ग्रिड सन्निकटन. सन्निकटन और सन्निकटन का क्रम

ग्रिड समीकरणों का निर्माण करते समय, दो दृष्टिकोण संभव हैं: 1) गणितीय भौतिकी की औपचारिक समस्या के ढांचे के भीतर जीएफजेड पर विचार और, परिणामस्वरूप, समीकरणों की समान प्रणालियों के साथ काम करने वाले अन्य वैज्ञानिक क्षेत्रों में विकसित विधियों और एल्गोरिदम का उपयोग। उन्हें हल करें; 2) अध्ययन की जा रही प्रक्रिया के भौतिक विचार से सीधे उत्पन्न होने वाली अवधारणाओं और कानूनों के आधार पर एक संख्यात्मक समस्या का निरूपण।

पहला दृष्टिकोण अधिक सार्वभौमिक है; यह उन भौतिक प्रक्रियाओं के बीच प्रत्यक्ष सादृश्य की अनुमति देता है जो प्रकृति में भिन्न हैं (उदाहरण के लिए, प्रसार, थर्मल और निस्पंदन), यदि उन्हें समीकरणों के आइसोमोर्फिक सिस्टम द्वारा वर्णित किया जाता है, जो पहले एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य करता था। सीजीएफएम का व्यापक परिचय, हालांकि, बाद में यह स्पष्ट हो गया कि विभिन्न भौतिक प्रकृति की लागू समस्याओं को हल करते समय अंतर समीकरणों की समरूपता एक ही संख्यात्मक विधि के प्रभावी उपयोग के लिए पर्याप्त शर्त नहीं है उदाहरण के लिए, सबसे सरल गैर-रूढ़िवादी अंतर सन्निकटन (लैक्स विधि) के आधार पर संख्यात्मक योजनाओं के निर्माण के लिए नेतृत्व किया गया, जिससे अमानवीय मीडिया में निस्पंदन समस्याओं के लिए समाधान की सटीकता या अस्थिरता का महत्वपूर्ण नुकसान हुआ।

इसके विपरीत, दूसरा दृष्टिकोण समस्या को दरकिनार करते हुए उसके भौतिक निरूपण से शुरू होता है अंतर समीकरण, सीधे संख्यात्मक योजना के लिए - एक पूरी तरह से स्पष्ट आवश्यकता पर आधारित है: संतुलन संबंध (योजना की रूढ़िवादिता) और भूजल आंदोलन के मुख्य पैटर्न दोनों को अंतर ग्रिड पर अनुमानित किया जाना चाहिए। हालाँकि, ध्यान दें कि यह इसके विपरीत है

इन दोनों दृष्टिकोणों का सूत्रीकरण सशर्त है: अंतर समीकरणों के आधार पर संतुलन संबंधों को भी संतुष्ट किया जा सकता है। हालाँकि, यह आवश्यकता अक्सर पूरी नहीं होती है, क्योंकि अंतर समीकरणों के परिमित-अंतर सन्निकटन के लिए औपचारिक रूप से इसकी आवश्यकता नहीं होती है। एवीएम पर लागू की जा सकने वाली अंतर योजनाओं के निर्माण के दूसरे दृष्टिकोण के उदाहरण के रूप में, हम लिबमैन विधि का हवाला दे सकते हैं, जिसने अपनी पहुंच और भौतिक स्पष्टता के कारण, जीएफडी को हल करने के अभ्यास में सबसे व्यापक अनुप्रयोग पाया है। यह दृष्टिकोण सबसे पहले जी.एन. कमेंस्की द्वारा लागू किया गया था, जिन्होंने फ़िल्टरिंग समस्याओं को हल करने के लिए अंतर विधियों का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा था।

अनिवार्य रूप से, उल्लिखित निर्माण इंटीग्रो-इंटरपोलेशन विधि के विशेष मामले हैं, जो एक विशिष्ट संख्यात्मक समस्या के भौतिक और गणितीय फॉर्मूलेशन को पूरी तरह से जोड़ना संभव बनाता है और इस आधार पर, स्थिरता और अभिसरण का प्राथमिक अनुमान प्राप्त करता है। न केवल सीमा मूल्य समस्या के प्रकार, बल्कि इसकी विशिष्ट विशेषताओं पर भी ध्यान दें। एक विषम जलाशय में नियोजित भू-निस्पंदन समस्या के लिए एक अंतर योजना के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके इस दृष्टिकोण पर नीचे चर्चा की जाएगी।

अंतर योजना से हमारा तात्पर्य अंतर समीकरणों के एक सेट से है जो लगभग निस्पंदन प्रक्रियाओं और अतिरिक्त स्थितियों (सीमा और प्रारंभिक) का वर्णन करता है जो आंतरिक और बाहरी सीमाओं पर वांछित दबाव फ़ंक्शन एच (एक्स, वाई, एफ) के व्यवहार को दर्शाता है, साथ ही समय के प्रारंभिक क्षण में निस्पंदन क्षेत्र के भीतर इसका वितरण। इंटीग्रो-इंटरपोलेशन विधि के अनुसार, निस्पंदन प्रक्रिया का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों का निर्माण करने के लिए, निम्नलिखित आवश्यक है:

1) तर्क में निरंतर परिवर्तन के क्षेत्र को एक अलग क्षेत्र से बदलें: WA=W(xh y(, t„), जहां W तर्क में परिवर्तन का निरंतर क्षेत्र है; x, y - निर्देशांक; टी - समय; आई, जे, एन - असतत क्षेत्र के बिंदुओं की संख्या एफवी& ;

2) निर्मित क्षेत्र के लिए रेलवे संतुलन की पहचान लिखें जो क्षेत्र के एक तत्व के भीतर निस्पंदन प्रवाह की प्रवाह दर में परिवर्तन को जोड़ता है (पीआई) = &एक्स (एवाई) इसमें क्षमता भंडार में परिवर्तन की तीव्रता के साथ-साथ इस तत्व को सौंपे गए अतिरिक्त स्रोतों (सिंक) की लागत (विधि का अभिन्न पक्ष);

3) क्षेत्र के नोडल बिंदुओं पर दबाव मूल्यों, मॉडल किए गए सिस्टम के मापदंडों और अंतर ग्रिड के स्थानिक-अस्थायी टूटने के अंतराल (विधि का प्रक्षेप पक्ष) के माध्यम से संतुलन पहचान के सभी घटकों को व्यक्त करें। .

वर्तमान में, गणितीय भौतिकी की समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित मुख्य प्रकार के ग्रिड का उपयोग किया जाता है: 1) आयताकार, समान और गैर-समान; 2) त्रिकोणीय और बहुभुज, एकसमान और असमान; 3) ऑर्थोगोनल वक्रीय। दूसरे और तीसरे प्रकार के जालों के फायदे जटिल 26 के साथ बाहरी और आंतरिक सीमाओं का अधिक सटीक अनुमान हैं

ज्यामिति, साथ ही व्यक्तिगत उपक्षेत्रों के भीतर निस्पंदन प्रवाह की संरचना में अधिक विस्तार की संभावना। हालाँकि, इस संस्करण में, ग्रिड का निर्माण एक जटिल और गैर-सार्वभौमिक प्रक्रिया है। यह भी महत्वपूर्ण है कि ऐसे ग्रिड के उपयोग से अक्सर आवश्यक हाइड्रोजियोलॉजिकल जानकारी की कमी के कारण मॉडलिंग की वास्तविक सटीकता में वृद्धि नहीं होती है। उनके निर्माण के लिए.

इसके आधार पर, जीएफजेड को हल करते समय बड़े पैमाने पर दूसरे और तीसरे प्रकार के ग्रिड का उपयोग करना अनुचित लगता है, खासकर जब से समाधान की व्यावहारिक त्रुटि का अनुमान लगाना मुश्किल है, जो ग्रिड निर्माण की सटीकता पर निर्भर करता है (इसलिए) -जिसे "स्थिति" त्रुटियाँ कहा जाता है)। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, ऐसे ग्रिडों के निर्माण की सटीकता बढ़ाने के लिए गणना एल्गोरिथ्म की एक महत्वपूर्ण जटिलता की आवश्यकता होती है, जो उनके आधार पर बनाए गए कार्यक्रमों को बड़े पैमाने पर उपयोग के लिए और भी कम उपयुक्त बनाता है। अंत में, यह महत्वपूर्ण है कि आयताकार जाल पर घुमावदार सीमाओं का अनुमान लगाते समय "काल्पनिक क्षेत्र" विधि का उपयोग करने से किसी को संख्यात्मक एल्गोरिदम का निर्माण करने की अनुमति मिलती है जो एफईएम में उपयोग की जाने वाली सटीकता के लगभग समान होती है।

