Acasă › Garnituri › Logaritmul produsului unui număr finit de factori pozitivi este egal cu. Reguli de logaritm pentru operarea cu logaritmi

Logaritmul produsului unui număr finit de factori pozitivi este egal cu. Reguli de logaritm pentru operarea cu logaritmi

În raport cu

se poate stabili sarcina de a găsi oricare dintre cele trei numere din celelalte două date. Dacă sunt date a și apoi N, se găsesc prin exponențiere. Dacă N și apoi a sunt date luând rădăcina gradului x (sau ridicând-o la putere). Acum luați în considerare cazul în care, având în vedere a și N, trebuie să găsim x.

Fie numărul N pozitiv: numărul a să fie pozitiv și nu egal cu unu: .

Definiție. Logaritmul numărului N față de baza a este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține numărul N; logaritmul este notat cu

Astfel, în egalitatea (26.1) exponentul se găsește ca logaritmul lui N la baza a. Postări

au acelasi sens. Egalitatea (26.1) este uneori numită identitatea principală a teoriei logaritmilor; în realitate exprimă definiţia conceptului de logaritm. De această definiție Baza logaritmului a este întotdeauna pozitivă și diferită de unitate; numărul logaritmic N este pozitiv. Numerele negative și zero nu au logaritmi. Se poate dovedi că orice număr cu o bază dată are un logaritm bine definit. Prin urmare egalitatea presupune . Rețineți că condiția este esențială aici, în caz contrar, concluzia nu ar fi justificată, deoarece egalitatea este adevărată pentru orice valori ale lui x și y.

Exemplul 1. Găsiți

Soluţie. Pentru a obține un număr, trebuie să ridicați baza 2 la puterea Prin urmare.

Puteți face notițe atunci când rezolvați astfel de exemple în următoarea formă:

Exemplul 2. Găsiți .

Soluţie. Avem

În exemplele 1 și 2, am găsit cu ușurință logaritmul dorit reprezentând numărul logaritmului ca o putere a bazei cu un exponent rațional. În cazul general, de exemplu, pentru etc., acest lucru nu se poate face, deoarece logaritmul are o valoare irațională. Să acordăm atenție unei probleme legate de această afirmație. În paragraful 12, am dat conceptul de posibilitatea de a determina orice putere reală a unui număr pozitiv dat. Acest lucru a fost necesar pentru introducerea logaritmilor, care, în general, pot fi numere iraționale.

Să ne uităm la câteva proprietăți ale logaritmilor.

Proprietatea 1. Dacă numărul și baza sunt egale, atunci logaritmul este egal cu unu și, invers, dacă logaritmul este egal cu unu, atunci numărul și baza sunt egale.

Dovada. Fie Prin definiția unui logaritm avem și de unde

Dimpotrivă, să fie Atunci prin definiție

Proprietatea 2. Logaritmul unu la orice bază este egal cu zero.

Dovada. Prin definiția unui logaritm (puterea zero a oricărei baze pozitive este egală cu unu, vezi (10.1)). De aici

Q.E.D.

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă , atunci N = 1. Într-adevăr, avem .

Înainte de a formula următoarea proprietate a logaritmilor, să fim de acord să spunem că două numere a și b se află de aceeași parte a celui de-al treilea număr c dacă ambele sunt mai mari decât c sau mai mici decât c. Dacă unul dintre aceste numere este mai mare decât c, iar celălalt este mai mic decât c, atunci vom spune că se află pe laturile opuse ale lui c.

Proprietatea 3. Dacă numărul și baza se află pe aceeași parte a unuia, atunci logaritmul este pozitiv; Dacă numărul și baza se află pe laturile opuse ale unuia, atunci logaritmul este negativ.

Dovada proprietății 3 se bazează pe faptul că puterea lui a este mai mare decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este pozitiv sau baza este mai mică decât unu și exponentul este negativ. O putere este mai mică decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este negativ sau baza este mai mică decât unu și exponentul este pozitiv.

Există patru cazuri de luat în considerare:

Ne vom limita la a analiza pe primul dintre ele, cititorul le va lua în considerare pe cont propriu.

Fie atunci, în egalitate, exponentul nu poate fi nici negativ, nici egal cu zero, prin urmare, este pozitiv, adică așa cum se cere să fie dovedit.

