Mișcarea unui corp la un unghi față de orizont: formule, calculul intervalului de zbor și altitudinea maximă de decolare. Mișcarea unui corp în unghi față de orizont: formule, calculul intervalului de zbor și altitudinea maximă de decolare Obținerea formulelor pentru tipul de mișcare în cauză

Aceasta este o sarcină creativă pentru o clasă de master în informatică pentru școlari de la FEFU.
Scopul sarcinii este de a afla cum se va schimba traiectoria corpului dacă se ia în considerare rezistența aerului. De asemenea, este necesar să se răspundă la întrebarea dacă distanța de zbor va atinge în continuare valoarea maximă la un unghi de aruncare de 45°, dacă se ia în considerare rezistența aerului.

Secțiunea „Cercetare analitică” conturează teoria. Această secțiune poate fi omisă, dar ar trebui să fie în mare parte clară pentru că... O cea mai mare parte ai învățat-o la școală.
Secțiunea „Studiu numeric” conține o descriere a algoritmului care trebuie implementat pe un computer. Algoritmul este simplu și concis, așa că toată lumea ar trebui să poată face acest lucru.

Cercetare analitică

Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular așa cum se arată în figură. În momentul inițial de timp un corp de masă m este situat la origine. Vectorul de accelerație în cădere liberă este îndreptat vertical în jos și are coordonatele (0, - g).
- vectorul viteză inițială. Să extindem acest vector în baza sa: . Aici , unde este mărimea vectorului viteză, este unghiul de aruncare.

Să notăm a doua lege a lui Newton: .
Accelerația în fiecare moment de timp este rata (instantanee) de modificare a vitezei, adică derivata vitezei în raport cu timpul: .

Prin urmare, legea a 2-a a lui Newton poate fi rescrisă după cum urmează:
, unde este rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra corpului.
Deoarece forța gravitației și forța de rezistență a aerului acționează asupra corpului, atunci
.

Vom lua în considerare trei cazuri:
1) Forța de rezistență a aerului este 0: .
2) Forța de rezistență a aerului este direcționată opus cu vectorul viteză, iar mărimea sa este proporțională cu viteza: .
3) Forța de rezistență a aerului este direcționată opus cu vectorul viteză, iar mărimea sa este proporțională cu pătratul vitezei: .

Să luăm mai întâi în considerare primul caz.
În acest caz , sau .


Rezultă că (mișcare uniform accelerată).
Deoarece ( r- vector rază), atunci .
De aici .
Această formulă nu este altceva decât formula familiară pentru legea mișcării unui corp în timpul mișcării accelerate uniform.
De atunci .
Având în vedere că ambele , obținem egalități scalare din ultima egalitate vectorială:

Să analizăm formulele rezultate.
Sa gasim timp de zbor corpuri. Echivalarea y la zero, ajungem

Raza de zbor egală cu valoarea coordonatei X la un moment dat t 0:

Din această formulă rezultă că intervalul maxim de zbor este atins la .
Acum să găsim ecuația caroseriei tractorului. Pentru a face acest lucru, să ne exprimăm t prin X

Și să înlocuim expresia rezultată cu tîn egalitate pentru y.

Funcția rezultată y(X) este o funcție pătratică, graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos.
Mișcarea unui corp aruncat în unghi față de orizont (fără a ține cont de rezistența aerului) este descrisă în acest videoclip.

Acum luați în considerare al doilea caz: .

A doua lege ia forma ,
de aici .
Să scriem această egalitate în formă scalară:

Avem două ecuații diferențiale liniare.
Prima ecuație are o soluție

Acest lucru poate fi verificat prin înlocuirea acestei funcții în ecuația pentru v x si la starea initiala .
Aici e = 2,718281828459... este numărul lui Euler.
A doua ecuație are o soluție

Deoarece , , atunci în prezența rezistenței aerului mișcarea corpului tinde să fie uniformă, spre deosebire de cazul 1, când viteza crește fără limită.
Următorul videoclip spune că parașutătorul se mișcă mai întâi într-un ritm accelerat, apoi începe să se miște uniform (chiar înainte ca parașuta să se deschidă).

