По направлению скорости. Определение скорости любой точки плоской фигуры Определение скоростей точек плоской фигуры
Движение плоской фигуры слагается из поступательного движения, когда все точки фигуры движутся со скоростью полюсаА , и из вращательного движения вокруг этого полюса (рис. 3.4). Скорость любой точкиМ фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
Рисунок 3.4
Действительно, положение точки М
по отношению к осямОх
y
определяется радиусом – вектором,
где
- радиус-вектор полюсаА
,
=
-
радиус-вектор, определяющий положение
точкиМ
относительно
,
перемещающихся вместе с полюсомА
поступательно. Тогда
.
есть скорость полюсаА
,
равна скорости
,
которую точкаМ
получает при
,
т.е. относительно осей
,
или, иначе, при вращении фигуры вокруг
полюсаА
. Таким образом следует, что
где ω – угловая скорость фигуры.
Рисунок 3.5
Таким образом, скорость любой точки
М плоской фигуры геометрически
складывается из скорости какой-нибудь
другой точки А, принятой за полюс, и
скорости, которую точка М получает при
вращении фигуры вокруг этого полюса.
Модуль и направление скоростинаходятся построением соответствующего
параллелограмма (рис. 3.5).
10.3. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Одним из простых способов определения скоростей точек плоской фигуры (или тела движущегося плоскопараллельно) является теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
Рисунок 3.6
Рассмотрим какие-нибудь две точки А
иВ
плоской фигуры (или тела) (рис.3.6).
Принимая точкуА
за полюс получаем,
что.
Отсюда, проектируя обе части равенства
на ось, направленную поАВ
, и учитывая,
что вектор
перпендикуляренАВ
, находим
|
и теорема доказана. Заметим, что этот
результат ясен и из чисто физических
соображений: если равенство
не будет выполняться, то при движении
расстояние между точкамиА
иВ
должно изменяться, что невозможно –
тело абсолютно твердое. Поэтому это
равенство выполняется не только при
плоскопараллельном, но и при любом
движении твердого тела.
10.4. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей
Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.
Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Если фигура движется непоступательно,
то такая точка в каждый момент времени
t
существует и притом
единственная. Пусть в момент времениt
точкиА
иВ
плоскости фигуры
имеют скоростии
,
непараллельные друг другу (рис. 3.7.).
Тогда точкаР
, лежащая на пересечении
перпендикуляровАа
к вектору
иВ
b
к вектору
,
и будет мгновенным центром скоростей,
так как
.
Рисунок 3.7
В самом деле, если
,
то по теореме о проекциях скоростей
вектор
должен
быть одновременно перпендикулярен иАР
(так как
),
иВР
(так как
),
что невозможно. Из этой же теоремы видно,
что никакая другая точка фигуры в этот
момент времени не может иметь скорость,
равную нулю.
Если теперь в момент времени t взять точкуР за полюс. То скорость точкиА будет
,
так как
=0.
Такой же результат получается для любой
другой точки фигуры. Тогда,скорости
точек плоской фигуры определяются в
данный момент времени так, как если бы
движение фигуры было вращением вокруг
мгновенного центра скоростей.
При
этом
|
и так для любой точки фигуры.
Из этого следует еще, что
и
,
тогда
|
т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоянию от мгновенного центра скоростей.
Полученные результаты приводят к следующим выводам:
1. Для определения мгновенного центра
скоростей надо знать только направления
скоростей, например,
и
каких-нибудь двух точек А и В плоской
фигуры.
2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой её точки В.
3. Угловая скорость
плоской фигуры равна в каждой момент
времени отношению скорости какой-нибудь
точки фигуры к её расстоянию от мгновенного
центра скоростей Р:
|
Найдем, еще другое выражение для ω
из равенстви
следует,
что
и
,
откуда
|
Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС, которые помогут решать теоретической механики.
1. Если плоскопараллельное движение
осуществляется путем качения без
скольжения одного цилиндрического тела
по поверхности другого неподвижного,
то точка Р
катящегося тела, касающаяся
неподвижной поверхности (рис. 3.8), имеет
в данный момент времени вследствие
отсутствия скольжения скорость, равную
нулю (),
и следовательно, является мгновенным
центром скоростей.