Exemplul 3. Aflați care dintre logaritmii de mai jos sunt pozitivi și care sunt negativi:

Rezolvare, a) deoarece numărul 15 și baza 12 sunt situate pe aceeași parte a unuia;

b) întrucât 1000 și 2 sunt situate pe o parte a unității; în acest caz, nu este important ca baza să fie mai mare decât numărul logaritmic;

c) deoarece 3.1 și 0.8 se află pe părți opuse ale unității;

G) ; De ce?

d) ; De ce?

Următoarele proprietăți 4-6 sunt adesea numite reguli de logaritmare: ele permit, cunoscând logaritmii unor numere, să se găsească logaritmii produsului lor, câtul și gradul fiecăruia dintre ele.

Proprietatea 4 (regula logaritmului produsului). Logaritmul produsului mai multor numere pozitive la o bază dată este egal cu suma logaritmilor acestor numere la aceeași bază.

Dovada. Fie numerele date pozitive.

Pentru logaritmul produsului lor, scriem egalitatea (26.1) care definește logaritmul:

De aici vom găsi

Comparând exponenții primei și ultimei expresii, obținem egalitatea necesară:

Rețineți că condiția este esențială; logaritmul produsului a două numere negative are sens, dar în acest caz obținem

În general, dacă produsul mai multor factori este pozitiv, atunci logaritmul său este egal cu suma logaritmilor valorilor absolute ale acestor factori.

Proprietatea 5 (regula pentru luarea logaritmilor de coeficienti). Logaritmul unui coeficient de numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului, luați la aceeași bază. Dovada. Găsim în mod constant

Q.E.D.

Proprietatea 6 (regula logaritmului puterii). Logaritmul puterii oricărui număr pozitiv este egal cu logaritmul acelui număr înmulțit cu exponent.

Dovada. Să scriem din nou identitatea principală (26.1) pentru numărul:

Q.E.D.

Consecinţă. Logaritmul unei rădăcini a unui număr pozitiv este egal cu logaritmul radicalului împărțit la exponentul rădăcinii:

Valabilitatea acestui corolar poate fi dovedită imaginând cum și folosind proprietatea 6.

Exemplul 4. Luați logaritmul la baza a:

a) (se presupune că toate valorile b, c, d, e sunt pozitive);

b) (se presupune că ).

Soluție, a) Este convenabil să trecem la puteri fracționale în această expresie:

Pe baza egalităților (26.5)-(26.7), putem scrie acum:

Observăm că asupra logaritmilor numerelor se efectuează operații mai simple decât asupra numerelor în sine: la înmulțirea numerelor se adună logaritmii acestora, la împărțire se scad etc.

De aceea, logaritmii sunt utilizați în practica de calcul (a se vedea paragraful 29).

Acțiunea inversă a logaritmului se numește potențare și anume: potențarea este acțiunea prin care numărul însuși este găsit dintr-un logaritm dat al unui număr. În esență, potențarea nu este o acțiune specială: se rezumă la ridicarea unei baze la o putere (egală cu logaritmul unui număr). Termenul de „potenciare” poate fi considerat sinonim cu termenul de „exponentiare”.

La potențare, trebuie să utilizați regulile inverse regulilor de logaritmare: înlocuiți suma logaritmilor cu logaritmul produsului, diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului etc. În special, dacă există un factor în față a semnului logaritmului, apoi în timpul potențarii acesta trebuie transferat la gradele exponente sub semnul logaritmului.

Exemplul 5. Aflați N dacă se știe că

Soluţie. În legătură cu regula de potențare tocmai enunțată, vom transfera factorii 2/3 și 1/3 care stau în fața semnelor logaritmilor din partea dreaptă a acestei egalități în exponenți sub semnele acestor logaritmi; primim

Acum înlocuim diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului:

pentru a obține ultima fracție din acest lanț de egalități, am eliberat fracția anterioară de iraționalitatea la numitor (clauza 25).

Proprietatea 7. Dacă baza este mai mare decât unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mare (și cel mai mic are unul mai mic), dacă baza este mai mică de unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mic (și cel mai mic unul are unul mai mare).

Această proprietate este, de asemenea, formulată ca o regulă pentru luarea logaritmilor inegalităților, ale căror ambele părți sunt pozitive:

La logaritmizarea inegalităților la o bază mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat, iar la logaritmizarea la o bază mai mică de unu, semnul inegalității se schimbă la opus (a se vedea și paragraful 80).