Să găsim expresii pentru XȘi y.
Deoarece X(0) = 0, y(0) = 0, atunci

Rămâne să luăm în considerare cazul 3, când .
A doua lege a lui Newton are forma
, sau .
În formă scalară, această ecuație arată astfel:

Acest sistem de ecuații diferențiale neliniare. Acest sistem nu poate fi rezolvat în mod explicit, deci este necesar să se utilizeze simularea numerică.

Studiu numeric

În secțiunea anterioară am văzut că în primele două cazuri legea mișcării unui corp poate fi obținută în formă explicită. Cu toate acestea, în al treilea caz este necesar să se rezolve problema numeric. Folosind metode numerice vom obține doar o soluție aproximativă, dar vom fi destul de mulțumiți de o mică precizie. (Numărul π sau rădăcina pătrată a lui 2, apropo, nu poate fi scris cu absolut exactitate, așa că atunci când se calculează, ele iau un număr finit de cifre, iar acest lucru este suficient.)

Vom lua în considerare al doilea caz, când forța de rezistență a aerului este determinată de formulă . Rețineți că atunci când k= 0 obținem primul caz.

Viteza corpului respectă următoarele ecuații:

Componentele accelerației sunt scrise în partea stângă a acestor ecuații .
Amintiți-vă că accelerația este rata (instantanee) de modificare a vitezei, adică derivata vitezei în raport cu timpul.
Părțile din dreapta ale ecuațiilor conțin componentele vitezei. Astfel, aceste ecuații arată modul în care rata de schimbare a vitezei este legată de viteză.

Să încercăm să găsim soluții la aceste ecuații folosind metode numerice. Pentru a face acest lucru, introducem pe axa timpului plasă: să alegem un număr și să luăm în considerare momente de timp din forma: .

Sarcina noastră este să calculăm aproximativ valorile la nodurile grilei.

Să înlocuim accelerația din ecuațiile ( viteza instantanee modificări de viteză) prin viteza medie modificări ale vitezei, luând în considerare mișcarea unui corp într-o perioadă de timp:

Acum să substituim aproximațiile obținute în ecuațiile noastre.

Formulele rezultate ne permit să calculăm valorile funcțiilor la următorul nod al grilei, dacă sunt cunoscute valorile acestor funcții la nodul anterior al grilei.

Folosind metoda descrisă, putem obține un tabel cu valorile aproximative ale componentelor vitezei.

Cum să găsiți legea mișcării corpului, de ex. tabelul valorilor aproximative ale coordonatelor X(t), y(t)? De asemenea!
Avem

Valoarea lui vx[j] este egală cu valoarea funcției și aceeași pentru alte tablouri.
Acum tot ce rămâne este să scriem o buclă, în interiorul căreia vom calcula vx folosind valoarea deja calculată vx[j], și la fel cu restul tablourilor. Ciclul va fi j de la 1 la N.
Nu uitați să inițializați valorile inițiale vx, vy, x, y conform formulelor, X 0 = 0, y 0 = 0.

În Pascal și C, există funcții sin(x) și cos(x) pentru calcularea sinusului și cosinusului. Rețineți că aceste funcții iau un argument în radiani.

Trebuie să construiți un grafic al mișcării corpului în timpul k= 0 și k> 0 și comparați graficele rezultate. Graficele pot fi create în Excel.
Rețineți că formulele de calcul sunt atât de simple încât puteți utiliza doar Excel pentru calcule și nici măcar nu folosiți un limbaj de programare.
Cu toate acestea, în viitor va trebui să rezolvați o problemă în CATS, în care trebuie să calculați timpul și intervalul de zbor al unui corp, unde nu puteți face fără un limbaj de programare.

Vă rugăm să rețineți că puteți Test programul dvs. și verificați graficele comparând rezultatele calculului când k= 0 cu formulele exacte date în secțiunea „Studiu analitic”.

Experimentați cu programul dvs. Asigurați-vă că, dacă nu există rezistență la aer ( k= 0) raza maximă de zbor la o viteză inițială fixă ​​se realizează la un unghi de 45°.
Dar rezistența aerului? În ce unghi se atinge raza maximă de zbor?

Figura prezintă traiectoriile corpului la v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 și 1 obținut prin simulare numerică la Δ t = 0,01.

Vă puteți familiariza cu minunata lucrare a elevilor de clasa a X-a din Troitsk, prezentată la conferința „Start in Science” din 2011. Lucrarea este dedicată modelării mișcării unei mingi de tenis aruncată în unghi față de orizont (ținând cont de aer rezistenţă). Sunt utilizate atât modelarea numerică, cât și experimentul la scară completă.

Astfel, această sarcină creativă vă permite să vă familiarizați cu metodele de modelare matematică și numerică, care sunt utilizate activ în practică, dar sunt puțin studiate la școală. De exemplu, aceste metode au fost utilizate în implementarea proiectelor nucleare și spațiale în URSS la mijlocul secolului al XX-lea.

Instrucțiuni

Să fie aruncat un corp la un unghi α față de orizont cu o viteză inițială v0. Fie coordonatele inițiale ale corpului zero: x(0)=0, y(0)=0. În proiecțiile pe axele de coordonate, viteza inițială va fi descompusă în două componente: v0(x) și v0(y). Aceeași viteză în general. De-a lungul axei Ox, viteza este în mod convențional considerată constantă, în timp ce de-a lungul axei Oy se modifică sub influența . Accelerația gravitației g poate fi considerată ca fiind de aproximativ 10 m/s².

Unghiul α la care este aruncat corpul nu este dat întâmplător. Prin intermediul acestuia puteți descrie viteza inițială în axe de coordonate. Astfel, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Acum putem obține funcția componentelor de coordonate ale vitezei: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· t.

Coordonatele x și y ale corpului depind de timpul t. Astfel, putem crea două ecuații de dependență: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. Deoarece x0=0, a(x)=0, atunci x=v0(x) t=v0 cos(α) t. De asemenea, se știe că y0=0, a(y)=-g (semnul „ ” apare deoarece direcția accelerației gravitației g și direcția pozitivă a axei Oy sunt opuse). Prin urmare y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Timpul de zbor poate fi exprimat din formula vitezei, știind că în punctul maxim corpul se oprește pentru o clipă (v = 0), iar duratele de „urcare” și „coborâre” sunt egale. Deci, la înlocuirea v(y)=0 în ecuația v(y)=v0·sin(α)-g·t rezultă: 0=v0·sin(α)-g·t(p), unde t (p) – timpul de vârf, „t vârf”. Prin urmare, t(p)=v0·sin(α)/g. Timpul total de zbor va fi apoi exprimat ca t=2·v0·sin(α)/g.

Aceeași formulă poate fi obținută în alt mod, matematic, din ecuația pentru coordonata y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Această ecuație poate fi rescrisă într-o formă ușor modificată: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Se poate observa că aceasta este o dependență pătratică, unde y este o funcție, t este un argument. Vârful parabolei care descrie traiectoria este punctul t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Minusurile și două se anulează, deci t(p)=v0·sin(α)/g. Dacă notăm înălțimea maximă cu H și ne amintim că punctul de vârf este vârful parabolei de-a lungul căruia corpul se mișcă, atunci H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. Adică, pentru a obține înălțimea, trebuie să înlocuiți „t vârf” în ecuație pentru coordonata y.

