Acasă › Rețete vegetariene › Cum să găsiți suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Suma unei progresii geometrice infinite la

Cum să găsiți suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Suma unei progresii geometrice infinite la

Să luăm în considerare o anumită serie.

7 28 112 448 1792...

Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Aceasta înseamnă că această serie este o progresie.

O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere. caracteristica principală adică următorul număr se obține din cel precedent prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.

a z +1 =a z ·q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z ∈ N.

Perioada în care la școală se studiază progresia geometrică este clasa a IX-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625...

Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.

În consecință, pentru a afla următorul număr dintr-o serie, trebuie să îl înmulțiți pe ultimul cu q.

Pentru a seta această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceasta, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.

Soiuri

În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:

Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element ulterior. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi succesiunea de numere poate fi scrisă astfel:

3 6 12 24 48 ...

Dacă |q| este mai mică de unu, adică înmulțirea cu ea este echivalentă cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.

Apoi, succesiunea de numere poate fi scrisă după cum urmează:

6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.

Semn alternativ. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplu: a 1 = -3, q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.

Apoi succesiunea de numere poate fi scrisă astfel:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Există multe formule pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice:

Formula cu termenul Z. Vă permite să calculați un element sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu:q = 3, A 1 = 4. Se cere numărarea celui de-al patrulea element al progresiei.

Soluţie:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Suma primelor elemente a căror cantitate este egală cu z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.

Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de numere care se repetă la infinit.

Sumă progresie geometrică, exemple:A 1 = 2, q= -2. Calculați S5.

Soluţie:S 5 = 22 - calcul folosind formula.

Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplu:A 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.

Soluţie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

Proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție functioneaza pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:

a z 2 = a z -1 · Az+1

De asemenea, pătratul oricărui număr dintr-o progresie geometrică se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undet- distanța dintre aceste numere.

Elementediferă în qo singura data.
Logaritmii elementelor unei progresii formează și ei o progresie, dar una aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, exemple cu soluții pentru clasa 9 pot ajuta.

Conditii:A 1 = 3, A 3 = 48. Găsițiq.

Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq o singura data.Este necesar să exprimați unele elemente în termenii altora folosind un numitor.

Prin urmare,A 3 = q 2 · A 1

La înlocuireq= 4

Conditii:A 2 = 6, A 3 = 12. Calculați S 6.

Soluţie:Pentru a face acest lucru, doar găsiți q, primul element și înlocuiți-l în formulă.

A 3 = q· A 2 , prin urmare,q= 2

a 2 = q · a 1 ,De aceea a 1 = 3

S 6 = 189

· A 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplu de aplicare:

Un client bancar a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia, în fiecare an, clientul va avea 6% din acesta adăugat la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Aceasta înseamnă că la un an de la investiție contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii și numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemple de probleme de calcul a sumei:

Progresia geometrică este utilizată în diverse probleme. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:

A 1 = 4, q= 2, calculeazăS 5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.

S 5 = 124

A 2 = 6, A 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

Soluţie:

În geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma trebuie să cunoașteți elementulA 1 și numitorulq.

A 2 · q = A 3

q = 3

În mod similar, trebuie să găsițiA 1 , știindA 2 Șiq.

A 1 · q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Să luăm acum în considerare problema însumării unei progresii geometrice infinite. Să numim suma parțială a unei progresii infinite date suma primilor săi termeni. Să notăm suma parțială prin simbol

Pentru fiecare progresie infinită

se poate compune o succesiune (de asemenea infinită) a sumelor sale parțiale

Lasă o secvență cu creștere nelimitată să aibă o limită

În acest caz, numărul S, adică limita sumelor parțiale ale unei progresii, se numește suma unei progresii infinite. Vom demonstra că o progresie geometrică descrescătoare infinită are întotdeauna o sumă și vom deriva o formulă pentru această sumă (putem arăta și că dacă o progresie infinită nu are sumă, ea nu există).

Să scriem expresia sumei parțiale ca sumă a termenilor progresiei folosind formula (91.1) și să considerăm limita sumei parțiale la

Din Teorema 89 se ştie că pentru o progresie descrescătoare; prin urmare, aplicând teorema limitei diferenței, găsim

(aici se folosește și regula: factorul constant este luat dincolo de semnul limită). Se dovedește existența și, în același timp, se obține formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Egalitatea (92.1) poate fi scrisă și sub forma

Aici poate părea paradoxal că sumei unui număr infinit de termeni i se atribuie o valoare finită foarte definită.

