Cum se calculează perimetrul cunoscând zona teritoriului. Calculator pentru calcularea perimetrului și a ariei formelor geometrice

Determinarea perimetrului și a ariei forme geometrice- o sarcină importantă care apare la rezolvarea multor probleme practice sau de zi cu zi. Dacă trebuie să atârnați tapet, să instalați un gard, să calculați consumul de vopsea sau gresie, atunci cu siguranță va trebui să vă ocupați de calcule geometrice.

Pentru a rezolva problemele de zi cu zi enumerate, va trebui să lucrați cu o varietate de forme geometrice. Vă prezentăm un catalog de calculatoare online care vă permit să calculați parametrii celor mai populare figuri plate. Să ne uităm la ele.

Cerc

Cazuri speciale

Un patrulater cu laturile egale. Un paralelogram devine romb atunci când diagonalele sale se intersectează la un unghi de 90 de grade și sunt bisectoare ale unghiurilor lor.

Acesta este un paralelogram cu unghiuri drepte. În plus, un paralelogram este considerat dreptunghi dacă laturile și diagonalele lui îndeplinesc condițiile teoremei lui Pitagora.

Acesta este un paralelogram în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale. Diagonalele unui pătrat repetă complet proprietățile diagonalelor unui dreptunghi și ale unui romb, ceea ce face din pătrat o figură unică, care se caracterizează prin simetrie maximă.

Poligon

Un poligon regulat este o figură convexă pe un plan care are laturile egale și unghiuri egale. În funcție de numărul de laturi, poligoanele au propriile nume:

• - Pentagon;
• - hexagon;
• opt - octogon;
• doisprezece este un dodecagon.

Și așa mai departe. Geometrii glumesc că un cerc este un poligon cu un număr infinit de unghiuri. Calculatorul nostru este programat pentru a determina perimetrele și zonele doar ale poligoanelor obișnuite. Folosește formule generale pentru toate poligoanele valide. Pentru a calcula perimetrul, utilizați formula:

unde n este numărul de laturi ale poligonului, a este lungimea laturii.

Pentru a determina zona se folosește expresia:

S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n).

Prin înlocuirea lui n corespunzător, putem găsi o formulă pentru orice poligon regulat, care include și un triunghi echilateral și un pătrat.

Poligoanele sunt răspândite în viata reala. Deci clădirea Departamentului de Apărare al SUA - Pentagonul - are forma unui pentagon - faguri sau cristale de fulgi de zăpadă -; indicatoare rutiere. În plus, multe protozoare, cum ar fi radiolarii, au forma unor poligoane regulate.

Exemple din viața reală

Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a calculatorului nostru în calcule reale.

Vopsirea gardului

Vopsirea suprafețelor și calcularea vopselei sunt unele dintre cele mai evidente sarcini de zi cu zi care necesită calcule matematice minime. Dacă trebuie să pictăm un gard a cărui înălțime este de 1,5 metri și lungimea este de 20 de metri, atunci de câte cutii de vopsea vor fi necesare? Pentru a face acest lucru, trebuie să aflați suprafața totală a gardului și consumul de vopsele și lacuri pe 1 metru pătrat. Știm că consumul de smalț este de 130 de grame pe metru. Acum să determinăm aria gardului folosind un calculator pentru a calcula aria unui dreptunghi. Va fi S = 30 de metri pătrați. Desigur, vom vopsi gardul pe ambele părți, astfel încât suprafața pentru vopsire va crește la 60 de metri pătrați. Atunci vom avea nevoie de 60 × 0,13 = 7,8 kilograme de vopsea sau trei cutii standard de 2,8 kilograme.

Trim cu franjuri

Croitoria este o altă industrie care necesită cunoștințe geometrice extinse. Să presupunem că trebuie să tăiem o eșarfă cu franjuri, care este un trapez isoscel cu laturile de 150, 100, 75 și 75 cm. Pentru a calcula consumul de franjuri, trebuie să cunoaștem perimetrul trapezului. Aici este util un calculator online. Să introducem datele acestei celule și să obținem răspunsul:

Astfel, vom avea nevoie de 4 m de franjuri pentru a termina esarfa.

Concluzie

Figurile plate se alcătuiesc lumea realaîn jurul. Ne-am întrebat adesea la școală dacă geometria ne va fi de folos în viitor? Exemplele de mai sus arată că matematica este folosită constant în Viata de zi cu zi. Și dacă aria unui dreptunghi ne este familiară, atunci calcularea ariei unui dodecagon poate fi o sarcină dificilă. Utilizați catalogul nostru de calculatoare pentru a rezolva temele școlare sau problemele de zi cu zi.

Când rezolvați, este necesar să luați în considerare faptul că rezolvarea problemei de a găsi aria unui dreptunghi numai din lungimea laturilor sale este interzis.

Acest lucru este ușor de verificat. Fie perimetrul dreptunghiului de 20 cm Acest lucru va fi adevărat dacă laturile sale sunt de 1 și 9, 2 și 8, 3 și 7 cm Toate aceste trei dreptunghiuri vor avea același perimetru, egal cu douăzeci de centimetri. (1 + 9) * 2 = 20 este exact același cu (2 + 8) * 2 = 20 cm.
După cum puteți vedea, putem selecta un număr nesfârșit de opțiuni dimensiunile laturilor dreptunghiului, al căror perimetru va fi egal cu valoarea specificată.

Aria dreptunghiurilor cu un perimetru dat de 20 cm, dar cu laturi diferite, va fi diferită. Pentru exemplul dat - 9, 16 și, respectiv, 21 de centimetri pătrați.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
După cum puteți vedea, există un număr infinit de opțiuni pentru aria unei figuri pentru un anumit perimetru.

Notă pentru curioși. În cazul unui dreptunghi cu un perimetru dat, aria maximă va fi un pătrat.

Astfel, pentru a calcula aria unui dreptunghi din perimetrul său, trebuie să cunoașteți fie raportul laturilor sale, fie lungimea uneia dintre ele. Singura figură care are o dependență clară a zonei sale de perimetrul său este un cerc. Doar pentru cerc si o posibila solutie.

În această lecție:

• Problema 4. Schimbarea lungimii laturilor menținând aria dreptunghiului

Problema 1. Aflați laturile unui dreptunghi din zonă

Perimetrul dreptunghiului este de 32 de centimetri, iar suma ariilor pătratelor construite pe fiecare dintre laturile sale este de 260 de centimetri pătrați. Găsiți laturile dreptunghiului.
Soluţie.

2(x+y)=32
Conform condițiilor problemei, suma ariilor pătratelor construite pe fiecare dintre laturile sale (respectiv patru pătrate) va fi egală cu
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Acum să luăm în considerare faptul că pe baza faptului că x+y=16 (vezi mai sus) la x=9, atunci y=7 și invers, dacă x=7, atunci y=9
Răspuns: Laturile dreptunghiului sunt de 7 și 9 centimetri

Problema 2. Aflați laturile unui dreptunghi din perimetru

Perimetrul dreptunghiului este de 26 cm, iar suma ariilor pătratelor construite pe cele două laturi adiacente ale acestuia este de 89 de metri pătrați. cm Aflați laturile dreptunghiului.
Soluţie.
Să notăm laturile dreptunghiului ca x și y.
Atunci perimetrul dreptunghiului este:
2(x+y)=26
Suma ariilor pătratelor construite pe fiecare dintre laturile sale (sunt două pătrate, respectiv, și acestea sunt pătrate de lățime și înălțime, deoarece laturile sunt adiacente) va fi egală cu
x 2 +y 2 =89
Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat. Din prima ecuație deducem că
x+y=13
y=13-y
Acum efectuăm o înlocuire în a doua ecuație, înlocuind x cu echivalentul său.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Rezolvăm ecuația pătratică rezultată.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Acum să luăm în considerare că pe baza faptului că x+y=13 (vezi mai sus) la x=5, atunci y=8 și invers, dacă x=8, atunci y=5
Raspuns: 5 si 8 cm

Problema 3. Aflați aria unui dreptunghi din proporția laturilor sale

Aflați aria unui dreptunghi dacă perimetrul său este de 26 cm și laturile sale sunt proporționale cu 2 la 3.

Soluţie.
Să notăm laturile dreptunghiului cu coeficientul de proporționalitate x.
Prin urmare, lungimea unei laturi va fi egală cu 2x, cealaltă - 3x.

Apoi:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Acum, pe baza datelor obținute, determinăm aria dreptunghiului:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2

Problema 4. Schimbarea lungimii laturilor menținând aria dreptunghiului

Lungimea dreptunghiului este mărită cu 25%. Cu ce ​​procent ar trebui redusă lățimea pentru ca aria ei să nu se modifice?

Soluţie.
Aria dreptunghiului este
S = ab

În cazul nostru, unul dintre factori a crescut cu 25%, ceea ce înseamnă un 2 = 1,25a. Deci noua zonă a dreptunghiului ar trebui să fie egală cu
S2 = 1,25ab

Astfel, pentru a readuce aria dreptunghiului la valoarea inițială, atunci
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Deoarece dimensiune nouă dar nu o poți schimba, atunci
S2 = (1,25a) b/1,25

1 / 1,25 = 0,8
Astfel, valoarea celei de-a doua părți trebuie redusă cu (1 - 0,8) * 100% = 20%

Răspuns: lățimea trebuie redusă cu 20%.

Geometria cuprinde proprietățile și combinațiile figurilor bidimensionale și spațiale. Mărimi numerice, care caracterizează astfel de structuri sunt pătratși perimetru, al cărui calcul se realizează folosind formule celebre sau este exprimat unul prin altul.

Instrucțiuni

1. Dreptunghi. Sarcină: calculează pătrat un dreptunghi, dacă știm că perimetrul său este de 40, iar lungimea lui b este de 1,5 ori mai mare decât lățimea a.

2. Soluție: Folosiți celebra formulă de perimetru, este egală cu suma tuturor laturilor figurii. În acest caz P = 2 a + 2 b. Din datele inițiale ale problemei, știți că b = 1,5 a, prin urmare, P = 2 a + 2 1,5 a = 5 a, de unde a = 8. Aflați lungimea b = 1,5 8 = 12.

3. Scrieți formula pentru aria unui dreptunghi: S = a b, înlocuiți cantitățile cunoscute: S = 8 * 12 = 96.

4. Pătrat.Sarcina: descoperi pătrat pătrat dacă perimetrul este 36.

5. Soluție.Pătrat – caz special un dreptunghi în care toate laturile sunt egale, prin urmare, perimetrul său este 4 a, de unde a = 8. Determinați aria pătratului folosind formula S = a? = 64.

6. Triunghi.Problemă: dat fiind un triunghi arbitrar ABC, al cărui perimetru este 29. Aflați valoarea ariei sale dacă se știe că înălțimea BH, coborâtă pe latura AC, îl împarte în segmente cu lungimi de 3 și 4 cm.

7. Soluție: În primul rând, amintiți-vă formula ariei pentru un triunghi: S = 1/2 c h, unde c este baza și h este înălțimea figurii. În cazul nostru, baza va fi latura AC, care este cunoscută din condiția problemei: AC = 3+4 = 7, rămâne de găsit înălțimea BH.

8. Înălțimea este o perpendiculară trasată pe latura de la vârful opus, prin urmare, împarte triunghiul ABC în două triunghi dreptunghic. Cunoscând această calitate, uită-te la triunghiul ABH. Amintiți-vă formula lui Pitagora, conform căreia: AB? = BH? +AH? = BH? + 9 ? AB = ?(h? + 9) În triunghiul BHC, după aceeași teză, scrieți: BC? = BH? +HC? = BH? + 16 ? BC = ?(h? + 16).

9. Aplicați formula perimetrului: P = AB + BC + AC Înlocuiți valorile exprimate în termeni de înălțime: P = 29 = ?(h? + 9) + ?(h? + 16) + 7.

10. Rezolvați ecuația:?(h? + 9) + ?(h? + 16) = 22? [înlocuire t? = h? + 9]:?(t? + 7) = 22 – t, pătratează ambele părți ale ecuației:t? + 7 = 484 – 44 t + t? ? t?10.84h? + 9 = 117,5? h? 10.42

11. Descoperi pătrat triunghi ABC:S = 1/2 7 10,42 = 36,47.

Determinați forma obiectului măsurat

Perimetrul este lungimea conturului închis al unei figuri geometrice, și pentru a calcula perimetrul figurilor forme diferite Există diferite formule. Amintiți-vă că, dacă o figură nu are un contur închis, atunci perimetrul unei astfel de figuri nu poate fi calculat.

Începeți prin a găsi perimetrul unui dreptunghi sau pătrat (mai ales dacă este prima dată). Astfel de figuri au o formă regulată, ceea ce face mai ușor să-și găsească perimetrul.

Pentru a calcula perimetrul, adăugați valorile tuturor laturilor.

Adică, în cazul unui dreptunghi, scrieți: lungime + lungime + lățime + lățime.

Aplicați diferite formule pe diferite forme

Pentru a calcula perimetrul unei figuri de altă formă, veți avea nevoie de formula corespunzătoare. În viața reală, pentru a găsi perimetrul unui obiect de orice formă, pur și simplu măsurați laturile acestuia. De asemenea, puteți utiliza următoarele formule pentru a calcula perimetrul formelor geometrice standard:

Pătrat: perimetru = 4 * latura.

Triunghi: perimetru = latura 1 + latura 2 + latura 3.

Poligon neregulat: Perimetrul este suma tuturor laturilor poligonului.

Cerc: circumferinta = 2 x π x raza = π x diametru.

π este pi (o constantă aproximativ egală cu 3,14). Dacă calculatorul dvs. are o tastă „π”, utilizați-o pentru a face calcule mai precise.

Raza este lungimea segmentului care leagă centrul cercului și orice punct situat pe acest cerc. Diametrul este lungimea unui segment care trece prin centrul unui cerc și conectează oricare două puncte situate pe acest cerc.

Calculul suprafeței

Esența zonei unei figuri geometrice

Calcularea ariei închise de o buclă închisă este similară cu împărțirea spațiului interior al unei figuri în pătrate de 1 unitate x 1 unitate. Rețineți că aria unei forme poate fi mai mare sau mai mică decât perimetrul formei respective.

Aplicați diferite formule pe diferite forme. Pentru a calcula aria unei figuri de altă formă, veți avea nevoie de formula corespunzătoare. Puteți utiliza următoarele formule pentru a calcula aria formelor geometrice standard:

Paralelogram: suprafata = baza x inaltime

Pătrat: aria = latura 1 x latura 2

Triunghi: suprafata = ½ x baza x inaltime

În unele manuale, această formulă arată astfel: S = ½аh.

Raza este lungimea segmentului care leagă centrul cercului și orice punct situat pe acest cerc.

Pătratul razei este valoarea razei înmulțită cu ea însăși.

Calculul ariei unui dreptunghi de-a lungul perimetrului

Calculul ariei unui dreptunghi cu un perimetru și un raport de aspect cunoscut.

Recunosc că atunci când am văzut pentru prima dată o solicitare pentru un calculator de zonă, a sunat ca „Calculează suprafața din perimetru”, am fost oarecum surprins, pentru că părea oarecum suprarealist.

Cu toate acestea, apoi, după ce am căutat pe internet, mi-am dat seama că cererea pur și simplu nu era completă și cel mai adesea sună astfel: „Calculează aria unui dreptunghi dacă perimetrul lui este X și se știe că . »- și pot fi cunoscute diferite lucruri care ne conduc la o decizie. De exemplu, lungimea uneia dintre laturi sau raportul de aspect. Calculatorul de mai jos calculează aria unui dreptunghi în funcție de ceea ce se mai cunoaște în afară de perimetru. Dedicat școlarilor.