Demonstrarea se bazează pe proprietățile 5 și 3. Luați în considerare cazul în care Dacă , atunci și, luând logaritmi, obținem

(a și N/M se află pe aceeași parte a unității). De aici

Urmează cazul a, cititorul își va da seama singur.

\(a^(b)=c\) \(\Săgeată la stânga\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai simplu. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea la care trebuie ridicat \(2\) pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Exemple:	\(\log_(5)(25)=2\)	deoarece \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	deoarece \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	deoarece \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul unui logaritm este de obicei scris la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritm de douăzeci și cinci la baza cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: la ce putere ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. De aceea:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Ce putere face pe orice număr unu? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul rând, orice număr la prima putere este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională, ceea ce înseamnă Rădăcină pătrată este puterea lui \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluţie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, să o notăm cu x. Acum să folosim definiția unui logaritm: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ce leagă \(4\sqrt(2)\) și \(8\)? Doi, deoarece ambele numere pot fi reprezentate prin doi: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		În stânga folosim proprietățile gradului: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) și \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazele sunt egale, trecem la egalitatea indicatorilor
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \(\frac(2)(5)\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca egalitatea să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce este x egal? Acesta este ideea.

Cei mai deștepți vor spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum să scriu mai exact acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, a fost inventat logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez că \(\log_(3)(8)\), ca orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrea să-l scriem ca zecimală, ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Soluţie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) și \(10\) nu pot fi aduse la aceeași bază. Aceasta înseamnă că nu te poți descurca fără un logaritm. Să folosim definiția logaritmului: \(a^(b)=c\) \(\Săgeată la stânga\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Să răsturnăm ecuația astfel încât X să fie în stânga
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Înaintea noastră. Să ne deplasăm \(4\) la dreapta. Și nu vă fie teamă de logaritm, tratați-l ca pe un număr obișnuit.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Împărțiți ecuația la 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aceasta este rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar ei nu aleg răspunsul.

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția unui logaritm, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul lui Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

Acesta este, \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

Acesta este, \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem exact cum a apărut această formulă.

Să ne amintim o scurtă notație a definiției logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\). S-a dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi alte proprietăți ale logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluţie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi, în loc de două, puteți scrie \(\log_(2)(4)\).

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), ceea ce înseamnă că putem scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . La fel și cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, putem scrie doi ca logaritm cu orice bază oriunde (fie ea într-o ecuație, într-o expresie sau într-o inegalitate) - pur și simplu scriem baza la pătrat ca argument.

Este la fel și cu triplul – poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \)... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți sensul expresiei \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluţie :

Răspuns : \(1\)

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este egală. la 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definit pentru orice b, dar nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari să nu folosească fără gânduri aceste formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să îndemn la prudență. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.

Formula pentru trecerea la o nouă fundație

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.

Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un important caz special formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Pe măsură ce societatea s-a dezvoltat și producția a devenit mai complexă, s-a dezvoltat și matematica. Mișcare de la simplu la complex. Din contabilitatea obișnuită folosind metoda adunării și scăderii, cu repetarea lor repetată, s-a ajuns la conceptul de înmulțire și împărțire. Reducerea operației repetate de înmulțire a devenit conceptul de exponențiere. Primele tabele ale dependenței numerelor de bază și ale numărului de exponențiere au fost întocmite încă din secolul al VIII-lea de către matematicianul indian Varasena. Din ele puteți număra timpul de apariție a logaritmilor.

Schiță istorică

Reînvierea Europei în secolul al XVI-lea a stimulat și dezvoltarea mecanicii. T a necesitat o cantitate mare de calcul legate de înmulțire și împărțire numere din mai multe cifre. Mesele antice erau de mare serviciu. Au permis înlocuirea operatii complexe la cele mai simple - adunarea și scăderea. Un mare pas înainte a fost lucrarea matematicianului Michael Stiefel, publicată în 1544, în care a realizat ideea multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă utilizarea tabelelor nu numai pentru grade în formă numere prime, dar și pentru cele raționale arbitrare.

În 1614, scoțianul John Napier, dezvoltând aceste idei, a introdus pentru prima dată noul termen „logaritm al unui număr”. Nou tabele complexe pentru calcularea logaritmilor sinusurilor și cosinusurilor, precum și a tangentelor. Acest lucru a redus foarte mult munca astronomilor.

Au început să apară tabele noi, care au fost folosite cu succes de oamenii de știință timp de trei secole. A trecut mult timp înainte ca noua operație în algebră să-și dobândească forma finală. S-a dat definiția logaritmului și s-au studiat proprietățile acestuia.