इस बीच, पहले प्रकार के ग्रिड के निर्माण के लिए न्यूनतम जानकारी की आवश्यकता होती है, जो प्रोग्राम के साथ संचार को बहुत सरल बनाता है। अब ऐसे ग्रिडों के दो मुख्य संशोधनों का उपयोग किया जाता है, जो कम्प्यूटेशनल ब्लॉकों के चेहरों के सापेक्ष नोडल बिंदुओं की स्थिति में भिन्न होते हैं: पहले संस्करण में, नोडल बिंदु ब्लॉकों (ब्लॉक जाल) के केंद्रों के साथ मेल खाते हैं, और में दूसरा - चेहरों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं (नोडल जाल) के साथ। एंड-टू-एंड गणना के विचार के आधार पर सजातीय अंतर योजनाओं का उपयोग करते समय ब्लॉक ग्रिड को नोडल ग्रिड पर निस्संदेह लाभ होता है (धारा 2.3 और 2.4 देखें); जब अंतर योजना नियमित न हो तो नोडल ग्रिड का उपयोग बेहतर होता है, बी. बड़े पैमाने पर स्थानांतरण समस्याओं को हल करते समय भी जिसमें सुविधाओं की स्पष्ट पहचान की आवश्यकता होती है। ध्यान दें कि जब सीमाओं पर पहली या दूसरी तरह की स्थितियों का अनुमान लगाने के लिए "काल्पनिक डोमेन" पद्धति की ओर रुख किया जाता है, तो ये दोनों संशोधन यहां समतुल्य हो जाते हैं। _

तो, अंतर ग्रिड का निर्माण करने के लिए y,), अनुमानित

एक निरंतर फ़िल्टरिंग क्षेत्र W\x, y बनाते हुए), सिम्युलेटेड फ़ील्ड को एक असमान आयताकार ग्रिड के साथ कवर किया गया है, जिसमें OX और 07 अक्षों के साथ चरण हैं, जो क्रमशः Axf और Ayj के बराबर हैं (चित्र 1)।

आइए समय tL पर निर्देशांक M(xl+1, yj+1)1 (चित्र 1 देखें) के साथ एक प्राथमिक ब्लॉक के भीतर निस्पंदन प्रवाह दरों के संतुलन पर विचार करें।

1 बिंदु सूचकांक /+1 और j+1 (i और j के बजाय) का चुनाव काल्पनिक सीमा ब्लॉकों का उपयोग करके सीमा स्थितियों का अनुमान लगाने की आवश्यकता के कारण है।

चावल। 1. संतुलन पहचान का निर्माण करते समय निस्पंदन क्षेत्र के टूटने की योजना:

1 नोडल बिंदु; 2 - गणना ब्लॉक की केंद्र रेखा; जे - कंघी ब्लॉक की सीमा; 4 - ब्लॉक की सीमा, जिसके सापेक्ष शेष पहचान का निर्माण किया जाता है। प्रवाह की दिशा कंकालों द्वारा इंगित की जाती है

जहां एल-सूचकांक, जो एक विशिष्ट संतुलन तत्व के लिए टीएल मान की पसंद निर्धारित करता है; n = 1, 2, ..., K\ Ar -ve

समय अंतराल पहचान; K समय चरणों की संख्या है। सामान्य तौर पर, लागत

ब्लॉक चेहरों के माध्यम से निस्पंदन प्रवाह को चयनित अंतराल से संबंधित विभिन्न समय बिंदुओं के लिए रिकॉर्ड किया जा सकता है। निस्पंदन प्रवाह के द्रव्यमान के संरक्षण के नियम के कारण, इन प्रवाह दरों की कुल वृद्धि कैपेसिटिव रिजर्व क्यूई (एक्स, वाई, टी) के उपयोग के कारण विचाराधीन ब्लॉक में पानी के प्रवाह की कुल तीव्रता के बराबर है; प्रवाह O.P(x, Y, t); अपूर्ण जलाशयों से प्रवाह QB(x, y, t) या Qu(x, y, t) (यदि उनका आकार ग्रिड रिक्ति के अनुरूप है) या QP(x, y, t) [यदि उनका आकार इससे काफी छोटा है ]; घुसपैठ की आपूर्ति QM (x, y, z) और अच्छी तरह से संचालन QC (x, y, /)।

संतुलन के सभी तत्वों को ध्यान में रखते हुए, और सबसे पहले यह स्वीकार करते हुए कि t1 = t2 = ti = t4 = t, विचाराधीन हाइड्रोडायनामिक योजना के लिए हम एक संतुलन पहचान लिख सकते हैं जो किसी भी निश्चित क्षण t के लिए मान्य है:

Q A 1/2, j+1 - 3/2, j+ 1 + 6 i3+l,j+ 1/2 ~Qi\ 1 ,j+ 3/2 -

प्रवाह के दबाव (गहराई) पर चालकता की निर्भरता से जुड़ी प्रक्रिया की गैर-रैखिकता को अक्सर एक निश्चित समय अंतराल के लिए निरंतर गणना की गई चालकता शुरू करके किए गए रैखिककरण द्वारा ध्यान में रखा जा सकता है।

क्षेत्र F वाले जलभृत के एक तत्व में भंडारण क्षमता में परिवर्तन के कारण प्रवाह दर QE की मात्रा अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है

जहां (1° और u* गठन की गुरुत्वाकर्षण और लोचदार क्षमता (जल उपज) हैं; एच मुक्त सतह का स्तर है; आर गठन में क्रॉस-अनुभागीय औसत दबाव है।

लोचदार क्षमता निर्दिष्ट करते समय, हम इस धारणा से आगे बढ़ते हैं कि चट्टान की विकृति सशर्त रूप से तात्कालिक लोचदार प्रकृति की होती है और दबाव (दबाव) में परिवर्तन से रैखिक रूप से संबंधित होती है। वास्तव में, चट्टान एक विषम प्रणाली है और प्रत्येक तत्व के भीतर इसकी तनाव-तनाव स्थिति काफी विषम हो सकती है, इस परिस्थिति को ध्यान में रखने के लिए, एक विषम ब्लॉक मॉडल या दोहरी क्षमता वाले माध्यम आरेख का उपयोग किया जाता है, जिसमें चट्टान का प्रतिनिधित्व किया जाता है। कम-पारगम्यता ब्लॉकों की एक अर्ध-सजातीय प्रणाली से मिलकर, समान रूप से अलग किए गए पारगम्य चैनल, इस मामले में, यह माना जाता है कि केवल चैनलों में प्रवाह सीधे हाइड्रोडायनामिक स्थिति में परिवर्तन का जवाब देता है, और ब्लॉकों की प्रतिक्रिया धीमी हो जाती है। उनके प्रतिरोध के कारण नीचे। फिर प्रवाह दर QE में दरारें और ब्लॉकों की क्षमता शामिल होती है, जो विषम माध्यम के संबंधित तत्वों में दबाव में परिवर्तन की दर से गुणा होती है।

गुरुत्वाकर्षण क्षमता, जैसा कि ज्ञात है, दो कारणों से बदल सकती है: आवरण परतों की लिथोलॉजिकल परिवर्तनशीलता के कारण जिसके भीतर मुक्त सतह गुजरती है, और केशिका क्षेत्र के प्रभाव के कारण। यदि दूसरा तंत्र महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, विशेष रूप से क्षेत्रीय फीडिंग की समस्याओं में, तो संतृप्त-असंतृप्त माध्यम में संयुक्त प्रवाह के मॉडल पर जाने की सिफारिश की जाती है।

भूजल प्रवाह के निर्माण में एक महत्वपूर्ण भूमिका प्रवाह दर QH=eF के साथ क्षेत्रीय पुनर्भरण की है (जहाँ c क्षेत्रीय पुनर्भरण की तीव्रता है, जो घुसपैठ और वाष्पीकरण के कुल प्रभाव को दर्शाती है और भूजल स्तर की गहराई पर निर्भर करती है)। पुनः प्राप्त क्षेत्रों के लिए पूर्वानुमानित क्षेत्रीय समस्याओं को हल करते समय, QH मान में जल निकासी अपवाह इकाइयों का मॉड्यूल शामिल होता है, जो दबाव के आधार पर भिन्न होता है

क्रॉसफ़्लो गुणांक AP = % = kr1tr (जहां kr निस्पंदन गुणांक है; tr परत की मोटाई है) के साथ अलग परत के माध्यम से क्रॉसफ़्लो प्रवाह दर QII निर्धारित की जाती है, हार्ड फ्लो की सबसे सरल और सबसे आम गणना योजना के अनुसार, अभिव्यक्ति द्वारा