O ilustrare clară poate fi dată pentru a explica această situație. Considerăm un pătrat cu latura egală cu unu (Fig. 72). Împărțiți acest pătrat cu o linie orizontală în două părți egale și atașați partea superioară de cea inferioară astfel încât să se formeze un dreptunghi cu laturile 2 și . După aceasta, vom împărți din nou jumătatea dreaptă a acestui dreptunghi în jumătate cu o linie orizontală și vom atașa partea superioară de cea inferioară (așa cum se arată în Fig. 72). Continuând acest proces, transformăm continuu pătratul original cu suprafață egală cu 1 în figuri de dimensiuni egale (luând forma unei scări cu trepte subțiate).

Odată cu continuarea infinită a acestui proces, întreaga zonă a pătratului este descompusă într-un număr infinit de termeni - ariile dreptunghiurilor cu baze egale cu 1 și înălțimii formează exact o progresie descrescătoare infinită, suma sa

adică, așa cum ne-am aștepta, egal cu aria pătratului.

Exemplu. Aflați sumele următoarelor progresii infinite:

Rezolvare, a) Observăm că această progresie Prin urmare, folosind formula (92.2) găsim

b) Aici înseamnă că folosind aceeași formulă (92.2) avem

c) Constatăm că această progresie nu are deci o sumă.

În paragraful 5, a fost prezentată aplicarea formulei pentru suma termenilor unei progresii infinit descrescătoare la conversia unei fracții zecimale periodice într-o fracție obișnuită.

Exerciții

1. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este 3/5, iar suma primilor săi patru termeni este 13/27. Găsiți primul termen și numitorul progresiei.

2. Găsiți patru numere care formează o progresie geometrică alternativă, în care al doilea termen este mai mic decât primul cu 35, iar al treilea este mai mare decât al patrulea cu 560.

3. Arătaţi că dacă succesiunea

formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, apoi succesiunea

pentru oricare, formează o progresie geometrică infinit descrescătoare. Va fi valabilă această afirmație când?

Deduceți o formulă pentru produsul termenilor unei progresii geometrice.

Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Este ușor de observat că formula generală pentru al n-lea termen al progresiei geometrice este b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.

Deja în Egiptul Antic cunoșteau nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o problemă din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; Fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb și fiecare spic de orz poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?

Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic

Această sarcină s-a repetat de multe ori cu diferite variații între alte popoare în alte momente. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea Abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare având 7 teci. Problema se întreabă câte obiecte sunt.

Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, astfel: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Adăugați numărul b 1 q n la S n și obțineți:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

De aici S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), și obținem formula necesară.

Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul al VI-lea. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm cum a fost cunoscut acest fapt babilonienilor. .

Creșterea rapidă a progresiei geometrice într-un număr de culturi, în special în cea indiană, este folosită în mod repetat ca simbol vizual al vastității universului. În celebra legendă despre apariția șahului, domnitorul îi oferă inventatorului său posibilitatea de a alege singur recompensa și el cere numărul de boabe de grâu care vor fi obținute dacă unul este plasat pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea, opt pe al patrulea și etc., de fiecare dată când numărul se dublează. Vladyka a crezut că cel mult vorbim despre câteva genți, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar trebui să primească (2 64 - 1) granule, care se exprimă ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta cantitatea necesară de cereale. Această legendă este uneori interpretată ca indicând posibilitățile practic nelimitate ascunse în jocul de șah.

Este ușor de observat că acest număr are într-adevăr 20 de cifre:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un calcul mai precis dă 1,84∙10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?

O progresie geometrică poate fi crescătoare dacă numitorul este mai mare de 1, sau descrescătoare dacă este mai mică de unu. În acest din urmă caz, numărul q n pentru n suficient de mare poate deveni arbitrar mic. În timp ce progresia geometrică în creștere crește în mod neașteptat de repede, progresia geometrică în scădere scade la fel de repede.

Cu cât n este mai mare, cu atât numărul q n diferă de zero mai slab și cu atât suma n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) este mai apropiată de numărul S = b 1 / ( 1 – q). (De exemplu, F. Viet a argumentat astfel). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole întrebarea care este sensul însumării întregii progresii geometrice, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.

O progresie geometrică în scădere poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Jumătate de divizie” și „Achilles și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunând lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Acesta este, desigur, cazul de la punctul de vedere al ideilor despre o sumă finită progresie geometrică infinită. Și totuși - cum poate fi asta?

Orez. 2. Progresie cu un coeficient de 1/2

În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este 1/2, ci un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timp l/v, iar în acest timp țestoasa se va deplasa cu o distanță lu/v. Când Ahile parcurge acest segment, distanța dintre el și țestoasă va deveni egală cu l (u /v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen. l și numitorul u /v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă la locul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Dar, din nou, cum să interpretăm acest rezultat și de ce are vreun sens nu a fost foarte clar pentru o lungă perioadă de timp.

Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient de 2/3

Arhimede a folosit suma unei progresii geometrice pentru a determina aria unui segment de parabolă. Fie acest segment al parabolei să fie delimitat de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB. Fie C mijlocul lui AB, E mijlocul lui AC, F mijlocul lui CB. Să trasăm drepte paralele cu DC prin punctele A, E, F, B; Fie tangenta trasată în punctul D să intersecteze aceste drepte în punctele K, L, M, N. Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teoriei generale a secțiunilor conice, DC este diametrul unei parabole (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi drept axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 = 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea lui un segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).

În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, iar din moment ce DK = 2DL, atunci KA = 4LH. Deoarece KA = 2LG, LH = HG. Aria segmentului ADB al unei parabole este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre ele puteți efectua aceeași operație - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:

Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au o bază comună AD, iar înălțimile diferă de 2 ori), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria lui triunghiul ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ΔADB. Repetarea acestei operații atunci când este aplicată segmentelor AH, HD, DR și RB va selecta triunghiuri dintre ele, a căror zonă, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună și prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB. Și așa mai departe:

Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă constituie patru treimi dintr-un triunghi având aceeași bază și înălțime egală”.

Scopul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune - o progresie geometrică infinit descrescătoare.
Sarcini:
formularea unei idei inițiale a limitei unei secvențe numerice;
cunoașterea unui alt mod de a converti fracții periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;
dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor, cum ar fi gândirea logică, capacitatea de a face acțiuni evaluative și generalizarea;
stimularea activității, asistenței reciproce, colectivismului și interesului pentru subiect.

Descarca:

Previzualizare:

Lecție pe tema „Progresie geometrică infinit descrescătoare” (algebră, clasa a X-a)

Scopul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune – o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Sarcini:

formularea unei idei inițiale a limitei unei secvențe numerice; cunoașterea unui alt mod de a converti fracții periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;

dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor, cum ar fi gândirea logică, capacitatea de a face acțiuni evaluative și generalizarea;

stimularea activității, asistenței reciproce, colectivismului și interesului pentru subiect.

Echipament: clasa de calculatoare, proiector, ecran.

Tip de lecție: lecție - învățarea unui subiect nou.

În timpul orelor

I. Org. moment. Prezentați subiectul și scopul lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

În clasa a IX-a ai studiat progresiile aritmetice și geometrice.

Întrebări

1. Definirea progresiei aritmetice.

(O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru

Începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior adăugat la același număr).

2. Formula n al treilea termen al unei progresii aritmetice

3. Formula pentru suma primei n termenii unei progresii aritmetice.

(sau)

4. Definirea progresiei geometrice.

(O progresie geometrică este o succesiune de numere diferite de zero

Fiecare termen din care, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu

Acelasi numar).

5. Formula n al treilea termen al progresiei geometrice

6. Formula pentru suma primei n membrii unei progresii geometrice.

7. Ce alte formule mai cunoașteți?

(, Unde ; ;

; , )

Sarcini

1. Progresia aritmetică este dată de formula a n = 7 – 4n . Găsiți un 10. (-33)

2. În progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 4. (4)

3. În progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 17. (-35)

4. În progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți S 17. (-187)

5. Pentru progresie geometricăgăsiți al cincilea termen.

6. Pentru progresie geometrică găsiți al n-lea termen.

7. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 4 . (4)

8. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 1 și q.

9. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți S5. (62)

III. Învățarea unui subiect nou(demonstrație de prezentare).

Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Să desenăm un alt pătrat a cărui latură este jumătate din dimensiunea primului pătrat, apoi altul a cărui latură este jumătate din a doua, apoi următorul etc. De fiecare dată când latura noului pătrat este egală cu jumătate din cea precedentă.

Ca rezultat, am primit o succesiune de laturi ale pătratelorformând o progresie geometrică cu numitorul.

Și, ceea ce este foarte important, cu cât construim mai multe astfel de pătrate, cu atât latura pătratului va fi mai mică. De exemplu ,

Acestea. Pe măsură ce numărul n crește, termenii progresiei se apropie de zero.

Folosind această figură, puteți lua în considerare o altă secvență.

De exemplu, succesiunea ariilor pătratelor:

Și, din nou, dacă n crește la nesfârșit, apoi zona se apropie de zero cât de aproape doriți.

Să ne uităm la un alt exemplu. Un triunghi echilateral cu laturile egale cu 1 cm. Să construim următorul triunghi cu vârfurile în mijlocul laturilor primului triunghi, conform teoremei despre linia mediană a triunghiului - latura celui de-al doilea este egală cu jumătatea laturii primului, latura celui de-al treilea este egal cu jumătate din latura celui de-al 2-lea etc. Din nou obținem o succesiune de lungimi ale laturilor triunghiurilor.

La .

Dacă luăm în considerare o progresie geometrică cu numitor negativ.

Apoi, din nou, cu un număr tot mai mare n termenii progresiei se apropie de zero.

Să fim atenți la numitorii acestor secvențe. Peste tot numitorii erau mai mici de 1 în valoare absolută.

Putem concluziona: o progresie geometrică va fi infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de 1.

Lucru frontal.

Definiție:

Se spune că o progresie geometrică este infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu..

Folosind definiția, puteți decide dacă o progresie geometrică este în scădere infinit sau nu.

Sarcină

Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare dacă este dată de formula:

Soluţie:

Să găsim q.

; ; ; .

această progresie geometrică este infinit în scădere.

b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Împărțiți-l în jumătate, una dintre jumătăți în jumătate etc. Aricele tuturor dreptunghiurilor rezultate formează o progresie geometrică infinit descrescătoare:

Suma ariilor tuturor dreptunghiurilor obținute în acest fel va fi egală cu aria primului pătrat și egală cu 1.

Dar în partea stângă a acestei egalități se află suma unui număr infinit de termeni.

Să considerăm suma primilor n termeni.

Conform formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, este egal cu.

Dacă n crește fără limită, atunci

sau . Prin urmare, i.e. .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoareexistă o limită de secvență S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

De exemplu, pentru progresie,

avem

Deoarece

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoarepoate fi găsit folosind formula.

III. Înțelegerea și consolidarea(finalizarea sarcinilor).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Rezumând.

Cu ce secvență v-ați familiarizat astăzi?

Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită?

Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

V. Tema pentru acasă.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Toată lumea ar trebui să fie capabilă să gândească în mod consecvent, să judece cu dovezi și să respingă concluziile incorecte: un fizician și un poet, un tractorist și un chimist. E. Kolman În matematică, ar trebui să ne amintim nu formulele, ci procesele gândirii. V.P Ermakov Este mai ușor să găsești la pătratul unui cerc decât să depășești un matematician. Augustus de Morgan Ce știință ar putea fi mai nobilă, mai admirabilă, mai utilă umanității decât matematica? Franklin

Scăderea infinită a progresiei geometrice nota 10

eu. Progresii aritmetice și geometrice. Întrebări 1. Definiția progresiei aritmetice. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior adăugat aceluiași număr. 2. Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. 3. Formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. 4. Definirea progresiei geometrice. O progresie geometrică este o succesiune de numere nenule, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr 5. Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice. 6. Formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice.

II. Progresie aritmetică. Sarcini O progresie aritmetică este dată de formula a n = 7 – 4 n Aflați a 10 . (-33) 2. În progresia aritmetică, a 3 = 7 și a 5 = 1. Găsiți un 4. (4) 3. În progresia aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1. Găsiți un 17. (-35) 4. În progresia aritmetică, a 3 = 7 și a 5 = 1. Găsiți S 17. (-187)

II. Progresie geometrică. Sarcini 5. Pentru o progresie geometrică, găsiți al cincilea termen 6. Pentru o progresie geometrică, găsiți al n-lea termen. 7. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 4 . (4) 8. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 1 și q. 9. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți S5. (62)

definiție: O progresie geometrică se numește infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu.

Problema nr. 1 Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare dacă este dată de formula: Rezolvare: a) această progresie geometrică este infinit descrescătoare. b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este limita șirului S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... De exemplu, pentru progresia pe care o avem Deoarece suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare poate fi găsită folosind formula

Finalizarea sarcinilor Aflați suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen 3, al doilea 0,3. 2. Nr. 13; nr. 14; manual, p. 138 3. Nr. 15(1;3); nr.16(1;3) nr.18(1;3); 4. Nr. 19; nr. 20.

Cu ce secvență v-ați familiarizat astăzi? Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare. Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită? Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Întrebări

Celebrul matematician polonez Hugo Steinhaus susține în glumă că există o lege care este formulată astfel: un matematician o va face mai bine. Și anume, dacă încredințezi două persoane, dintre care unul este matematician, să execute orice muncă necunoscută pentru ei, atunci rezultatul va fi întotdeauna următorul: matematicianul o va face mai bine. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972

Dacă pentru fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n , . . . .

Deci, secvența de numere este o funcție a argumentului natural.

Număr A 1 numit primul termen al secvenței , număr A 2 — al doilea termen al secvenței , număr A 3 — al treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea membru al secvenței , și un număr natural n — numărul lui .

Din doi membri alăturați un n Și un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (către un n ), A un n — anterior (către un n +1 ).

Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.

Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.

De exemplu,

o succesiune de numere impare pozitive poate fi dată prin formula

un n= 2n- 1,

iar succesiunea alternării 1 Și -1 - formulă

b n = (-1)n +1 . ◄

Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).

De exemplu,

Dacă A 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte termeni ai șirului numeric se stabilesc după cum urmează:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secvențele pot fi final Și fără sfârşit .

Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.

De exemplu,

succesiune de numere naturale din două cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Succesiunea numerelor prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

fără sfârşit. ◄

Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.

Secvența este numită in scadere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.

De exemplu,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄

O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .

Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.

Progresie aritmetică

Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n, . . .

este o progresie aritmetică dacă există numar natural n conditia este indeplinita:

un n +1 = un n + d,

Unde d - un anumit număr.

Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:

a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = un n +1 - un n = d.

Număr d numit diferența de progresie aritmetică.

Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.

De exemplu,

Dacă A 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pentru o progresie aritmetică cu primul termen A 1 si diferenta d a ei n

un n = a 1 + (n- 1)d.

De exemplu,

găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = a 1 + (n- 2)d,

un n= a 1 + (n- 1)d,

un n +1 = A 1 + nd,

atunci evident

un n=	a n-1 + a n+1
	2

Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.

De exemplu,

un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.

Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

un n = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Prin urmare,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = un n,
2		2

◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară un k

un n = un k + (n- k)d.

De exemplu,

Pentru A 5 poate fi notat

un 5 = a 1 + 4d,

un 5 = a 2 + 3d,

un 5 = a 3 + 2d,

un 5 = a 4 + d. ◄

un n = un n-k + kd,

un n = un n+k - kd,

atunci evident

un n=	A n-k +a n+k
	2

orice membru al unei progresii aritmetice, începând cu al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor egal distanțați ai acestei progresii aritmetice.

În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

De exemplu,

în progresie aritmetică

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,

primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:

De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii

un k, un k +1 , . . . , un n,

atunci formula anterioară își păstrează structura:

De exemplu,

în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Dacă este dat progresie aritmetică, apoi cantitățile A 1 , un n, d, nȘiS n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. în care:

Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.

Progresie geometrică

Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:

b n +1 = b n · q,

Unde q ≠ 0 - un anumit număr.

Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Număr q numit numitorul progresiei geometrice.

Pentru a defini o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.

De exemplu,

Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 și numitorul q a ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:

b n = b 1 · qn -1 .

De exemplu,

găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

atunci evident

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.

Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.

De exemplu,

Să demonstrăm că succesiunea dată de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Prin urmare,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula

b n = b k · qn - k.

De exemplu,

Pentru b 5 poate fi notat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

atunci evident

b n 2 = b n - k· b n + k

pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând de la al doilea, este egal cu produsul termenilor acestei progresii echidistant de acesta.

În plus, pentru orice progresie geometrică egalitatea este adevărată:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

De exemplu,

în progresie geometrică

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:

Și atunci când q = 1 - conform formulei

S n= nb 1

Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii

b k, b k +1 , . . . , b n,

atunci se folosește formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

De exemplu,

în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nȘi S n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :

progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și q> 1;

b 1 < 0 Și 0 < q< 1;

Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și 0 < q< 1;

b 1 < 0 Și q> 1.

Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.

Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculati folosind formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

De exemplu,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresie geometrică în scădere infinită

Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , acesta este

|q| < 1 .

Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei

1 < q< 0 .

Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula