अंतर का उपयोग करके, लगभग इस मान की गणना करें। अंतर का उपयोग करके गणना सन्निकटन

एक ओर, अंतर की गणना करना वेतन वृद्धि की गणना करने से कहीं अधिक सरल है; दूसरी ओर, dy≈∆y और इस मामले में अनुमत त्रुटि को ∆x को कम करके मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है। ये परिस्थितियाँ कई मामलों में ∆y को मान dy से प्रतिस्थापित करना संभव बनाती हैं। अनुमानित समानता dy≈∆y से, यह ध्यान में रखते हुए कि ∆y = f(x) – f(x 0), और dy=f'(x 0)(x-x 0), हम f(x) ≈ f( प्राप्त करते हैं x 0) + f'(x 0)(x – x 0), जहां x-x 0 = ∆x.
उदाहरण। गणना करें.
समाधान. फ़ंक्शन लेते हुए, हमारे पास है: . यह मानते हुए कि x 0 = 16 (हम खुद को चुनते हैं ताकि मूल निकाला जा सके), ∆x = 0.02, हमें मिलता है।

उदाहरण। बिंदु x=0.1 पर फ़ंक्शन f(x) = e x के मान की गणना करें।
समाधान. x 0 के लिए हम संख्या 0 लेते हैं, अर्थात x 0 =0, फिर ∆x=x-x 0 =0.1 और e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. तालिका के अनुसार, ई 0.1 ≈1.1052। त्रुटि मामूली थी.
आइए एक बात और नोट कर लें महत्वपूर्ण संपत्तिअंतर. अंतर dy=f'(x)dx ज्ञात करने का सूत्र उस स्थिति में भी सही है जब एक्सएक स्वतंत्र चर है, और उस स्थिति में जब एक्स- एक नए चर का कार्य टी. किसी विभेदक के इस गुण को उसके स्वरूप का अपरिवर्तनशील गुण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=tg(x) के लिए अंतर को फॉर्म में लिखा जाएगा दोनों में से किसी की परवाह किये बिना एक्स स्वतंत्र चर या कार्य. अगर एक्स- फ़ंक्शन विशेष रूप से निर्दिष्ट है, उदाहरण के लिए x=t 2, फिर dy की गणना जारी रखी जा सकती है, जिसके लिए हम dx=2tdt पाते हैं और इसे dy के लिए पहले प्राप्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:
.
यदि सूत्र (2) के स्थान पर हमने गैर-अपरिवर्तनीय सूत्र (1) का उपयोग किया है, तो उस स्थिति में जहां x एक फ़ंक्शन है, हम नहीं कर सकते एक समान तरीके सेडाई की गणना जारी रखें, क्योंकि ∆x, सामान्यतया, मेल नहीं खाता है डीएक्स.

अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना

इस पाठ में हम एक सामान्य समस्या पर गौर करेंगे एक अंतर का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के मान की अनुमानित गणना पर. यहां और आगे हम प्रथम-क्रम अंतर के बारे में बात करेंगे, संक्षिप्तता के लिए मैं अक्सर बस "अंतर" कहूंगा। अंतरों का उपयोग करके अनुमानित गणना की समस्या में एक सख्त समाधान एल्गोरिदम है, और इसलिए, कोई विशेष कठिनाई उत्पन्न नहीं होनी चाहिए। बात सिर्फ इतनी है कि छोटी-मोटी खामियां हैं जिन्हें भी साफ कर लिया जाएगा। इसलिए बेझिझक पहले सिर में गोता लगाएँ।

इसके अलावा, पृष्ठ में गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि खोजने के लिए सूत्र शामिल हैं। सामग्री बहुत उपयोगी है, क्योंकि अन्य समस्याओं में त्रुटियों की गणना करनी होती है। भौतिकविदों, आपकी तालियाँ कहाँ हैं? =)

उदाहरणों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर कार्यों के व्युत्पन्न ढूंढने में सक्षम होना चाहिए, इसलिए यदि आप भेदभाव के साथ पूरी तरह से भ्रमित हैं, तो कृपया पाठ से शुरुआत करें व्युत्पन्न कैसे खोजें? मैं लेख पढ़ने की भी सलाह देता हूं डेरिवेटिव के साथ सबसे सरल समस्याएं , अर्थात् पैराग्राफ एक बिंदु पर व्युत्पन्न खोजने के बारे मेंऔर बिंदु पर अंतर ज्ञात करना. तकनीकी माध्यम से, आपको विभिन्न गणितीय कार्यों वाले एक माइक्रोकैलकुलेटर की आवश्यकता होगी। आप एक्सेल का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में यह कम सुविधाजनक है।

कार्यशाला में दो भाग होते हैं:

- एक चर के फ़ंक्शन के अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना।

- दो चर वाले फ़ंक्शन के कुल अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना।

किसे क्या चाहिए? वास्तव में, धन को दो ढेरों में विभाजित करना संभव था, इस कारण से कि दूसरा बिंदु अनुप्रयोगों से संबंधित है अनेक चरों के कार्य. लेकिन मैं क्या कर सकता हूं, मुझे लंबे लेख पसंद हैं।

अनुमानित गणना
एक चर के फ़ंक्शन के अंतर का उपयोग करना

प्रश्नगत कार्य और उसके ज्यामितीय अर्थ को पहले ही पाठ में शामिल किया जा चुका है। व्युत्पन्न क्या है?, और अब हम खुद को उदाहरणों के औपचारिक विचार तक सीमित रखेंगे, जो उन्हें हल करने का तरीका सीखने के लिए काफी है।

पहले पैराग्राफ में, एक परिवर्तनीय नियम का कार्य। जैसा कि सभी जानते हैं, इसे या द्वारा दर्शाया जाता है। इस कार्य के लिए दूसरे नोटेशन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है। आइए सीधे एक लोकप्रिय उदाहरण पर चलते हैं जो अक्सर व्यवहार में सामने आता है:

उदाहरण 1

समाधान:कृपया अनुमानित गणना के लिए कार्य सूत्र को अपनी नोटबुक में कॉपी करें अंतर :

आइए इसका पता लगाना शुरू करें, यहां सब कुछ सरल है!

पहला कदम एक फ़ंक्शन बनाना है। शर्त के अनुसार, संख्या के घनमूल की गणना करने का प्रस्ताव है:, इसलिए संबंधित फ़ंक्शन का रूप: है। हमें अनुमानित मूल्य ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है।

आइए देखें बाईं तरफसूत्र, और मन में विचार आता है कि संख्या 67 को प्रपत्र में दर्शाया जाना चाहिए। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका क्या है? मैं निम्नलिखित एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं: आइए गणना करें दिया गया मूल्यकैलकुलेटर पर:
- यह एक पूंछ के साथ 4 निकला, यह समाधान के लिए एक महत्वपूर्ण दिशानिर्देश है।

हम एक "अच्छा" मान चुनते हैं ताकि जड़ पूरी तरह से निकल जाए. स्वाभाविक रूप से, यह मान होना चाहिए जितना संभव हो सके उतना करीबसे 67. इस मामले में: . वास्तव में: ।

नोट: जब चयन में अभी भी कठिनाई उत्पन्न हो, तो बस परिकलित मूल्य को देखें (इस मामले में)। ), निकटतम पूर्णांक भाग लें (इस मामले में 4) और इसे आवश्यक शक्ति तक बढ़ाएं (इस मामले में)। परिणामस्वरूप, आवश्यक चयन किया जाएगा: .

यदि , तो तर्क की वृद्धि: .

तो, संख्या 67 को योग के रूप में दर्शाया गया है

सबसे पहले, आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें। दरअसल, ऐसा पहले भी किया जा चुका है:

एक बिंदु पर विभेदकसूत्र द्वारा पाया जाता है:
- आप इसे अपनी नोटबुक में भी कॉपी कर सकते हैं।

सूत्र से यह पता चलता है कि आपको पहला व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है:

और बिंदु पर इसका मान ज्ञात करें:

इस प्रकार:

सब तैयार है! सूत्र के अनुसार:

पाया गया अनुमानित मूल्य मूल्य के काफी करीब है , एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई।

उत्तर:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन की वृद्धि को उसके अंतर से प्रतिस्थापित करते हुए, लगभग गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना और पाठ के अंत में उत्तर। शुरुआती लोगों के लिए, मैं पहले गणना करने की सलाह देता हूं सही मूल्यमाइक्रोकैलकुलेटर पर यह पता लगाने के लिए कि किस संख्या को के रूप में लिया गया है, और किस संख्या को के रूप में लिया गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस उदाहरण में यह नकारात्मक होगा।

कुछ लोगों ने सोचा होगा कि यदि कैलकुलेटर पर सब कुछ शांतिपूर्वक और अधिक सटीक रूप से गणना किया जा सकता है तो इस कार्य की आवश्यकता क्यों है? मैं सहमत हूं, यह कार्य मूर्खतापूर्ण और अनुभवहीन है। लेकिन मैं इसे थोड़ा उचित ठहराने की कोशिश करूंगा। सबसे पहले, कार्य विभेदक फ़ंक्शन के अर्थ को दर्शाता है। दूसरे, प्राचीन काल में कैलकुलेटर आधुनिक समय में एक निजी हेलीकॉप्टर जैसा ही होता था। मैंने खुद देखा कि कैसे 1985-86 में एक स्थानीय पॉलिटेक्निक संस्थान से एक कमरे के आकार का कंप्यूटर फेंक दिया गया था (रेडियो के शौकीन पेचकस लेकर शहर भर से दौड़ते हुए आए थे, और कुछ घंटों के बाद केवल मामला ही बचा था) इकाई)। हमारे भौतिकी और गणित विभाग में भी प्राचीन वस्तुएँ थीं, हालाँकि वे आकार में छोटी थीं - एक डेस्क के आकार के बारे में। इस प्रकार हमारे पूर्वजों ने अनुमानित गणना के तरीकों से संघर्ष किया। घोड़ा-गाड़ी भी परिवहन है।

