Raza cercului înscris prin cercul circumscris. Înscris și încerc

Un cerc este considerat înscris în limitele unui poligon regulat dacă se află în interiorul acestuia și atinge liniile care trec prin toate laturile. Să ne uităm la cum să găsim centrul și raza unui cerc. Centrul cercului va fi punctul în care bisectoarele colțurilor poligonului se intersectează. Se calculează raza: R=S/P; S este aria poligonului, P este semiperimetrul cercului.

Într-un triunghi

Un singur cerc este înscris într-un triunghi regulat, al cărui centru se numește incentru; este situat la aceeași distanță din toate părțile și este intersecția bisectoarelor.

Într-un patrulater

Adesea trebuie să decideți cum să găsiți raza cercului înscris în această figură geometrică. Trebuie să fie convex (dacă nu există auto-intersecții). Un cerc poate fi înscris în el numai dacă sumele laturilor opuse sunt egale: AB+CD=BC+AD.

În acest caz, centrul cercului înscris, punctele medii ale diagonalelor, sunt situate pe aceeași linie dreaptă (conform teoremei lui Newton). Un segment ale cărui capete sunt situate acolo unde laturile opuse ale unui patrulater regulat se intersectează se află pe aceeași linie dreaptă, numită linie dreaptă gaussiană. Centrul cercului va fi punctul la care altitudinile triunghiului se intersectează cu vârfurile și diagonalele (conform teoremei lui Brocard).

Într-un romb

Este considerat un paralelogram cu laturile de lungime egală. Raza cercului înscris în el poate fi calculată în mai multe moduri.

1. Pentru a face acest lucru corect, găsiți raza cercului înscris al rombului, dacă aria rombului și lungimea laturii sale sunt cunoscute. Se utilizează formula r=S/(2Xa). De exemplu, dacă aria unui romb este de 200 mm pătrat, lungimea laturii este de 20 mm, atunci R = 200/(2X20), adică 5 mm.
2. Cunoscut unghi ascuțit unul dintre vârfuri. Apoi trebuie să utilizați formula r=v(S*sin(α)/4). De exemplu, cu o suprafață de 150 mm și un unghi cunoscut de 25 de grade, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0.423/4) ≈ v15.8625 ≈ 3.983 mm.
3. Toate unghiurile dintr-un romb sunt egale. În această situație, raza unui cerc înscris într-un romb va fi egală cu jumătate din lungimea unei laturi a acestei figuri. Dacă raționăm după Euclid, care afirmă că suma unghiurilor oricărui patrulater este de 360 ​​de grade, atunci un unghi va fi egal cu 90 de grade; aceste. se va dovedi a fi un pătrat.

Foarte des, atunci când rezolvați probleme geometrice, trebuie să efectuați acțiuni cu figuri auxiliare. De exemplu, găsirea razei unui cerc înscris sau circumscris etc. Acest articol vă va arăta cum să găsiți raza unui cerc circumscris de un triunghi. Sau, cu alte cuvinte, raza cercului în care este înscris triunghiul.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi - formulă generală

Formula generală arată ca după cum urmează: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), unde R este raza cercului circumscris, p este perimetrul triunghiului împărțit la 2 (semiperimetru). a, b, c – laturile triunghiului.

Aflați raza circumferinței triunghiului dacă a = 3, b = 6, c = 7.

Astfel, pe baza formulei de mai sus, calculăm semiperimetrul:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Inlocuim valorile in formula si obtinem:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Răspuns: R = 126/16√5

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi echilateral

Pentru a găsi raza unui cerc circumscris unui triunghi echilateral, există o formulă destul de simplă: R = a/√3, unde a este mărimea laturii sale.

Exemplu: Latura unui triunghi echilateral este 5. Aflați raza cercului circumscris.

Deoarece toate laturile unui triunghi echilateral sunt egale, pentru a rezolva problema trebuie doar să introduceți valoarea acestuia în formulă. Se obține: R = 5/√3.

Răspuns: R = 5/√3.

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi dreptunghic

Formula este următoarea: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, unde a și b sunt catetele și c este ipotenuza. Dacă adăugați pătratele catetelor într-un triunghi dreptunghic, obțineți pătratul ipotenuzei. După cum se poate vedea din formulă, această expresie se află sub rădăcină. Calculând rădăcina pătratului ipotenuzei, obținem lungimea în sine. Înmulțirea expresiei rezultate cu 1/2 ne duce în cele din urmă la expresia 1/2 × c = c/2.

Exemplu: Calculați raza cercului circumscris dacă catetele triunghiului sunt 3 și 4. Înlocuiți valorile în formulă. Se obține: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

În această expresie, 5 este lungimea ipotenuzei.

Răspuns: R = 2,5.

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi isoscel

Formula este următoarea: R = a²/√(4a² – b²), unde a este lungimea coapsei triunghiului și b este lungimea bazei.

Exemplu: Calculați raza unui cerc dacă șoldul lui = 7 și baza = 8.

Rezolvare: Înlocuiți aceste valori în formulă și obțineți: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Răspunsul poate fi scris direct astfel.

Răspuns: R = 49/√132

Resurse online pentru calcularea razei unui cerc

Poate fi foarte ușor să te încurci în toate aceste formule. Prin urmare, dacă este necesar, puteți utiliza calculatoare online, care vă va ajuta în rezolvarea problemelor de găsire a razei. Principiul de funcționare al unor astfel de mini-programe este foarte simplu. Înlocuiți valoarea laterală în câmpul corespunzător și obțineți un răspuns gata făcut. Puteți alege mai multe opțiuni pentru rotunjirea răspunsului: la zecimale, sutimi, miimi etc.

Dacă un cerc este situat în interiorul unui unghi și atinge laturile acestuia, se numește înscris în acest unghi. Centrul unui astfel de cerc înscris este situat pe bisectoare a acestui unghi.

Dacă se află în interiorul unui poligon convex și atinge toate laturile acestuia, se numește înscris într-un poligon convex.

Un cerc înscris într-un triunghi atinge fiecare latură a acestei figuri într-un singur punct. Un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi.

Raza unui astfel de cerc va depinde de următorii parametri ai triunghiului:

1. Lungimile laturilor triunghiului.
2. Zona sa.
3. Perimetrul său.
4. Măsurătorile unghiurilor unui triunghi.

Pentru a calcula raza cercului înscris într-un triunghi, nu este întotdeauna necesar să cunoașteți toți parametrii enumerați mai sus, deoarece aceștia sunt interrelaționați prin funcții trigonometrice.

Calcul folosind semiperimetrul

1. Dacă se cunosc lungimile tuturor laturilor figură geometrică(le notăm cu literele a, b și c), atunci va trebui să calculați raza luând rădăcina pătrată.
2. La începerea calculelor, este necesar să adăugați încă o variabilă la datele inițiale - semiperimetrul (p). Se poate calcula însumând toate lungimile și împărțind suma rezultată la 2. p = (a+b+c)/2. În acest fel, formula pentru găsirea razei poate fi simplificată semnificativ.
3. În general, formula trebuie să includă semnul radicalului sub care este plasată fracția, numitorul acestei fracțiuni va fi valoarea semiperimetrului p.
4. Numătorul acestei fracții va fi produsul diferențelor (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Astfel, forma completă a formulei va fi prezentată astfel: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Calcul ținând cont de aria unui triunghi

Daca stim aria unui triunghiși lungimile tuturor laturilor sale, acest lucru ne va permite să găsim raza cercului care ne interesează fără a recurge la extragerea rădăcinilor.

1. