शंकु के घटक. शंकु के पार्श्व एवं कुल सतह का क्षेत्रफल

आज हम आपको बताएंगे कि शंकु का जेनरेट्रिक्स कैसे खोजा जाए, जिसकी अक्सर स्कूल ज्यामिति समस्याओं में आवश्यकता होती है।

शंकु जनरेटर की अवधारणा

एक समकोण शंकु एक आकृति है जो उसके एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज को घुमाने से प्राप्त होती है। शंकु का आधार एक वृत्त बनाता है। शंकु का ऊर्ध्वाधर भाग एक त्रिभुज है, क्षैतिज खंड एक वृत्त है। शंकु की ऊंचाई शंकु के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला खंड है। शंकु का जेनरेट्रिक्स एक खंड है जो शंकु के शीर्ष को आधार वृत्त की रेखा पर किसी भी बिंदु से जोड़ता है।

चूँकि एक शंकु एक समकोण त्रिभुज को घुमाने से बनता है, यह पता चलता है कि ऐसे त्रिभुज का पहला पैर ऊँचाई है, दूसरा आधार पर स्थित वृत्त की त्रिज्या है, और कर्ण शंकु का जनक है। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि पाइथागोरस प्रमेय जनरेटर की लंबाई की गणना के लिए उपयोगी है। और अब शंकु के जेनरेट्रिक्स की लंबाई कैसे ज्ञात करें इसके बारे में और जानें।

जनरेटर ढूँढना

जनरेटर कैसे ढूंढें यह समझने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है। मान लीजिए कि समस्या की निम्नलिखित स्थितियाँ दी गई हैं: ऊंचाई 9 सेमी है, आधार वृत्त का व्यास 18 सेमी है। एक जेनरेटर ढूंढना आवश्यक है।

तो, शंकु की ऊंचाई (9 सेमी) समकोण त्रिभुज के पैरों में से एक है जिसकी मदद से यह शंकु बनाया गया था। दूसरा चरण आधार वृत्त की त्रिज्या होगी। त्रिज्या व्यास का आधा है. इस प्रकार, हम हमें दिए गए व्यास को आधे में विभाजित करते हैं और त्रिज्या की लंबाई प्राप्त करते हैं: 18:2 = 9। त्रिज्या 9 है।

अब शंकु का जेनरेट्रिक्स ढूंढना बहुत आसान है। चूँकि यह एक कर्ण है, इसकी लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होगा, अर्थात त्रिज्या और ऊँचाई के वर्गों का योग। तो, जेनरेटर की लंबाई का वर्ग = 64 (त्रिज्या की लंबाई का वर्ग) + 64 (ऊंचाई की लंबाई का वर्ग) = 64x2 = 128। अब हम निकालते हैं वर्गमूल 128 से। परिणामस्वरूप, हमें दो से आठ जड़ें प्राप्त होती हैं। यह शंकु का जेनरेट्रिक्स होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। उदाहरण के लिए, हमने लिया सरल स्थितियाँकार्य, लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम में वे अधिक कठिन हो सकते हैं। याद रखें कि जेनरेट्रिक्स की लंबाई की गणना करने के लिए आपको वृत्त की त्रिज्या और शंकु की ऊंचाई का पता लगाना होगा। इस डेटा को जानने से जेनरेटरिक्स की लंबाई का पता लगाना आसान है।

हम जानते हैं कि शंकु क्या है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। आपको ऐसी समस्या का समाधान करने की आवश्यकता क्यों है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की ज़रूरत है कि वफ़ल कोन बनाने में कितना आटा लगेगा? या ईंट महल की छत बनाने में कितनी ईंटें लगती हैं?

शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र को मापना सरलता से नहीं किया जा सकता है। लेकिन आइए कपड़े में लिपटे उसी सींग की कल्पना करें। कपड़े के एक टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसे काटकर मेज पर रखना होगा। हो जाएगा सपाट आकृति, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के अनुदिश शंकु का खंड

आइए शंकु के साथ भी ऐसा ही करें। आइए इसे "काटें"। पार्श्व सतहउदाहरण के लिए, किसी भी जेनरेटर के साथ (चित्र 1 देखें)।

अब पार्श्व की सतह को समतल पर "खोल" दें। हमें एक सेक्टर मिलता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्र शंकु का शीर्ष है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु के जेनरेट्रिक्स के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। इस क्षेत्र को शंकु की पार्श्व सतह का विकास कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास

चावल। 3. रेडियन में कोण माप

आइए उपलब्ध डेटा का उपयोग करके सेक्टर का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए संकेतन का परिचय दें: मान लीजिए कि त्रिज्यखंड के शीर्ष पर कोण रेडियन में है (चित्र 3 देखें)।

हमें अक्सर समस्याओं में स्वीप के शीर्ष पर स्थित कोण से निपटना होगा। अभी के लिए, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता? अर्थात्, क्या ऐसा नहीं होगा कि स्वीप स्वयं ओवरलैप हो जाएगा? बिल्कुल नहीं। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्कैन को अपने ऊपर "सुपरपोज़" करने दें। इसका मतलब यह है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या के वृत्त की लंबाई से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या के वृत्त की लंबाई है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेट्रिक्स से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है

तो आइए प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद रखें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र: .

हमारे मामले में, भूमिका जनरेटर द्वारा निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। हमारे पास है:

अंततः हमें मिलता है: .

पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के साथ-साथ क्षेत्रफल भी ज्ञात किया जा सकता है पूरी सतह. ऐसा करने के लिए, आधार के क्षेत्र को पार्श्व सतह के क्षेत्र में जोड़ा जाना चाहिए। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल सूत्र के अनुसार के बराबर है।

अंततः हमारे पास है: , सिलेंडर के आधार की त्रिज्या कहां है, जेनरेटर है।

आइए दिए गए सूत्रों का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करें।

चावल। 4. आवश्यक कोण

उदाहरण 1. शंकु की पार्श्व सतह का विकास शीर्ष पर एक कोण वाला एक त्रिज्यखंड है। यदि शंकु की ऊंचाई 4 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है तो यह कोण ज्ञात करें (चित्र 4 देखें)।

चावल। 5. सही त्रिकोण, एक शंकु बनाना

पहली क्रिया से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जनरेटर पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। अगला, हम यह जानते हैं .

उदाहरण 2. शंकु का अक्षीय अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल बराबर है, ऊँचाई बराबर है। कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 6 देखें)।

यहां शंकु के साथ समस्याएं हैं, स्थिति इसकी सतह क्षेत्र से संबंधित है। विशेषकर, कुछ समस्याओं में शंकु की ऊँचाई या उसके आधार की त्रिज्या को बढ़ाने (घटाने) पर क्षेत्रफल बदलने का प्रश्न उठता है। समस्याओं को हल करने का सिद्धांत. आइए निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें:

27135. शंकु के आधार की परिधि 3 है, जनक 2 है। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्रफल बराबर है:

डेटा को प्रतिस्थापित करना:

75697. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कितने गुना बढ़ जाएगा यदि इसके जेनरेट्रिक्स को 36 गुना बढ़ा दिया जाए, और आधार की त्रिज्या समान रहे?

शंकु पार्श्व सतह क्षेत्र:

जेनरेट्रिक्स 36 गुना बढ़ जाता है। त्रिज्या वही रहती है, जिसका अर्थ है कि आधार की परिधि नहीं बदली है।

इसका मतलब है कि संशोधित शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र का रूप होगा:

इस प्रकार, यह 36 गुना बढ़ जाएगा।

*रिश्ता सीधा है, इसलिए इस समस्या को मौखिक रूप से आसानी से हल किया जा सकता है।

27137. यदि शंकु के आधार की त्रिज्या 1.5 गुना कम कर दी जाए तो शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कितनी गुना कम हो जाएगा?

