Равновесие тел. Виды равновесия тел

Все силы, действующие на материальную точку, приложены в одной точке. Результирующая сила определяется как геометрическая сумма всех сил, действующих на материальную точку. Если результирующая сила равна нулю, то согласно 2-го закона Ньютона ускорение материальной точки равно нулю, скорость постоянна или равна нулю, материальная точка находится в состоянии равновесия.

Условие равновесия материальной точки : . (6.1)

Гораздо более важным вопросом в статике является вопрос о равновесии протяженного тела, поскольку на практике приходится иметь дело именно с такими телами. Ясно, что для равновесия тела необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на тело, равнялась нулю. Но выполнение этого условия недостаточно. Рассмотрим горизонтально расположенный стержень, способный вращаться относительно горизонтальной оси О (рис. 6.2). На стержень действуют: сила тяжести , сила реакции оси, две внешние силы и , равные по величине и противоположные по направлению. Результирующая этих сил равна нулю:

однако наш практический опыт подсказывает нам, что стержень начнет вращаться, т.е. не будет находиться в состоянии равновесия. Обращаем внимание, что моменты сил и относительно оси О равны нулю, моменты сил и не равны нулю и оба положительны, силы стараются повернуть стержень по часовой стрелке относительно оси О .

На рис.6.3 силы и равны по величине и направлены одинаково. Результирующая всех сил, действующих на стержень, равна нулю (в этом случае сила больше, чем в первом случае, она уравновешивает результирующую трех сил - , и ). Результирующий момент всех сил равен нулю, стержень находится в равновесии. Приходим к выводу, что для равновесия тела необходимо выполнение двух условий.

Условия равновесия протяженного тела :

Запишем важные правила, которыми можно пользоваться при рассмотрении условий равновесия тела.

1. Векторы приложенных к телу сил можно перемещать вдоль линии их действия. Результирующая сила и результирующий момент при этом не меняются.

2. Второе условие равновесия выполняется относительно любой оси вращения. Удобно выбирать такую ось вращения, относительно которой уравнение (6.3) будет наиболее простым. Например, относительно оси О на рис. 6.2 моменты сил и равны нулю.

Устойчивое равновесие . В устойчивом равновесии потенциальная энергия тела минимальна. При смещении тела из положения устойчивого равновесия потенциальная энергия возрастает, возникает результирующая сила, направленная к положению равновесия.

Неустойчивое равновесие . При смещении тела из положения неустойчивого равновесия потенциальная энергия уменьшается, возникает результирующая сила, направленная от положения равновесия.

Центр тяжести тела - точка приложения результирующей всех сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела.

Признак равновесия . Тело сохраняет равновесие, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести, пересекает площадь опоры тела.

