सैद्धांतिक सामग्री. प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न

एक। हम फिर से केवल दो चर वाले कार्यों के बारे में बात करेंगे (लेकिन तर्क किसी भी संख्या में चर वाले कार्यों के लिए भी उपयुक्त है)।

आइये एक समारोह करें

और इसके आंशिक व्युत्पन्न हैं। उत्तरार्द्ध, जाहिर है, x और y के भी कार्य हैं, और इसलिए x और y के संबंध में उनके आंशिक व्युत्पन्न ढूंढना भी संभव है।

के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है और इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

हम इसी तरह y के संबंध में दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं:

y के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को y के संबंध में और y के संबंध में मिश्रित दूसरा आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है:

इसी प्रकार, हम दूसरा आंशिक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं, जिसे पहले y के संबंध में और फिर के संबंध में लिया जाता है

यह सिद्ध किया जा सकता है कि कई कार्यों के लिए मिश्रित व्युत्पन्न विभेदन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात

हम इस महत्वपूर्ण संपत्ति का प्रमाण (जटिलता के कारण) नहीं देंगे, बल्कि एक उदाहरण का उपयोग करके इसे प्रदर्शित करेंगे।

उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन दिया जाए

हम इसे पहले x के संबंध में और फिर के संबंध में अलग करते हैं

आइए अब इस फ़ंक्शन को पहले y के संबंध में और फिर के संबंध में अलग करें

जैसा कि हम देख सकते हैं, दोनों मामलों में परिणाम समान था।

यदि हम दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के संबंध में और उसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेते हैं, तो हमें तीसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न प्राप्त होगा

इसी प्रकार, हम चौथे, पांचवें क्रम आदि के आंशिक व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं।

बी। जिस तरह हमने आंशिक व्युत्पन्नों का आंशिक व्युत्पन्न लिया, उसी प्रकार हम कुल अंतर का कुल अंतर भी ले सकते हैं। परिणाम को दूसरा कुल अंतर कहा जाता है और इसे एक चर के फ़ंक्शन के दूसरे अंतर के समान ही दर्शाया जाता है, यानी इस तरह:

तीसरे कुल अंतर को दूसरे कुल अंतर का कुल अंतर आदि कहा जाता है।

सी। आइए अब हम दिखाएं कि दूसरे कुल अंतर को दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में कैसे व्यक्त किया जाता है। व्यापकता के लिए, हम मान लेंगे कि y कुछ अन्य चर पर निर्भर हो सकता है। आइए संक्षिप्तता के लिए निरूपित करें

दूसरा कुल अंतर ज्ञात करने के लिए, हमें पहले कुल अंतर का पहला कुल अंतर लेना होगा। साथ ही यह ध्यान में रखते हुए कि, जैसा कि इस अध्याय के § 3 के पैराग्राफ "ई" में दिखाया गया है, एक राशि और एक उत्पाद को अलग करने का नियम कुल अंतर पर भी लागू होता है, हम लिख सकते हैं

चूँकि p और q स्वयं दो चर x और y के फलन हैं

नोटिस जो

उन्हें अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, कोष्ठक खोलने के बाद अंततः हमें प्राप्त होता है

यदि x और y कुछ अन्य चरों के स्वतंत्र चर या रैखिक फलन हैं, तो उनका दूसरा अंतर शून्य के बराबर है;

और सूत्र (8) सरल बनाता है:

हम देखते हैं कि अपरिवर्तन का नियम केवल बहुत बड़े प्रतिबंधों के साथ दूसरे अंतर पर लागू होता है: यह केवल तभी सत्य होगा जब x और y अन्य चर के रैखिक कार्य हैं, अन्य सभी मामलों में यह लागू नहीं होता है। सूत्र (9) को देखने पर, हम देखते हैं कि यह दो संख्याओं के योग के वर्ग के सूत्र के समान है। इस सादृश्य ने दूसरे अंतर को निम्नलिखित प्रतीकात्मक रूप में लिखने के विचार को जन्म दिया:

4. उच्च आदेशों का आंशिक व्युत्पन्न

आंशिक व्युत्पन्न को प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न या प्रथम आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा 6. किसी फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न, पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के आंशिक व्युत्पन्न होते हैं।

चार दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं। उन्हें इस प्रकार नामित किया गया है:

या ; या ;

या ; या .

तीसरे, चौथे और उच्चतर क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को समान रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए हमारे पास:

, वगैरह।

विभिन्न चरों के संबंध में लिए गए दूसरे या उच्चतर क्रम के आंशिक व्युत्पन्नों को मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन के लिए, ये व्युत्पन्न हैं। ध्यान दें कि उस स्थिति में जब मिश्रित व्युत्पन्न निरंतर होते हैं, तो समानता कायम रहती है।

उदाहरण 5. किसी फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन के लिए प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न उदाहरण 3 में पाए जाते हैं:

चर x और y के संबंध में अंतर करने पर, हम प्राप्त करते हैं

5. अनेक चरों वाले एक फलन का चरम। एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ

परिभाषा 7. एक बिंदु को किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु का ऐसा पड़ोस हो कि इस पड़ोस के सभी बिंदुओं के लिए असमानता संतुष्ट हो , ().

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों को फ़ंक्शन का चरम (क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम) कहा जाता है।

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम और अधिकतम प्रकृति में स्थानीय होता है, क्योंकि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की तुलना पर्याप्त रूप से करीब बिंदुओं पर उसके मानों से की जाती है।

प्रमेय 1 (एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें)। यदि अवकलनीय फलन का चरम बिंदु है, तो इस बिंदु पर इसका आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर है: .

वे बिंदु जिन पर प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, क्रांतिक या स्थिर कहलाते हैं। महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन में चरम सीमा हो भी सकती है और नहीं भी।

प्रमेय 2 (चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्त)। मान लीजिए कि फ़ंक्शन: ए) को महत्वपूर्ण बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, जिसमें और ; बी) दूसरे क्रम के निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं . तो अगर , तो बिंदु पर फ़ंक्शन का एक चरम होता है: अधिकतम यदि ए<0; минимум, если А>0; अगर , तो फ़ंक्शन में कोई चरम सीमा नहीं है। कब चरम की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है।

एक चरम के लिए दो चर के फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1. प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए: तथा।

2. समीकरणों की प्रणाली को हल करें और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

3. दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें: , , .

4. प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करें और, पर्याप्त शर्तों का उपयोग करके, एक चरम की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें।

5. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 6. फलन का चरम ज्ञात कीजिए .

समाधान। 1. आंशिक व्युत्पन्न खोजें और:

, .

और फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट की गणना कम बिंदुओं पर की जाती है। कार्यक्रम का विवरण कार्यक्रम को कई चरों के कार्यों के न्यूनतम बिंदु खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है - दूसरे शब्दों में, इन कार्यों को कम करने के लिए। प्रोग्राम डिसेंट विधियों में से एक को लागू करता है - चरण चयन के साथ ग्रेडिएंट डिसेंट विधि। प्रारंभिक चरण निर्दिष्ट है. चरण परिवर्तन योजना के अनुसार किया जाता है यदि; यदि गणना...

किसी फ़ंक्शन की सीमा: समाधान. आइए पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करें। फिर उदाहरण 3. फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें: समाधान। आइए दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करें, फिर कई चर वाले फ़ंक्शन की निरंतरता परिभाषा के अनुसार, एक फ़ंक्शन f (x, y) एक बिंदु (x0, y0) पर निरंतर होता है यदि इसे इसके कुछ पड़ोस में परिभाषित किया जाता है, जिसमें बिंदु भी शामिल है (x0, y0) और यदि इसमें सीमा f (x, y)...

आंशिक डेरिवेटिव और उच्चतर ऑर्डर के अंतर, उच्च डेरिवेटिव। मान लीजिए f(x,y) को D पर परिभाषित किया गया है, यदि बिंदु M0 के कुछ पड़ोस में आंशिक व्युत्पन्न है, तो हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बारे में बात कर सकते हैं

डेरिवेटिव को समान रूप से परिभाषित किया गया है। वे आंशिक व्युत्पन्न जहाँ विभिन्न चरों के संबंध में विभेदन होता है, मिश्रित कहलाते हैं। दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्नों को सामान्य मामले में उसी तरह परिभाषित किया जाता है

nवें क्रम के व्युत्पन्न को n-प्रथम क्रम के व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। वेरिएबल्स का चयन जिसके द्वारा विभेदन किया जाता है और इस विभेदीकरण का क्रम उस क्रम से निर्धारित होता है जिसमें nवें क्रम के व्युत्पन्न को निरूपित करते समय हर में चर लिखे जाते हैं। विभेदन का क्रम दाएँ से बाएँ पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए,

प्रमेय (भेदभाव के क्रम से आंशिक व्युत्पन्न की स्वतंत्रता पर)। मान लीजिए u = f(x,y) के पास बिंदु M0(x0,y0) के पड़ोस में मिश्रित व्युत्पन्न हैं जो बिंदु M0 पर ही निरंतर हैं। फिर इस बिंदु पर मिश्रित व्युत्पन्न बराबर हैं।

सबूत। अभिव्यक्ति पर विचार करें

वही अभिव्यक्ति फॉर्म में लिखी जा सकती है

डब्ल्यू= (2)

आइए j(x) = f(x, y) – f(x, y0) रखें। (1) से हमें प्राप्त होता है

डब्ल्यू= = = (3)

1°

1°. उच्चतर क्रम आंशिक व्युत्पन्न. दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्नकार्य z= एफ(x,y) को इसके पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है।

दूसरे क्रम के डेरिवेटिव के लिए, नोटेशन का उपयोग किया जाता है

दूसरे से उच्चतर क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को समान रूप से परिभाषित और दर्शाया जाता है।

यदि गणना किए जाने वाले आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं, तो बार-बार विभेदन का परिणाम विभेदन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण। फ़ंक्शन का दूसरा क्रम आंशिक व्युत्पन्न खोजें।

समाधान। आइए सबसे पहले प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज ज्ञात करें:

अब हम दूसरी बार अंतर करते हैं:

ध्यान दें कि तथाकथित "मिश्रित" आंशिक व्युत्पन्न दूसरे तरीके से पाया जा सकता है, अर्थात्:।

2°. उच्च क्रम के अंतर. दूसरे क्रम का अंतरकार्य z=f(x, y)इस फ़ंक्शन के अंतर (प्रथम क्रम) का अंतर कहा जाता है d²z=d(dz).

दूसरे से अधिक क्रम के फ़ंक्शन r के अंतर को समान रूप से परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए: d³z=d(d²z)और सामान्यतया, .

अगर z=f(x,y),कहाँ एक्सऔर y स्वतंत्र चर हैं, तो फ़ंक्शन r के दूसरे क्रम के अंतर की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

.

सामान्य तौर पर, प्रतीकात्मक सूत्र मान्य है

,

जो द्विपद नियम के अनुसार औपचारिक रूप से प्रकट होता है।

यदि z =f(x,y),तर्क x और y कहाँ हैं तो, ये एक या अधिक स्वतंत्र चरों के फलन हैं

यदि x और y स्वतंत्र चर हैं, तो d²x =0, d²y =0 और सूत्र (2) सूत्र (1) के समान हो जाता है।

उदाहरण। फ़ंक्शन के पहले और दूसरे क्रम के पूर्ण अंतर ज्ञात करें .

प्रत्येक आंशिक व्युत्पन्न (द्वारा एक्सऔर तक य) दो चरों के एक फलन का दूसरे चर के निश्चित मान के लिए एक चर के फलन का सामान्य व्युत्पन्न है:

(कहाँ य= स्थिरांक),

(कहाँ एक्स= स्थिरांक).

इसलिए, आंशिक व्युत्पन्न की गणना का उपयोग करके की जाती है एक चर के कार्यों के व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र और नियम, अन्य चर स्थिरांक पर विचार करते समय।

यदि आपको उदाहरणों के विश्लेषण और इसके लिए आवश्यक न्यूनतम सिद्धांत की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल अपनी समस्या का समाधान चाहिए, तो यहां जाएं ऑनलाइन आंशिक व्युत्पन्न कैलकुलेटर .

यदि फ़ंक्शन में स्थिरांक कहां है, इस पर ध्यान केंद्रित करना कठिन है, तो उदाहरण के ड्राफ्ट समाधान में, एक निश्चित मान वाले चर के बजाय, आप किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं - फिर आप आंशिक व्युत्पन्न की तुरंत गणना कर सकते हैं एक चर वाले फ़ंक्शन का सामान्य व्युत्पन्न। आपको बस अंतिम डिज़ाइन पूरा करते समय स्थिरांक (एक निश्चित मान वाला एक चर) को उसके स्थान पर लौटाना याद रखना होगा।

ऊपर वर्णित आंशिक व्युत्पन्न की संपत्ति आंशिक व्युत्पन्न की परिभाषा से अनुसरण करती है, जो परीक्षा प्रश्नों में दिखाई दे सकती है। इसलिए, नीचे दी गई परिभाषा से खुद को परिचित करने के लिए, आप सैद्धांतिक संदर्भ खोल सकते हैं।

कार्य की निरंतरता की अवधारणा जेड= एफ(एक्स, य) एक बिंदु पर एक चर के एक फ़ंक्शन के लिए इस अवधारणा के समान परिभाषित किया गया है।

समारोह जेड = एफ(एक्स, य) को एक बिंदु पर निरंतर कहा जाता है यदि

अंतर (2) को फ़ंक्शन की कुल वृद्धि कहा जाता है जेड(यह दोनों तर्कों की वृद्धि के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है)।

फ़ंक्शन दिया जाए जेड= एफ(एक्स, य) और अवधि

यदि फ़ंक्शन बदलता है जेडतब होता है जब केवल एक तर्क बदलता है, उदाहरण के लिए, एक्स, किसी अन्य तर्क के निश्चित मान के साथ य, तो फ़ंक्शन को वृद्धि प्राप्त होगी

फ़ंक्शन की आंशिक वृद्धि कहलाती है एफ(एक्स, य) द्वारा एक्स.

फ़ंक्शन परिवर्तन पर विचार जेडकेवल एक तर्क को बदलने के आधार पर, हम प्रभावी रूप से एक चर के फ़ंक्शन में बदल जाते हैं।

यदि कोई सीमित सीमा है

तो इसे फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है एफ(एक्स, य) तर्क से एक्सऔर किसी एक प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है

(4)

आंशिक वृद्धि इसी प्रकार निर्धारित की जाती है जेडद्वारा य:

और आंशिक व्युत्पन्न एफ(एक्स, य) द्वारा य:

(6)

उदाहरण 1।

समाधान। चर "x" के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

(यतय);

हम चर "y" के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं:

(एक्सतय)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चर किस हद तक तय है: इस मामले में यह बस एक निश्चित संख्या है जो चर का एक कारक है (जैसा कि सामान्य व्युत्पन्न के मामले में) जिसके साथ हम आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं . यदि निश्चित चर को उस चर से गुणा नहीं किया जाता है जिसके साथ हम आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं, तो यह अकेला स्थिरांक, चाहे किसी भी हद तक हो, गायब हो जाता है, जैसा कि सामान्य व्युत्पन्न के मामले में होता है।

उदाहरण 2.एक फ़ंक्शन दिया गया

आंशिक व्युत्पन्न खोजें

(X द्वारा) और (Y द्वारा) और बिंदु पर उनके मानों की गणना करें ए (1; 2).

समाधान। निश्चित पर यपहले पद का व्युत्पन्न पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है ( एक चर के व्युत्पन्न कार्यों की तालिका):

.

निश्चित पर एक्सपहले पद का व्युत्पन्न घातीय फलन के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है, और दूसरा - एक स्थिरांक के व्युत्पन्न के रूप में:

आइए अब बिंदु पर इन आंशिक व्युत्पन्नों के मानों की गणना करें ए (1; 2):

आप आंशिक व्युत्पन्न समस्याओं का समाधान यहां देख सकते हैं ऑनलाइन आंशिक व्युत्पन्न कैलकुलेटर .

उदाहरण 3.फ़ंक्शंस के आंशिक व्युत्पन्न खोजें

समाधान। एक चरण में हम पाते हैं

(य एक्स, मानो ज्या का तर्क 5 था एक्स: उसी तरह, 5 फ़ंक्शन चिह्न से पहले आता है);

(एक्सस्थिर है और इस मामले में एक गुणक है य).

आप आंशिक व्युत्पन्न समस्याओं का समाधान यहां देख सकते हैं ऑनलाइन आंशिक व्युत्पन्न कैलकुलेटर .

तीन या अधिक चर वाले फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को समान रूप से परिभाषित किया गया है।

यदि मानों का प्रत्येक सेट ( एक्स; य; ...; टी) सेट से स्वतंत्र चर डीएक विशिष्ट मान से मेल खाता है यूबहुतों से इ, वह यूवेरिएबल्स का एक फ़ंक्शन कहा जाता है एक्स, य, ..., टीऔर निरूपित करें यू= एफ(एक्स, य, ..., टी).

तीन या अधिक चर वाले कार्यों के लिए, कोई ज्यामितीय व्याख्या नहीं है।

कई चर वाले फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न भी इस धारणा के तहत निर्धारित और गणना किए जाते हैं कि केवल एक स्वतंत्र चर बदलता है, जबकि अन्य स्थिर होते हैं।

उदाहरण 4.फ़ंक्शंस के आंशिक व्युत्पन्न खोजें

.

समाधान। यऔर जेडतय:

एक्सऔर जेडतय:

एक्सऔर यतय:

आंशिक व्युत्पन्न स्वयं खोजें और फिर समाधान देखें

उदाहरण 5.

उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न खोजें।

कई चर वाले फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न समान होता है यांत्रिक अर्थ एक चर के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के समान है, किसी एक तर्क में परिवर्तन के सापेक्ष फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

उदाहरण 8.प्रवाह का मात्रात्मक मूल्य पीरेल यात्रियों की भावनाओं को कार्य द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

कहाँ पी- यात्रियों की संख्यां, एन– संवाददाता बिंदुओं के निवासियों की संख्या, आर- बिंदुओं के बीच की दूरी.

किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न पीद्वारा आर, के बराबर

दर्शाता है कि यात्री प्रवाह में कमी बिंदुओं में समान संख्या में निवासियों के साथ संबंधित बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है।

आंशिक व्युत्पन्न पीद्वारा एन, के बराबर

दर्शाता है कि यात्री प्रवाह में वृद्धि बिंदुओं के बीच समान दूरी पर बस्तियों के निवासियों की दोगुनी संख्या के अनुपात में है।

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पूर्ण अंतर

आंशिक व्युत्पन्न का उत्पाद और संबंधित स्वतंत्र चर की वृद्धि को आंशिक अंतर कहा जाता है। आंशिक अंतरों को इस प्रकार दर्शाया गया है:

सभी स्वतंत्र चरों के लिए आंशिक अंतरों का योग कुल अंतर देता है। दो स्वतंत्र चरों के एक फलन के लिए, कुल अंतर समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है

(7)

उदाहरण 9.किसी फ़ंक्शन का पूर्ण अंतर ज्ञात करें

समाधान। सूत्र का उपयोग करने का परिणाम (7):

एक फ़ंक्शन जिसमें किसी निश्चित डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर कुल अंतर होता है, उसे उस डोमेन में भिन्न कहा जाता है।

कुल अंतर स्वयं ज्ञात करें और फिर समाधान देखें

जैसे एक चर वाले फ़ंक्शन के मामले में, एक निश्चित डोमेन में किसी फ़ंक्शन की भिन्नता इस डोमेन में इसकी निरंतरता को दर्शाती है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

आइए हम प्रमाण के बिना किसी फ़ंक्शन की भिन्नता के लिए पर्याप्त शर्त तैयार करें।

प्रमेय.यदि फ़ंक्शन जेड= एफ(एक्स, य) में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं

किसी दिए गए क्षेत्र में, तो यह इस क्षेत्र में भिन्न होता है और इसका अंतर सूत्र (7) द्वारा व्यक्त किया जाता है।

यह दिखाया जा सकता है कि, जैसे एक चर वाले फ़ंक्शन के मामले में, फ़ंक्शन का अंतर फ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य रैखिक भाग होता है, वैसे ही कई चर वाले फ़ंक्शन के मामले में, कुल अंतर होता है मुख्य, स्वतंत्र चर की वृद्धि के संबंध में रैखिक, फ़ंक्शन की कुल वृद्धि का हिस्सा।

दो चर वाले फ़ंक्शन के लिए, फ़ंक्शन की कुल वृद्धि का रूप होता है

(8)

जहां α और β तथा पर अतिसूक्ष्म हैं।

उच्चतर क्रम आंशिक व्युत्पन्न

आंशिक व्युत्पन्न और कार्य एफ(एक्स, य) स्वयं समान चर के कुछ कार्य हैं और बदले में, विभिन्न चर के संबंध में व्युत्पन्न हो सकते हैं, जिन्हें उच्च क्रम के आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है।