Deci, timpul de zbor este scris ca t=2·v0·sin(α)/g. Pentru a o schimba, trebuie să modificați viteza inițială și unghiul de înclinare în consecință. Cu cât viteza este mai mare, cu atât corpul zboară mai mult. Cu un unghi este ceva mai complicat, pentru că timpul nu depinde de unghiul în sine, ci de sinusul său. Valoarea maximă posibilă a sinusului - unitatea - se realizează la un unghi de înclinare de 90°. Aceasta înseamnă că un corp zboară cel mai mult atunci când este aruncat vertical în sus.

Intervalul de zbor este coordonata x finală. Dacă înlocuim timpul de zbor deja găsit în ecuația x=v0·cos(α)·t, atunci este ușor să găsim că L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Aici putem aplica formula unghiului dublu trigonometric 2sin(α)cos(α)=sin(2α), apoi L=v0²sin(2α)/g. Sinusul a două alfa este egal cu unul când 2α=n/2, α=n/4. Astfel, raza de zbor este maximă dacă corpul este aruncat la un unghi de 45°.

În acest articol vom lua în considerare analiza unei situații în care un corp este aruncat în unghi față de orizontală. Aceasta ar putea fi aruncarea unei pietre cu mâna, tragerea unui obuz dintr-un tun, lansarea unei săgeți dintr-un arc și așa mai departe. Toate aceste situații sunt descrise în același mod din punct de vedere matematic.

Caracteristica de mișcare în unghi față de orizontală

Care sunt asemănările dintre exemplele de mai sus din punct de vedere al fizicii? Constă în natura forțelor care acționează asupra corpului. În timpul zborului liber al unui corp, asupra lui acţionează doar două forţe:

• Gravitatie.
• Vantul.

Dacă masa corpului este suficient de mare și forma lui este ascuțită (proiectil, săgeată), atunci rezistența aerului poate fi neglijată.

Astfel, mișcarea unui corp aruncat în unghi față de orizont este o problemă în care apare doar gravitația. Acesta este cel care determină forma traiectoriei, care este descrisă cu o bună acuratețe de către o funcție parabolică.

Ecuații de mișcare de-a lungul unei traiectorii parabolice. Viteză

Corpul a fost aruncat într-un unghi față de orizont. Cum îi poți descrie mișcarea? Deoarece singura forță care acționează în timpul zborului unui corp este îndreptată în jos, componenta sa orizontală este zero. Acest fapt înseamnă că mișcarea orizontală a obiectului este determinată în mod unic de condițiile inițiale (unghiul de aruncare sau de tragere θ și viteza v). Mișcarea verticală a unui corp este un exemplu viu de mișcare uniform accelerată, unde rolul accelerației este jucat de constanta g (9,81 m/s2).

Ținând cont de cele de mai sus, putem scrie două componente pentru viteza unui corp zburător la momentul t:

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

După cum se poate observa, componenta v x nu depinde de timp și rămâne constantă pe toată traiectoria de zbor (o consecință a absenței forțelor externe în direcția axei x). Componenta v y are un maxim la momentul inițial de timp. Și apoi începe să scadă până devine zero în punctul maxim de decolare al corpului. După aceasta, își schimbă semnul și în momentul căderii se dovedește a fi egal cu modulul componentei inițiale v y, adică v*sin(θ).

Ecuațiile scrise ne permit să determinăm viteza unui corp aruncat în unghi față de orizontală în orice moment t. Modulul său va fi egal cu:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Ecuații de mișcare de-a lungul unei traiectorii parabolice. Raza de zbor

Corpul a fost aruncat într-un unghi față de orizont. Cât de departe va zbura? Problema intervalului se referă la modificarea coordonatei x. Această valoare poate fi găsită prin integrarea ambelor componente ale vitezei în timp. Ca rezultat al integrării obținem formulele:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

Diferența dintre coordonatele x și x 0 este intervalul de zbor. Dacă presupunem că x 0 = 0, atunci intervalul va fi egal cu x, pentru a afla care trebuie să știți cât timp va fi corpul în aer.