जहां H+ निकटवर्ती जलभृत में दबाव है जिससे प्रवाह होता है। ध्यान दें कि चट्टानों की संरचनात्मक और लिथोलॉजिकल परिवर्तनशीलता की अभिव्यक्तियों के कारण प्रवाह गुणांक का मूल्य क्षेत्र में काफी भिन्न हो सकता है। एक अधिक सामान्य प्रवाह मॉडल को अलग-अलग परतों में लोचदार शासन को ध्यान में रखना चाहिए, जिसकी अभिव्यक्तियाँ, जाहिरा तौर पर, कम-पारगम्यता चट्टानों की विविधता के प्रभाव के साथ-साथ रैखिक निस्पंदन कानून के उल्लंघन से काफी जटिल हो सकती हैं।

हमने खुद को पहचान के दाहिने पक्ष (2.1) को लिखने के छह-अवधि के रूप तक सीमित कर दिया है, जो केवल घुसपैठ की आपूर्ति, पड़ोसी परतों और जलाशयों से निरंतर दबाव वाले प्रवाह और अलग परत में एक कठोर निस्पंदन शासन को ध्यान में रखता है। साथ ही कुओं की उपस्थिति। इसे तीन कारणों से समझाया गया है: 1) विचाराधीन जियोफिल्ट्रेशन योजना में कार्यों की एक विस्तृत श्रृंखला को कम किया जा सकता है, जो इसे व्यावहारिक उपयोग के लिए काफी सार्वभौमिक बनाता है; 2) अभिन्न पहचान (2.1) के आधार पर प्राप्त समीकरणों की प्रणालियों को प्रभावी ढंग से हल करने की संभावनाओं के विश्लेषण से पता चलता है कि इसके घटकों में कोई भी अतिरिक्त वृद्धि अनिवार्य रूप से परिचालन भरने वाले उपकरण (रैम) की मात्रा की लागत में तेज वृद्धि की ओर ले जाती है। ) और गणना समय (कंप्यूटर संसाधन)। पहचान की सार्वभौमिकता को कम करना (2.1), अर्थात, इसके दाईं ओर से व्यक्तिगत शब्दों को बाहर करना, व्यावहारिक रूप से उपयोग किए जाने वाले कंप्यूटर संसाधनों में कमी नहीं लाता है; 3) आपूर्ति के अतिरिक्त स्रोतों का प्रतिनिधित्व करने का स्वीकृत रूप बहुपरत जलभृत परिसरों के मामले में प्रत्यक्ष सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

इस प्रकार, पहले से ही अंतर मॉडल के विकास के पहले चरण में, लेखकों ने अत्यधिक सार्वभौमिकता से बचने और हल की जाने वाली समस्याओं की सीमा को सीमित करने की कोशिश की। कम्प्यूटेशनल स्कीमेटाइजेशन (सीएसएस) का यह पहलू एक प्रभावी प्राथमिक कंप्यूटिंग मॉड्यूल के निर्माण की अनुमति देगा, जिसे इस उद्देश्य के लिए अतिरिक्त कंप्यूटर संसाधनों का उपयोग करके, आवश्यकतानुसार, मल्टीलेयर सिस्टम में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

1. अंतर सन्निकटन के उदाहरण.

एक-आयामी अंतर समीकरणों को लगभग अंतर समीकरणों से बदलने की विभिन्न विधियों का पहले अध्ययन किया जा चुका है। आइए अंतर सन्निकटन के उदाहरणों को याद करें और आवश्यक संकेतन का परिचय दें। हम एक चरण के साथ एक समान ग्रिड पर विचार करेंगे एच, अर्थात। अंकों का सेट

डब्ल्यूएच=(x i =ih, i=0,± 1, ± 2,…}.

होने देना यू(एक्स)अंतराल पर परिभाषित एक काफी सहज कार्य है। चलो निरूपित करें

अंतर संबंध

फ़ंक्शन के क्रमशः दाएं, बाएं और केंद्रीय अंतर व्युत्पन्न कहलाते हैं यू(एक्स)बिंदु पर एक्स मैं, अर्थात। निश्चित पर एक्स मैंऔर h®0 के लिए (इस प्रकार i®¥ के लिए) इन संबंधों की सीमा है यू'(x i). टेलर सूत्र का उपयोग करके विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

यू एक्स,आई - यू'(एक्स आई) = 0.5एचयू''(एक्स आई) + ओ(एच 2),

यू एक्स,आई - यू'(एक्स आई) = -0.5एचयू''(एक्स आई) + ओ(एच 2),

यू एक्स,आई – यू'(एक्स आई) = ओ(एच 2),

इससे पता चलता है कि बाएँ और दाएँ अंतर व्युत्पन्न अनुमानित हैं यू'(एक्स)पहले आदेश के साथ एच, और केंद्रीय अंतर व्युत्पन्न दूसरे क्रम का है। यह दिखाना आसान है कि दूसरा अंतर व्युत्पन्न है

अनुमानित तुम''(एक्स मैं)दूसरे आदेश के साथ एच, और विस्तार वैध है

विभेदक अभिव्यक्ति पर विचार करें

परिवर्तनीय गुणांक के साथ के(एक्स). आइए अभिव्यक्ति (1) को अंतर अनुपात से बदलें

कहाँ ए=ए(एक्स)- जाल w h पर परिभाषित फ़ंक्शन। आइए उन शर्तों को खोजें जिन्हें फ़ंक्शन को पूरा करना होगा ए(एक्स)एक दृष्टिकोण रखने के लिए (एयू एक्स) एक्स,आईअनुमानित (कु')'बिंदु पर एक्स मैंदूसरे आदेश के साथ एच. (2) विस्तारों में प्रतिस्थापित करना

कहाँ तुम मैं ' = तुम'(एक्स मैं), हम पाते हैं

दूसरी ओर, लू = (कु')' = कू'' + कू',

वे।

इससे यह स्पष्ट है कि एल एच यू-लू = ओ(एच 2), यदि शर्तें पूरी होती हैं

शर्तें (3) कहलाती हैं दूसरे क्रम सन्निकटन के लिए पर्याप्त स्थितियाँ. उन्हें प्राप्त करते समय, यह माना गया कि फ़ंक्शन u(x) में एक सतत चौथा व्युत्पन्न है और k(x) एक अवकलनीय फ़ंक्शन है। यह दिखाना आसान है कि शर्तें (3) संतुष्ट हैं, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कार्यों द्वारा:

ध्यान दें कि यदि हम a i = k(x i) सेट करते हैं, तो हमें सन्निकटन का केवल पहला क्रम प्राप्त होता है।

अगले उदाहरण के रूप में, लाप्लास ऑपरेटर के अंतर सन्निकटन पर विचार करें

आइए हम समतल (x 1, x 2) पर x 1 दिशा में एक चरण h 1 के साथ और x 2 दिशा में एक चरण h 2 के साथ एक आयताकार जाल डालें, यानी। अंकों का सेट

डब्ल्यूएच= ((x i 1 , x j 2) | x i 1 = ih 1 , x j 2 = jh 2 ; i, j = 0,± 1, ± 2,…},

और निरूपित करें

पिछले विचारों से यह निष्कर्ष निकलता है कि अंतर अभिव्यक्ति

दूसरे क्रम के साथ अंतर अभिव्यक्ति (4) का अनुमान लगाता है, अर्थात एल एच यू आईजे – लू(एक्स आई 1, एक्स जे 2) = ओ(एच 2 1) + ओ(एच 2 2)। इसके अलावा, निरंतर छठे अवकलज वाले फलनों u(x 1 , x 2) के लिए, विस्तार मान्य है

अंतर व्यंजक (5) कहलाता है पांच-बिंदु लाप्लास अंतर ऑपरेटर, चूँकि इसमें पाँच ग्रिड बिंदुओं पर फ़ंक्शन u(x 1, x 2) के मान शामिल हैं, अर्थात् बिंदुओं पर (x 1 i, x 2 j), (x 1 i ± 1, x 2 j), (x 1 i , x 2 j ± 1). बिंदुओं के निर्दिष्ट सेट को अंतर ऑपरेटर का पैटर्न कहा जाता है। बड़ी संख्या में बिंदुओं वाले टेम्प्लेट पर लाप्लास ऑपरेटर का अंतर अनुमान भी संभव है।

2. सन्निकटन एवं अभिसरण का अध्ययन

2.1. विभेदक समीकरण का सन्निकटन.पहले, हमने सीमा मूल्य समस्या पर विचार किया था

(k(x) u'(x))' - q(x) u(x) + f(x) = 0, 0< x < l, (1)

– k(0) u'(0) +बीयू(0) =एम 1 , यू(एल) =एम 2 , (2)

के(एक्स)³ सी 1 > 0,बी³ 0,

जिसके लिए इंटीग्रो-इंटरपोलेशन विधि का उपयोग करके एक अंतर योजना का निर्माण किया गया था

आइए हम इसे निरूपित करें लू(x)समीकरण के बाईं ओर (1) और के माध्यम से एल एच वाई आई– समीकरण (3) का बायाँ भाग, अर्थात्।

होने देना यू(एक्स)एक काफी सुचारू कार्य है और यू(एक्स मैं)- एक बिंदु पर इसका मान एक्स मैंजाल

डब्ल्यूएच= (x i = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l) (7)

वे कहते हैं कि अंतर ऑपरेटरएल.एच अंतर ऑपरेटर का अनुमान लगाता हैएल बिंदु x=x i पर, यदि अंतर है एल.एचयूमैं– एल एचयू(एक्स मैं) h®0 के रूप में शून्य हो जाता है। इस मामले में, हम यह भी कहते हैं कि अंतर समीकरण (3) अंतर समीकरण (1) का अनुमान लगाता है।

सन्निकटन की उपस्थिति स्थापित करने के लिए, बिंदु पर टेलर सूत्र का उपयोग करके विस्तार करना पर्याप्त है एक्स=एक्स मैंमान यूमैं ± 1 = यू(एक्स मैं± एच)अंतर अभिव्यक्ति में शामिल है एल.एचयूमैं. इस कार्य का अधिकांश भाग पिछले अध्याय में किया गया था, जहाँ यह दिखाया गया था कि परिस्थितियों में

(8)

रिश्ता कायम है

उदाहरण

विभेदक समीकरणों की प्रणाली

एक सतत-समय गतिशील प्रणाली को निर्दिष्ट करता है जिसे "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है। इसका चरण स्थान समतल है, जहाँ बिंदु की गति है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर विभिन्न ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं को मॉडल करता है - उदाहरण के लिए, स्प्रिंग पर भार का व्यवहार। इसके चरण वक्र शून्य पर केन्द्रित दीर्घवृत्त हैं।

माना इकाई वृत्त पर बिंदु की स्थिति को परिभाषित करने वाला कोण है। दोहरीकरण मानचित्र अलग-अलग समय के साथ एक गतिशील प्रणाली को परिभाषित करता है, जिसका चरण स्थान एक चक्र है।

तेज़-धीमी प्रणालियाँ उन प्रक्रियाओं का वर्णन करती हैं जो एक साथ कई समय के पैमाने पर विकसित होती हैं।

डायनामिकल सिस्टम जिनके समीकरण आसानी से चुने गए लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं, उन्हें "लैग्रेंजियन डायनेमिक सिस्टम" के रूप में जाना जाता है।

सिम्प्लेक्स विधि- एक बहुआयामी अंतरिक्ष में उत्तल पॉलीहेड्रॉन के शीर्षों की गणना करके रैखिक प्रोग्रामिंग की अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम। यह विधि 1937 में सोवियत गणितज्ञ एल.वी. कांटोरोविच द्वारा विकसित की गई थी।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या यह है कि दिए गए रैखिक बाधाओं के तहत बहुआयामी स्थान पर कुछ रैखिक कार्यात्मकता को अधिकतम या न्यूनतम करना आवश्यक है।

ध्यान दें कि प्रत्येक रैखिक असमानताएँचरों में संबंधित रैखिक स्थान में आधा स्थान बाधित होता है। परिणामस्वरूप, सभी असमानताएँ एक निश्चित बहुफलकीय (संभवतः अनंत) से बंधी होती हैं, जिसे बहुफलकीय परिसर भी कहा जाता है। समीकरण डब्ल्यू(एक्स) = सी, कहाँ डब्ल्यू(एक्स) - एक अधिकतम (या न्यूनतम) रैखिक कार्यात्मक जो हाइपरप्लेन उत्पन्न करता है एल(सी). निर्भरता सीसमानांतर हाइपरप्लेन का एक परिवार उत्पन्न करता है। तब चरम समस्या निम्नलिखित सूत्रीकरण पर आधारित होती है: इसे सबसे बड़ा खोजने की आवश्यकता होती है सीवह हाइपरप्लेन एल(सी)बहुफलक को कम से कम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। ध्यान दें कि एक इष्टतम हाइपरप्लेन और एक बहुफलक के प्रतिच्छेदन में कम से कम एक शीर्ष होगा, और यदि प्रतिच्छेदन में एक किनारा या एक शीर्ष होता है तो एक से अधिक होंगे। क-आयामी किनारा. इसलिए, बहुफलक के शीर्षों पर अधिकतम कार्यात्मकता की तलाश की जा सकती है। सिंप्लेक्स विधि का सिद्धांत यह है कि पॉलीहेड्रॉन के शीर्षों में से एक का चयन किया जाता है, जिसके बाद कार्यात्मक के मूल्य को बढ़ाने की दिशा में इसके किनारों के साथ शीर्ष से शीर्ष तक आंदोलन शुरू होता है। जब उच्च कार्यात्मक मूल्य के साथ वर्तमान शीर्ष से दूसरे शीर्ष पर एक किनारे के साथ संक्रमण असंभव है, तो यह माना जाता है कि इष्टतम मूल्य सीमिला।

सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके गणना के क्रम को दो मुख्य चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

1. व्यवहार्य समाधानों के समुच्चय का प्रारंभिक शीर्ष ज्ञात करना,

2. एक शीर्ष से दूसरे शीर्ष पर अनुक्रमिक संक्रमण, जिससे उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्य का अनुकूलन होता है।

इसके अलावा, कुछ मामलों में, प्रारंभिक समाधान स्पष्ट है या इसकी परिभाषा के लिए जटिल गणनाओं की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए, जब सभी बाधाओं को "इससे कम या इसके बराबर" के रूप में असमानताओं द्वारा दर्शाया जाता है (तब शून्य वेक्टर निश्चित रूप से एक स्वीकार्य समाधान है , हालाँकि, सबसे अधिक संभावना है, यह सबसे इष्टतम से बहुत दूर है)। ऐसी समस्याओं में, सिंप्लेक्स विधि के पहले चरण को पूरी तरह से छोड़ा जा सकता है। तदनुसार, सिंप्लेक्स विधि को विभाजित किया गया है सिंगल फेज़और दो चरण.

ग्रिड डोमेन पर समस्या का प्रत्यक्ष अनुमान (10.1)।

ग्रिड क्षेत्र

टी - समय कदम, एच- समन्वय के साथ कदम बढ़ाएं एक्स;

वांछित ग्रिड फ़ंक्शन; - एक नोड से संबंधित ग्रिड फ़ंक्शन मान

योजना« पार करना" आंतरिक ग्रिड नोड्स के लिए अंतर समीकरण:

पी = 1, 2, …, पी– 1; एम = 1, 2, …, एम– 1. (10.2)

सीमा शर्तों का अनुमान:

पी = 1, 2, …, पी.

प्रारंभिक स्थितियों का अनुमान:

एम = 0, 1, …, एम.

आंतरिक नोड्स पर, समीकरण (10.2) दूसरे क्रम की सटीकता के साथ मूल अंतर समीकरण का अनुमान लगाते हैं। हालाँकि, योजना के इस संस्करण में, दूसरा आरंभिक दशासबसे सरल तरीके से अनुमान लगाया जाता है - सटीकता के पहले क्रम के साथ (टी में)। इसलिए, सामान्य तौर पर यह प्रथम क्रम की योजना है।

संख्यात्मक समाधान की स्थिरता के लिए शर्त कूरेंट संख्या है (उल्लेखनीय तथ्यों के लिए, पैराग्राफ 10.4-10.7 देखें)। इस योजना का उपयोग करके गणना के लिए, खंड 10.8 देखें।

स्पष्ट स्कीमा. आरेख टेम्पलेट इस प्रकार दिखता है:

आंतरिक ग्रिड नोड्स के लिए अंतर समीकरण:

पी = 1, 2, …, पी– 1; एम = 1, 2, …, एम– 1. (10.3)

प्रारंभिक और सीमा स्थितियां "क्रॉस" योजना के अनुसार अनुमानित हैं। इस प्रकार, इस योजना में समीकरण (10.3) और "क्रॉस" योजना से प्रारंभिक और सीमा स्थितियां शामिल हैं।

यह प्रथम श्रेणी की सटीक योजना है, लेकिन यह बिल्कुल अस्थिर है! इसका उपयोग विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए नहीं किया जाता है और इसे यहां केवल एक बिल्कुल अस्थिर अंतर योजना के उदाहरण के रूप में प्रस्तुत किया गया है।