शंकु का पार्श्व सतह क्षेत्रफल बराबर है:

त्रिज्या 1.5 गुना घट जाती है, अर्थात:

यह पाया गया कि पार्श्व सतह क्षेत्र 1.5 गुना कम हो गया।

27159. शंकु की ऊंचाई 6 है, जेनरेट्रिक्स 10 है। पाई द्वारा विभाजित इसकी कुल सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

पूर्ण शंकु सतह:

आपको त्रिज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है:

ऊंचाई और जेनरेट्रिक्स ज्ञात हैं, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम त्रिज्या की गणना करते हैं:

इस प्रकार:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

76299. शंकु का कुल सतह क्षेत्रफल 108 है। ऊंचाई को आधे में विभाजित करते हुए, शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा गया है। कटे हुए शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यह खंड आधार के समानांतर ऊंचाई के मध्य से होकर गुजरता है। इसका मतलब यह है कि कटे हुए शंकु के आधार की त्रिज्या और जेनरेट्रिक्स मूल शंकु की त्रिज्या और जेनरेट्रिक्स से 2 गुना कम होगी। आइए कटे हुए शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखें:

हमने पाया कि यह मूल के सतह क्षेत्र से 4 गुना कम होगा, यानी 108:4 = 27.

*चूंकि मूल और कटे हुए शंकु समान पिंड हैं, इसलिए समानता गुण का उपयोग करना भी संभव था:

27167. शंकु के आधार की त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 है। पाई द्वारा विभाजित शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

शंकु की कुल सतह का सूत्र:

त्रिज्या ज्ञात है, जेनरेट्रिक्स ज्ञात करना आवश्यक है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

इस प्रकार:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

काम। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का चार गुना है। ज्ञात कीजिए कि शंकु के जेनरेट्रिक्स और आधार के तल के बीच के कोण की कोज्या क्या है।

शंकु के आधार का क्षेत्रफल है:

स्कूल में अध्ययन किए गए घूर्णन के पिंड सिलेंडर, शंकु और गेंद हैं।

यदि गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की किसी समस्या में आपको शंकु के आयतन या गोले के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने आप को भाग्यशाली समझें।

बेलन, शंकु और गोले के आयतन और सतह क्षेत्र के लिए सूत्र लागू करें। वे सभी हमारी तालिका में हैं। कंठस्थ करना। यहीं से स्टीरियोमेट्री का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी ऊपर से दृश्य खींचना अच्छा होता है। या, जैसा कि इस समस्या में है, नीचे से।

2. एक शंकु का आयतन कितनी बार सही के चारों ओर वर्णित है? चतुर्भुज पिरामिड, इस पिरामिड में अंकित शंकु के आयतन से अधिक है?

यह सरल है - नीचे से दृश्य बनाएं। हम देखते हैं कि बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त की त्रिज्या से कई गुना बड़ी है। दोनों शंकुओं की ऊँचाई समान है। इसलिए, बड़े शंकु का आयतन दोगुना बड़ा होगा।

एक और महत्वपूर्ण बात. याद रखें कि भाग बी की समस्याओं में एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्पगणित में, उत्तर पूर्ण संख्या या परिमित दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है। अत: आपके उत्तर में भाग बी में कोई भी या नहीं होना चाहिए। संख्या के अनुमानित मान को प्रतिस्थापित करने की भी कोई आवश्यकता नहीं है! यह निश्चित रूप से सिकुड़ना चाहिए! यह इस उद्देश्य के लिए है कि कुछ समस्याओं में कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: "सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल विभाजित करके ज्ञात करें।"

क्रांति के पिंडों के आयतन और सतह क्षेत्र के लिए सूत्र और कहाँ उपयोग किए जाते हैं? बेशक, समस्या C2 (16) में। हम आपको इसके बारे में भी बताएंगे.