Критическая сила по формуле эйлера. Длина стержня приведенная

Рассмотрим стержень постоянного сечения, оба конца которого закреплены шарнирно (рис. 12.3). Стержень сжимается критической силой. Рассматриваем малые перемещения сечений стержня. Задавшись прогибом оси стержня в определенном сечении, найдем величину осевой сжимающей силы, при которой такой прогиб возможен. Будем считать, что напряжения в стержне не превышает предела пропорциональности.

Рис. 12.3. Схема изгиба стержня критической силой F кр .

Начало координат поместим в точке О , ось z направлена вдоль оси стержня, ось y – влево от начала координат. Определим прогиб стержня в произвольном сечении z .

Воспользуемся приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня:

Определим изгибающий момент в произвольном сечении стержня:

Последнее выражение представляет собой однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Решение этого уравнения можно записать в виде гармонической функции:

у = A sinkz +B coskz .

Постоянные интегрирования А и В находятся из граничных условий:

при z = 0, у = 0, В = 0 и дифференциальное уравнение принимает следующий вид:

y = A sinkz .

Стержень изгибается по синусоиде.

При z = l, у = 0 A sinkl = 0.

Известно, что произведение двух сомножителей равно нулю, лишь в том случае, если один из сомножителей равен нулю. Разберем оба случая.

Пусть А = 0, то у(z) всегда равен нулю и прогиба вообще не существует. Это решение противоречит принятому предположению о том, что стержень прогнулся, т. е. А 0. Следовательно, должно выполняться условие sinkl = 0, откуда:

kl = 0, , 2 , 3 , …, n

где п – любое целое число.

Определим, какое значение п подходит к решению данной задачи. Рассмотрим условие

Из последнего выражения следует, что если k = 0, то F кр =0, т. е. стержень не нагружен, а это противоречит условию задачи. Следовательно, значение k = 0 можно исключить из решения. В общем случае имеем:

Приравняв F = F кр , получим выражение

где наименьшее значение сжимающей силы, при котором проис-

ходит продольный изгиб, поэтому следует принять п = 1.

Тогда уравнение для определения критической силы примет вид

Таким образом, стержень изгибается по синусоиде с одной полуволной.

При z = l /2 прогиб стержня имеет максимальное значение.

При n = 2 и n = 3 стержень изгибается по двум и трем полуволнам синусоиды соответственно (рис. 12.4, б, в).

Прогиб стержня в произвольном сечении под воздействием сжимающей силы можно определить по формуле

Потеря устойчивости стержня происходит в плоскостях наименьшей жесткости, т. е. J = J min , поэтому при определении критической силы следует учитывать наименьший осевой момент инерции сечения, тогда окончательно:

Таким образом, имеем формулу Эйлера (1744) для определения критической силы для стержня с двумя шарнирно закрепленными концами (основной случай).

Рис. 12.4. Схема изогнутой оси стержня при различных значениях n

Величина критической силы прямо пропорциональна наименьшей жесткости сечения и обратно пропорциональна квадрату длины стержня .

Как видно из формулы Эйлера, величина критической силы зависит от геометрических характеристик стержня и модуля упругости материала, но не зависит от прочностных характеристик материала.

Так, например, критическая сила F кр практически не зависит от марки стали.

Предельная растягивающая сила зависит от прочностных характеристик (в зависимости от марки стали она будет различной) и не зависит от длины стержня. Таким образом, можно утверждать, что имеется существенное различие между работой стержня на растяжение и сжатие.

Выше был рассмотрен так называемый основной случай закрепления концов сжатого стержня, когда оба конца стержня закреплены шарнирно. На практике применяются и другие способы закрепления концов стержня.

Рассмотрим, как влияют условия закрепления стержня на величину критической силы.

Второй случай : один конец стержня жестко защемлен, второй – свободен (рис. 12.5, а).

