Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul a. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct, ecuația unei drepte care trece prin două puncte, unghiul dintre două drepte, panta unei drepte

Lecție din seria „Algoritmi geometrici”

Bună dragă cititor!

Astăzi vom începe să învățăm algoritmi legați de geometrie. Ideea este că probleme la olimpiadeîn informatică, există destul de multe subiecte legate de geometria computațională, iar rezolvarea unor astfel de probleme provoacă adesea dificultăți.

Pe parcursul mai multor lecții, vom lua în considerare o serie de subsarcini elementare pe care se bazează soluția majorității problemelor din geometria computațională.

În această lecție vom crea un program pentru găsirea ecuației unei drepte, trecând prin dat doua puncte. Pentru a rezolva probleme geometrice, avem nevoie de anumite cunoștințe de geometrie computațională. Vom dedica o parte a lecției cunoașterii lor.

Perspective din geometria computațională

Geometria computațională este o ramură a informaticii care studiază algoritmii pentru rezolvarea problemelor geometrice.

Datele inițiale pentru astfel de probleme pot fi un set de puncte pe un plan, un set de segmente, un poligon (specificat, de exemplu, printr-o listă a vârfurilor sale în ordinea acelor de ceasornic), etc.

Rezultatul poate fi fie un răspuns la o întrebare (cum ar fi un punct aparține unui segment, două segmente se intersectează, ...), fie un obiect geometric (de exemplu, cel mai mic poligon convex care leagă punctele date, aria de un poligon etc.).

Vom lua în considerare probleme de geometrie computațională numai în plan și numai în sistemul de coordonate carteziene.

Vectori și coordonate

Pentru a aplica metodele geometriei computaționale, este necesară traducerea imaginilor geometrice în limbajul numerelor. Vom presupune că planului i se dă un sistem de coordonate carteziene, în care direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic este numită pozitivă.

Acum obiectele geometrice primesc o expresie analitică. Deci, pentru a specifica un punct, este suficient să indicați coordonatele acestuia: o pereche de numere (x; y). Un segment poate fi specificat prin specificarea coordonatelor capetelor sale;

Dar principalul nostru instrument de rezolvare a problemelor vor fi vectorii. Prin urmare, permiteți-mi să amintesc câteva informații despre ei.

Segment AB, care are rost O este considerat începutul (punctul de aplicare) și punctul ÎN– sfârșit, numit vector ABși este notat cu oricare sau printr-o literă mică aldine, de exemplu O .

Pentru a desemna lungimea unui vector (adică lungimea segmentului corespunzător), vom folosi simbolul modulului (de exemplu, ).

Un vector arbitrar va avea coordonate egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului său:

,

aici sunt punctele OŞi B au coordonate respectiv.

Pentru calcule vom folosi conceptul unghi orientat, adică un unghi care ține cont de poziția relativă a vectorilor.

Unghi orientat între vectori o Şi b pozitiv dacă rotația este din vector o a vector b se efectuează în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) și negativ în celălalt caz. Vezi Fig.1a, Fig.1b. Se mai spune că o pereche de vectori o Şi b orientat pozitiv (negativ).

Astfel, valoarea unghiului orientat depinde de ordinea în care sunt listați vectorii și pot lua valori în intervalul .

Multe probleme din geometria computațională folosesc conceptul de produse vectoriale (înclinate sau pseudoscalare) ale vectorilor.

Produsul vectorial al vectorilor a și b este produsul dintre lungimile acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei:

.

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate:

Expresia din dreapta este un determinant de ordinul doi:

Spre deosebire de definiția dată în geometria analitică, este un scalar.

Semnul produsului vectorial determină poziția vectorilor unul față de celălalt:

o Şi b orientat pozitiv.

Dacă valoarea este , atunci o pereche de vectori o Şi b orientat negativ.

Produsul încrucișat al vectorilor nenuli este zero dacă și numai dacă sunt coliniari ( ). Aceasta înseamnă că se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să ne uităm la câteva probleme simple care sunt necesare atunci când rezolvăm altele mai complexe.

Să determinăm ecuația unei drepte din coordonatele a două puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite specificate de coordonatele lor.

Să fie date două puncte necoincidente pe o dreaptă: cu coordonatele (x1; y1) și cu coordonatele (x2; y2). În consecință, un vector cu un început într-un punct și un sfârșit într-un punct are coordonate (x2-x1, y2-y1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe dreapta noastră, atunci coordonatele vectorului sunt egale cu (x-x1, y – y1).

Folosind produsul vectorial, condiția de coliniaritate a vectorilor și poate fi scrisă după cum urmează:

Aceste. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Să rescriem ultima ecuație după cum urmează:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Deci, linia dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație de forma (1).

Problema 1. Sunt date coordonatele a două puncte. Găsiți reprezentarea sa sub forma ax + by + c = 0.

În această lecție am învățat câteva informații despre geometria computațională. Am rezolvat problema găsirii ecuației unei drepte din coordonatele a două puncte.

În lecția următoare vom crea un program pentru a găsi punctul de intersecție a două drepte date de ecuațiile noastre.

Să fie date două puncte M 1 (x 1,y 1)Şi M 2 (x 2,y 2). Să scriem ecuația dreptei în forma (5), unde k coeficient încă necunoscut:

De la punctul M 2 aparține unei linii date, atunci coordonatele acesteia satisfac ecuația (5): . Exprimând de aici și substituind-o în ecuația (5), obținem ecuația necesară:

Dacă această ecuație poate fi rescrisă într-o formă care este mai convenabilă pentru memorare:

(6)

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 (1,2) și M 2 (-2,3)

Soluţie. . Folosind proprietatea proporției și efectuând transformările necesare, obținem ecuație generală direct:

Unghiul dintre două linii drepte

Luați în considerare două linii drepte l 1Şi l 2:

l 1: , , Și

l 2: , ,

φ este unghiul dintre ele (). Din fig. 4 reiese clar: .

De aici , sau

Folosind formula (7) puteți determina unul dintre unghiurile dintre liniile drepte. Al doilea unghi este egal cu .

Exemplu. Două drepte sunt date de ecuațiile y=2x+3 și y=-3x+2. găsiți unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie. Din ecuații este clar că k 1 =2 și k 2 =-3. Înlocuind aceste valori în formula (7), găsim

. Astfel, unghiul dintre aceste drepte este egal cu .

Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte

Dacă drept l 1Şi l 2 sunt paralele, atunci φ=0 Şi tgφ=0. din formula (7) rezultă că , de unde k 2 = k 1. Astfel, condiția pentru paralelismul a două drepte este egalitatea coeficienților lor unghiulari.

Dacă drept l 1Şi l 2 sunt perpendiculare, atunci φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Astfel, condiția pentru perpendicularitatea a două drepte este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn.

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația dreptei care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Găsim ecuația laturii AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.

k= . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y – 34 = 0.

Distanța de la un punct la o linie este determinată de lungimea perpendicularei trasate de la punct la linie.

Dacă linia este paralelă cu planul de proiecție (h | | P 1), apoi pentru a determina distanța de la punct O la o linie dreaptă h este necesară coborârea perpendicularei din punct O la orizontală h.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex, când ia linia dreaptă pozitia generala. Să fie necesar să se determine distanța de la un punct M la o linie dreaptă O pozitia generala.

Sarcina de determinare distanțe dintre liniile paralele se rezolvă în mod similar cu cea precedentă. Un punct este luat pe o dreaptă și o perpendiculară este aruncată de pe o altă dreaptă. Lungimea unei perpendiculare este egală cu distanța dintre liniile paralele.

Curba de ordinul doi este o linie definită de o ecuație de gradul doi în raport cu coordonatele carteziene curente. În cazul general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

unde A, B, C, D, E, F sunt numere reale și cel puțin unul dintre numerele A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Cerc

Centrul cercului– acesta este locul geometric al punctelor din plan echidistant de un punct din planul C(a,b).

Cercul este dat de următoarea ecuație:

Unde x,y sunt coordonatele unui punct arbitrar de pe cerc, R este raza cercului.

Semnul ecuației unui cerc

1. Lipsește termenul cu x,y

2. Coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali

Elipsă

Elipsă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre care de la două puncte date ale acestui plan se numește focare (o valoare constantă).

Ecuația canonică a elipsei:

X și y aparțin elipsei.

a – semiaxa mare a elipsei

b – semiaxa minoră a elipsei

Elipsa are 2 axe de simetrie OX și OU. Axele de simetrie ale unei elipse sunt axele sale, punctul de intersecție a acestora este centrul elipsei. Se numește axa pe care se află focarele axa focală. Punctul de intersecție al elipsei cu axele este vârful elipsei.

Raport de compresie (tensiune): ε = s/a– excentricitatea (caracterizează forma elipsei), cu cât este mai mică, cu atât elipsa este mai puțin extinsă de-a lungul axei focale.

Dacă centrele elipsei nu sunt în centrul C(α, β)

Hiperbolă

Hiperbolă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, valoare absolută diferențele de distanțe, fiecare din două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă diferită de zero.

Ecuația canonică a hiperbolei

O hiperbola are 2 axe de simetrie:

a – semiaxa reală de simetrie

b – semiaxa imaginară de simetrie

Asimptotele unei hiperbole:

Parabolă

Parabolă este locul punctelor din plan echidistant de un punct dat F, numit focar, și de o dreaptă dată, numită directrice.

Ecuația canonică a unei parabole:

У 2 =2рх, unde р este distanța de la focalizare la directrice (parametrul parabolă)

Dacă vârful parabolei este C (α, β), atunci ecuația parabolei (y-β) 2 = 2р(x-α)

Dacă axa focală este luată ca axa ordonatelor, atunci ecuația parabolei va lua forma: x 2 =2qу

Acest articol continuă subiectul ecuației unei drepte pe un plan: vom considera acest tip de ecuație drept ecuația generală a unei drepte. Să definim teorema și să dăm dovada acesteia; Să ne dăm seama ce este o ecuație generală incompletă a unei linii și cum să facem tranziții de la o ecuație generală la alte tipuri de ecuații ale unei linii. Vom consolida întreaga teorie cu ilustrații și soluții la probleme practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fie specificat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y pe plan.

Teorema 1

Orice ecuație de gradul I, având forma A x + B y + C = 0, unde A, B, C sunt numere reale (A și B nu sunt egale cu zero în același timp), definește o dreaptă în un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan. La rândul său, orice linie dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan este determinată de o ecuație care are forma A x + B y + C = 0 pentru un anumit set de valori A, B, C.

Dovada

Această teoremă constă din două puncte pe care le vom demonstra;

1. Să demonstrăm că ecuația A x + B y + C = 0 definește o dreaptă pe plan.

Să existe un punct M 0 (x 0 , y 0), ale cărui coordonate corespund ecuației A x + B y + C = 0. Astfel: A x 0 + B y 0 + C = 0. Scădeți din laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor A x + B y + C = 0 laturile stânga și dreapta ale ecuației A x 0 + B y 0 + C = 0, obținem o nouă ecuație care arată ca A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Este echivalent cu A x + B y + C = 0.

Ecuația rezultată A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea vectorilor n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x) 0, y - y 0). Astfel, mulțimea de puncte M (x, y) definește o dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular perpendicular pe direcția vectorului n → = (A, B). Putem presupune că nu este așa, dar atunci vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nu ar fi perpendiculari, iar egalitatea A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nu ar fi adevărat.