A doua ecuație vă permite să calculați acest timp, cu condiția să cunoașteți valoarea y 0 (înălțimea h de la care este aruncat cadavrul). Când obiectul își finalizează mișcarea (cade la pământ), coordonata lui y va deveni zero. Să calculăm momentul în care se va întâmpla asta. Avem:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

În fața noastră este o egalitate pătratică completă. O rezolvam prin discriminant:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Aruncăm rădăcina negativă. Obținem următorul timp de zbor:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Acum înlocuim această valoare în ecuația pentru intervalul de zbor. Primim:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Dacă corpul este aruncat de la pământ, adică h = 0, atunci această formulă va fi simplificată semnificativ. Și va arăta așa:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

Ultima expresie a fost obținută folosind relația dintre funcțiile trigonometrice sinus și cosinus (formula de reducere).

Deoarece sinusul are o valoare maximă pentru un unghi drept, atunci intervalul maxim de zbor este atins atunci când corpul este aruncat (împușcat) de la suprafața pământului la un unghi de 45°, iar acest interval este egal cu:

Înălțimea unui corp aruncat în unghi față de orizontală

Acum să determinăm un alt parametru important - înălțimea la care se poate ridica un obiect aruncat. Evident, pentru aceasta este suficient să luăm în considerare doar modificarea coordonatei y.

Deci, un corp este aruncat într-un unghi față de orizont, până la ce înălțime va zbura în sus? Această înălțime va corespunde că componenta vitezei v y este zero. Avem ecuația:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

Să rezolvăm ecuația. Primim:

Acum trebuie să înlocuiți această dată în expresia coordonatei y. Primim:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

Această formulă indică faptul că înălțimea maximă, în contrast cu raza de zbor, se obține dacă corpul este aruncat strict vertical (θ = 90). În acest caz ajungem la formula:

Este interesant de observat că în toate formulele date în acest articol nu apare greutatea corporală. Caracteristicile unei traiectorii parabolice nu depind de aceasta, ci doar în absența rezistenței aerului.

Raza maximă de acțiune a unei pietre trase dintr-o catapultă staționară este S = 22,5 m. Găsiți raza maximă posibilă a unei pietre trase din aceeași catapultă montată pe o platformă care se mișcă orizontal cu o viteză constantă v = 15,0 m/s. Ignorați rezistența aerului, calculați accelerația în cădere liberă g = 10,0 m/s 2.

Soluție: Este bine cunoscut faptul că raza maximă de zbor a unui corp aruncat sub un unghi față de orizontală se realizează la un unghi de plecare egal cu 45°și este determinată de formula:

Să luăm acum în considerare zborul unei pietre eliberate dintr-o catapultă în mișcare. Să introducem un sistem de coordonate ale cărui axe sunt: X- îndreptat orizontal, și Y— pe verticală. Originea coordonatelor este compatibilă cu poziția catapultei în momentul eliberării pietrei.

Pentru a calcula vectorul viteză al pietrei, este necesar să se țină cont de viteza orizontală a catapultei v = v o. Să presupunem că o catapultă aruncă o piatră în unghi α spre orizont. Atunci componentele vitezei inițiale ale pietrei în sistemul nostru de coordonate pot fi scrise ca:

Înlocuind această expresie în prima ecuație a sistemului (3), obținem raza de zbor a pietrei:

În al doilea rând, nu rezultă deloc din (5) că S 1 va fi maxim la α = 45°(acest lucru este valabil pentru (6), când v = 0).

Propunând această problemă olimpiadei republicane, autorii au fost convinși că nouă zecimi dintre participanți vor primi formula (5) și apoi vor substitui valoarea în ea. α = 45°. Totuși, spre regretul nostru, ne-am înșelat: niciunul dintre olimpici nu s-a îndoit că intervalul maxim de zbor este întotdeauna (!) atins la un unghi de plecare egal cu 45°. Acest fapt binecunoscut are aplicabilitate limitată: este adevărat numai dacă:

a) nu ține cont de rezistența aerului;
b) punctul de decolare și punctul de cădere sunt la același nivel;
c) proiectilul este staționar.

Să revenim la rezolvarea problemei. Deci trebuie să găsim valoarea unghiului α , la care S 1 determinată de formula (5), este maximă. Puteți găsi, desigur, extremul funcției folosind aparatul de calcul diferențial: găsiți derivata, setați-o egală cu zero și, după ce am rezolvat ecuația rezultată, găsiți valoarea dorită α . Totuși, având în vedere că problema a fost propusă elevilor de clasa a IX-a, vom da soluția ei geometrică. Să profităm de faptul că v = v o = 15 m/s.

Să aranjam vectorii vȘi v o după cum se arată în fig. Deoarece lungimile lor sunt egale, în jurul lor poate fi descris un cerc cu centrul în punctul O, apoi lungimea segmentului A.C. egal cu v o + v o cos α(este vxo), și lungimea segmentului B.C. egal cu v o sin α(Acest vyo). Produsul lor este egal cu de două ori aria triunghiului ABC, sau aria triunghiului ABB 1.

Vă rugăm să rețineți că este produsul care este inclus în expresia pentru interval de zbor (5). Cu alte cuvinte, raza de zbor este egală cu produsul zonei ΔАВВ 1 printr-un factor constant 2/g.

Acum să ne întrebăm: care dintre triunghiurile înscrise într-un cerc dat are aria maximă? Normal corect! Prin urmare, valoarea dorită a unghiului α = 60°.

Vector AB există un vector al vitezei totale inițiale a pietrei, este îndreptat într-un unghi 30° la orizont (din nou, deloc 45°).

Astfel, soluția finală a problemei rezultă din formula (5), în care ar trebui să o substituim α = 60°.

Teorie

Dacă un corp este aruncat într-un unghi față de orizont, atunci în zbor este acționat de forța gravitației și forța de rezistență a aerului. Dacă forța de rezistență este neglijată, atunci singura forță rămasă este gravitația. Prin urmare, datorită legii a 2-a a lui Newton, corpul se mișcă cu o accelerație egală cu accelerația gravitației; proiecțiile accelerației pe axele de coordonate sunt egale un x = 0, și y= -g.

Orice mișcare complexă a unui punct material poate fi reprezentată ca o suprapunere a mișcărilor independente de-a lungul axelor de coordonate, iar în direcția diferitelor axe tipul de mișcare poate diferi. În cazul nostru, mișcarea unui corp zburător poate fi reprezentată ca suprapunerea a două mișcări independente: mișcare uniformă de-a lungul axei orizontale (axa X) și mișcare uniform accelerată de-a lungul axei verticale (axa Y) (Fig. 1) .

Prin urmare, proiecțiile vitezei corpului se modifică în timp, după cum urmează:

,

unde este viteza inițială, α este unghiul de aruncare.

Coordonatele corpului se schimbă astfel:

Cu alegerea noastră a originii coordonatelor, coordonatele inițiale (Fig. 1) Apoi

A doua valoare de timp la care înălțimea este zero este zero, ceea ce corespunde momentului aruncării, adică. această valoare are şi un sens fizic.

Obținem intervalul de zbor din prima formulă (1). Intervalul de zbor este valoarea coordonatei X la sfârșitul zborului, adică la un timp egal cu t 0. Înlocuind valoarea (2) în prima formulă (1), obținem:

.

(3)

Din această formulă se poate observa că cea mai mare rază de zbor se realizează la un unghi de aruncare de 45 de grade.

Înălțimea maximă de ridicare a corpului aruncat poate fi obținută din a doua formulă (1). Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți o valoare de timp egală cu jumătate din timpul de zbor (2) în această formulă, deoarece La mijlocul traiectoriei altitudinea de zbor este maximă. Efectuând calcule, obținem