तीन कोणों के योग की ज्या. सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन, सूत्रों की व्युत्पत्ति, उदाहरण

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एलेक्सी:

प्रबंधक के रूप में नौकरी पाने के लिए मुझे डिप्लोमा प्राप्त करने की आवश्यकता थी। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मेरे पास अनुभव और कौशल दोनों हैं, लेकिन बिना दस्तावेज़ के मुझे नौकरी नहीं मिल सकती। एक बार जब मैं आपकी साइट पर आया, तो मैंने अंततः एक डिप्लोमा खरीदने का फैसला किया। डिप्लोमा 2 दिन में पूरा हो गया!! अब मेरे पास एक ऐसी नौकरी है जिसके बारे में मैंने पहले कभी सपने में भी नहीं सोचा था!! धन्यवाद!

साइन (), कोसाइन (), टेंगेंट (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। पहली नज़र में, जटिल अवधारणाओं (जो कई स्कूली बच्चों में भय की स्थिति का कारण बनती हैं) की अच्छी समझ रखने के लिए, और यह सुनिश्चित करने के लिए कि "शैतान उतना भयानक नहीं है जितना उसे चित्रित किया गया है," आइए शुरुआत करें बहुत शुरुआत और कोण की अवधारणा को समझें।

कोण अवधारणा: रेडियन, डिग्री

आइए तस्वीर देखें. वेक्टर एक निश्चित मात्रा में बिंदु के सापेक्ष "मुड़" गया है। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन की माप होगी कोना.

कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, बेशक, कोण इकाइयाँ!

ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।

(एक डिग्री) का कोण कहलाता है केंद्रीय कोणएक वृत्त में, वृत्त के भाग के बराबर एक वृत्ताकार चाप पर आधारित। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।

अर्थात्, ऊपर दिया गया चित्र बराबर कोण दर्शाता है, अर्थात् यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर टिका है।

रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण होता है जो एक वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, क्या आपने इसका पता लगा लिया? यदि नहीं, तो आइए इसे चित्र से समझें।

तो, चित्र एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, अर्थात यह कोण एक वृत्ताकार चाप पर टिका होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई के बराबर होती है या त्रिज्या बराबर होती है) चाप की लंबाई) इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रेडियन में केन्द्रीय कोण कहाँ होता है?

खैर, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण में कितने रेडियन समाहित हैं? हां, इसके लिए आपको परिधि का फॉर्मूला याद रखना होगा. ये रही वो:

खैर, अब आइए इन दोनों सूत्रों को सहसंबंधित करें और पता लगाएं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, डिग्री और रेडियन में मान को सहसंबंधित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द हटा दिया गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।

कितने रेडियन हैं? यह सही है!

समझ गया? फिर आगे बढ़ें और इसे ठीक करें:

कठिनाइयाँ आ रही हैं? फिर देखो जवाब:

समकोण त्रिभुज: ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोण की कोटैंजेंट

तो, हमने कोण की अवधारणा को समझ लिया। लेकिन किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने में एक समकोण त्रिभुज हमारी सहायता करेगा।

पक्ष किसे कहते हैं? सही त्रिकोण? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में यह भुजा है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (जो बगल में हैं समकोण), और, यदि हम कोण के सापेक्ष पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं?

कोण की ज्या- यह विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण की कोज्या- यह आसन्न (करीबी) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण की स्पर्श रेखा- यह विपरीत (दूर) पक्ष का आसन्न (निकट) पक्ष से अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किसमें विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह वाला:

कोज्या→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न;

कोटैंजेंट→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न।

सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट इन भुजाओं की लंबाई (एक ही कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? फिर चित्र देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से:, लेकिन हम एक त्रिभुज से एक कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं:। आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करता है।

यदि आप परिभाषाएँ समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें समेकित करें!

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।

अच्छा, क्या तुम्हें यह मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएँ: कोण के लिए समान गणना करें।

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं अकेला. त्रिकोणमिति का अध्ययन करते समय यह बहुत उपयोगी होगा। इसलिए, आइए इसे थोड़ा और विस्तार से देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र निर्देशांक के मूल पर स्थित है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष निर्देशांक और अक्ष निर्देशांक। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उनका मौजूदा विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, हमें सुविचारित समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखना होगा। उपरोक्त चित्र में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें. यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज किसके बराबर है? यह सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है, जिसका अर्थ है। आइए इस मान को कोसाइन के हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

त्रिभुज किसके बराबर है? बेशक, ! इस सूत्र में त्रिज्या मान रखें और प्राप्त करें:

तो, क्या आप बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? क्या होगा यदि आपको इसका एहसास हो और आप केवल संख्याएँ हों? यह किस निर्देशांक से मेल खाता है? खैर, निःसंदेह, निर्देशांक! और यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, निर्देशांक! इस प्रकार, अवधि.

तो फिर क्या हैं और किसके बराबर हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संबंधित परिभाषाओं का उपयोग करें और प्राप्त करें, ए।

यदि कोण बड़ा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, जैसे इस चित्र में:

इस उदाहरण में क्या बदलाव आया है? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, आइए फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ें। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: कोण (एक कोण के आसन्न के रूप में)। किसी कोण के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट के मान क्या हैं? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

खैर, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संबंधित अनुपातों के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घूर्णन पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के अनुदिश होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित मूल्य का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण , और जब दक्षिणावर्त घुमाते हैं - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि एक वृत्त के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की एक संपूर्ण क्रांति है या। क्या त्रिज्या सदिश को इधर-उधर घुमाना संभव है? खैर, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण या (जहां कोई पूर्णांक है) से भिन्न होते हैं, वे त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।

नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने आदि से मेल खाती है। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र या (कोई पूर्णांक कहां है) द्वारा लिखा जा सकता है

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानकर और इकाई वृत्त का उपयोग करके, उत्तर देने का प्रयास करें कि मान क्या हैं:

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कठिनाइयाँ हो रही हैं? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

यहां से, हम कुछ कोण मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, आइए क्रम से शुरू करें: कोण निर्देशांक वाले एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:

मौजूद नहीं होना;

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। इसे जानने से संबंधित बिंदुओं पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान निर्धारित करना आसान होता है। पहले इसे स्वयं आज़माएँ, और फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद रखना चाहिए:

डरिए मत, अब हम आपको एक उदाहरण दिखाएंगे संबंधित मूल्यों को याद रखना काफी सरल है:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण () के सभी तीन मापों के लिए साइन के मान, साथ ही कोण के स्पर्शरेखा के मान को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी सरल है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात:

यह जानकर, आप मानों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। कोटैंजेंट मान चित्र में दर्शाए गए तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद रखते हैं, तो यह तालिका से सभी मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या किसी वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?

खैर, बेशक आप कर सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सामान्य सूत्र.

उदाहरण के लिए, यहाँ हमारे सामने एक वृत्त है:

हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर है. किसी बिंदु को डिग्री द्वारा घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का निर्देशांक खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। किसी खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

फिर हमारे पास बिंदु समन्वय के लिए वह है।

उसी तर्क का उपयोग करते हुए, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक मान पाते हैं। इस प्रकार,

तो, में सामान्य रूप से देखेंबिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

वृत्त त्रिज्या,

वेक्टर त्रिज्या का घूर्णन कोण.

जैसा कि आप देख सकते हैं, जिस इकाई वृत्त पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं और त्रिज्या एक के बराबर है:

खैर, आइए एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करके इन सूत्रों को आज़माएँ?

1. बिंदु को घुमाने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

5. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

क्या आपको वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ढूंढने में परेशानी हो रही है?

इन पांच उदाहरणों को हल करें (या उन्हें हल करने में कुशल हो जाएं) और आप उन्हें ढूंढना सीख जाएंगे!

1.

आप इसे नोटिस कर सकते हैं. लेकिन हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु की पूर्ण क्रांति से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जैसे कि मुड़ते समय। इसे जानकर, हम बिंदु के आवश्यक निर्देशांक पाते हैं:

2. इकाई वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

आप इसे नोटिस कर सकते हैं. हम जानते हैं कि प्रारंभिक बिंदु के दो पूर्ण चक्करों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जैसे कि मुड़ते समय। इसे जानकर, हम बिंदु के आवश्यक निर्देशांक पाते हैं:

साइन और कोसाइन तालिका मान हैं। हम उनके अर्थ याद करते हैं और पाते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

3. इकाई वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

आप इसे नोटिस कर सकते हैं. आइए चित्र में प्रश्न में उदाहरण को चित्रित करें:

त्रिज्या अक्ष के साथ और उसके बराबर कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के तालिका मान बराबर हैं, और यह निर्धारित किया है कि यहां कोसाइन लेता है नकारात्मक अर्थ, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास है:

विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय ऐसे उदाहरणों पर अधिक विस्तार से चर्चा की जाती है।

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

4.

वेक्टर की त्रिज्या के घूर्णन का कोण (शर्त के अनुसार)

ज्या और कोज्या के संगत चिह्न निर्धारित करने के लिए, हम एक इकाई वृत्त और कोण बनाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान, यानी, सकारात्मक है, और मूल्य, यानी, नकारात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मानों को जानने पर, हम यह प्राप्त करते हैं:

आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें और निर्देशांक खोजें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ

वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,

वृत्त त्रिज्या (शर्त के अनुसार)

वेक्टर की त्रिज्या के घूर्णन का कोण (शर्त के अनुसार)।

आइए सभी मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

और - तालिका मान. आइए याद रखें और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

सारांश और बुनियादी सूत्र

किसी कोण की ज्या विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।

किसी कोण की कोज्या आसन्न (निकट) पैर और कर्ण का अनुपात है।

किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) भुजा और आसन्न (नज़दीकी) भुजा का अनुपात है।

किसी कोण का कोटैंजेंट आसन्न (निकट) पक्ष और विपरीत (दूर) पक्ष का अनुपात होता है।

गणित के जिन क्षेत्रों में छात्रों को सबसे अधिक परेशानी होती है उनमें से एक है त्रिकोणमिति। यह आश्चर्य की बात नहीं है: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और संख्या पाई का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए। गणना. इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाएं प्राप्त करने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान से परिचित होना किसी कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि सामान्य तौर पर त्रिकोणमिति क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान की इस शाखा में अध्ययन का मुख्य उद्देश्य समकोण त्रिभुज था। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति विभिन्न ऑपरेशनों को अंजाम देना संभव बनाती है जो दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक पक्ष का उपयोग करके प्रश्न में आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देती है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इमारतों के निर्माण, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला में भी इसका सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण का उपयोग करके कोणों और भुजाओं के बीच संबंध के बारे में बात करते थे। फिर विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया रोजमर्रा की जिंदगीगणित की यह शाखा.

आज स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद छात्र अर्जित ज्ञान का उपयोग भौतिकी और अमूर्त समस्याओं को हल करने में करते हैं। त्रिकोणमितीय समीकरण, जिसके साथ काम हाई स्कूल में शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां विभिन्न नियम लागू होते हैं, और त्रिकोण में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस अनुभाग का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन कम से कम इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है पृथ्वी की सतह, और किसी भी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि कोई भी सतह चिह्न त्रि-आयामी अंतरिक्ष में "चाप-आकार" होगा।

ग्लोब और धागा ले लो. धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं पर जोड़ें ताकि वह तना हुआ रहे। कृपया ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार ले लिया है। गोलाकार ज्यामिति ऐसे रूपों से संबंधित है, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और व्यावहारिक क्षेत्रों में किया जाता है।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए बुनियादी त्रिकोणमिति पर वापस लौटें ताकि यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत भुजा है। यह सबसे लंबा है. हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दोनों भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इसके बारे में साढ़े चार हजार साल पहले ही पता था।

शेष दो भुजाएँ, जो एक समकोण बनाती हैं, पैर कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की दृढ़ समझ के साथ, कोई व्यक्ति किसी कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकता है।

किसी कोण की ज्या विपरीत पाद (अर्थात वांछित कोण के विपरीत भुजा) और कर्ण का अनुपात है। किसी कोण की कोज्या आसन्न भुजा और कर्ण का अनुपात है।

याद रखें कि न तो साइन और न ही कोसाइन एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि किसी समस्या के उत्तर में आपको 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से ग़लत है.

अंततः, किसी कोण की स्पर्श रेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात होती है। ज्या को कोज्या से विभाजित करने पर वही परिणाम प्राप्त होगा। देखिए: सूत्र के अनुसार, हम भुजा की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, फिर दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान ही संबंध मिलता है।

कोटैंजेंट, तदनुसार, कोने से सटे पक्ष और विपरीत पक्ष का अनुपात है। एक को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर हमें वही परिणाम प्राप्त होता है।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं पर गौर किया है, और हम सूत्रों पर आगे बढ़ सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में आप सूत्रों के बिना काम नहीं कर सकते - इनके बिना साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट कैसे खोजें? लेकिन समस्याओं को हल करते समय बिल्कुल यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानना आवश्यक है, वह कहता है कि किसी कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यदि आपको भुजा के बजाय कोण का आकार जानने की आवश्यकता है तो यह समय बचाता है।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर पाते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: एक कोण की स्पर्शरेखा के वर्ग और एक का योग, कोण की कोज्या के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है। बारीकी से देखें: यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोज्या के वर्ग से विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन ऐसा करता है त्रिकोणमितीय सूत्रपूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं. याद रखें: यह जानकर कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं, परिवर्तन नियम और कई बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय कागज के एक टुकड़े पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

दोहरे कोणों के सूत्र और तर्कों का योग

दो और सूत्र जो आपको सीखने की जरूरत है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए ज्या और कोज्या के मानों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत किया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीवार गुणनफल जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - अभ्यास के रूप में, अल्फा कोण को बीटा कोण के बराबर लेकर उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।

अंत में, ध्यान दें कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा अल्फा की शक्ति को कम करने के लिए दोहरे कोण सूत्रों को पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय हैं। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा, और इसलिए आकृति का क्षेत्रफल, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि कैसे ज्ञात करें।

साइन प्रमेय बताता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण से विभाजित करने पर समान संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें किसी दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु होंगे।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्यीकृत करता है, इसे किसी भी त्रिकोण पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा किए गए उनके उत्पाद को घटाएं - परिणामी मान तीसरी तरफ के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।

लापरवाह गलती

यह जानते हुए भी कि ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या क्या हैं, अनुपस्थित-दिमाग या सरलतम गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए आइए सबसे लोकप्रिय गलतियों पर एक नजर डालें।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक भिन्नों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - आप उत्तर को भिन्न के रूप में छोड़ सकते हैं जब तक कि शर्तों में अन्यथा न कहा गया हो। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें उभर सकती हैं, जिन्हें लेखक के विचार के अनुसार कम किया जाना चाहिए। ऐसे में आप फालतू बातों में अपना समय बर्बाद करेंगे गणितीय संक्रियाएँ. यह विशेष रूप से तीन की जड़ या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए सच है, क्योंकि वे हर कदम पर समस्याओं में पाए जाते हैं। यही बात "बदसूरत" संख्याओं को पूर्णांकित करने के लिए भी लागू होती है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि आप विषय की समझ की पूरी कमी भी प्रदर्शित करेंगे। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है.

तीसरा, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर है, और इसके विपरीत। उन्हें भ्रमित करना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन

कई छात्रों को त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की कोई जल्दी नहीं है क्योंकि वे इसका व्यावहारिक अर्थ नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या है? ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनकी मदद से आप दूर के तारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, किसी उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, या किसी अन्य ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, किसी सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये तो सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आख़िरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक हर जगह किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग किया जाता है।

अंत में

तो आप साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणनाओं में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा मुद्दा इस तथ्य पर आता है कि त्रिकोण के ज्ञात मापदंडों का उपयोग करके आपको अज्ञात की गणना करने की आवश्यकता है। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन भुजाओं की लंबाई और तीन कोणों का आकार। कार्यों में एकमात्र अंतर इस तथ्य में निहित है कि अलग-अलग इनपुट डेटा दिए गए हैं।

अब आप जानते हैं कि पैरों या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, टेंगेंट कैसे खोजें। चूँकि इन शब्दों का मतलब अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमिति समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ें ढूंढना है। और यहां नियमित स्कूली गणित आपकी मदद करेगा।

दो कोणों के योग और अंतर की कोज्या

इस खंड में निम्नलिखित दो सूत्र सिद्ध किये जायेंगे:

cos (α + β) = cos α cos β - पाप α पाप β, (1)

कॉस (α - β) = कॉस α कॉस β + सिन α सिन β। (2)

दो कोणों के योग (अंतर) की कोज्या इन कोणों की कोज्याओं के गुणनफल को घटाकर (जोड़) इन कोणों की ज्याओं के गुणनफल के बराबर होती है।

हमारे लिए सूत्र (2) के प्रमाण से शुरुआत करना अधिक सुविधाजनक होगा। प्रस्तुति की सरलता के लिए, आइए पहले मान लें कि कोण α और β निम्नलिखित शर्तों को पूरा करें:

1) इनमें से प्रत्येक कोण ऋणात्मक नहीं और कम है 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

मान लीजिए कि 0x अक्ष का धनात्मक भाग कोणों का उभयनिष्ठ प्रारंभिक पक्ष है α और β .

हम इन कोणों की अंतिम भुजाओं को क्रमशः 0A और 0B से निरूपित करते हैं। जाहिर है कोण α - β इसे उस कोण के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा बीम 0B को बिंदु 0 के चारों ओर वामावर्त घुमाने की आवश्यकता होती है ताकि इसकी दिशा बीम 0A की दिशा से मेल खाए।

किरणों 0A और 0B पर हम बिंदु M और N को चिह्नित करते हैं, जो निर्देशांक 0 के मूल से 1 की दूरी पर स्थित हैं, ताकि 0M = 0N = 1 हो।

x0y समन्वय प्रणाली में, बिंदु M के निर्देशांक हैं ( क्योंकि α, पाप α), और बिंदु N निर्देशांक है ( क्योंकि β, पाप β). इसलिए, उनके बीच की दूरी का वर्ग है:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - syn β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + पाप 2 α - 2sin α पाप β + पाप 2 β = .

अपनी गणना में हमने पहचान का उपयोग किया

पाप 2 φ + क्योंकि 2 φ = 1.

अब एक अन्य समन्वय प्रणाली B0C पर विचार करें, जो 0x और 0y अक्षों को बिंदु 0 के चारों ओर एक कोण द्वारा वामावर्त घुमाकर प्राप्त किया जाता है। β .

इस समन्वय प्रणाली में, बिंदु M के निर्देशांक (cos ( α - β ), पाप ( α - β )), और बिंदु N निर्देशांक (1,0) है। इसलिए, उनके बीच की दूरी का वर्ग है:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ पाप 2 (α - β) = 2।

लेकिन बिंदु एम और एन के बीच की दूरी इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि हम किस समन्वय प्रणाली के संबंध में इन बिंदुओं पर विचार कर रहे हैं। इसीलिए

डी 1 2 = डी 2 2

2 (1 - cos α cos β - पाप α पाप β) = 2 .

यहीं पर सूत्र (2) अनुसरण करता है।

अब हमें उन दो प्रतिबंधों को याद रखना चाहिए जो हमने प्रस्तुतीकरण की सरलता के लिए कोणों पर लगाए थे α और β .

आवश्यकता यह है कि प्रत्येक कोने α और β गैर-नकारात्मक था, वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं था। आख़िरकार, इनमें से किसी भी कोण में आप एक ऐसा कोण जोड़ सकते हैं जो 2 का गुणज हो, जो सूत्र (2) की वैधता को प्रभावित नहीं करेगा। इसी तरह, इनमें से प्रत्येक कोण से आप एक ऐसा कोण घटा सकते हैं जो का गुणज हो 2π. इसलिए हम ऐसा मान सकते हैं 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

शर्त भी नगण्य हो जाती है α > β . वास्तव में, यदि α < β , वह β >α ; इसलिए, फ़ंक्शन की समता दी गई है ओल एक्स , हम पाते हैं:

कॉस (α - β) = कॉस (β - α) = कॉस β कॉस α + सिन β सिन α,

जो मूलतः सूत्र (2) से मेल खाता है। तो सूत्र

cos (α - β) = cos α cos β + पाप α पाप β

सभी कोणों के लिए सत्य α और β . विशेष रूप से, इसमें प्रतिस्थापन β पर - β और यह देखते हुए कि फ़ंक्शन ओलएक्स सम है, और फ़ंक्शन पापएक्स अजीब, हमें मिलता है:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + पाप α पाप (-β) =