Если тело неподвижно, то это тело находится в равновесии. Многие тела покоятся, несмотря на то, что на них действуют силы со стороны других тел. Это различные строения, камни, машины, части механизмов, мосты и многие другие тела. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники.
Все реальные тела под воздействием приложенных к ним сил со стороны других тел изменяют свою форму и размеры, то есть деформируются. Величина деформации зависит от многих факторов: материала тела, его формы, приложенных к нему сил. Деформации могут быть настолько малыми, что обнаружить их можно только при помощи специальных приборов.
Деформации могут быть большими, и тогда их легко заметить, например, растяжение пружины или резинового шнура, изгиб деревянной доски или тонкой металлической линейки.
Иногда действия сил вызывают значительные деформации тела, в этом случае, фактически после приложения сил, мы будем иметь дело с телом, которое имеет совершенно новые геометрические размеры и форму. Также необходимо будет определить условия равновесия этого нового деформированного тела. Подобные задачи, связанные с расчетом деформаций тел, как правило, очень сложны.
Довольно часто в реальных жизненных ситуациях деформации очень невелики, а тело при этом остается в равновесии. В таких случаях деформациями можно пренебречь и рассматривать ситуацию так, как если бы тела были недеформируемыми, т. е. абсолютно твердыми. Абсолютно твердое тело в механике - это такая модель реального тела, у которой расстояние между частицами не изменяется, каким бы воздействиям данное тело не подвергалось. Следует понимать, что абсолютно твердых тел в природе не существует, но в некоторых случаях мы можем считать реальное тело абсолютно твердым.
Например, железобетонную плиту перекрытия дома можно считать абсолютно твердым телом в том случае, когда на ней стоит очень тяжелый шкаф. Сила тяжести шкафа действует на плиту, и плита прогибается, но эта деформация будет столь мала, что обнаружить ее можно только с помощью точных приборов. Поэтому в данной ситуации мы можем пренебречь деформацией и считать плиту абсолютно твердым телом.
Выяснив условия равновесия абсолютно твердого тела, мы узнаем условия равновесия реальных тел в тех ситуациях, когда их деформациями можно пренебречь.
Статика - раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твердых тел.
В статике учитываются размеры и форма тел, а все рассматриваемые тела считаются абсолютно твердыми. Статику можно рассматривать как частный случай динамики, так как неподвижность тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения с нулевой скоростью.
Деформации, происходящие в теле, изучаются в прикладных разделах механики (теория упругости, сопротивление материалов). В дальнейшем для краткости абсолютно твердое тело будем называть твердым телом, или просто телом.
Выясним условия равновесия любого тела. Для этого используем законы Ньютона. Чтобы упростить себе задачу, разобьем мысленно все тело на большое число небольших частей, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Все тело состоит из множества элементов, некоторые из них изображены на рисунке. Силы, которые действуют на данное тело со стороны других тел - это внешние силы. Внутренние силы - это силы, с которыми элементы действуют друг на друга. Сила F1,2 - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила F2,1 приложена к элементу 2 элементом 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы F1,3 и F3,1, F2,3 и F3,2.
Силы F1, F2, F3 - это геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на элементы 1, 2, 3. Силы F1 штрих, F2 штрих, F3 штрих - это геометрическая сумма внутренних сил, приложенных к элементам 1, 2, 3.
Ускорение каждого элемента тела равно нулю, потому что тело покоится. Значит, по второму закону Ньютона равна нулю и геометрическая сумма всех внутренних и внешних сил, действующих на элемент.
Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на каждый элемент этого тела, была равна нулю.
Каким условиям должны удовлетворять внешние силы, действующие на твердое тело, чтобы оно находилось в покое? Для этого сложим уравнения. Равенство получается ноль.
В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, действующих на тело, а во вторых скобках - векторная сумма всех внутренних сил, приложенных к элементам этого тела. Мы уже выяснили, используя третий закон Ньютона, что векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, потому что любой внутренней силе соответствует сила равная ей по модулю и противоположная по направлению.
Следовательно, в полученном равенстве остается исключительно геометрическая сумма внешних сил, которые оказывают действие на тело.
Это равенство является обязательным условием для равновесия материальной точки. Если мы применяем его к твердому телу, то это равенство называют первым условием его равновесия.
В том случае, если твердое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.
Учитывая тот факт, что к одним элементам тела может быть приложено сразу несколько внешних сил, а на другие элементы внешние силы могут вообще не действовать, то число всех внешних сил совершенно необязательно должно быть равно числу всех элементов.
Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать, что сумма проекций на ось ОХ внешних сил равна нулю. Аналогичным способом может быть записано уравнение для проекций сил на оси ОY и OZ.
На основе условия равновесия любого элемента тела выведено первое условие равновесия твердого тела.

Определение

Равновесием тела называют такое состояние, когда любое ускорение тела равняется нулю, то есть все действия на тело сил и моментов сил уравновешены. При этом тело может:

• находиться в состоянии спокойствия;
• двигаться равномерно и прямолинейно;
• равномерно вращаться вокруг оси, которая проходит через центр его тяжести.

Условия равновесия тела

Если тело находится в равновесии, то одновременно выполняются два условия.

1. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулевому вектору : $\sum_n{{\overrightarrow{F}}_n}=\overrightarrow{0}$
2. Алгебраическая сумма всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю: $\sum_n{M_n}=0$

Два условия равновесия являются необходимыми, но не являются достаточными. Приведем пример. Рассмотрим равномерно катящееся без проскальзывания колесо по горизонтальной поверхности. Оба условия равновесия выполняются, однако тело движется.

Рассмотрим случай, когда тело не вращается. Для того, чтобы тело не вращалось и находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось равнялась нулю, то есть равнодействующая сил. Тогда тело или находится в спокойствии, или двигается равномерно и прямолинейно.

Тело, которое имеет ось вращения, будет находиться в равновесном состоянии, если выполняется правило моментов сил: сумма моментов сил, которые вращают тело по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, которые вращают его против часовой стрелки.

Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, нужно прикладывать силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем же плечо силы и соответственно уменьшая значение силы. Примеры тел, которые имеют ось вращения, : рычаг, двери, блоки, коловорот и тому подобное.

Три вида равновесия тел, которые имеют точку опоры

1. стойкое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее ближайшее положение и оставлено в спокойствии, вернется в это положение;
2. неустойчивое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее положение и оставлено в спокойствии, будет еще больше отклоняться от этого положения;
3. безразличное равновесие - если тело, будучи выведенным в соседнее положение и оставлено в спокойствии, останется в новом своем положении.

Равновесие тела с закрепленной осью вращения

1. стойким, если в положении равновесия центр тяжести С занимает самое низкое положение из всех возможных ближних положений, а его потенциальная энергия будет иметь наименьшее значение из всех возможных значений в соседних положениях;
2. неустойчивым, если центр тяжести С занимает наивысший из всех ближних положений, а потенциальная энергия имеет наибольшее значение;
3. безразличным, если центр тяжести тела С во всех ближних возможных положениях находится на одном уровне, а потенциальная энергия при переходе тела, не изменяется.

Задача 1

Тело A массой m = 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок B (рисунок 1, а). Какой груз F можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела A? Коэффициент трения f = 0,4; трением на блоке пренебречь.