În consecință, ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definește o anumită dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și, prin urmare, ecuația echivalentă A x + B y + C = 0 definește aceeași linie. Așa am demonstrat prima parte a teoremei.

1. Să prezentăm o dovadă că orice dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan poate fi specificată printr-o ecuație de gradul I A x + B y + C = 0.

Să definim o dreaptă a într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan; punctul M 0 (x 0 , y 0) prin care trece această dreaptă, precum și vectorul normal al acestei drepte n → = (A, B) .

Să existe și un punct M (x, y) - un punct flotant pe o dreaptă. În acest caz, vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sunt perpendiculari între ei, iar produsul lor scalar este zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Să rescriem ecuația A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definim C: C = - A x 0 - B y 0 și ca rezultat final obținem ecuația A x + B y + C = 0.

Deci, am demonstrat a doua parte a teoremei și am demonstrat întreaga teoremă ca întreg.

Definiția 1

O ecuație a formei A x + B y + C = 0 - Asta ecuația generală a unei linii pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiularOxy.

Pe baza teoremei dovedite, putem concluziona că o dreaptă și ecuația ei generală definite pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix sunt indisolubil legate. Cu alte cuvinte, linia originală corespunde ecuației sale generale; ecuația generală a unei linii corespunde unei linii date.

Din demonstrarea teoremei mai rezultă că coeficienții A și B pentru variabilele x și y sunt coordonatele vectorului normal al dreptei, care este dat de ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0.

Să luăm în considerare un exemplu specific de ecuație generală a unei linii drepte.

Să fie dată ecuația 2 x + 3 y - 2 = 0, care corespunde unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat. Vectorul normal al acestei linii este vectorul n → = (2, 3) ​​. Să desenăm linia dreaptă dată în desen.

De asemenea, putem afirma următoarele: linia dreaptă pe care o vedem în desen este determinată de ecuația generală 2 x + 3 y - 2 = 0, deoarece coordonatele tuturor punctelor de pe o dreaptă dată corespund acestei ecuații.

Putem obține ecuația λ A x + λ B y + λ C = 0 prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației generale a dreptei cu numărul λ, nu egal cu zero. Ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația generală inițială, prin urmare, va descrie aceeași linie dreaptă pe plan.

Definiția 2

Ecuația generală completă a unei drepte– o astfel de ecuație generală a dreptei A x + B y + C = 0, în care numerele A, B, C sunt diferite de zero. În caz contrar, ecuația este incomplet.

Să analizăm toate variațiile ecuației generale incomplete a unei linii.

1. Când A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ecuația generală ia forma B y + C = 0. O astfel de ecuație generală incompletă definește într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y o linie dreaptă care este paralelă cu axa O x, deoarece pentru orice valoare reală a lui x variabila y va lua valoarea - C B . Cu alte cuvinte, ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0, când A = 0, B ≠ 0, specifică locul punctelor (x, y), ale căror coordonate sunt egale cu același număr - C B .
2. Dacă A = 0, B ≠ 0, C = 0, ecuația generală ia forma y = 0. Această ecuație incompletă definește axa x O x .
3. Când A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, obținem o ecuație generală incompletă A x + C = 0, definind o dreaptă paralelă cu ordonata.
4. Fie A ≠ 0, B = 0, C = 0, atunci ecuația generală incompletă va lua forma x = 0, iar aceasta este ecuația dreptei de coordonate O y.
5. În cele din urmă, pentru A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, ecuația generală incompletă ia forma A x + B y = 0. Și această ecuație descrie o linie dreaptă care trece prin origine. De fapt, perechea de numere (0, 0) corespunde egalității A x + B y = 0, deoarece A · 0 + B · 0 = 0.

Să ilustrăm grafic toate tipurile de mai sus de ecuații generale incomplete ale unei linii drepte.

Exemplul 1

Se știe că dreapta dată este paralelă cu axa ordonatelor și trece prin punctul 2 7, - 11. Este necesar să scrieți ecuația generală a dreptei date.

Soluţie

O dreaptă paralelă cu axa ordonatelor este dată de o ecuație de forma A x + C = 0, în care A ≠ 0. Condiția specifică și coordonatele punctului prin care trece linia, iar coordonatele acestui punct îndeplinesc condițiile ecuației generale incomplete A x + C = 0, adică. egalitatea este adevarata:

A 2 7 + C = 0

Din aceasta este posibil să se determine C dacă îi dăm lui A o valoare diferită de zero, de exemplu, A = 7. În acest caz, obținem: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Cunoaștem ambii coeficienți A și C, înlocuiți-i în ecuația A x + C = 0 și obținem ecuația dreaptă necesară: 7 x - 2 = 0

Răspuns: 7 x - 2 = 0

Exemplul 2

Desenul arată o linie dreaptă, trebuie să scrieți ecuația acesteia.

Soluţie

Desenul dat ne permite să luăm cu ușurință datele inițiale pentru a rezolva problema. Vedem în desen că linia dreaptă dată este paralelă cu axa O x și trece prin punctul (0, 3).

Linia dreaptă, care este paralelă cu abscisa, este determinată de ecuația generală incompletă B y + C = 0. Să găsim valorile lui B și C. Coordonatele punctului (0, 3), deoarece linia dată trece prin el, vor satisface ecuația dreptei B y + C = 0, atunci egalitatea este valabilă: B · 3 + C = 0. Să setăm B la o altă valoare decât zero. Să spunem B = 1, caz în care din egalitatea B · 3 + C = 0 putem găsi C: C = - 3. Noi folosim valori cunoscute B și C, obținem ecuația necesară a dreptei: y - 3 = 0.

Răspuns: y - 3 = 0 .

Ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat dintr-un plan

Să treacă dreapta dată prin punctul M 0 (x 0 , y 0), apoi coordonatele ei corespund ecuației generale a dreptei, adică. egalitatea este adevărată: A x 0 + B y 0 + C = 0. Să scădem părțile stânga și dreaptă ale acestei ecuații din laturile stânga și dreapta ale ecuației generale complete a dreptei. Se obține: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, această ecuație este echivalentă cu cea generală inițială, trece prin punctul M 0 (x 0, y 0) și are o normală vector n → = (A, B) .

Rezultatul pe care l-am obținut face posibilă notarea ecuației generale a unei drepte cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal al dreptei și coordonatele unui anumit punct al acestei drepte.

Exemplul 3

Dat un punct M 0 (- 3, 4) prin care trece o dreaptă și vectorul normal al acestei linii n → = (1 , - 2) . Este necesar să scrieți ecuația dreptei date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne permit să obținem datele necesare compunerii ecuației: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Apoi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema ar fi putut fi rezolvată altfel. Ecuația generală a unei linii este A x + B y + C = 0. Vectorul normal dat ne permite să obținem valorile coeficienților A și B, atunci:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Acum haideti sa gasim valoarea C, folosind punctul M 0 (- 3, 4) specificat de condiția problemei, prin care trece dreapta. Coordonatele acestui punct corespund ecuației x - 2 · y + C = 0, adică. - 3 - 2 4 + C = 0. Prin urmare, C = 11. Ecuația de linie dreaptă necesară ia forma: x - 2 · y + 11 = 0.

Răspuns: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplul 4

Având în vedere o dreaptă 2 3 x - y - 1 2 = 0 și un punct M 0 situat pe această dreaptă. Numai abscisa acestui punct este cunoscută și este egală cu - 3. Este necesar să se determine ordonata unui punct dat.

Soluţie

Să desemnăm coordonatele punctului M 0 ca x 0 și y 0 . Datele sursă indică faptul că x 0 = - 3. Deoarece punctul aparține unei linii date, atunci coordonatele sale corespund ecuației generale a acestei linii. Atunci egalitatea va fi adevărată:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiți y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Răspuns: - 5 2

Trecerea de la ecuația generală a unei linii la alte tipuri de ecuații ale unei linii și invers

După cum știm, există mai multe tipuri de ecuații pentru aceeași linie dreaptă pe un plan. Alegerea tipului de ecuație depinde de condițiile problemei; se poate alege pe cel mai convenabil pentru rezolvare. Abilitatea de a converti o ecuație de un tip într-o ecuație de alt tip este foarte utilă aici.

Mai întâi, să considerăm trecerea de la ecuația generală de forma A x + B y + C = 0 la ecuația canonică x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Dacă A ≠ 0, atunci transferăm termenul B y la partea dreaptă ecuație generală. În partea stângă scoatem A din paranteze. Ca rezultat, obținem: A x + C A = - B y.

Această egalitate poate fi scrisă ca o proporție: x + C A - B = y A.

Dacă B ≠ 0, lăsăm doar termenul A x în partea stângă a ecuației generale, transferăm pe celelalte în partea dreaptă, obținem: A x = - B y - C. Scoatem – B din paranteze, apoi: A x = - B y + C B .

Să rescriem egalitatea ca proporție: x - B = y + C B A.

Desigur, nu este nevoie să memorezi formulele rezultate. Este suficient să cunoașteți algoritmul acțiunilor atunci când treceți de la o ecuație generală la una canonică.

Exemplul 5

Este dată ecuația generală a dreptei 3 y - 4 = 0. Este necesar să o transformăm într-o ecuație canonică.

Soluţie

Să scriem ecuația inițială ca 3 y - 4 = 0. În continuare procedăm conform algoritmului: termenul 0 x rămâne în partea stângă; iar pe partea dreaptă punem - 3 din paranteze; obținem: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Să scriem egalitatea rezultată ca proporție: x - 3 = y - 4 3 0 . Astfel, am obținut o ecuație de formă canonică.

Răspuns: x - 3 = y - 4 3 0.

Pentru a converti ecuația generală a unei linii în ecuații parametrice, mergeți mai întâi la formă canonică, iar apoi trecerea de la ecuația de linie canonică la ecuațiile parametrice.

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația 2 x - 5 y - 1 = 0. Notați ecuațiile parametrice pentru această dreaptă.

Soluţie

Să facem trecerea de la ecuația generală la cea canonică:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Acum luăm ambele părți ale ecuației canonice rezultate egale cu λ, atunci:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Răspuns:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ecuația generală poate fi convertită într-o ecuație a unei drepte cu panta y = k · x + b, dar numai când B ≠ 0. Pentru tranziție, lăsăm termenul B y în partea stângă, restul sunt transferați la dreapta. Se obține: B y = - A x - C . Să împărțim ambele părți ale egalității rezultate la B, diferit de zero: y = - A B x - C B.

Exemplul 7

Ecuația generală a dreptei este dată: 2 x + 7 y = 0. Trebuie să convertiți acea ecuație într-o ecuație a pantei.

Soluţie

Să efectuăm acțiunile necesare conform algoritmului:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Răspuns: y = - 2 7 x .

Din ecuația generală a unei linii, este suficient să obțineți pur și simplu o ecuație în segmente de forma x a + y b = 1. Pentru a face o astfel de tranziție, mutăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate la – C și, în final, transferăm coeficienții pentru variabilele x și y la numitori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplul 8

Este necesar să se transforme ecuația generală a dreptei x - 7 y + 1 2 = 0 în ecuația dreptei în segmente.

Soluţie

Să mutăm 1 2 în partea dreaptă: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Să împărțim ambele părți ale egalității la -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

În general, trecerea inversă este și ea ușoară: de la alte tipuri de ecuații la cea generală.

Ecuația unei linii în segmente și o ecuație cu un coeficient unghiular pot fi ușor convertite într-una generală prin simpla colectare a tuturor termenilor din partea stângă a egalității:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ecuația canonică este convertită într-una generală conform următoarei scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Pentru a trece de la cele parametrice, treceți mai întâi la cea canonică, apoi la cea generală:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 9

Sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei x = - 1 + 2 · λ y = 4. Este necesar să scrieți ecuația generală a acestei linii.

Soluţie

Să facem tranziția de la ecuațiile parametrice la cele canonice:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Să trecem de la canonic la general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Răspuns: y - 4 = 0

Exemplul 10

Este dată ecuația unei drepte în segmentele x 3 + y 1 2 = 1. Este necesar să se facă o tranziție la aspectul general ecuații

Soluţie:

Pur și simplu rescriem ecuația în forma necesară:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Răspuns: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Întocmirea unei ecuații generale a unei drepte

Am spus mai sus că ecuația generală poate fi scrisă cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece dreapta. O astfel de linie dreaptă este definită de ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Acolo am analizat și exemplul corespunzător.

Acum să ne uităm la exemple mai complexe, în care mai întâi trebuie să determinăm coordonatele vectorului normal.

Exemplul 11

Dată o dreaptă paralelă cu dreapta 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Se cunoaşte şi punctul M 0 (4, 1) prin care trece linia dată. Este necesar să scrieți ecuația dreptei date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne spun că dreptele sunt paralele, apoi, ca vector normal al dreptei, a cărei ecuație trebuie scrisă, luăm vectorul direcție al dreptei n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Acum cunoaștem toate datele necesare pentru a crea ecuația generală a dreptei:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplul 12

Linia dată trece prin originea perpendiculară pe dreapta x - 2 3 = y + 4 5. Este necesar să se creeze o ecuație generală pentru o linie dată.

Soluţie

Vectorul normal al unei linii date va fi vectorul direcție al dreptei x - 2 3 = y + 4 5.

Atunci n → = (3, 5) . Linia dreaptă trece prin origine, adică. prin punctul O (0, 0). Să creăm o ecuație generală pentru o linie dată:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Răspuns: 3 x + 5 y = 0 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.

Un număr infinit de linii drepte pot fi trase prin orice punct.

Prin oricare două puncte necoincidente poate fi trasată o singură linie dreaptă.

Două drepte divergente dintr-un plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt

paralel (urmează din precedentul).

În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii:

• liniile se intersectează;

• liniile sunt paralele;

• linii drepte se intersectează.

Drept linia— curbă algebrică de ordinul întâi: o dreaptă în sistemul de coordonate carteziene

este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).

Ecuația generală a unei drepte.

Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

și constantă A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general

ecuația unei linii drepte.În funcție de valorile constantelor A, BŞi CU Sunt posibile următoarele cazuri speciale:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- o linie dreaptă trece prin origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B = C = 0, A ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh

. A = C = 0, B ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice dat

conditiile initiale.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal.

Definiţie. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)

perpendicular pe linia dreaptă, dat de ecuaţie

Ax + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x - y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C

Să substituim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. Prin urmare, obținem: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Total: ecuația necesară: 3x - y - 1 = 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Şi M2 (x 2, y 2, z 2), Apoi ecuația unei linii,

trecând prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe

plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

Dacă x 1 ≠ x 2Şi x = x 1, Dacă x 1 = x 2 .

Fracţiune = k numit pantă direct.

Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.

Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Wu + C = 0 duce la:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește

ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină

o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.

Definiţie. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția

Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al unei linii drepte.

Ax + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,

coeficienții trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.

la x = 1, y = 2 primim C/A = -3, adică ecuația necesară:

x + y - 3 = 0

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la -С, obținem:

sau unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție

drept cu axa Oh, O b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oh.

Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuația normală a unei linii.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wu + C = 0împărțiți la număr care se numeste

factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ*C< 0.

r- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linia dreaptă,

O φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.

Exemplu. Este dată ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie diverse tipuri ecuații

această linie dreaptă.

Ecuația acestei drepte în segmente:

Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

Ecuația unei linii:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,

paralel cu axele sau trecând prin origine.

Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan.

Definiţie. Dacă sunt date două rânduri y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, Asta unghi ascuțit intre aceste linii

va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare

Dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direct Ax + Wu + C = 0Şi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel când coeficienții sunt proporționali

A1 = λA, B1 = λB. Dacă de asemenea С 1 = λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte

se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

Definiţie. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b

reprezentată prin ecuația:

Distanța de la un punct la o dreaptă.

Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linia dreaptă Ax + Wu + C = 0 definit ca:

Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza unei perpendiculare coborâte dintr-un punct M pentru un dat

direct. Apoi distanța dintre puncte MŞi M 1:

(1)

Coordonatele x 1Şi la 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular

linie dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Ecuația unei drepte pe un plan.
Vectorul direcție este drept. Vector normal

O linie dreaptă pe un plan este una dintre cele mai simple forme geometrice, vă este familiar încă din școala elementară, iar astăzi vom învăța cum să o facem cu ajutorul metodelor geometriei analitice. Pentru a stăpâni materialul, trebuie să fii capabil să construiești o linie dreaptă; cunoașteți ce ecuație definește o dreaptă, în special o dreaptă care trece prin originea coordonatelor și drepte paralele cu axele de coordonate. Aceste informații pot fi găsite în manual Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, l-am creat pentru matan, dar secțiunea despre funcţie liniară S-a dovedit foarte reușit și detaliat. Prin urmare, dragi ceainice, încălziți-vă mai întâi acolo. În plus, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre vectori, altfel înțelegerea materialului va fi incompletă.

În această lecție ne vom uita la modalități în care puteți crea o ecuație a unei linii drepte pe un plan. Recomand să nu neglijăm exemplele practice (chiar dacă par foarte simple), întrucât le voi pune la dispoziție fapte elementare și importante, tehnici tehnice care vor fi necesare în viitor, inclusiv în alte secțiuni de matematică superioară.

• Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?
• Cum ?
• Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?
• Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte având în vedere un punct și un vector normal?

si incepem:

Ecuația unei drepte cu panta

Cunoscuta formă „școală” a unei ecuații în linie dreaptă se numește ecuația unei drepte cu panta. De exemplu, dacă o linie dreaptă este dată de ecuație, atunci este pantă: . Să luăm în considerare sens geometric coeficient datși modul în care valoarea acesteia afectează locația liniei:

Într-un curs de geometrie se dovedeşte că panta dreptei este egală cu tangenta unghiuluiîntre direcția pozitivă a axeiși această linie: , iar unghiul „se deșuruba” în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a nu aglomera desenul, am desenat unghiuri doar pentru două linii drepte. Să luăm în considerare linia „roșie” și panta acesteia. Conform celor de mai sus: (unghiul „alfa” este indicat printr-un arc verde). Pentru linia dreaptă „albastră” cu coeficientul unghiului, egalitatea este adevărată (unghiul „beta” este indicat printr-un arc maro). Și dacă tangenta unghiului este cunoscută, atunci, dacă este necesar, este ușor de găsit și colțul însuși folosind funcția inversă – arctangentă. După cum se spune, un tabel trigonometric sau un microcalculator în mâinile tale. Astfel, coeficientul unghiular caracterizează gradul de înclinare a dreptei faţă de axa absciselor.

Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Dacă panta este negativă: atunci linia, aproximativ vorbind, merge de sus în jos. Exemple sunt liniile drepte „albastre” și „zmeură” din desen.

2) Dacă panta este pozitivă: atunci linia merge de jos în sus. Exemple - linii drepte „negre” și „roșii” în desen.

3) Dacă panta este zero: , atunci ecuația ia forma , iar dreapta corespunzătoare este paralelă cu axa. Un exemplu este linia dreaptă „galbenă”.

4) Pentru o familie de linii paralele cu o axă (nu există niciun exemplu în desen, cu excepția axei în sine), coeficientul unghiular nu exista (tangenta de 90 de grade nu este definită).

Cu cât coeficientul de pantă în valoare absolută este mai mare, cu atât graficul în linie dreaptă este mai abrupt..

De exemplu, luați în considerare două linii drepte. Aici, așadar, linia dreaptă are o pantă mai abruptă. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul vă permite să ignorați semnul, ne interesează doar valori absolute coeficienți unghiulari.

La rândul său, o linie dreaptă este mai abruptă decât liniile drepte .

Dimpotrivă: cu cât coeficientul de pantă este mai mic în valoare absolută, cu atât linia dreaptă este mai plată.

Pentru linii drepte inegalitatea este adevărată, astfel linia dreaptă este mai plată. Tobogan pentru copii, pentru a nu-ți da vânătăi și lovituri.

De ce este necesar acest lucru?

Prelungiți-vă chinul Cunoașterea faptelor de mai sus vă permite să vă vedeți imediat greșelile, în special erorile atunci când construiți grafice - dacă desenul se dovedește a fi „evident ceva greșit”. Este recomandabil ca dvs pe loc era clar că, de exemplu, linia dreaptă este foarte abruptă și merge de jos în sus, iar linia dreaptă este foarte plată, apăsată aproape de axă și merge de sus în jos.

În problemele geometrice, apar adesea mai multe linii drepte, așa că este convenabil să le desemnați cumva.

Denumiri: liniile drepte sunt desemnate cu litere mici latine: . O opțiune populară este de a le desemna folosind aceeași literă cu indicele naturale. De exemplu, cele cinci linii la care tocmai ne-am uitat pot fi notate cu .

Deoarece orice linie dreaptă este determinată în mod unic de două puncte, ea poate fi notată prin următoarele puncte: etc. Denumirea implică în mod clar că punctele aparțin liniei.

E timpul sa ne incalzim putin:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?

Dacă se cunosc un punct aparținând unei anumite drepte și coeficientul unghiular al acestei drepte, atunci ecuația acestei drepte se exprimă prin formula:

Exemplul 1

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă cu pantă dacă se știe că punctul aparține dreptei date.

Soluţie: Să compunem ecuația dreptei folosind formula . În acest caz:

Răspuns:

Examinare se face simplu. În primul rând, ne uităm la ecuația rezultată și ne asigurăm că panta noastră este la locul său. În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă această ecuație. Să le conectăm în ecuație:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că punctul satisface ecuația rezultată.

Concluzie: Ecuația a fost găsită corect.

Un exemplu mai dificil de rezolvat singur:

Exemplul 2

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă dacă se știe că unghiul său de înclinare față de direcția pozitivă a axei este , iar punctul aparține acestei drepte.

Dacă aveți dificultăți, recitiți material teoretic. Mai precis, mai practic, sar peste multe dovezi.

A sunat ultimul apel, petrecerea de absolvire s-a stins, iar în afara porților școlii noastre natale ne așteaptă însăși geometria analitică. Glumele s-au terminat... Sau poate abia incep =)

Ne fluturăm cu nostalgie stiloul către familiar și ne familiarizăm cu ecuația generală a unei linii drepte. Pentru că în geometria analitică este exact ceea ce se folosește:

Ecuația generală a unei drepte are forma: , unde sunt câteva numere. În același timp, coeficienții simultan nu sunt egale cu zero, deoarece ecuația își pierde sensul.

Să ne îmbrăcăm într-un costum și să legăm ecuația cu coeficientul de pantă. Mai întâi, să mutăm toți termenii în partea stângă:

Termenul cu „X” trebuie pus pe primul loc:

În principiu, ecuația are deja forma , dar conform regulilor de etichetă matematică, coeficientul primului termen (în acest caz) trebuie să fie pozitiv. Schimbarea semnelor:

Amintește-ți asta caracteristica tehnica! Facem primul coeficient (cel mai des) pozitiv!

În geometria analitică, ecuația unei linii drepte va fi aproape întotdeauna dată în formă generală. Ei bine, dacă este necesar, poate fi ușor redus la forma „școală” cu un coeficient unghiular (cu excepția liniilor drepte paralele cu axa ordonatelor).

Să ne întrebăm ce suficientștii să construiești o linie dreaptă? Două puncte. Dar despre asta cazul copiilor mai târziu, acum sticks cu săgeți regulă. Fiecare linie dreaptă are o pantă foarte specifică, la care este ușor de „adaptat”. vector.

Un vector care este paralel cu o dreaptă se numește vector de direcție al acelei drepte. Este evident că orice linie dreaptă are un număr infinit de vectori de direcție și toți vor fi coliniari (codirecționali sau nu - nu contează).

Voi nota vectorul de direcție astfel: .

Dar un vector nu este suficient pentru a construi o linie dreaptă, vectorul este liber și nu este legat de niciun punct din plan. Prin urmare, în plus, este necesar să cunoașteți un punct care aparține liniei.

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție?

Dacă un anumit punct aparținând unei linii și vectorul de direcție al acestei linii sunt cunoscute, atunci ecuația acestei linii poate fi compilată folosind formula:

Uneori se numește ecuație canonică direct .

Ce să faci când una dintre coordonate este egal cu zero, vom înțelege în exemplele practice de mai jos. Apropo, vă rugăm să rețineți - ambele deodată coordonatele nu pot fi egale cu zero, deoarece vectorul zero nu specifică o direcție specifică.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Soluţie: Să compunem ecuația unei linii drepte folosind formula. În acest caz:

Folosind proprietățile proporției, scăpăm de fracții:

Și aducem ecuația la forma ei generală:

Răspuns:

De regulă, nu este nevoie să faceți un desen în astfel de exemple, ci de dragul înțelegerii:

În desen vedem punctul de plecare, vectorul de direcție inițial (poate fi reprezentat din orice punct al planului) și linia dreaptă construită. Apropo, în multe cazuri este cel mai convenabil să construiți o linie dreaptă folosind o ecuație cu un coeficient unghiular. Este ușor să ne transformăm ecuația în formă și să selectăm cu ușurință un alt punct pentru a construi o linie dreaptă.

După cum s-a menționat la începutul paragrafului, o linie dreaptă are infiniti vectori de direcție și toți sunt coliniari. De exemplu, am desenat trei astfel de vectori: . Indiferent de vectorul de direcție pe care îl alegem, rezultatul va fi întotdeauna aceeași ecuație de linie dreaptă.

Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Rezolvarea proporției:

Împărțiți ambele părți la –2 și obțineți ecuația familiară:

Cei interesați pot testa vectori în același mod sau orice alt vector coliniar.

Acum să rezolvăm problema inversă:

Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?

Foarte simplu:

Dacă o linie este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei linii.

Exemple de găsire a vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

Declarația ne permite să găsim un singur vector de direcție dintr-un număr infinit, dar nu avem nevoie de mai mult. Deși în unele cazuri este recomandabil să se reducă coordonatele vectorilor de direcție:

Astfel, ecuația specifică o dreaptă care este paralelă cu axa și coordonatele vectorului de direcție rezultat sunt împărțite convenabil la –2, obținându-se exact vectorul de bază ca vector de direcție. Logic.

În mod similar, ecuația specifică o linie dreaptă paralelă cu axa și împărțind coordonatele vectorului la 5, obținem vectorul unitar ca vector de direcție.

Acum hai să o facem verificarea Exemplul 3. Exemplul a crescut, așa că vă reamintesc că în el am compilat ecuația unei drepte folosind un vector punct și un vector de direcție

În primul rând, folosind ecuația dreptei îi reconstruim vectorul de direcție: – totul este în regulă, am primit vectorul original (în unele cazuri rezultatul poate fi un vector coliniar cu cel original, iar acest lucru este de obicei ușor de observat prin proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare).

În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația. Le substituim în ecuația:

S-a obținut egalitatea corectă, ceea ce ne bucură foarte mult.

Concluzie: Sarcina a fost finalizată corect.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Este foarte recomandabil să verificați folosind algoritmul discutat. Încercați să verificați întotdeauna (dacă este posibil) un draft. Este o prostie sa faci greseli acolo unde pot fi evitate 100%.

În cazul în care una dintre coordonatele vectorului de direcție este zero, procedați foarte simplu:

Exemplul 5

Soluţie: Formula nu este potrivită deoarece numitorul din partea dreaptă este zero. Există o cale de ieșire! Folosind proprietățile proporției, rescriem formula în formă, iar restul s-a rostogolit de-a lungul unui șanț adânc:

Răspuns:

Examinare:

1) Restabiliți vectorul de direcție al dreptei:
– vectorul rezultat este coliniar cu vectorul de direcție original.

2) Înlocuiți coordonatele punctului în ecuație:

Se obține egalitatea corectă

Concluzie: sarcina finalizată corect

Apare întrebarea, de ce să vă deranjați cu formula dacă există o versiune universală care va funcționa în orice caz? Există două motive. În primul rând, formula este sub forma unei fracții mult mai bine amintit. Și în al doilea rând, dezavantajul formula universală este asta riscul de confuzie crește semnificativ la înlocuirea coordonatelor.

Exemplul 6

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Să revenim la cele două puncte omniprezente:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind două puncte?

Dacă se cunosc două puncte, atunci ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte poate fi compilată folosind formula:

De fapt, acesta este un tip de formulă și iată de ce: dacă se cunosc două puncte, atunci vectorul va fi vectorul de direcție al dreptei date. În clasă Vectori pentru manechine am luat în considerare cea mai simplă sarcină– cum să găsiți coordonatele unui vector din două puncte. Conform acestei probleme, coordonatele vectorului de direcție sunt:

Nota : punctele pot fi „schimbate” și poate fi folosită formula . O astfel de soluție va fi echivalentă.

Exemplul 7

Scrieți o ecuație a unei drepte folosind două puncte .

Soluţie: Folosim formula:

Pieptănarea numitorilor:

Și amestecați puntea:

Acum este momentul să scapi de numerele fracționale. În acest caz, trebuie să înmulțiți ambele părți cu 6:

Deschideți parantezele și aduceți-vă în minte ecuația:

Răspuns:

Examinare este evident - coordonatele punctelor inițiale trebuie să satisfacă ecuația rezultată:

1) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

2) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

Concluzie: Ecuația dreptei este scrisă corect.

Dacă cel putin unul dintre puncte nu satisface ecuația, căutați o eroare.

Este demn de remarcat faptul că verificarea grafică în acest caz este dificilă, deoarece construiți o linie dreaptă și vedeți dacă punctele îi aparțin , nu chiar atât de simplu.

Voi mai nota câteva aspecte tehnice ale soluției. Poate că în această problemă este mai profitabil să folosiți formula oglindă și, în aceleași puncte faceți o ecuație:

Mai puține fracții. Dacă doriți, puteți duce soluția până la capăt, rezultatul ar trebui să fie aceeași ecuație.

Al doilea punct este să vă uitați la răspunsul final și să vă dați seama dacă poate fi simplificat în continuare? De exemplu, dacă obțineți ecuația , atunci este indicat să o reduceți cu două: – ecuația va defini aceeași linie dreaptă. Cu toate acestea, acesta este deja un subiect de conversație poziţia relativă a liniilor.

După ce a primit răspunsul în Exemplul 7, pentru orice eventualitate, am verificat dacă TOȚI coeficienții ecuației sunt divizibili cu 2, 3 sau 7. Deși, cel mai adesea astfel de reduceri se fac în timpul soluției.

Exemplul 8

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin puncte .

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, care vă va permite să înțelegeți și să exersați mai bine tehnicile de calcul.

Similar cu paragraful anterior: dacă în formulă unul dintre numitori (coordonata vectorului de direcție) devine zero, apoi îl rescriem sub forma . Din nou, observați cât de stânjenită și confuză arată. Nu văd prea mult rost să dau exemple practice, deoarece am rezolvat deja această problemă (vezi nr. 5, 6).

Vector normal direct (vector normal)

Ce este normal? Cu cuvinte simple, normalul este perpendicular. Adică, vectorul normal al unei linii este perpendicular pe o dreaptă dată. Evident, orice linie dreaptă are un număr infinit de ele (precum și vectori de direcție), iar toți vectorii normali ai dreptei vor fi coliniari (codirecționali sau nu, nu are nicio diferență).

Tratarea cu ei va fi chiar mai ușoară decât cu vectorii ghid:

Dacă o dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul normal al acestei linii.

Dacă coordonatele vectorului de direcție trebuie să fie „trase” cu atenție din ecuație, atunci coordonatele vectorului normal pot fi pur și simplu „eliminate”.

Vectorul normal este întotdeauna ortogonal cu vectorul de direcție al dreptei. Să verificăm ortogonalitatea acestor vectori folosind produs punctual:

Voi da exemple cu aceleași ecuații ca și pentru vectorul de direcție:

Este posibil să construim o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal? O simt în intestine, este posibil. Dacă vectorul normal este cunoscut, atunci direcția dreptei în sine este clar definită - aceasta este o „structură rigidă” cu un unghi de 90 de grade.

Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

Dacă un anumit punct aparținând unei linii și vectorul normal al acestei drepte sunt cunoscute, atunci ecuația acestei linii se exprimă prin formula:

Aici totul a mers fără fracțiuni și alte surprize. Acesta este vectorul nostru normal. Iubește-l. Si respect =)

Exemplul 9

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul de direcție al dreptei.

Soluţie: Folosim formula:

S-a obținut ecuația generală a dreptei, să verificăm:

1) „Eliminați” coordonatele vectorului normal din ecuație: – da, într-adevăr, vectorul original a fost obținut din condiție (sau ar trebui să se obțină un vector coliniar).

2) Să verificăm dacă punctul satisface ecuația:

Adevărata egalitate.

După ce suntem convinși că ecuația este compusă corect, vom finaliza a doua parte, mai ușoară, a sarcinii. Scoatem vectorul de direcție al dreptei:

Răspuns:

În desen situația arată astfel:

În scopuri de instruire, o sarcină similară pentru rezolvarea independentă:

Exemplul 10

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul de direcție al dreptei.

Secțiune finală lecția va fi dedicată celor mai puțin obișnuite, dar și specii importante ecuațiile unei drepte pe un plan

Ecuația unei drepte în segmente.
Ecuația unei drepte în formă parametrică

Ecuația unei linii drepte în segmente are forma , unde sunt constante nenule. Unele tipuri de ecuații nu pot fi reprezentate în această formă, de exemplu, proporționalitatea directă (deoarece termenul liber este egal cu zero și nu există nicio modalitate de a obține unul în partea dreaptă).

Acesta este, la figurat vorbind, un tip „tehnic” de ecuație. O sarcină comună este de a reprezenta ecuația generală a unei linii ca o ecuație a unei linii în segmente. Cum este convenabil? Ecuația unei drepte în segmente vă permite să găsiți rapid punctele de intersecție ale unei linii cu axe de coordonate, ceea ce poate fi foarte important în unele probleme de matematică superioară.

Să găsim punctul de intersecție al dreptei cu axa. Resetăm „y” la zero, iar ecuația ia forma . Punctul dorit se obtine automat: .

La fel si cu axa – punctul în care dreapta intersectează axa ordonatelor.