किसी भी तरह, कार्य मानक पाठ्यक्रम में ही रहा उच्च गणित, और इसे हल करना होगा। यह आपके प्रश्न का मुख्य उत्तर है=)

उदाहरण 3

बिंदु पर. माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अधिक सटीक मान की गणना करें, गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का मूल्यांकन करें।

वास्तव में, वही कार्य, इसे आसानी से निम्नानुसार पुन: तैयार किया जा सकता है: “अनुमानित मूल्य की गणना करें एक अंतर का उपयोग करना"

समाधान:हम परिचित सूत्र का उपयोग करते हैं:
इस मामले में, एक तैयार फ़ंक्शन पहले से ही दिया गया है: . एक बार फिर, मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

मूल्य को प्रपत्र में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। खैर, यहां यह आसान है, हम देखते हैं कि संख्या 1.97 "दो" के बहुत करीब है, इसलिए यह स्वयं ही सुझाव देता है। और इसलिए: ।

सूत्र का उपयोग करना , आइए उसी बिंदु पर अंतर की गणना करें।

हमें पहला व्युत्पन्न मिलता है:

और बिंदु पर इसका मूल्य:

इस प्रकार, बिंदु पर अंतर:

परिणामस्वरूप, सूत्र के अनुसार:

कार्य का दूसरा भाग गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का पता लगाना है।

गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि

पूर्ण गणना त्रुटिसूत्र द्वारा पाया जाता है:

मापांक चिन्ह दर्शाता है कि हमें इसकी परवाह नहीं है कि कौन सा मान अधिक है और कौन सा कम है। महत्वपूर्ण, कितनी दूरअनुमानित परिणाम किसी न किसी दिशा में सटीक मान से भटक गया।

सापेक्ष गणना त्रुटिसूत्र द्वारा पाया जाता है:
, या वही बात:

सापेक्ष त्रुटि दिखती है कितने प्रतिशत सेअनुमानित परिणाम सटीक मान से भटक गया। 100% से गुणा किए बिना सूत्र का एक संस्करण है, लेकिन व्यवहार में मैं लगभग हमेशा उपरोक्त संस्करण को प्रतिशत के साथ देखता हूं।

एक संक्षिप्त संदर्भ के बाद, आइए अपनी समस्या पर लौटते हैं, जिसमें हमने फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्य की गणना की थी एक अंतर का उपयोग करना।

आइए माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके फ़ंक्शन के सटीक मान की गणना करें:
, सख्ती से कहें तो, मूल्य अभी भी अनुमानित है, लेकिन हम इसे सटीक मानेंगे। ऐसी समस्याएँ उत्पन्न होती हैं।

आइए पूर्ण त्रुटि की गणना करें:

आइए सापेक्ष त्रुटि की गणना करें:
, एक प्रतिशत का हजारवां हिस्सा प्राप्त किया गया था, इसलिए अंतर सिर्फ एक उत्कृष्ट सन्निकटन प्रदान करता है।

उत्तर: , पूर्ण गणना त्रुटि, सापेक्ष गणना त्रुटि

स्वतंत्र समाधान के लिए निम्नलिखित उदाहरण:

उदाहरण 4

एक अंतर का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के लगभग मान की गणना करें बिंदु पर. किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के अधिक सटीक मान की गणना करें, गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाएं।

अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना और पाठ के अंत में उत्तर।

कई लोगों ने देखा है कि विचार किए गए सभी उदाहरणों में जड़ें दिखाई देती हैं। यह आकस्मिक नहीं है; ज्यादातर मामलों में, विचाराधीन समस्या वास्तव में जड़ों के साथ कार्य प्रदान करती है।

लेकिन पीड़ित पाठकों के लिए, मैंने आर्कसाइन के साथ एक छोटा सा उदाहरण खोजा:

उदाहरण 5

एक अंतर का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के लगभग मान की गणना करें बिंदु पर

यह संक्षिप्त लेकिन जानकारीपूर्ण उदाहरण भी आपके लिए है जिसे आप स्वयं हल कर सकते हैं। और मैंने थोड़ा आराम किया ताकि नए जोश के साथ मैं विशेष कार्य पर विचार कर सकूं:

उदाहरण 6

अंतर का उपयोग करके लगभग गणना करें, परिणाम को दो दशमलव स्थानों तक गोल करें।

समाधान:कार्य में नया क्या है? शर्त के अनुसार परिणाम को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करना आवश्यक है। लेकिन बात यह नहीं है; मुझे लगता है कि स्कूल जाने की समस्या आपके लिए कठिन नहीं है। तथ्य यह है कि हमें एक स्पर्शरेखा दी गई है एक तर्क के साथ जो डिग्री में व्यक्त किया गया है. जब आपसे किसी त्रिकोणमितीय फलन को डिग्री के साथ हल करने के लिए कहा जाए तो आपको क्या करना चाहिए? उदाहरण के लिए, आदि।

समाधान एल्गोरिथ्म मूल रूप से वही है, अर्थात, पिछले उदाहरणों की तरह, सूत्र को लागू करना आवश्यक है

आइए एक स्पष्ट फ़ंक्शन लिखें

मूल्य को प्रपत्र में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। गंभीर सहायता प्रदान करेंगे त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका . वैसे, जिन लोगों ने इसे प्रिंट नहीं किया है, मैं उन्हें ऐसा करने की सलाह देता हूं, क्योंकि आपको उच्च गणित के अध्ययन के पूरे पाठ्यक्रम के दौरान वहां देखना होगा।

तालिका का विश्लेषण करते हुए, हम एक "अच्छा" स्पर्शरेखा मान देखते हैं, जो 47 डिग्री के करीब है:

इस प्रकार:

प्रारंभिक विश्लेषण के बाद डिग्री को रेडियन में परिवर्तित किया जाना चाहिए. हाँ, और केवल इसी तरह!

इस उदाहरण में, आप सीधे त्रिकोणमितीय तालिका से पता लगा सकते हैं कि। डिग्री को रेडियन में बदलने के सूत्र का उपयोग करना: (सूत्र एक ही तालिका में पाए जा सकते हैं)।

निम्नलिखित सूत्रबद्ध है:

इस प्रकार: (हम गणना के लिए मूल्य का उपयोग करते हैं)। शर्त के अनुसार परिणाम को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित किया जाता है।

उत्तर:

उदाहरण 7

एक अंतर का उपयोग करके लगभग गणना करें, परिणाम को तीन दशमलव स्थानों तक गोल करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, हम डिग्री को रेडियन में बदलते हैं और सामान्य समाधान एल्गोरिदम का पालन करते हैं।

अनुमानित गणना
दो चर वाले फ़ंक्शन के पूर्ण अंतर का उपयोग करना

सब कुछ बहुत, बहुत समान होगा, इसलिए यदि आप विशेष रूप से इस कार्य के लिए इस पृष्ठ पर आए हैं, तो पहले मैं पिछले पैराग्राफ के कम से कम कुछ उदाहरण देखने की सलाह देता हूं।

किसी पैराग्राफ का अध्ययन करने के लिए आपको ढूंढने में सक्षम होना चाहिए दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न , हम उनके बिना कहाँ पहुँच पाएंगे? उपरोक्त पाठ में, मैंने अक्षर का उपयोग करके दो चर वाले एक फ़ंक्शन को दर्शाया। विचाराधीन कार्य के संबंध में समतुल्य संकेतन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

जैसा कि एक चर वाले फ़ंक्शन के मामले में, समस्या की स्थिति को अलग-अलग तरीकों से तैयार किया जा सकता है, और मैं सामने आए सभी फॉर्मूलेशन पर विचार करने का प्रयास करूंगा।

उदाहरण 8

समाधान:कोई फर्क नहीं पड़ता कि शर्त कैसे लिखी गई है, समाधान में फ़ंक्शन को निरूपित करने के लिए, मैं दोहराता हूं, अक्षर "z" का उपयोग नहीं करना बेहतर है, लेकिन .

और यहाँ कार्य सूत्र है:

दरअसल, हमारे सामने बड़ी बहनपिछले पैराग्राफ के सूत्र. वैरिएबल केवल बढ़ गया है। मैं खुद क्या कहूं समाधान एल्गोरिथ्म मौलिक रूप से वही होगा!

शर्त के अनुसार, बिंदु पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए संख्या 3.04 को इस प्रकार निरूपित करें। बन खुद ही खाने को कहता है:
,

आइए संख्या 3.95 को इस प्रकार निरूपित करें। कोलोबोक के दूसरे भाग की बारी आ गई है:
,

और लोमड़ी की सभी चालों को मत देखो, एक कोलोबोक है - तुम्हें इसे खाना होगा।

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

हम सूत्र का उपयोग करके किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का अंतर पाते हैं:

सूत्र से यह पता चलता है कि हमें खोजने की आवश्यकता है आंशिक अवकलज पहले आदेश दें और बिंदु पर उनके मानों की गणना करें।

आइए बिंदु पर पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें:

बिंदु पर कुल अंतर:

इस प्रकार, सूत्र के अनुसार, बिंदु पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान:

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के सटीक मान की गणना करें:

यह मान बिल्कुल सटीक है.

त्रुटियों की गणना के अनुसार की जाती है मानक सूत्र, जिसकी चर्चा इस लेख में पहले ही की जा चुकी है।

पूर्ण त्रुटि:

रिश्तेदारों की गलती:

उत्तर:, पूर्ण त्रुटि: , सापेक्ष त्रुटि:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करें कुल अंतर का उपयोग करके एक बिंदु पर, पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाएं।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। जो कोई भी इस उदाहरण को करीब से देखेगा, वह देखेगा कि गणना संबंधी त्रुटियाँ बहुत ही ध्यान देने योग्य थीं। ऐसा निम्नलिखित कारणों से हुआ: प्रस्तावित समस्या में तर्कों की वृद्धि काफी बड़ी है:। सामान्य पैटर्न यह है: ये वेतन वृद्धि जितनी अधिक होगी निरपेक्ष मूल्य, गणना की सटीकता जितनी कम होगी। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक समान बिंदु के लिए वेतन वृद्धि छोटी होगी: और अनुमानित गणना की सटीकता बहुत अधिक होगी।

यह विशेषता एक चर (पाठ का पहला भाग) वाले फ़ंक्शन के मामले में भी सत्य है।

उदाहरण 10

समाधान: आइए दो चर वाले फ़ंक्शन के कुल अंतर का उपयोग करके इस अभिव्यक्ति की गणना करें:

उदाहरण 8-9 से अंतर यह है कि हमें पहले दो चरों का एक फ़ंक्शन बनाने की आवश्यकता है: . मुझे लगता है कि हर कोई सहजता से समझता है कि फ़ंक्शन की रचना कैसे की जाती है।

मान 4.9973 "पांच" के करीब है, इसलिए: , ।
मान 0.9919 "एक" के करीब है, इसलिए, हम मानते हैं:,।

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

हम सूत्र का उपयोग करके एक बिंदु पर अंतर पाते हैं:

ऐसा करने के लिए, हम बिंदु पर पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं।

यहां व्युत्पन्न सबसे सरल नहीं हैं, और आपको सावधान रहना चाहिए:

;

.

बिंदु पर कुल अंतर:

इस प्रकार, इस अभिव्यक्ति का अनुमानित मूल्य है:

आइए माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके अधिक सटीक मान की गणना करें: 2.998899527

आइए सापेक्ष गणना त्रुटि खोजें:

उत्तर: ,

उपरोक्त का एक उदाहरण, जिस समस्या पर विचार किया गया है, उसमें तर्कों की वृद्धि बहुत छोटी है, और त्रुटि काल्पनिक रूप से छोटी निकली।

उदाहरण 11

दो चर वाले फ़ंक्शन के पूर्ण अंतर का उपयोग करके, इस अभिव्यक्ति के लगभग मान की गणना करें। माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके उसी अभिव्यक्ति की गणना करें। प्रतिशत के रूप में सापेक्ष गणना त्रुटि का अनुमान लगाएं।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इस प्रकार के कार्य में सबसे आम अतिथि किसी प्रकार की जड़ें हैं। लेकिन समय-समय पर अन्य कार्य भी होते रहते हैं। और विश्राम के लिए एक अंतिम सरल उदाहरण:

उदाहरण 12

दो चर वाले फ़ंक्शन के कुल अंतर का उपयोग करके, फ़ंक्शन के मान की लगभग गणना करें

समाधान पृष्ठ के निचले भाग के करीब है। एक बार फिर, पाठ कार्यों के शब्दों पर ध्यान दें; व्यवहार में विभिन्न उदाहरणों में, शब्दांकन भिन्न हो सकता है, लेकिन यह समाधान के सार और एल्गोरिदम को मौलिक रूप से नहीं बदलता है।

सच कहूँ तो, मैं थोड़ा थक गया था क्योंकि सामग्री थोड़ी उबाऊ थी। लेख की शुरुआत में यह कहना शैक्षणिक नहीं था, लेकिन अब यह पहले से ही संभव है =) वास्तव में, कम्प्यूटेशनल गणित में समस्याएं आमतौर पर बहुत जटिल नहीं होती हैं, बहुत दिलचस्प नहीं होती हैं, सबसे महत्वपूर्ण बात, शायद, गलती न करना है सामान्य गणना में.

कहीं आपके कैलकुलेटर की कुँजियाँ मिट न जाएँ!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
इस मामले में: , ,

इस प्रकार:
उत्तर:

उदाहरण 4: समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
इस मामले में: , ,

1. फ़ंक्शन वृद्धि के अनुमानित मूल्य की गणना

उदाहरण. किसी फ़ंक्शन के अंतर की अवधारणा का उपयोग करके, फ़ंक्शन में लगभग परिवर्तन की गणना करें जब तर्क 5 से 5.01 में बदल जाता है।

आइए फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करें . आइए मूल्यों को प्रतिस्थापित करें एक्स 0 = 5, डी एक्स= 0.01. हम पाते हैं

2. फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्य की गणना

उदाहरण. अंतर 1.998 5 का उपयोग करके अनुमानित मान की गणना करें।

उस फ़ंक्शन पर विचार करें जहां एक्स= 1.998. आइए इसे तोड़ें एक्सपर एक्स 0 और डी एक्स (एक्स = एक्स 0+डी एक्स), होने देना एक्स 0 = 2, फिर डी एक्स = - 0,002.

आइए मूल्य ज्ञात करें , ,

फिर 1.998 5 » 32 – 0.16 = 31.84.

उच्च क्रम के डेरिवेटिव और अंतर

मान लीजिए कि फलन f(x) कुछ अंतराल पर अवकलनीय है। फिर, इसे विभेदित करते हुए, हम पहला व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं

यदि हम फ़ंक्शन f¢(x) का व्युत्पन्न पाते हैं, तो हमें मिलता है दूसरा व्युत्पन्नफ़ंक्शन f(x).

वे। y¢¢ = (y¢)¢ या .

.

बुनियादी प्रमेय अंतर कलन

1. रोले का प्रमेय. यदि फ़ंक्शन f(x) अंतराल पर निरंतर है, अंतराल (a, b) में भिन्न है और अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान f(a) = f(b) के बराबर है, तो अंतराल (ए, बी) में कम से कम एक बिंदु सी (ए) है< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

भूमिका प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ. रोले के प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ यह है कि यदि प्रमेय की शर्तें अंतराल (ए, बी) पर पूरी होती हैं, तो एक बिंदु सी होता है जैसे कि वक्र के संबंधित बिंदु पर वाई = एफ(एक्स) स्पर्शरेखा के समानांतर है ऑक्स अक्ष. एक अंतराल पर ऐसे कई बिंदु हो सकते हैं, लेकिन प्रमेय कम से कम एक ऐसे बिंदु के अस्तित्व को बताता है।

ध्यान दें कि यदि अंतराल के कम से कम एक बिंदु पर [ ए; बी] फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है, फिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स)शून्य पर नहीं जा सकता. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन य=1-½ एक्स½अंतराल पर निरंतर है [-1; +1], बिंदु को छोड़कर (-1;+1) पर अवकलनीय एक्स 0 = 0, और एफ(-1) = एफ(1) = 0, अर्थात रोले के प्रमेय की स्थिति का एक बिंदु पर उल्लंघन किया गया है एक्स 0 = 0 (इसमें फ़ंक्शन विभेदित नहीं है)। यह स्पष्ट है कि अंतराल पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में किसी भी बिंदु पर नहीं [-1; 1] ग्राफ़ की स्पर्शरेखा अक्ष 0 के समानांतर नहीं है एक्स.

रोले के प्रमेय में कई हैं नतीजे :

1) यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)खंड पर [ ए, बी] रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है, और एफ(ए) = एफ(बी) = 0, तो कम से कम एक बिंदु है एस, ए< с < b , ऐसा है कि एफ¢(सी) = 0. वे। किसी फ़ंक्शन के दो शून्यों के बीच कम से कम एक बिंदु ऐसा होता है जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है।

2) यदि विचारित अंतराल पर ( ए, बी) समारोह एफ(एक्स)एक व्युत्पन्न है ( एन-1)वां क्रम और एनसमय गायब हो जाता है, तो अंतराल में कम से कम एक बिंदु होता है जिस पर व्युत्पन्न ( एन-1)वां क्रम शून्य के बराबर है।

2. लैग्रेंज प्रमेय. यदि फलन f(x) एक अंतराल पर सतत है और अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, तो इस अंतराल में कम से कम एक बिंदु c (a) है< c < b), такая, что .

इसका मतलब यह है कि यदि प्रमेय की शर्तें एक निश्चित अंतराल पर पूरी होती हैं, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात कुछ मध्यवर्ती बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर होता है।

ऊपर चर्चा की गई रोले की प्रमेय लैग्रेंज की प्रमेय का एक विशेष मामला है।

अभिव्यक्ति कहलाती है लैग्रेंज का परिमित वेतन वृद्धि फार्मूला।

लैग्रेंज प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ।

मान लीजिए कि लैग्रेंज के प्रमेय की शर्तें पूरी हो जाती हैं, तो परिमित वेतन वृद्धि के लिए लैग्रेंज का सूत्र मान्य है।

चलो अंक एऔर बीग्राफ़ पर मौजूद फ़ंक्शंस के निर्देशांक होते हैं ए (ए; एफ(ए)), बी (बी; एफ(बी)), तो यह स्पष्ट है कि भिन्न का मान जीवा के झुकाव कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है अब O अक्ष पर एक्स, अर्थात। .

दूसरी ओर, एफ "(सी) = टीजीए. तो, बिंदु पर एक्स= सीकिसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा य= एफ(एक्स)वक्र के चाप को अंतरित करने वाली जीवा के समानांतर अब. यह लैग्रेंज प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ है।

3. कॉची प्रमेय. यदि कार्य एफ(एक्स)और जी(एक्स)खंड पर निरंतर और अंतराल में अवकलनीय (ए, बी) और जी¢(एक्स) ¹ 0इस अंतराल में किसी बिंदु पर नहीं, तो कम से कम एक बिंदु होता है सीए< c < b), इस प्रकार कि समानता कायम रहे:

.

वे। किसी दिए गए खंड पर कार्यों की वृद्धि का अनुपात बिंदु पर डेरिवेटिव के अनुपात के बराबर है साथ.

कॉची प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ.

यह सत्यापित करना आसान है कि कॉची के प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ मेल खाता है ज्यामितीय बोधलैग्रेंज के प्रमेय.

व्यापक समस्या पर विचार करें एक अंतर का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के मान की अनुमानित गणना पर.

यहां और आगे हम प्रथम-क्रम अंतर के बारे में बात करेंगे, संक्षिप्तता के लिए हम अक्सर केवल "अंतर" कहेंगे। अंतरों का उपयोग करके अनुमानित गणना की समस्या में एक सख्त समाधान एल्गोरिदम है, और इसलिए, कोई विशेष कठिनाई उत्पन्न नहीं होनी चाहिए। बात सिर्फ इतनी है कि छोटी-मोटी खामियां हैं जिन्हें भी साफ कर लिया जाएगा। इसलिए बेझिझक पहले सिर में गोता लगाएँ।

इसके अलावा, अनुभाग में गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों को खोजने के लिए सूत्र शामिल हैं। सामग्री बहुत उपयोगी है, क्योंकि अन्य समस्याओं में त्रुटियों की गणना करनी होती है।

उदाहरणों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव ढूंढने में सक्षम होना चाहिए, इसलिए यदि आप भेदभाव के साथ पूरी तरह से भ्रमित हैं, तो कृपया शुरुआत करें एक बिंदु पर व्युत्पन्न ढूँढनाऔर साथ बिंदु पर अंतर ज्ञात करना. तकनीकी माध्यम से, आपको विभिन्न गणितीय कार्यों वाले एक माइक्रोकैलकुलेटर की आवश्यकता होगी। आप एमएस एक्सेल की क्षमताओं का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में यह कम सुविधाजनक है।

पाठ में दो भाग हैं:

- एक बिंदु पर एक चर के फ़ंक्शन के अंतर मान का उपयोग करके अनुमानित गणना।

- एक बिंदु पर दो चर के फ़ंक्शन के मान के कुल अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना।

विचाराधीन कार्य अंतर की अवधारणा से निकटता से संबंधित है, लेकिन चूंकि हमारे पास अभी तक डेरिवेटिव और अंतर के अर्थ पर कोई पाठ नहीं है, इसलिए हम खुद को उदाहरणों के औपचारिक विचार तक सीमित रखेंगे, जो हल करने का तरीका सीखने के लिए काफी है। उन्हें।

एक चर के फ़ंक्शन के अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना

पहले पैराग्राफ में, एक परिवर्तनीय नियम का कार्य। जैसा कि सभी जानते हैं, इसे निरूपित किया जाता है यया के माध्यम से एफ(एक्स). इस कार्य के लिए दूसरे नोटेशन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है। आइए सीधे एक लोकप्रिय उदाहरण पर चलते हैं जो अक्सर व्यवहार में सामने आता है:

उदाहरण 1

समाधान:कृपया अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना के लिए कार्य सूत्र को अपनी नोटबुक में कॉपी कर लें:

आइए इसका पता लगाना शुरू करें, यहां सब कुछ सरल है!

पहला कदम एक फ़ंक्शन बनाना है। शर्त के अनुसार, संख्या के घनमूल की गणना करने का प्रस्ताव है:, इसलिए संबंधित फ़ंक्शन का रूप: है।

हमें अनुमानित मूल्य ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है।

आइए देखें बाईं तरफसूत्र, और मन में विचार आता है कि संख्या 67 को प्रपत्र में दर्शाया जाना चाहिए। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका क्या है? मैं निम्नलिखित एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं: कैलकुलेटर पर इस मान की गणना करें:

- यह एक पूंछ के साथ 4 निकला, यह समाधान के लिए एक महत्वपूर्ण दिशानिर्देश है।

जैसा एक्स 0 एक "अच्छा" मान चुनें, ताकि जड़ पूरी तरह से निकल जाए. स्वाभाविक रूप से यह अर्थ है एक्स 0 होना चाहिए जितना संभव हो सके उतना करीबसे 67.

इस मामले में एक्स 0 = 64. वास्तव में, .