Определим вес тела ~A: ~G = mg = 8$\cdot $9,81 = 78,5 Н.

Считаем, что все силы приложены к телу A. Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес G и противоположно направленная реакция опоры RA (рис. 1, б).

Если же приложить некоторую силу F, действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакция RA, уравновешивающая силы G и F, начнет отклоняться от вертикали, но тело A будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы F не превысит максимального значения силы трения Rf max, соответствующей предельному значению угла ${\mathbf \varphi }$o(рис. 1, в).

Разложив реакцию RA на две составляющие Rf max и Rn, получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 1, г). Спроецировав эту систему сил на оси x и y, получим два уравнения равновесия:

${\mathbf \Sigma }Fkx = 0, F - Rf max = 0$;

${\mathbf \Sigma }Fky = 0, Rn - G = 0$.

Решаем полученную систему уравнений: F = Rf max, но Rf max = f$\cdot $ Rn, а Rn = G, поэтому F = f$\cdot $ G = 0,4$\cdot $ 78,5 = 31,4 Н; m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.

Ответ: Масса груза т = 3,2 кг

Задача 2

Система тел, изображённая на рис.2, находится в состоянии равновесия. Масса груза тг=6 кг. Угол между векторами $\widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}=60{}^\circ $. $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F$. Найти массу гирь.

Равнодействующая сил ${\overrightarrow{F}}_1и\ {\overrightarrow{F}}_2$ равна по модулю весу груза и противоположна ему по направлению: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=\ -m\overrightarrow{g}$. По теореме косинусов, ${\left|\overrightarrow{R}\right|}^2={\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2+2\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|{cos \widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}\ }$.

Отсюда ${\left(mg\right)}^2=$; $F=\frac{mg}{\sqrt{2\left(1+{cos 60{}^\circ \ }\right)}}$;

Поскольку блоки подвижные, то $m_г=\frac{2F}{g}=\frac{2m}{\sqrt{2\left(1+\frac{1}{2}\right)}}=\frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}}=6,93\ кг\ $

Ответ: масса каждой из гирь равна 6,93 кг

Статика — это раздел механики, изучающий равновесие тел. Статика позволяет определить условия равновесия тел и отвечает на некоторые вопросы, которые касаются движения тел, например, дает ответ, в каком направлении возникает движение, если равновесие нарушено. Стоит оглянуться вокруг и можно заметить, что большинство тел находятся в равновесии – они либо движутся с постоянной скоростью, либо покоятся. Этот вывод можно сделать из законов Ньютона.

Примером может служить сам человек, картина, висящая на стене, подъёмные краны, различные постройки: мосты, арки, башни, здания. Тела вокруг нас подвергаются воздействию каких-либо сил. На тела действует разное количество сил, но если будем находить результирующую силу, для тела, находящегося в равновесии, она будет равна нулю.
Различают:

• статическое равновесие – тело покоится;
• динамическое равновесие – тело движется с постоянной скоростью.

Статическое равновесие. Если на тело действуют силы F1, F2, F3, и так далее, то основным требованием существования состояния равновесия является (равновесие). Это векторное уравнение в трехмерном пространстве, и представляет три отдельных уравнения, по одному для каждого направлению пространства. .

Приложенные к телу проекции всех сил на любое направление, должны компенсироваться, то есть алгебраическая сумма проекций всех сил на любое направление должна быть равна 0.

При нахождении равнодействующей силы можно перенести все силы и расположить точку их приложения в центр масс. Центр масс – точка, которая вводится для характеристики движения тела или системы частиц, как целого, характеризует распределение масс в теле.

На практике мы очень часто встречаем случаи и поступательного, и вращательного движения одновременно: скатывание бочки по наклонной плоскости, танцующая пара. При таком движении одного условия равновесия недостаточно.

Необходимое условие равновесия в этом случае будет:

На практике и в жизни большую роль играет устойчивость тел , характеризующая равновесие.

Различают виды равновесия:

• Устойчивое равновесие;
• Неустойчивое равновесие;
• Безразличное равновесие.

Устойчивое равновесие – это равновесие, когда при малом отклонении от положения равновесия возникает сила, возвращающая его в состояние равновесия (маятник остановившихся часов, теннисный шарик, закатившийся в ямку, Ванька-встанька или неваляшка, белье на веревке находятся в состоянии устойчивого равновесия).

Неустойчивое равновесие – это состояние, когда тело после выведения из положения равновесия отклоняется из-за возникающей силы еще больше от положения равновесия (теннисный шарик на выпуклой поверхности).

Безразличное равновесие – будучи предоставленным, самому себе тело не меняет своего положения после выведения из состояния равновесия (теннисный шарик, лежащий на столе, картина на стене, ножницы, линейка, подвешенные на гвоздик находятся в состоянии безразличного равновесия). Ось вращения и центр тяжести совпадают.

Для двух тел, то тело будет более устойчиво, которое обладает большей площадью опоры.