Рис. 12.5. Схема закрепления стержня по второму случаю

При потере устойчивости верхний конец стержня отклонится на некоторую величину и повернется, нижний защемленный конец останется вертикальным. Изогнутая ось получится такая же, как для одной половины стержня первого случая (рис. 12.5, б).

Для получения полного соответствия с первым случаем продолжим мысленно изогнутую ось стержня вниз. Тогда форма потери устойчивости будет полностью совпадать с первым случаем. Отсюда можно сделать вывод, что критическая сила для этого случая будет такая же, как и для пропорционально закрепленного по концам стержня длиной 2 м. Тогда

Третий случай: оба конца стержня жестко закреплены (рис. 12.6).

После потери устойчивости концы стержня не поворачиваются. Средняя часть стержня длиной l /2 вследствие симметрии будет работать в таких же условиях, что и стержень с шарнирно опертыми концами, но длиной l . Тогда, исходя из формулы, получим:

Рис. 12.6. Схема закрепления стержня

по третьему случаю

Четвертый случай: один конец стержня жестко защемлен, а другой – закреплен шарнирно. В этом случае верхняя часть стержня длиной приблизительно 2l /3 имеет вид полуволны синусоиды и находится в таких же условиях, что и стержень с шарнирными опорами на концах (рис. 12.7).

Рис. 12.7. Схема закрепления стержня

по четвертому случаю

Анализируя последние выражения для определения критической силы, приходим к выводу, что чем более жестко закреплены концы стержня, тем большую нагрузку данный стержень может воспринимать.

Поэтому зависимости для определения критической силы при различных условиях закрепления стержня можно объединить в одну формулу:

где приведенная длина стержня;

Коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа

закрепления концов стержня;

Фактическая длина стержня.

Понятие о приведенной длине стержня впервые было введено профессором Петербургского института путей сообщения Ф. С. Ясинским в 1892 году.

Необходимо также отметить, что при составлении формул для определения критических сил в стержнях с различными условиями закрепления по концам использовалась аналогия в формах потери устойчивости отдельных их участков.

Однако эти решения можно получить также строго математически. Для этого необходимо записать для каждого случая дифференциальное уравнение упругой линии стержня при потере устойчивости и решить его с использованием граничных условий.

Коэффициент продольной длины стержня в зависимости от условий его закрепления представлен на рис. 12.8.

Рис.12.8. Коэффициент приведения длины для различных случаев

закрепления концов стержня

Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена . Эйлер вывел расчетную формулу для критической силы и показал, что ее величина существенно зависит от способа закрепления стержня. Идея метода Эйлера заключается в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и смежная (т.е. сколь угодно близкая к исходной) криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке.

Предположим, что шарнирно закрепленный по концам прямой стержень, сжатый силой P = P k , был выведен некоторой горизонтальной силой из состояния прямолинейного равновесия и остался изогнутым после устранения горизонтальной силы (рис. 13.4). Если прогибы стержня малы, то приближенное дифференциальное уравнение его оси будет иметь такой же вид, как и при поперечном изгибе бруса:

Совмещая начало координат с центром нижнего сечения, направим ось у в сторону прогибов стержня, а ось х - по оси стержня.

В теории продольного изгиба принято сжимающую силу считать положительной. Поэтому, определяя изгибающий момент в текущем сечении рассматриваемого стержня, получаем

Но, как следует из рис. 13.4, при выбранном направлении осей у // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси у на противоположное, то одновременно изменятся знаки у и у // и знак минус в правой части уравнения (13.2) сохранится.

Следовательно, уравнение упругой линии стержня имеет вид

.

Полагая α 2 =Рк /EI , получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

,

общий интеграл которого

Здесь A и B - постоянные интегрирования, определяемые из условий закрепления стержня, так называемых граничных или краевых условий.

Горизонтальное смещение нижнего конца стержня, как видно из рис. 13.4, равно нулю, т. е. при х =0 прогиб у =0. Это условие будет выполнено, если B =0. Следовательно, изогнутая ось стержня является синусоидой

.

Горизонтальное смещение верхнего конца стержня также равно нулю, поэтому

.

Константа A , представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна нулю, так как при A =0 возможна только прямолинейная форма равновесия, а мы ищем условие, при котором возможна и криволинейная форма равновесия. Поэтому должно быть sin α l =0. Отсюда следует, что криволинейные формы равновесия стержня могут существовать, если α l принимает значения π ,2π ,.n π . Величина α l не может быть равна нулю, так как это решение соответствует случаю

Приравнивая α l = n π и подставляя

получаем

.

Выражение (13.5) называется формулой Эйлера . По ней можно вычислить критическую силу Рк при выпучивании стержня в одной из двух главных его плоскостей, так как только при этом условии справедливо уравнение (13.2), а следовательно и формула (13.5).

Выпучивание стержня происходит в сторону наименьшей жесткости, если нет специальных устройств, препятствующих изгибу стержня в этом направлении. Поэтому в формулу Эйлера надо подставлять I min - меньшей из главных центральных моментов инерции поперечного сечения стержня.

Величина наибольшего прогиба стержня A в приведенном решении остается неопределенной, она принята произвольной, но предполагается малой.

Величина критической силы, определяемая формулой (13.5), зависит от коэффициента n . Выясним геометрический смысл этого коэффициента.

Выше мы установили, что изогнутая ось стержня является синусоидой, уравнение которой после подстановки α =π n /l в выражение (13.4) принимает вид

.

Синусоиды для n =1, n =2 изображены на рис. 13.5. Нетрудно заметить, что величина n представляет собой число полуволн синусоиды, по которой изогнется стержень. Очевидно, стержень всегда изогнется по наименьшему числу полуволн, допускаемому его опорными устройствами, так как согласно (13.5) наименьшему n соответствует наименьшая критическая сила. Только эта первая критическая сила и имеет реальный физический смысл.

Например, стержень с шарнирно опертыми концами изогнется, как только будет достигнуто наименьшее значение критической силы, соответствующее n =1, так как опорные устройства этого стержня допускают изгиб его по одной полуволне синусоиды. Критические силы, соответствующие n =2, n =3, и более, могут быть достигнуты только при наличии промежуточных опор (рис. 13.6). Для стержня с шарнирными концевыми опорами без промежуточных закреплений реальный смысл имеет первая критическая сила

.

Формула (13.5), как следует из ее вывода, справедлива не только для стержня с шарнирно закрепленными концами, но и для любого стержня, который изогнется при выпучивании по целому числу полуволн. Применим эту формулу, например, при определении критической силы для стержня, опорные устройства которого допускают только продольные смещения его концов (стойка с заделанными концами). Как видно из рисунка 13.7, число полуволн изогнутой оси в этом случае n =2 и, следовательно, критическая сила для стержня при данных опорных устройствах

.

Предположим, что стойка с одним защемленным и другим свободным концом (рис. 13.8) сжата силой Р .

Если сила P = P k , то кроме прямолинейной может существовать также и криволинейная форма равновесия стойки (пунктир на рис. 13.8).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стойки в изображенной на рис. 13.8 системе координатных осей имеет прежний вид.

Общее решение этого уравнения:

Подчиняя это решение очевидным граничным условиям: y =0 при x =0 и y / =0 при x = l , получаем B =0, A α cos α l = 0.

Мы предположили, что стойка изогнута, поэтому величина A не может быть равна нулю. Следовательно, cos α l = 0. Наименьший отличный от нуля, корень этого уравнения α l = π /2 определяет первую критическую силу

,

которой соответствует изгиб стержня по синусоиде

.

Значениям α l =3π /2, α l =5π /2 и т.д, как было показано выше, соответствуют большие величины P k и более сложные формы изогнутой оси стойки, которые могут практически существовать лишь при наличии промежуточных опор.