= क्योंकि α क्योंकि β - पाप α पाप β,

जो सूत्र (1) को सिद्ध करता है।

अतः, सूत्र (1) और (2) सिद्ध हैं।

उदाहरण।

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + पाप 45° पाप 30° =

अभ्यास

1 . त्रिकोणमितीय तालिकाओं का उपयोग किए बिना गणना करें:

a) cos 17° cos 43° - पाप 17° पाप 43°;

बी) पाप 3° पाप 42° - cos 39° cos 42°;

ग) cos 29° cos 74° + पाप 29° पाप 74°;

घ) पाप 97° पाप 37° + कोस 37° क्योंकि 97°;

ई) कॉस 3π / 8 कॉस π / 8 + पाप 3π / 8 पाप π / 8 ;

ई) पाप 3π / 5 पाप 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5।

2.अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

ए)। क्योंकि( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

बी)। क्योंकि (36°+ α ) क्योंकि (24° - α ) + पाप (36° + α ) पाप ( α - 24°).

वी). पाप(π/4 - α ) पाप (π / 4+ α ) - कॉस (π / 4+ α ) क्योंकि (π / 4 - α )

घ) क्योंकि 2 α + टीजी α पाप 2 α .

3 . गणना :

ए) क्योंकि(α - β), अगर

क्योंकि α = - 2 / 5 , पाप β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

बी) क्योंकि ( α + π / 6), यदि कॉस α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . खोजो क्योंकि(α + β)और क्योंकि (α - β) ,यदि यह ज्ञात हो कि पाप है α = 7/25, क्योंकि β = - 5 / 13 और दोनों कोण ( α और β ) उसी तिमाही में समाप्त होगा।

5 .गणना करें:

ए)। कॉस [ आर्क्सिन 1/3 + आर्ककोस 2/3 ]

बी)। कॉस [आर्क्सिन 1/3 - आर्ककोस (- 2/3)]।

वी). कॉस [आर्कटान 1/2 + आर्ककोस (-2)]

स्पर्शरेखा (टीजी x) और कोटैंजेंट (सीटीजी x) के लिए संदर्भ डेटा। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, ग्राफ़, सूत्र। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट, व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला विस्तार की तालिका। जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध.

ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी| - बिंदु A पर केंद्र वाले एक वृत्त के चाप की लंबाई।
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

स्पर्शरेखा ( टैन α) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .

कोटैंजेंट ( सीटीजी α) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .

स्पर्शरेखा

कहाँ एन- साबुत।

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
;
;
.

स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़, y = tan x

कोटैंजेंट

कहाँ एन- साबुत।

पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित नोटेशन भी स्वीकार किए जाते हैं:
;
;
.

कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ctg x

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण

दौरा

फ़ंक्शंस y = टीजी एक्सऔर y = सीटीजी एक्सअवधि π के साथ आवर्ती हैं।

समानता

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य विषम हैं।

परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- साबुत)।

	य = टीजी एक्स	य = सीटीजी एक्स
दायरा और निरंतरता
मूल्यों की श्रृंखला	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
की बढ़ती		-
अवरोही	-
चरम	-	-
शून्य, y = 0
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	य = 0	-

सूत्रों

साइन और कोसाइन का उपयोग करते हुए अभिव्यक्तियाँ

; ;
; ;
;

योग और अंतर से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सूत्र

उदाहरण के लिए, शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है

स्पर्शरेखाओं का गुणनफल

स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान प्रस्तुत करती है।

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

;
;

संजात

; .

.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्र व्युत्पन्न करना > > > ; कोटैंजेंट के लिए > > >

अभिन्न

शृंखला विस्तार

x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको विस्तार के कई पद लेने होंगे बिजली की श्रृंखलाकार्यों के लिए पाप एक्सऔर क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे से विभाजित करें। इससे निम्नलिखित सूत्र तैयार होते हैं।

पर ।

पर ।
कहाँ बटालियन- बर्नौली संख्याएँ। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ ।
या लाप्लास के सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्य

स्पर्शज्या और कोटैंजेंट के व्युत्क्रम फलन क्रमशः चापस्पर्शज्या और चापस्पर्शज्या हैं।

आर्कटिक, आर्कटेंजेंट

, कहाँ एन- साबुत।

आर्ककोटैंजेंट, आर्कसीटीजी

, कहाँ एन- साबुत।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
जी कॉर्न, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।