यादृच्छिक चर के विशिष्ट निरंतर वितरण। सतत यादृच्छिक चर के वितरण के समान और घातांकीय नियम

आइए अब हम एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण की ओर बढ़ते हैं जो अक्सर व्यवहार में उपयोग किया जाता है।

सतत आर.वी. एक्सबुलाया समान रूप से वितरितखंड पर [ ए, बी], यदि इस खंड पर इसकी संभाव्यता घनत्व स्थिर है, और इसके बाहर 0 के बराबर है (यानी एक यादृच्छिक चर एक्सखंड पर केंद्रित [ ए, बी], जिस पर इसका घनत्व स्थिर रहता है)। द्वारा यह परिभाषाघनत्व समान रूप से खंड पर वितरित [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सइसका रूप है:

कहाँ साथएक निश्चित संख्या है. हालाँकि, खंड पर केंद्रित यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता घनत्व की संपत्ति का उपयोग करना आसान है [ ए, बी]:
. यह इस प्रकार है कि
, कहाँ
. इसलिए, घनत्व खंड पर समान रूप से वितरित किया गया [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सइसका रूप है:

.

एन.एस.वी. के वितरण की एकरूपता का निर्णय करें। एक्सनिम्नलिखित विचारों से संभव है। एक सतत यादृच्छिक चर का अंतराल पर एक समान वितरण होता है [ ए, बी], यदि यह केवल इस खंड से मान लेता है, और इस खंड से किसी भी संख्या को इस यादृच्छिक चर का मान होने में सक्षम होने के अर्थ में इस खंड में अन्य संख्याओं पर लाभ नहीं होता है।

समान वितरण वाले यादृच्छिक चर में स्टॉप पर परिवहन के लिए प्रतीक्षा समय (निरंतर यातायात अंतराल के साथ, प्रतीक्षा अवधि इस अंतराल पर समान रूप से वितरित की जाती है), किसी संख्या को पूर्णांक में पूर्णांकित करने में त्रुटि (समान रूप से) जैसे मान शामिल होते हैं [−0.5 पर वितरित , 0.5 ]) और दूसरे।

वितरण समारोह का प्रकार एफ(एक्स) ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सज्ञात संभाव्यता घनत्व द्वारा खोजा गया एफ(एक्स) उनके कनेक्शन के लिए सूत्र का उपयोग करना
. संगत गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें वितरण फलन के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है एफ(एक्स) समान रूप से वितरित खंड [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स :

.

आंकड़े संभाव्यता घनत्व ग्राफ़ दिखाते हैं एफ(एक्स) और वितरण कार्य एफ(एक्स) समान रूप से वितरित खंड [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स :

समान रूप से वितरित खंड की अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन, मोड और माध्यिका [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्ससंभाव्यता घनत्व द्वारा गणना की गई एफ(एक्स) सामान्य तरीके से (और काफी सरलता से क्योंकि सरल प्रकार एफ(एक्स) ). परिणाम निम्नलिखित सूत्र है:

और फैशन डी(एक्स) अंतराल में कोई संख्या है [ ए, बी].

आइए हम एक समान रूप से वितरित खंड से टकराने की प्रायिकता ज्ञात करें [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सअंतराल में
, पूरी तरह से अंदर पड़ा हुआ [ ए, बी]. मानते हुए ज्ञात प्रजातियाँवितरण फ़ंक्शन, हमें मिलता है:

इस प्रकार, एक समान रूप से वितरित खंड से टकराने की संभावना [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सअंतराल में
, पूरी तरह से अंदर पड़ा हुआ [ ए, बी], इस अंतराल की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल इसकी लंबाई पर निर्भर करता है और इस लंबाई के सीधे आनुपातिक है।

उदाहरण. बस का अंतराल 10 मिनट है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बस स्टॉप पर आने वाला यात्री बस के लिए 3 मिनट से कम समय तक प्रतीक्षा करेगा? बस के लिए औसत प्रतीक्षा समय क्या है?