Abia în secolul al XX-lea, odată cu apariția calculatorului și a calculatorului, omenirea a abandonat vechile mese care funcționaseră cu succes de-a lungul secolelor al XIII-lea.

Astăzi numim logaritmul lui b pentru a baza numărul x care este puterea lui a de a face b. Aceasta se scrie sub formă de formulă: x = log a(b).

De exemplu, log 3(9) ar fi egal cu 2. Acest lucru este evident dacă urmați definiția. Dacă ridicăm 3 la puterea lui 2, obținem 9.

Astfel, definiția formulată stabilește o singură restricție: numerele a și b trebuie să fie reale.

Tipuri de logaritmi

Definiția clasică se numește logaritm real și este de fapt soluția ecuației a x = b. Opțiunea a = 1 este limită și nu prezintă interes. Atenție: 1 la orice putere este egal cu 1.

Valoarea reală a logaritmului definit numai atunci când baza și argumentul sunt mai mari decât 0, iar baza nu trebuie să fie egală cu 1.

Loc deosebit în domeniul matematicii jucați logaritmi, care vor fi denumiti în funcție de dimensiunea bazei lor:

Reguli și restricții

Proprietatea fundamentală a logaritmilor este regula: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmică. log abp = log a(b) + log a(p).

Ca varianta a acestei afirmatii vor exista: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), functia cat este egala cu diferenta functiilor.

Din cele două reguli anterioare este ușor de observat că: log a(b p) = p * log a(b).

Alte proprietăți includ:

Cometariu. Nu este nevoie să faceți o greșeală comună - logaritmul unei sume nu este egal cu suma logaritmilor.

Timp de multe secole, operația de găsire a unui logaritm a fost o sarcină destul de consumatoare de timp. Matematicienii folositi formula binecunoscuta Teoria logaritmică a expansiunii polinomiale:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), unde n - numar natural mai mare decât 1, ceea ce determină acuratețea calculului.

Logaritmii cu alte baze au fost calculati folosind teorema despre trecerea de la o baza la alta si proprietatea logaritmului produsului.

Deoarece această metodă necesită foarte multă muncă și la rezolvarea problemelor practice dificil de implementat, am folosit tabele de logaritmi pre-compilate, care au accelerat semnificativ toată munca.

În unele cazuri, au fost utilizate grafice de logaritmi special compilate, care au oferit mai puțină acuratețe, dar au accelerat semnificativ căutarea valorii dorite. Curba funcției y = log a(x), construită pe mai multe puncte, vă permite să utilizați o riglă obișnuită pentru a găsi valoarea funcției în orice alt punct. Ingineri perioadă lungă de timpÎn aceste scopuri, s-a folosit așa-numita hârtie milimetrată.

În secolul al XVII-lea au apărut primele condiții auxiliare de calcul analogic, care secolul al 19-lea a căpătat un aspect finit. Cel mai de succes dispozitiv a fost numit regulă de calcul. În ciuda simplității dispozitivului, aspectul său a accelerat semnificativ procesul tuturor calculelor de inginerie, iar acest lucru este dificil de supraestimat. În prezent, puțini oameni sunt familiarizați cu acest dispozitiv.

Apariția calculatoarelor și calculatoarelor a făcut ca utilizarea oricăror alte dispozitive să fie inutilă.

Ecuații și inegalități

Pentru a rezolva diverse ecuații și inegalități folosind logaritmi, se folosesc următoarele formule:

Trecerea de la o bază la alta: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Ca o consecință a opțiunii anterioare: log a(b) = 1 / log b(a).

Pentru a rezolva inegalitățile este util să știm:

Valoarea logaritmului va fi pozitivă numai dacă baza și argumentul sunt ambele mai mari sau mai mici decât unu; dacă cel puțin o condiție este încălcată, valoarea logaritmului va fi negativă.
Dacă funcția logaritm este aplicată în partea dreaptă și stângă a unei inegalități, iar baza logaritmului este mai mare decât unu, atunci semnul inegalității este păstrat; altfel se schimba.

Exemple de probleme

Să luăm în considerare mai multe opțiuni pentru utilizarea logaritmilor și proprietățile acestora. Exemple cu rezolvarea ecuațiilor:

Luați în considerare opțiunea de a plasa logaritmul într-o putere:

Problema 3. Calculați 25^log 5(3). Soluție: în condițiile problemei, intrarea este similară cu următoarea (5^2)^log5(3) sau 5^(2 * log 5(3)). Să-l scriem diferit: 5^log 5(3*2), sau pătratul unui număr ca argument funcție poate fi scris ca pătrat al funcției în sine (5^log 5(3))^2. Folosind proprietățile logaritmilor, această expresie este egală cu 3^2. Răspuns: ca rezultat al calculului obținem 9.

Uz practic

Fiind un instrument pur matematic, pare departe de a fi viata reala pe care logaritmul a dobândit-o brusc mare importanță pentru a descrie obiecte lumea reala. Este greu să găsești o știință în care să nu fie folosită. Acest lucru se aplică pe deplin nu numai domeniilor de cunoaștere naturale, ci și umanitare.

Dependențe logaritmice

Iată câteva exemple de dependențe numerice:

Mecanica si fizica

Din punct de vedere istoric, mecanica și fizica s-au dezvoltat întotdeauna folosind metode de cercetare matematică și, în același timp, au servit drept stimulent pentru dezvoltarea matematicii, inclusiv a logaritmilor. Teoria majorității legilor fizicii este scrisă în limbajul matematicii. Să dăm doar două exemple de descriere a legilor fizice folosind logaritmul.

Problema calculării unei cantități atât de complexe precum viteza unei rachete poate fi rezolvată folosind formula Tsiolkovsky, care a pus bazele teoriei explorării spațiului:

V = I * ln (M1/M2), unde

V este viteza finală a aeronavei.
I – impuls specific motorului.
M 1 – masa inițială a rachetei.
M 2 – masa finală.

Un alt exemplu important- aceasta este folosită în formula unui alt mare om de știință Max Planck, care servește la evaluarea stării de echilibru în termodinamică.

S = k * ln (Ω), unde

S – proprietate termodinamică.
k – constanta Boltzmann.
Ω este ponderea statistică a diferitelor stări.

Chimie

Mai puțin evidentă este utilizarea formulelor în chimie care conțin raportul logaritmilor. Să dăm doar două exemple:

Ecuația Nernst, starea potențialului redox al mediului în raport cu activitatea substanțelor și constanta de echilibru.
De asemenea, calculul unor constante precum indicele de autoliză și aciditatea soluției nu se poate face fără funcția noastră.

Psihologie și biologie

Și nu este deloc clar ce legătură are psihologia cu asta. Se pare că puterea senzației este bine descrisă de această funcție ca raportul invers dintre valoarea intensității stimulului și valoarea intensității inferioare.

După exemplele de mai sus, nu mai este de mirare că subiectul logaritmilor este utilizat pe scară largă în biologie. S-ar putea scrie volume întregi despre formele biologice corespunzătoare spiralelor logaritmice.

Alte domenii

Se pare că existența lumii este imposibilă fără legătură cu această funcție și guvernează toate legile. Mai ales când legile naturii sunt legate de progresie geometrică. Merită să apelați la site-ul MatProfi și există multe astfel de exemple în următoarele domenii de activitate:

Lista poate fi nesfârșită. După ce stăpânești principiile de bază ale acestei funcții, te poți cufunda în lumea înțelepciunii infinite.

Proprietățile de bază ale logaritmului natural, grafic, domeniu de definiție, set de valori, formule de bază, derivată, integrală, expansiune în serie de puterişi reprezentarea funcţiei ln x folosind numere complexe.

Definiție

Logaritmul natural este funcția y = ln x, inversul exponențialului, x = e y, și este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică, deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obține din graficul exponențial prin reflexie în oglindă relativ la dreapta y = x.

Logaritmul natural este definit pentru valorile pozitive ale variabilei x. Ea crește monoton în domeniul său de definire.

La x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul (-∞).

Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul (+ ∞). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

ln 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care urmează din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de substituție a bazei:

Dovezile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcție inversă

Inversa logaritmului natural este exponentul.

Daca atunci

Daca atunci.

Derivată ln x

Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulului x:
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Integrala se calculează prin integrare pe părți:
.
Asa de,

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția variabilei complexe z:
.
Să exprimăm variabila complexă z prin modul r si argument φ :
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Daca pui
, unde n este un număr întreg,
va fi același număr pentru n diferit.

Prin urmare, logaritmul natural, în funcție de o variabilă complexă, nu este o funcție cu o singură valoare.