В качестве второго примера рассмотрим стойку с одним защемленным и вторым шарнирно опертым концом (рис. 13.9). Вследствие искривления оси стержня при P = P k со стороны шарнирной опоры возникает горизонтальная реактивная сила R . Поэтому изгибающий момент в текущем сечении стержня

.α :

Наименьший корень этого уравнения определяет первую критическую силу. Это уравнение решается методом подбора. Нетрудно поверить, что наименьший, отличный от нуля, корень этого уравнения α l = 4.493=1.43 π .

Принимая α l = 1.43 π , получаем следующее выражение для критической силы:

Здесь μ =1/n - величина, обратная числу полуволн n синусоиды, по которой изогнется стержень. Постоянная μ называется коэффициентом приведения длины, а произведение μ l - приведенной длиной стержня. Приведенная длина есть длина полуволны синусоиды, по которой изгибается этот стержень.

Случай шарнирного закрепления концов стержня называется основным. Из сказанного выше следует, что критическая сила для любого случая закрепления стержня может быть вычислена по формуле для основного случая при замене в ней действительной длины стержня его приведенной длиной μ l .

Коэффициенты приведения μ для некоторых стоек даны на рис. 17.10.

Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

(1)

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у - отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение , так как величина критической силы нам неизвестна.

Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:

в точке А при х = 0 прогиб у = 0,

В х = 1 у = 0.

Из первого условия следует (так как и cos kx =1)

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением

(2)

Применяя второе условие, подставляем в это уравнение

у = 0 и х = l

получаем:

Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.

Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина может иметь следующий бесконечный ряд значений:

где - любое целое число.

Отсюда , а так как то

Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять .

Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение . Тогда получаем выражение для критической силы:

Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).

Рис.1

Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Значит, а - это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F ; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда будет равно

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

Определим критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по концам (рис. 13.4). При небольших значениях силы Р ось стержня остается прямой и в его сечениях возникают напряжения центрального сжатия о = P/F. При критическом значении силы Р = Р становится воз- можной искривленная форма равновесия стержня.

Возникает продольный изгиб. Изгибающий момент в произвольном сечении х стержня равен

Важно заметить, что изгибающий момент определяется для деформированного состояния стержня.

Если предположить, что напряжения изгиба, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы, не превосходят предел пропорциональности материала о пц и прогибы стержня малы, то можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня (см. § 9.2)

Введя обозначение

получим вместо (13.2) следующее уравнение:

Общее решение этого уравнения имеет вид

Это решение содержит три неизвестных: постоянные интегрирования Cj, С 2 и параметр к, так как величина критической силы также неизвестна. Для определения этих трех величин имеются только два граничных условия: и(0) = 0, v(l ) = 0. Из первого граничного условия следует, что С 2 = 0, а из второго получим

Из этого равенства следует, что либо С { = 0, либо sin kl = 0. В случае С, = 0 прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае kl = пк, где п - произвольное целое число. С учетом этого по формулам (13.3) и (13.5) получим

Рассмотренная задача является задачей на собственные значения. Найденные числа к = пк/1 называются собственными числами, а соответствующие им функции - собственными функциями.

Как видно из (13.7), в зависимости от числа п сжимающая сила Р (я) , при которой стержень находится в изогнутом состоянии, теоретически может принимать целый ряд значений. При этом согласно (13.8) стержень изгибается по п полуволнам синусоиды (рис. 13.5).

Наименьшее значение силы будет при п = 1:

Эта сила носит название первой критической силы. При этом kl = к и изогнутая ось стержня представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 13.5, а):

где С{ 1} =/ - прогиб в середине длины стержня, что следует из (13.8) при п = 1 их = 1/2.

Формула (13.9) была получена Леонардом Эйлером и называется формулой Эйлера для критической силы.

Все формы равновесия (рис. 13.5), кроме первой (п = 1), неустойчивы и потому не представляют практического интереса. Формы равновесия, соответствующие п - 2, 3, ..., будут устойчивыми, если в точках перегиба упругой линии (точки С и С" на рис. 13.5, б, в) ввести дополнительные шарнирные опоры.

