह सूत्र (यह मुख्य लघुगणक पहचान भी है या, यदि आप चाहें, तो लघुगणक की परिभाषा) आपको बहुत लंबे समय तक परेशान करेगा और सबसे अधिक "पॉप अप" करेगा अप्रत्याशित स्थान. खैर, वह सामने आ गई। आइए हमारे समीकरण और इस सूत्र को देखें:
\[\begin(संरेखित करें)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(संरेखित करें) \]
यदि हम मान लें कि $a=3$ दाईं ओर हमारी मूल संख्या है, और $b=2$ उस घातीय फ़ंक्शन का आधार है जिसे हम आगे बढ़ाना चाहते हैं दाहिनी ओर, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:
\[\begin(संरेखित करें)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\राइटएरो ((2)^(x))=((2)^((((\log )_(2))3))\राइटएरो x=( (\लॉग )_(2))3. \\\end(संरेखित करें)\]
हमें थोड़ा अजीब उत्तर मिला: $x=((\log )_(2))3$. किसी अन्य कार्य में, कई लोगों को इस तरह के उत्तर पर संदेह होगा और वे अपने समाधान की दोबारा जांच करना शुरू कर देंगे: अगर कहीं कोई त्रुटि हो गई तो क्या होगा? मैं आपको खुश करने की जल्दबाजी करता हूं: यहां कोई त्रुटि नहीं है, और घातीय समीकरणों की जड़ों में लघुगणक एक पूरी तरह से विशिष्ट स्थिति है। तो इसकी आदत डाल लो :)
आइए अब शेष दो समीकरणों को सादृश्य द्वारा हल करें:
\[\begin(संरेखित करें)& ((5)^(x))=15\दायां तीर ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \दायाँ तीर x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\राइटएरो ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\राइटएरो 2x=( (\log )_(4))11\दायां तीर x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(संरेखित करें)\]
बस इतना ही! वैसे, अंतिम उत्तर अलग तरीके से लिखा जा सकता है:
हमने लघुगणक के तर्क में एक गुणक प्रस्तुत किया। लेकिन हमें इस कारक को आधार में जोड़ने से कोई नहीं रोक रहा है:
इसके अलावा, सभी तीन विकल्प सही हैं - यह सरल है अलग अलग आकारएक ही नंबर के रिकॉर्ड. इस समाधान में किसे चुनना और लिखना है, यह आपको तय करना है।
इस प्रकार, हमने $((a)^(x))=b$ के रूप के किसी भी घातीय समीकरण को हल करना सीख लिया है, जहां संख्याएं $a$ और $b$ पूरी तरह से सकारात्मक हैं। हालाँकि, हमारी दुनिया की कड़वी सच्चाई यह है कि ऐसे सरल कार्य बहुत कम ही सामने आएंगे। अक्सर आपका सामना कुछ इस तरह से होगा:
\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(संरेखित करें)\]
तो हम इसे कैसे हल कर सकते हैं? क्या इसे बिल्कुल हल किया जा सकता है? और यदि हां, तो कैसे?
घबड़ाएं नहीं। ये सभी समीकरण जल्दी और आसानी से उन सरल सूत्रों में बदल जाते हैं जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। आपको बस बीजगणित पाठ्यक्रम की कुछ युक्तियाँ याद रखने की आवश्यकता है। और हां, डिग्री के साथ काम करने के लिए कोई नियम नहीं हैं। मैं आपको अभी इस सब के बारे में बताऊंगा :)
घातीय समीकरणों को परिवर्तित करना
याद रखने वाली पहली बात: कोई भी घातांकीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, किसी न किसी तरह उसे सरलतम समीकरणों तक ही सीमित किया जाना चाहिए - जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं और जिन्हें हम हल करना जानते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी घातीय समीकरण की समाधान योजना इस प्रकार दिखती है:
- मूल समीकरण लिखिए. उदाहरण के लिए: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- कुछ अजीब बकवास करो. या यहां तक कि कुछ बकवास जिसे "एक समीकरण परिवर्तित करें" कहा जाता है;
- आउटपुट पर, फॉर्म $((4)^(x))=4$ या उसके जैसा कुछ और का सरलतम अभिव्यक्ति प्राप्त करें। इसके अलावा, एक प्रारंभिक समीकरण एक साथ कई ऐसे व्यंजक दे सकता है।
पहले बिंदु से सब कुछ स्पष्ट है - यहां तक कि मेरी बिल्ली भी कागज के टुकड़े पर समीकरण लिख सकती है। तीसरा बिंदु भी कमोबेश स्पष्ट प्रतीत होता है - हम ऊपर ऐसे समीकरणों का एक पूरा समूह पहले ही हल कर चुके हैं।
लेकिन दूसरे बिंदु के बारे में क्या? किस प्रकार के परिवर्तन? क्या को क्या में बदलें? और कैसे?
खैर, आइए जानें। सबसे पहले, मैं निम्नलिखित पर ध्यान देना चाहूंगा। सभी घातीय समीकरणों को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है:
- समीकरण समान आधार वाले घातीय कार्यों से बना है। उदाहरण: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- सूत्र में विभिन्न आधारों के साथ घातीय कार्य शामिल हैं। उदाहरण: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ और $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.
आइए पहले प्रकार के समीकरणों से शुरू करें - इन्हें हल करना सबसे आसान है। और उन्हें हल करने में हमें स्थिर अभिव्यक्तियों को उजागर करने जैसी तकनीक से मदद मिलेगी।
एक स्थिर अभिव्यक्ति को अलग करना
आइए इस समीकरण को फिर से देखें:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
हम क्या देखते हैं? चारों को अलग-अलग डिग्री तक बढ़ाया गया है। लेकिन ये सभी घात अन्य संख्याओं के साथ चर $x$ के सरल योग हैं। इसलिए, डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना आवश्यक है:
\[\begin(संरेखित करें)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(संरेखित करें)\]
सीधे शब्दों में कहें तो जोड़ को घातों के गुणनफल में बदला जा सकता है और घटाव को आसानी से विभाजन में बदला जा सकता है। आइए इन सूत्रों को हमारे समीकरण से डिग्री पर लागू करने का प्रयास करें:
\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(संरेखित करें)\]
आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखें, और फिर बाईं ओर के सभी पदों को एकत्रित करें:
\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -ग्यारह; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(संरेखित करें)\]
पहले चार शब्दों में $((4)^(x))$ तत्व शामिल है - आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें:
\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(संरेखित करें)\]
समीकरण के दोनों पक्षों को अंश $-\frac(11)(4)$ से विभाजित करना बाकी है, अर्थात। अनिवार्य रूप से उल्टे भिन्न से गुणा करें - $-\frac(4)(11)$. हम पाते हैं:
\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(संरेखित करें)\]
बस इतना ही! हमने मूल समीकरण को उसके सरलतम रूप में बदल दिया है और अंतिम उत्तर प्राप्त कर लिया है।
उसी समय, हल करने की प्रक्रिया में हमने खोजा (और इसे कोष्ठक से बाहर भी निकाला) सामान्य गुणक$((4)^(x))$ एक स्थिर अभिव्यक्ति है। इसे एक नए चर के रूप में नामित किया जा सकता है, या आप इसे सावधानीपूर्वक व्यक्त कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। फिर भी, मुख्य सिद्धांतसमाधान इस प्रकार हैं:
मूल समीकरण में एक स्थिर अभिव्यक्ति खोजें जिसमें एक चर हो जिसे सभी घातीय कार्यों से आसानी से अलग किया जा सके।
अच्छी खबर यह है कि लगभग हर घातीय समीकरण आपको ऐसी स्थिर अभिव्यक्ति को अलग करने की अनुमति देता है।
लेकिन बुरी खबर यह है कि ये अभिव्यक्तियाँ काफी पेचीदा हो सकती हैं और इन्हें पहचानना काफी मुश्किल हो सकता है। तो आइए एक और समस्या पर नजर डालें:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
शायद अब किसी के मन में यह सवाल होगा: “पाशा, क्या तुम पत्थर हो गए हो? यहां अलग-अलग आधार हैं - 5 और 0.2।" लेकिन आइए शक्ति को आधार 0.2 में परिवर्तित करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए दशमलव अंश को नियमित अंश में घटाकर इससे छुटकारा पाएं:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 5 अभी भी दिखाई देती है, यद्यपि हर में। उसी समय, संकेतक को नकारात्मक के रूप में फिर से लिखा गया था। आइए अब डिग्रियों के साथ काम करने के सबसे महत्वपूर्ण नियमों में से एक को याद रखें:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
यहाँ, निश्चित रूप से, मैं थोड़ा झूठ बोल रहा था। क्योंकि पूर्ण समझ के लिए नकारात्मक संकेतकों से छुटकारा पाने का सूत्र इस प्रकार लिखना होगा:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\दायाँ तीर ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ दाएं))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
दूसरी ओर, किसी भी चीज़ ने हमें केवल भिन्नों के साथ काम करने से नहीं रोका:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ दाएं))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
लेकिन इस मामले में, आपको एक शक्ति को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने में सक्षम होने की आवश्यकता है (मैं आपको याद दिला दूं: इस मामले में, संकेतक एक साथ जोड़े जाते हैं)। लेकिन मुझे भिन्नों को "उल्टा" नहीं करना पड़ा - शायद यह कुछ के लिए आसान होगा :)
किसी भी स्थिति में, मूल घातीय समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:
\[\begin(संरेखित करें)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(संरेखित करें)\]
तो यह पता चला है कि मूल समीकरण को पहले से विचार किए गए से भी अधिक सरलता से हल किया जा सकता है: यहां आपको एक स्थिर अभिव्यक्ति का चयन करने की भी आवश्यकता नहीं है - सब कुछ अपने आप कम हो गया है। यह केवल यह याद रखना बाकी है कि $1=((5)^(0))$, जिससे हमें यह मिलता है:
\[\begin(संरेखित करें)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(संरेखित करें)\]
यही समाधान है! हमें अंतिम उत्तर मिला: $x=-2$। साथ ही, मैं एक ऐसी तकनीक पर ध्यान देना चाहूंगा जिसने हमारे लिए सभी गणनाओं को बहुत सरल बना दिया:
घातांकीय समीकरणों में, दशमलव भिन्नों से छुटकारा पाना और उन्हें सामान्य अंशों में बदलना सुनिश्चित करें। यह आपको डिग्रियों के समान आधार देखने की अनुमति देगा और समाधान को बहुत सरल बना देगा।
आइए अब हम अधिक जटिल समीकरणों की ओर बढ़ते हैं जिनमें अलग-अलग आधार होते हैं जिन्हें शक्तियों का उपयोग करके एक-दूसरे से कम नहीं किया जा सकता है।
डिग्री संपत्ति का उपयोग करना
मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास दो और विशेष रूप से कठोर समीकरण हैं:
\[\begin(संरेखित करें)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(संरेखित करें)\]
यहां मुख्य कठिनाई यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि क्या देना है और किस आधार पर देना है। स्थिर भाव कहाँ हैं? वही मैदान कहाँ हैं? इसमें कुछ भी नहीं है.
लेकिन आइए एक अलग रास्ते पर जाने की कोशिश करें। यदि कोई तैयार समान आधार नहीं हैं, तो आप मौजूदा आधारों का गुणनखंड करके उन्हें खोजने का प्रयास कर सकते हैं।
आइए पहले समीकरण से शुरू करें:
\[\begin(संरेखित करें)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\दायां तीर ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(संरेखित करें)\]
लेकिन आप इसके विपरीत कर सकते हैं - संख्या 7 और 3 से संख्या 21 बनाएं। बाईं ओर ऐसा करना विशेष रूप से आसान है, क्योंकि दोनों डिग्री के संकेतक समान हैं:
\[\begin(संरेखित)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(संरेखित करें)\]
बस इतना ही! आपने घातांक को उत्पाद के बाहर ले लिया और तुरंत एक सुंदर समीकरण प्राप्त कर लिया जिसे कुछ पंक्तियों में हल किया जा सकता है।
अब दूसरे समीकरण पर नजर डालते हैं. यहाँ सब कुछ बहुत अधिक जटिल है:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
इस मामले में, अंश अपरिवर्तनीय निकले, लेकिन यदि कुछ कम किया जा सकता है, तो इसे कम करना सुनिश्चित करें। अक्सर होंगे दिलचस्प कारण, जिसके साथ आप पहले से ही काम कर सकते हैं।
दुर्भाग्य से, हमारे लिए कुछ खास सामने नहीं आया। लेकिन हम देखते हैं कि उत्पाद में बाईं ओर के घातांक विपरीत हैं:
मैं आपको याद दिला दूं: संकेतक में ऋण चिह्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको बस अंश को "फ्लिप" करना होगा। खैर, आइए मूल समीकरण को फिर से लिखें:
\[\begin(संरेखित करें)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(संरेखित करें)\]
दूसरी पंक्ति में, हमने नियम $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) के अनुसार ब्रैकेट से उत्पाद से कुल घातांक को हटा दिया \cdot b \right))^ (x))$, और आखिरी में उन्होंने संख्या 100 को एक अंश से गुणा कर दिया।
अब ध्यान दें कि बाईं ओर (आधार पर) और दाईं ओर की संख्याएँ कुछ हद तक समान हैं। कैसे? हाँ, यह स्पष्ट है: वे एक ही संख्या की शक्तियाँ हैं! हमारे पास है:
\[\begin(ign)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \दाएं))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \दाएं))^(2)). \\\end(संरेखित करें)\]
इस प्रकार, हमारा समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\दाएं))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \दाएं))^(3\बाएं(x-1 \दाएं)))=((\left(\frac(10)(3) \दाएं))^(3x-3))\]
इस मामले में, दाईं ओर आप उसी आधार के साथ एक डिग्री भी प्राप्त कर सकते हैं, जिसके लिए अंश को केवल "पलटना" पर्याप्त है:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
हमारा समीकरण अंततः रूप लेगा:
\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(संरेखित करें)\]
यही समाधान है. उनका मुख्य विचार इस तथ्य पर आधारित है कि अलग-अलग आधारों के साथ भी हम इन आधारों को किसी भी तरह से एक ही चीज़ में बदलने की कोशिश करते हैं। वे इसमें हमारी मदद करते हैं प्राथमिक परिवर्तनशक्तियों के साथ काम करने के लिए समीकरण और नियम।
लेकिन क्या नियम और कब उपयोग करना है? आप यह कैसे समझते हैं कि एक समीकरण में आपको दोनों पक्षों को किसी चीज़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, और दूसरे में आपको घातीय फलन के आधार का गुणनखंड करने की आवश्यकता है?
इस प्रश्न का उत्तर अनुभव के साथ आएगा। पहले अपना हाथ आज़माएं सरल समीकरण, और फिर धीरे-धीरे कार्यों को जटिल करें - और बहुत जल्द ही आपका कौशल उसी एकीकृत राज्य परीक्षा या किसी स्वतंत्र/परीक्षण कार्य से किसी भी घातीय समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त होगा।
और इस कठिन कार्य में आपकी मदद करने के लिए, मैं इसे स्वयं हल करने के लिए अपनी वेबसाइट से समीकरणों का एक सेट डाउनलोड करने का सुझाव देता हूं। सभी समीकरणों के उत्तर हैं, इसलिए आप हमेशा स्वयं को परख सकते हैं।
यह उस रूप के समीकरणों का नाम है जहां अज्ञात घातांक और आधार दोनों में होता है।
आप फॉर्म के समीकरण को हल करने के लिए एक पूरी तरह से स्पष्ट एल्गोरिदम निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए आपको इस बात पर ध्यान देना होगा कि कब ओह)नहीं शून्य के बराबर, एक और शून्य एक सी की शक्तियों की समानता है उसी आधार पर(चाहे वह धनात्मक हो या ऋणात्मक) तभी संभव है जब घातांक बराबर हों अर्थात समीकरण के सभी मूल समीकरण के मूल होंगे एफ(एक्स) = जी(एक्स)विपरीत कथन सत्य नहीं है, कब ओह)< 0 और भिन्नात्मक मान एफ(एक्स)और जी(एक्स)अभिव्यक्ति ओह) एफ(एक्स) और
ओह) जी(एक्स) अपना अर्थ खो देते हैं. अर्थात्, से आगे बढ़ते समय एफ(एक्स) = जी(एक्स)(के लिए और बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें मूल समीकरण के विरुद्ध जाँच करके बाहर रखा जाना चाहिए। और मामले ए = 0, ए = 1, ए = -1अलग से विचार करने की जरूरत है.
इसलिए, समीकरण को पूरी तरह से हल करने के लिए, हम निम्नलिखित मामलों पर विचार करते हैं:
ए(एक्स) = ओ एफ(एक्स)और जी(एक्स)इच्छा सकारात्मक संख्या, तो यही समाधान है. अन्यथा, नहीं
ए(एक्स) = 1. इस समीकरण की जड़ें मूल समीकरण की जड़ें भी हैं।
ए(एक्स) = -1. यदि, x के मान के लिए जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, एफ(एक्स)और जी(एक्स)समान समता के पूर्णांक हैं (या तो दोनों सम या दोनों विषम), तो यह समाधान है। अन्यथा, नहीं
कब और हम समीकरण हल करते हैं एफ(एक्स)= जी(एक्स)और प्राप्त परिणामों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके हमने बाहरी जड़ों को काट दिया।
घातीय-शक्ति समीकरणों को हल करने के उदाहरण।
उदाहरण क्रमांक 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. क्योंकि 3 > 0, और 3 2 > 0, तो x 1 = 3 समाधान है।
2) एक्स - 3 = 1, एक्स 2 = 4।
3) x - 3 = -1, x = 2। दोनों संकेतक सम हैं। यह हल x 3 = 1 है.
4) एक्स - 3 ? 0 और एक्स? ± 1. x = x 2, x = 0 या x = 1. x = 0 के लिए, (-3) 0 = (-3) 0 - यह समाधान सही है: x 4 = 0. x = 1 के लिए, (- 2) 1 = (-2) 1 - यह समाधान सही है x 5 = 1।
उत्तर: 0, 1, 2, 3, 4.
उदाहरण क्रमांक 2.
अंकगणित की परिभाषा के अनुसार वर्गमूल: एक्स - 1 ? 0, एक्स ? 1.
1) x - 1 = 0 या x = 1, = 0, 0 0 कोई समाधान नहीं है।
2) एक्स - 1 = 1 एक्स 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 ODZ में फिट नहीं बैठता है।
डी = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - कोई जड़ नहीं।
समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। घातांकीय या घातांकीय समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें चर घातों में होते हैं और आधार एक संख्या होती है। उदाहरण के लिए:
एक घातीय समीकरण को हल करने में 2 काफी सरल चरण आते हैं:
1. आपको यह जांचना होगा कि दाएं और बाएं समीकरण के आधार समान हैं या नहीं। यदि कारण समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्प तलाशते हैं।
2. आधार समान हो जाने के बाद, हम अंशों को बराबर करते हैं और परिणामी नए समीकरण को हल करते हैं।
मान लीजिए हमें निम्नलिखित रूप का एक घातीय समीकरण दिया गया है:
इस समीकरण का समाधान आधार के विश्लेषण से शुरू करना उचित है। आधार अलग-अलग हैं - 2 और 4, लेकिन हल करने के लिए हमें उनका समान होना आवश्यक है, इसलिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके 4 को रूपांतरित करते हैं -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
हम मूल समीकरण में जोड़ते हैं:
आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें \
आइए व्यक्त करें \
चूँकि डिग्रियाँ समान हैं, हम उन्हें त्याग देते हैं:
उत्तर: \
मैं ऑनलाइन सॉल्वर का उपयोग करके घातीय समीकरण को कहां हल कर सकता हूं?
आप हमारी वेबसाइट https://site पर समीकरण हल कर सकते हैं। निःशुल्क ऑनलाइन सॉल्वर आपको किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरणों को कुछ ही सेकंड में हल करने की अनुमति देगा। आपको बस सॉल्वर में अपना डेटा दर्ज करना है। आप हमारी वेबसाइट पर वीडियो निर्देश भी देख सकते हैं और समीकरण को हल करना सीख सकते हैं। और यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे VKontakte समूह http://vk.com/pocketteacher में पूछ सकते हैं। हमारे समूह से जुड़ें, हम आपकी मदद करने में हमेशा खुश रहेंगे।