नोट: जब चयन के साथएक्स 0 अभी भी एक कठिनाई है, बस परिकलित मूल्य को देखें (इस मामले में)। ), निकटतम पूर्णांक भाग लें (इस मामले में 4) और इसे आवश्यक शक्ति तक बढ़ाएं (इस मामले में)। ). परिणामस्वरूप, वांछित चयन किया जाएगाएक्स 0 = 64.

अगर एक्स 0 = 64, फिर तर्क की वृद्धि:।

तो, संख्या 67 को योग के रूप में दर्शाया गया है

सबसे पहले हम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं एक्स 0 = 64. वास्तव में, यह पहले ही किया जा चुका है:

एक बिंदु पर अंतर सूत्र द्वारा पाया जाता है:

– आप इस फॉर्मूले को अपनी नोटबुक में भी कॉपी कर सकते हैं.

सूत्र से यह पता चलता है कि आपको पहला व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है:

और बिंदु पर इसका मान ज्ञात कीजिए एक्स 0:

.

इस प्रकार:

सब तैयार है! सूत्र के अनुसार:

पाया गया अनुमानित मान एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए मान 4.06154810045 के काफी करीब है।

उत्तर:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन की वृद्धि को उसके अंतर से प्रतिस्थापित करते हुए, लगभग गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना और पाठ के अंत में उत्तर। शुरुआती लोगों के लिए, मैं पहले एक माइक्रोकैलकुलेटर पर सटीक मान की गणना करने की सलाह देता हूं ताकि यह पता लगाया जा सके कि किस संख्या को लिया जाए एक्स 0, और कौन सा - Δ के लिए एक्स. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि Δ एक्सइस उदाहरण में नकारात्मक होगा.

कुछ लोगों ने सोचा होगा कि यदि कैलकुलेटर पर सब कुछ शांतिपूर्वक और अधिक सटीक रूप से गणना किया जा सकता है तो इस कार्य की आवश्यकता क्यों है? मैं सहमत हूं, यह कार्य मूर्खतापूर्ण और अनुभवहीन है। लेकिन मैं इसे थोड़ा उचित ठहराने की कोशिश करूंगा। सबसे पहले, कार्य विभेदक फ़ंक्शन के अर्थ को दर्शाता है। दूसरे, प्राचीन काल में कैलकुलेटर आधुनिक समय में एक निजी हेलीकॉप्टर जैसा ही होता था। मैंने खुद देखा कि कैसे 1985-86 में एक संस्थान से एक कमरे के आकार का कंप्यूटर बाहर फेंक दिया गया था (रेडियो के शौकीन स्क्रूड्राइवर लेकर पूरे शहर से दौड़ते हुए आए थे, और कुछ घंटों के बाद यूनिट से केवल एक केस ही बचा था) ). हमारे भौतिकी विभाग में भी प्राचीन वस्तुएँ थीं, हालाँकि वे आकार में छोटी थीं - एक डेस्क के आकार के बारे में। इस प्रकार हमारे पूर्वजों ने अनुमानित गणना के तरीकों से संघर्ष किया। घोड़ा-गाड़ी भी परिवहन है।

किसी न किसी तरह, समस्या उच्च गणित के मानक पाठ्यक्रम में बनी हुई है, और इसे हल करना होगा। यह आपके प्रश्न का मुख्य उत्तर है=).

उदाहरण 3

एक अंतर का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के लगभग मान की गणना करें बिंदु पर एक्स= 1.97. किसी बिंदु पर अधिक सटीक फ़ंक्शन मान की गणना करें एक्स= 1.97 माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके, गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाएं।

वास्तव में, इस कार्य को आसानी से निम्नानुसार पुन: तैयार किया जा सकता है: “अनुमानित मूल्य की गणना करें एक अंतर का उपयोग करना"

समाधान:हम परिचित सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस मामले में, एक तैयार फ़ंक्शन पहले से ही दिया गया है: . एक बार फिर, मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि किसी फ़ंक्शन को दर्शाने के लिए "गेम" के बजाय इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है एफ(एक्स).

अर्थ एक्स= 1.97 को फॉर्म में दर्शाया जाना चाहिए एक्स 0 = Δ एक्स. खैर, यहां यह आसान है, हम देखते हैं कि संख्या 1.97 "दो" के बहुत करीब है, इसलिए यह स्वयं ही सुझाव देता है एक्स 0 = 2. और, इसलिए:।

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें एक्स 0 = 2:

सूत्र का उपयोग करना , आइए उसी बिंदु पर अंतर की गणना करें।

हमें पहला व्युत्पन्न मिलता है:

और बिंदु पर इसका अर्थ एक्स 0 = 2:

इस प्रकार, बिंदु पर अंतर:

परिणामस्वरूप, सूत्र के अनुसार:

कार्य का दूसरा भाग गणना की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का पता लगाना है।