Полученное решение обладает двумя особенностями. Во-первых, решение (13.10) не является единственным, так как произвольная постоянная Cj (1) =/ осталась неопределенной, несмотря на использование всех граничных условий. В результате прогибы оказались определены с точностью до постоянного множителя. Во- вторых, это решение не дает возможности описать состояние стержня при Р > Р кр. Из (13.6) следует, что при Р = Р кр стержень может иметь искривленную форму равновесия при условии kl = к. Если же Р > Р кр, то kl Ф п, и тогда должно быть Cj (1) = 0. Это означает, что v = 0, то есть стержень после искривления при Р = Р кр вновь приобретает прямолинейную форму при Р > Р. Очевидно, что это противоречит физическим представлениям об изгибе стержня.

Эти особенности связаны с тем, что выражение (13.1) для изгибающего момента и дифференциальное уравнение (13.2) получены для деформированного состояния стержня, в то время как при постановке граничного условия на конце х = / осевое перемещение и в этого конца (рис. 13.6) вследствие изгиба не учитывалось. Действительно, если пренебречь укорочением стержня за счет центрального сжатия, то нетрудно представить, что прогибы стержня будут иметь вполне определенные значения, если задать величину и в.

Из этого рассуждения становится очевидным, что для определения зависимости прогибов от величины сжимающей силы Р необходимо вместо граничного условия v(l) = 0 использовать уточненное граничное условие v(l - и в) = 0. При этом установлено, что если сила превосходит критическое значение всего на 1+2%, прогибы становятся достаточно большими и необходимо пользоваться точным нелинейным дифференциальным уравнением продольного изгиба

Это уравнение отличается от приближенного уравнения (13.4) первым слагаемым, представляющим собой точное выражение для кривизны изогнутой оси стержня (см. § 9.2).

Решение уравнения (13.11) достаточно сложно и выражается через полный эллиптический интеграл первого рода.

Лекция №23

Тема: «УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ»

Вопросы:

2.

3.

1. Понятие об устойчивости и критической силе

Несущая способность сжатого стержня может оказаться исчерпанной вследствие потери устойчивости, т.е. в результате выпучивания, которое происходит раньше, чем стержень выйдет из строя непосредственно от сжатия.

При малой сжимающей силе, меньшей некоторого критического значения , сжатый стержень находится в устойчивой форме равновесия. Если его вывести из состояния равновесия незначительной горизонтальной силой, а затем эту силу убрать, то он распрямится.

Вторая форма равновесия соответствует случаю, когда
.

При
прямолинейная форма сжатого стержня неустойчива и если вывести его из состояния равновесия, а затем убрать боковую нагрузку, то он полностью не распрямится, т.е. у него будет криволинейная форма равновесия. Такой стержень теряет устойчивость.

Потеря устойчивости весьма опасна с точки зрения прочности стержня и всей конструкции в целом. Незначительные повышения нагрузки вызывают значительные перемещения точек, т.е. изгиб стержня. В результате возникает изгибающий момент и связанные с ним нормальные напряжения. Это может привести к дальнейшему изгибу и разрушению стержня. Изгиб стержня от сжимающей силы называется продольным изгибом. Продольный изгиб может уменьшать несущую способность стержня в десятки раз.

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при малом возрастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузки связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба, которые в свою очередь приводят к ускорению деформаций и часто к разрушению стержня.

Для тонких (гибких) стержней потеря устойчивости часто наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, не являющихся опасными с точки зрения прочности самого материала.

Критическая сила – это наименьшее значение сжимающей силы, при которой стержень теряет устойчивую форму равновесия.

По определению Эйлера, критической силой называется сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны.

Потеря устойчивости зачастую является главной причиной катастроф и аварий конструкций.

2. Формула Эйлера для критической силы

Рассмотрим сжатый стержень в критическом состоянии, т.е. когда он слегка прогнулся (см. рис. 1). В произвольном сечении взятом на расстоянии z от левого конца стержня, изгибающий момент от критической силы
равен:

,

где – прогиб стержня.

Знак «минус» взят потому, что стержень изгибается концами вниз. Если бы стержень прогнулся дугой вниз, то момент был бы положительным, но прогиб – отрицательный, и произведение
было бы, все равно, со знаком «минус».

Рис. 1

Согласно формуле
запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

(1)

При сжатии стержня вдоль оси, он всегда изгибается относительно той оси, момент инерции относительно которой минимальный. В этом можно убедиться, сжимая линейку. Поэтому в формуле (1) берем минимальный осевой момент инерции сечения. Преобразуем уравнение (1):

;

Обозначив:

(2)

(3)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид:

Для определения произвольных постоянных А и В используем граничные условия.

При z=0; у=0;

Уравнение примет вид:

. (5)

Как видно из уравнения (5), стержень изогнется по синусоиде.

Второе граничное условие:

При z=l ; у=0;

Это условие выполняется в двух случаях:

1)
2)

Первый случай отбрасываем, так как при нем прогибы всех точек равны нулю, т.е. стержень остается прямым.

При втором случае:

Возьмем общий случай:

Возведем в квадрат обе части уравнения:

Вместо подставим его значение из формулы (2):

Принимая
,
и т.д., получим последовательный ряд значений
, которым соответствуют различные искривленные формы равновесия стержня. С точки зрения расчета на устойчивость нас интересует лишь наименьшее значение критической силы, так как уже при этом значении силы стержень теряет устойчивость. Поэтому
и формула принимает вид:

(6)

Критическая сила зависит от способа закрепления концов стержня, поэтому вводится коэффициент – коэффициент приведенной длины (не путать с коэффициентом поперечной деформации). В общем случае формула Эйлера примет вид:

(7)

Значения коэффициента даны на рис. 2

Рис. 2

3. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Формула Эйлера выведена на основании дифференциального уравнения изогнутой оси стержня, которое основано на законе Гука. Закон Гука применим до тех пор, пока напряжение не превысит предела пропорциональности .

При сжатии стержня напряжения определяют по формуле
. Поэтому:

; (8)

или подставив значение
из формулы (7), получим:

;

Из формулы
следует:

,

где
– минимальный радиус инерции сечения.

;

Обозначим:

; (9)

где – гибкость стержня, величина безразмерная.

;

. (10)

Формула (10) позволяет определить значение гибкости стержня, до которого применима формула Эйлера. Например, для стали Ст. 3:
;
.

.

Следовательно, если гибкость равна или больше 100, то формулу Эйлера можно применять, если же меньше то нет.

Если гибкость стержня меньше, чем величина, определяемая по формуле (10), то пользуются формулой Ясинского:

(11)

где а и b – постоянные, зависящие от материала.

При гибкостях до 40 стержни рассчитывают только на прочность.

4. Рациональные формы сечений сжатых стержней

При заданных нагрузке, длине стержня, допускаемом напряжении форма и размеры поперечного сечения сжатого стержня характеризуются величиной радиуса инерции

.

Радиус инерции i – величина размерная. Для сравнения различных сечений между собой более удобной является безразмерная величина следующего вида:

(12)

которую называют удельным радиусом инерции.

В табл. 1 приведены значения
для некоторых, наиболее распространенных сечений.

Таблица 1

Как видим, наименее выгодными являются прямоугольные сплошные сечения, у которых моменты инерции относительно главных осей не равны между собой и, следовательно, не соблюдается принцип равной устойчивости стержня в обеих главных плоскостях инерции.

Наиболее выгодными являются кольцевые, а также коробчатые тонкостенные сечения. Подсчеты показывают, что замена сжатых сечений в виде уголков и двутавров трубчатыми стержнями дает экономию материала до 20-40%.