Рисунок 3.8
2. Если скорости точек А
иВ
плоской фигуры параллельны друг другу,
причем линияАВ
не перпендикулярна(рис.3.9,а), то мгновенный центр скоростей
лежит в бесконечности и скорости всех
точек //
.
При этом из теоремы о проекциях скоростей
следует, что
,
т.е.
,
в этом случае фигура имеет мгновенное
поступательное движение.
3. Если скорости точек А
иВ
плоской фигуры // друг другу и при этом
линияАВ
перпендикулярна,
то мгновенный центр скоростейР
определяется построением (рис. 3.9,б).
Рисунок 3.9
Справедливость построений следует из
.
В этом случае, в отличие от предыдущих,
для нахождения центраР
надо кроме
направлений знать еще и модули скоростей
и
.
4. Если известны вектор скорости
какой-нибудь точкиВ
фигуры и её
угловая скоростьω
, то положение
мгновенного центра скоростейР
,
лежащего на перпендикуляре к
(см. рис. ?), можно найти из равенства
,
которое дает
.
Скорость произвольной точки М фигуры определим как сумма скоростей, которые точка получает при поступательном движении вместе с полюсом и вращательном движении вокруг полюса.
Представим положение точки М как (рис.1.6).
Продифференцировав это выражение по времени получим:
, т.к.
.
При этом скорость v MA . которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А , будет определяться из выражения
v MA =ω ·MA ,
где ω - угловая скорость плоской фигуры.
Скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости точки А , принятой за полюс, и скорости, точки М при вращении фигуры вокруг полюса. Модуль и направление скорости этой скорости находятся построением параллелограмма скоростей.
Задача 1
Определить скорость точки А,
если скорость центра катка равна 5м/с, угловая скорость катка . Радиус катка r=0,2м,
угол . Каток катиться без скольжения.
Так как тело совершает плоскопараллельное движение, то скорость точки А будет состоять из скорости полюса (точка С ) и скорости полученной точкой А при вращении вокруг полюса С .
,
Ответ:
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела, движущего плоскопараллельно
Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры. Принимая точку А за полюс (рис.1.7), получаем
.
Отсюда, проецируя обе части равенства на ось, направленную по АВ , и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ , находим
v B ·cosβ =v A ·cosα+ v В A ·cos90° .
т.к. v В A ·cos90°=0 получаем: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны.
Задача 1
Стержень АВ скользит по гладкой стене вниз и гладкому полу, скорость точки A V A =5м/с, угол между полом и стержнем АВ равен 30 0 . Определить скорость точки В.
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей
При определении скоростей точек плоской фигуры через скорость полюса, скорость полюса и скорость вращательного движения вокруг полюса могут быть равны по величине и противоположны по направлению и существует такая точка Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю , называют ее мгновенным центром скоростей.
Мгновенным центром скоростей называется точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было мгновенно вращательным вокруг оси проходящей через мгновенный центр скоростей (рис. 1.8).
v A =ω ·PA ; ().
Т.к. v B =ω ·PB ; (), то w= v B /PB =v A /PA
Скорости точек плоской фигуры пропорциональны кратчайшим расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей.
Полученные результаты приводят к следующим выводам:
1) для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать величину и направления скорости и направление скорости каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры; мгновенный центр скоростей P находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек;
2) угловая скорость ω плоской фигуры в данный момент времени равна отношению скорости к расстоянию от нее до мгновенного центра Р скоростей: ω =v А /PА ;
3) Скорость точки по отношению к мгновенному центру скоростей P укажет направление угловой скорости w.
4) Величина скорости точки прямопропорциональна кратчайшему расстоянию от точки В к мгновенному центру скоростей Р v А = ω·ВР
Задача 1
Кривошип ОА длиной 0,2м вращается равномерно с угловой скоростью ω=8 рад/с . К шатуну АВ в точке С шарнирно прикреплен шатун CD. Для заданного положения механизма определить скорость точки D ползуна, если угол .
Движение точки В ограничено горизонтальными направляющими, ползун может совершать только поступательное движение по горизонтальным направляющим. Скорость точки В направлена в туже сторону что и . Так как две точки шатуна имеют одинаковое направление скоростей, то тело совершает мгновенно поступательное движение, и скорости всех точек шатуна имеют одинаковое направление и значение.
5)Поступательное движение. Примеры.
Определение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.
Уравнение вращательного движения.
– такое движение, при котором все его точки движутся в плоскостях, перпендикулярных некоторой неподвижной прямой, и описывают окружности с центрами, лежащими на этой прямой, называемой осью вращения.
Движение задается законом изменения двугранного угла φ (угла поворота), образованного неподвижной плоскостью P, проходящей через ось вращения, и плоскостью Q, жестко связанной с телом:
Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота.
Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости.
Определение скорости любой точки плоской фигуры.
1 способ определения скоростей – через векторы. Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса. Таким образом, скорость точки B равна геометрической сумме скорости полюса A и вращательной скорости точки B вокруг полюса:
2 способ определения скоростей – через проекции. (теорема о проекциях скоростей) Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки равны.
3)Формулы вычисления скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения.
Вектор скорости; - Проекция скорости на касательную;
Составляющие вектора ускорения; -проекции ускорения на оси t и n;
Таким образом полное ускорение точки есть векторная сумма двух ускорений:
касательного, направленного по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой координаты, если (в противном случае – в противоположную) и
нормального ускорения, направленного по нормали к касательной в сторону центра кривизны (вогнутости траектории): Модуль полного ускорения:
4) Формулы вычисления скорости и ускорения точки при координатном способе задания её движения в декартовых координатах.
Составляющие вектора скорости: -Проекции скорости на оси координат:
-составляющие вектора ускорения; -проекции ускорения на оси коодинат;
5)Поступательное движение. Примеры.
(ползун, поршень насоса, спарник колес паровоза, движущегося по прямолинейному пути, кабина лифта, дверь купе, кабина колеса обозрения).- это такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе. Обычно поступательное движение отождествляется с прямолинейным движением его точек, однако это не так. Точки и само тело (центр масс тела) могут двигаться по криволинейным траекториям, см. например, движение кабины колеса обозрения. Другими словами - это движение без поворотов.
Напомним, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.
В соответствии с этим скорость произвольной точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса, т. е.
При этом скорость V MA определяется как скорость точки М при вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости движения (см. § 7.2), т. е.
Таким образом, если известны скорость полюса V А и угловая скорость тела со, то
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
скорость любой точки М тела определяется в соответствии с равенством (8.2), диагональю параллелсгграмма, построенного на векторах V A и V MA , как на сторонах (рис. 8.3), а модуль скорости V M вычисляется по формуле
где у - угол между векторами V A и V MA
Задача 8.1. Колесо катится по неподвижной поверхности без скольжения (рис. 8.4, а). Найти скорость точек К и D колеса, если известны скорость V c центра С колеса, радиус R колеса, расстояние КС = b и угол а.
Решение. 1. Рассматриваемое движение колеса является плоскопараллельным. Приняв точку С за полюс (так как ее скорость известна), в соответствии с общим равенством (8.2), для точки К можем записать
Однако нет возможности определить значение V KC , так как неизвестна угловая скорость со.
Для определения со рассмотрим скорость другой точки, а именно точки Р касания колеса о неподвижную поверхность (рис. 8.4, б). Для этой точки можно написать равенство
Особенностью точки Р является то обстоятельство, что в данный момент времени V p - 0, так как колесо катится без скольжения. Тогда равенство (б) принимает вид
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
откуда получим
Отсюда следует: 1) векторы скоростей V PC и V c должны быть направлены в противоположные стороны; 2) из равенства модулей V PC - V c получаем ыРС= V c , отсюда найдем со = V c /PC= V c /R. В соответствии с направлением вектора V PC определяем направление дуговой стрелки со и показываем ее на чертеже (рис. 8.4, б).
Теперь возвращаемся к определению V K по равенству (а). Находим
Vкс = о КС - V^b/R. Зная направление угловой скорости со, изображаем вектор V KC перпендикулярно отрезку КС и выполняем построение параллелограмма на векторах V c и V KC (рис. 8.4, в). Так как в данном случае V c и V KC взаимно перпендикулярны, окончательно находим
2. Скорость точки D
на ободе колеса определим из равенства V D
= V C + V DC .