सामान्य वितरण

यह वितरण अक्सर व्यवहार में पाया जाता है और संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों और उनके अनुप्रयोगों में एक असाधारण भूमिका निभाता है, क्योंकि प्राकृतिक विज्ञान, अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान, समाजशास्त्र, सैन्य विज्ञान और इसी तरह के कई यादृच्छिक चर में ऐसा वितरण होता है। यह वितरण एक सीमित कानून है, जिसके करीब कई अन्य वितरण कानून भी आते हैं (कुछ प्राकृतिक परिस्थितियों में)। सामान्य वितरण कानून का उपयोग करते हुए, ऐसी घटनाएं जो किसी भी प्रकृति के कई स्वतंत्र यादृच्छिक कारकों और उनके वितरण के किसी भी कानून की कार्रवाई के अधीन हैं, का भी वर्णन किया गया है। आइए परिभाषाओं पर चलते हैं।

एक सतत यादृच्छिक चर को वितरित कहा जाता है सामान्य नियम (या गॉस का नियम), यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:

,

नंबर कहां हैं एऔर σ (σ>0 ) इस वितरण के पैरामीटर हैं।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, गॉस के यादृच्छिक चर के वितरण के नियम के कई अनुप्रयोग हैं। इस कानून के अनुसार, उपकरणों द्वारा माप त्रुटियां, शूटिंग के दौरान लक्ष्य के केंद्र से विचलन, निर्मित भागों के आयाम, लोगों का वजन और ऊंचाई, वार्षिक वर्षा, नवजात शिशुओं की संख्या और बहुत कुछ वितरित किया जाता है।

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व के लिए दिए गए सूत्र में, जैसा कि कहा गया था, दो पैरामीटर शामिल हैं एऔर σ , और इसलिए फ़ंक्शंस के एक परिवार को परिभाषित करता है जो इन मापदंडों के मूल्यों के आधार पर भिन्न होता है। यदि हम सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व के लिए कार्यों का अध्ययन करने और ग्राफ़ बनाने के गणितीय विश्लेषण के सामान्य तरीकों को लागू करते हैं, तो हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

इसके विभक्ति बिन्दु हैं।

प्राप्त जानकारी के आधार पर, हम एक संभाव्यता घनत्व ग्राफ बनाते हैं एफ(एक्स) सामान्य वितरण (इसे गॉसियन वक्र कहा जाता है - चित्र)।

आइए जानें कि बदलते पैरामीटर कैसे प्रभावित करते हैं एऔर σ गाऊसी वक्र के आकार के लिए. यह स्पष्ट है (इसे सामान्य वितरण घनत्व के सूत्र से देखा जा सकता है) कि पैरामीटर में बदलाव हुआ है एवक्र का आकार नहीं बदलता, बल्कि केवल अक्ष के अनुदिश दायीं या बायीं ओर खिसकता है एक्स. निर्भरता σ अधिक मुश्किल। उपरोक्त अध्ययन से यह स्पष्ट है कि अधिकतम का मान और विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक पैरामीटर पर कैसे निर्भर करते हैं σ . इसके अलावा, हमें किसी भी पैरामीटर के लिए इसे ध्यान में रखना चाहिए एऔर σ गॉसियन वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल 1 के बराबर रहता है (यह है सामान्य संपत्तिसंभावित गहराई)। ऊपर से यह इस प्रकार है कि बढ़ते पैरामीटर के साथ σ वक्र चपटा हो जाता है और अक्ष के अनुदिश खिंच जाता है एक्स. यह चित्र गाऊसी वक्र दिखाता है विभिन्न अर्थपैरामीटर σ (σ 1 < σ< σ 2 ) और समान पैरामीटर मान ए.

आइए मापदंडों का संभाव्य अर्थ जानें एऔर σ सामान्य वितरण। पहले से ही संख्या से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के सापेक्ष गाऊसी वक्र की समरूपता से एअक्ष पर एक्सयह स्पष्ट है कि औसत मूल्य (अर्थात् गणितीय अपेक्षा एम(एक्स)) सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के बराबर है ए. उन्हीं कारणों से, बहुलक और माध्यिका भी संख्या a के बराबर होनी चाहिए। उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करके सटीक गणना इसकी पुष्टि करती है। यदि हम उपरोक्त अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं एफ(एक्स) विचरण के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें
, फिर अभिन्न की (बल्कि जटिल) गणना के बाद हमें उत्तर में संख्या मिलती है σ 2 . इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के लिए एक्स, सामान्य कानून के अनुसार वितरित, निम्नलिखित मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं प्राप्त की गईं:

इसलिए, सामान्य वितरण के मापदंडों का संभाव्य अर्थ एऔर σ अगला। यदि आर.वी. एक्सएऔर σ ए σ.

आइए अब वितरण फलन ज्ञात करें एफ(एक्स) एक यादृच्छिक चर के लिए एक्स, संभाव्यता घनत्व के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति का उपयोग करके, सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है एफ(एक्स) और सूत्र
. प्रतिस्थापित करते समय एफ(एक्स) परिणाम एक "अप्रकाशित" अभिन्न अंग है। अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए कुछ भी किया जा सकता है एफ(एक्स), यह इस फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

,

कहाँ एफ(एक्स)− तथाकथित लाप्लास फ़ंक्शन, जिसका स्वरूप है

.

वह अभिन्न अंग जिसके माध्यम से लाप्लास फ़ंक्शन व्यक्त किया जाता है वह भी गैर-लिया गया है (लेकिन प्रत्येक के लिए)। एक्सइस अभिन्न की गणना लगभग किसी भी पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ की जा सकती है)। हालाँकि, इसकी गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक तालिका होती है एफ(एक्स)किसी दिए गए मूल्य पर एक्स. निम्नलिखित में हमें लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता संपत्ति की आवश्यकता होगी: Ф(−х)=−एफ(एक्स)सभी नंबरों के लिए एक्स.

आइए अब हम इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सामान्य रूप से वितरित आर.वी. एक्सनिर्दिष्ट संख्यात्मक अंतराल से एक मान लेगा (α, β) . वितरण फलन के सामान्य गुणों से Р(α< एक्स< β)= एफ(β) − एफ(α) . स्थानापन्न α और β के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति में एफ(एक्स) , हम पाते हैं

.

जैसा कि ऊपर कहा गया है, यदि आर.वी. एक्समापदंडों के साथ सामान्य रूप से वितरित एऔर σ , तो इसका औसत मूल्य है ए, और मानक विचलन के बराबर है σ. इसीलिए औसतइस आर.वी. के मूल्यों का विचलन जब संख्या से परीक्षण किया गया एके बराबर होती है σ. लेकिन यह औसत विचलन है. इसलिए, बड़े विचलन संभव हैं. आइए जानें कि औसत मूल्य से कुछ विचलन कितने संभव हैं। आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक यादृच्छिक चर का मान सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है एक्सइसके औसत मूल्य से विचलन एम(एक्स)=एएक निश्चित संख्या से कम δ, यानी आर(| एक्स− ए|<δ ): . इस प्रकार,

.

इस समानता में प्रतिस्थापित करना δ=3σ, हमें प्रायिकता प्राप्त होती है कि r.v. का मान एक्स(एक परीक्षण में) औसत मूल्य से तिगुने से भी कम मूल्य से विचलन होगा σ (औसत विचलन के साथ, जैसा कि हमें याद है, बराबर है σ ): (अर्थ एफ(3)लाप्लास फ़ंक्शन मानों की तालिका से लिया गया)। यह लगभग है 1 ! फिर विपरीत घटना की प्रायिकता (कि मान से कम से कम विचलन होगा 3σ) के बराबर है 1 −0.997=0.003 , जो बहुत करीब है 0 . इसलिए, यह घटना "लगभग असंभव" है − ऐसा बहुत कम होता है (औसतन)। 3 समय पूरा हुआ 1000 ). यह तर्क सुप्रसिद्ध "थ्री सिग्मा नियम" का तर्क है।

तीन सिग्मा नियम. सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक ही परीक्षण मेंव्यावहारिक रूप से इसके औसत से अधिक विचलन नहीं होता है 3σ.

आइए एक बार फिर इस बात पर जोर दें कि हम एक परीक्षण के बारे में बात कर रहे हैं। यदि किसी यादृच्छिक चर के कई परीक्षण हों तो यह बहुत संभव है कि उसके कुछ मान औसत से आगे बढ़ जायेंगे 3σ. इसकी पुष्टि निम्नलिखित से होती है

उदाहरण. क्या संभावना है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के 100 परीक्षणों में एक्सक्या इसका कम से कम एक मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक औसत से विचलित होगा? 1000 परीक्षणों के बारे में क्या?

समाधान। चलो घटना एइसका मतलब है कि जब एक यादृच्छिक चर का परीक्षण किया जाता है एक्सइसका मूल्य औसत से अधिक भटक गया 3σ.जैसा कि अभी स्पष्ट किया गया है, इस घटना की संभावना पी=पी(ए)=0.003.ऐसे 100 परीक्षण किये गये। हमें घटना की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है एघटित कम से कमसमय, यानी से आया 1 पहले 100 एक बार। यह मापदंडों के साथ एक विशिष्ट बर्नौली सर्किट समस्या है एन=100 (स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या), पी=0.003(घटना की संभावना एएक परीक्षण में) क्यू=1− पी=0.997 . ढूंढना होगा आर 100 (1≤ क≤100) . इस मामले में, निश्चित रूप से, पहले विपरीत घटना की संभावना का पता लगाना आसान है आर 100 (0) − संभावना है कि घटना एएक बार भी नहीं हुआ (अर्थात 0 बार हुआ)। घटना की संभावनाओं और उसके विपरीत के बीच संबंध को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इतना कम नहीं. ऐसा हो सकता है (औसतन परीक्षणों की हर चौथी श्रृंखला में ऐसा होता है)। पर 1000 समान योजना का उपयोग करके परीक्षण करने पर, यह प्राप्त किया जा सकता है कि कम से कम एक विचलन की संभावना इससे अधिक है 3σ, बराबर: . इसलिए हम बड़े विश्वास के साथ कम से कम एक ऐसे विचलन की उम्मीद कर सकते हैं।

उदाहरण. एक निश्चित आयु वर्ग के पुरुषों की ऊंचाई गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य रूप से वितरित की जाती है ए, और मानक विचलन σ . सूट का अनुपात क्या है ककिसी दिए गए आयु वर्ग के लिए कुल उत्पादन में वृद्धि को शामिल किया जाना चाहिए कवें विकास निम्नलिखित सीमाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1 ऊंचाई : 158 − 164 सेमी 2ऊंचाई : 164 − 170 सेमी 3ऊंचाई : 170 − 176 सेमी 4ऊंचाई : 176 − 182 सेमी

समाधान। आइए निम्नलिखित पैरामीटर मानों के साथ समस्या का समाधान करें: ए=178,σ=6,क=3 . चलो आर.वी. एक्स − बेतरतीब ढंग से चुने गए आदमी की ऊंचाई (इसे दिए गए मापदंडों के साथ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है)। आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति की आवश्यकता होगी 3 -वें ऊंचाई. लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करना एफ(एक्स)और इसके मूल्यों की एक तालिका: पी(170 इसलिए, कुल उत्पादन मात्रा में यह प्रदान करना आवश्यक है 0.2789*100%=27.89% सूट 3 -वें ऊंचाई.