Так как численно V DC -
соR - V c ,
то параллелограмм, построенный на векторах V c
и V DC ,
будет ромбом. Угол между V c
и V DC
равен 2а. Определив V D
как длину соответствующей диагонали ромба, получим
Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела
Согласно равенству (8.2) для двух_ произвольных точек А и В твердого тела справедливо равенство V B =V A +V BA , в соответствии с которым выполним построение, показанное на рис. 8.5. Проецируя это равенство на ось Az, направленную по А В, получим Ум + V BAz . Учитывая, что вектор V BA перпендикулярен прямой
А В, находим
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Этот результат и выражает теорему: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Отметим, что равенство (8.5) математически отражает то обстоятельство, что тело рассматривается как абсолютно твердое и расстояние между точками А и В не изменяется. Поэтому равенство (8.5) выполняется не только при плоскопараллельном, но и при любом движении твердого тела.
Задача 8.2. Ползуны А и В, соединенные стержнем с шарнирами на концах, перемешаются по взаимно перпендикулярным направляющим в плоскости чертежа (рис. 8.6, а). Определить при данном угле а скорость точки В, если известна скорость V A .
Решение. Проведем ось х через точки А и В. Зная направление V A ,
находим проекцию этого вектора на прямую АВ: V Ax - V A cos а (на рис. 8.6, б это будет отрезок Аа). Далее на чертеже от точки В откладываем ВЬ - Аа (так как отрезок Аа расположен на оси х вправо от точки А, то и отрезок ВЬ откладываем от точки В по оси х вправо). Восставляя в точке Ь перпендикуляр к прямой АВ, находим точку конца вектора V B .
Согласно теореме о проекциях V A cos а = K^cosp. Отсюда (учтя, что Р = 90° - а) окончательно получим V B = V A cos a/cos(90° - a) или V B = = V A ctg a.
Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей
Для определения скоростей точек плоской фигуры выберем в качестве полюса какую-либо точку Р. Тогда, согласно формуле
(8.2), скорость произвольной точки М определяется как сумма двух векторов:
Если бы скорость полюса Р в данный момент времени была равна нулю, то правая часть этого равенства была бы представлена одним слагаемым У МР и скорость любой точки определялась бы как скорость точки М тела при вращении его вокруг неподвижного полюса Р.
Следовательно, если выбрать в качестве полюса точку Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, то модули скоростей всех точек фигуры будут пропорциональны их расстояниям до полюса Р, а направления векторов скоростей всех точек будут перпендикулярны прямым, соединяющим рассматриваемую точку и полюс Р. Естественно, что расчет по формулам (8.6) значительно проще расчета по общей формуле (8.2).
Точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени существует и при том единственная. Отметим, что мгновенный центр скоростей может быть расположен как на самой фигуре, так и на ее мысленном продолжении.
Рассмотрим способы определения положения мгновенного центра скоростей.
1. Пусть в момент времени t jum плоской фигуры известны ее угловая скорость со и скорость V A какой-нибудь ее точки А (рис. 8.7, а). Тогда, выбирая точку А в качестве полюса,_скорость_иско- мой нами точки Р можно определить по формуле V p = V A + Vp A -
Задача состоит в том^чтобы найти такую точку Р, у которой V P =0, значит, для нее V A +У РЛ =0 и отсюда У РА = -У А. Следовательно, для точки Р скорость У РА, которую точка Р получает при вращении фигуры вокруг полюса А, и скорость У А полюса А равны по модулю (У РА = У А) или озАР= У А и противоположны по направлению. Кроме того, точка Р должна лежать на перпендикуляре к вектору У А. Определение положения точки Р осуществляется таким построением: из точки А (рис. 8.7, б) восставим перпендикуляр к вектору У А и отложим на нем расстояние АР = У А /со в ту сторону от точки А, куда «покажет» вектор У А, если его повернуть на 90° в направлении дуговой стрелки со.
Мгновенный центр скоростей является единственной точкой плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
В другой момент времени мгновенным центром скоростей может быть уже другая точка плоской фигуры.
2. Пусть известны направления скоростей V A и У в (рис. 8.8, а) двух точек А и В плоской фигуры (причем векторы скоростей этих точек непараллельны), или известны элементарные перемещения этих точек. Мгновенный центр скоростей будет находиться в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к элементарным перемещениям точек). Такое построение выполнено на рис. 8.8, б. Оно основано на том, что для любых точек А и В фигуры применимы положения (8.6):
Из этих равенств следует, что
Зная положение МЦС и угловую скорость тела, применив формулы (8.6), легко определить скорость любой точки этого тела. На- пример^для точки К (см. рис. 8.8, б) модуль скорость V K =coКР, вектор У к направлен перпендикулярно прямой КР в соответствии с
направлением дуговой стрелки ю.
Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как будто эта фигура вращается вокруг мгновенного центра скоростей.
3. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, то возможны три варианта, которые изображены на рис. 8.9. Для случаев, когда прямая АВ перпендикулярна векторам V А и V B (рис. 8.9, а, б), построения основываются на пропорции (8.7).
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Если скорости точек Ли В параллельны, а прямая AB_nt перпендикулярна V А (рис. 8.9, в), то перпендикуляры к У А и V B параллельны и мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР= оо); угловая скорость вращения фигуры со = VJAP = V A /cc = 0. В этом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу, т. е. фигура имеет распределение скоростей как при поступательном движении. Такое состояние движения тела называют мгновенно поступательным. Отметим, что в этом состоянии ускорения всех точек тела не будут одинаковыми.
4. Если плоское движение тела осуществляется путем его качения без скольжения по неподвижной поверхности (рис. 8.10), то точка касания Р будет являться мгновенным центром скоростей (см. задачу 8.1).
Задача 8.3. Плоский механизм состоит из стержней 7, 2, 3, 4 и ползуна В (рис. 8.11), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами 0 { и 0 2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней: / 2 =0,4 м, / 2 = 1,2 м, / 3 = 0,7 м, / 4 = 0,3 м. Угловая скорость стержня 7 в заданном положении механизма со, = 2 с -1 и направлена против хода часовой стрелки. Определить V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , to 4 и скорость точки К в середине стержня DE (DK = КЕ).
Решение. В рассматриваемом механизме стержни 7, 4 совершают вращательное движение, ползун В - поступательное, а стержни 2, 3 -
плоскопараллельное движение.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Скорость точки А определим как принадлежащую стержню 7, совершающему вращательное движение:
Рассмотрим движение стержня 2. Скорость точки А определена, а направление скорости точки В обусловлено тем, что она принадлежит одновременно стержню 2 и пол-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
зуну, движущемуся вдоль направляющих. Теперь, восставляя из точек А и В перпендикуляры к У А и направлению движения ползуна В, находим положение точки С 2 - МЦС стержня 2.
По направлению вектора У А, учитывая, что в рассматриваемом положении механизма стержень 2 вращается вокруг точки С 2 , определяем направление угловой скорости со 2 стержня 2 и находим ее числовое значение (о 2 = V a /AC 2 = 0,8/1,04 = 0,77 с -1 , где АС 2 - АВ sin 60° = 1,04 м (получим при рассмотрении ААС~,В).
Теперь определяем числовые значения и направления скоростей точек В и D стержня 2 (так как ABDC 2 равносторонний, то ВС 2 - DC 2 - - 0,6 м):
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Рассмотрим движение стержня 3. Скорость точки D известна. Так как точка Е принадлежит одновременно и стержню 4, вращающемуся вокруг оси 0 4 , то У е 10 4 Е. Тогда, проводя через точки D и Е прямые, перпендикулярные скоростям V D wV E , находим положение точки С 3 - МЦС стержня
3. По направлению вектора V D , глядя из неподвижной точки С 3 , определяем направление угловой скорости со 3 , а ее числовое значение находим (предварительно определив из AZ)C 3 ? отрезок Z)C 3 = DEsin 30° = 0,35 м): со 3 = V d /C 3 D= 1,32 с -1 .
Для определения скорости точки К проведем прямую КС 3 и, учитывая, что АР КС 3 равносторонний (КС 3 = 0,35 м), вычислим У к = = 0,462 м/с, У к АКС 3 .
Рассмотрим движение стержня_4, вращающегося вокруг оси 0 4 . Зная направление и числовое значение V E , находим направление и значение угловой скорости со 4: со 4 = V e /0 4 E - 2,67 с.
Ответ: V A = 0,8 м/с, V B = V D = 0,462 м/с, V E = 0,8 м/с, со 2 = 0,77 с" 1 , со 3 = 1,32 с -1 , (о 4 = 2,67 с -1 , направления этих величин показаны на рис. 8.11.
Примечание. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательно движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.
Задача 8.4. Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3 и катка, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости (рис. 8.12, а). Соединения стержней между собой и стержня 3 к катку в точке D - шарнирные. Длины стержней: 1 { - 0,4 м, / 2 = 0,6 м, / 3 = 0,8 м. При данных углах а = 60°, В = 30° известны значения и направления угловой скорости со, = = 2 с и скорости центра О катка V 0 = 0,346 м/с, ZABD = 90°. Определить скорость точки В и угловую скорость со 2 .
Решение. Механизм имеет две степени свободы (его положение определяется двумя углами а и р, не зависящими друг от друга) и скорость точки В (общей точки стержней 2 и 3) зависит от скоростей точек А и D.
Рассматривая движение стержня /, находим направление и значение скорости точки A: V A = coj/j = 0,8 м/с, V a AjO { A.
Рассмотрим движение катка. Его мгновенный центр скоростей расположен в точке Р; тогда V D найдем из пропорции
Так как ADOP равнобедренный и острые углы в нем равны 30°, то DP- 2 OP cos 30° = ОРл/ 3. Из равенства (а) находим V D - 0,6 м/с. Вектор V D направлен перпендикулярно DP.
Так как точка В принадлежит одновременно стержням АВ и BD, то по теореме о проекциях скоростей должно быть: 1) проекция вектора У в на прямую А В У А (отрезок Аа на рис. 8.12, а), т. е. У А cos а = 0,4 м/с; 2) проекция вектора У в на прямую DB равна проекции на эту прямую вектора У 0 (отрезок Dd на рис. 8.12, а), т. е. У 0 cos у = 0,3 м/с (у = 60°).
Далее решаем графически. Откладываем от точки В в соответствующих направлениях отрезки ВЬ { = Аа и Bb 2 = Dd. Скорость точки В равна сумме векторов V B = Bb+ Bbj. Восставляем из точки Ь { перпендикуляр к ВЬ Х, а из
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
точки b 2 - перпендикуляр к ВЬ 2 . Точка пересечения этих перпендикуляров определяет конец искомого вектора V B .
Так как направления отрезков ВЬ и ВЬ 2 взаимно перпендикулярны, то
Определяем со 2 . На рис. 8.12, б показан так называемый план скоростей, который графически изображает векторное равенство
где векторы V A и V B определены (см. рис. 8.12, а), а направление V BA перпендикулярно стержню АВ. Из чертежа (рис. 8.12, б) находим
Теперь определяем со 2 = V ba /AB- 1,66 с -1 (направление со 2 - против хода часовой стрелки).
Ответ: V B - 0,5 м/с, со 2 = 1,66 с -1 .
Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.
Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоскости фигуры имеют скорости и , непараллельные друг другу (рис. 2.21.). Тогда точка Р , лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и Вb к вектору , и будет мгновенным центром скоростей, так как .
Рисунок 2.21
В самом деле, если , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ), и ВР (так как ), что невозможно. Из этой же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.
Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс. То скорость точки А будет
и так для любой точки фигуры.
Из этого следует еще, что и , тогда
= , | (2.54) |
т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоянию от мгновенного центра скоростей.
Полученные результаты приводят к следующим выводам:
1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей, например, и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры.
2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой её точки В.
3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждой момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к её расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:
Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС, которые помогут решать теоретической механики.
1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис. 2.22), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (), и следовательно, является мгновенным центром скоростей.
Рисунок 2.22
2. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.2.23,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек // . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что , т.е. , в этом случае фигура имеет мгновенное поступательное движение. , которое дает .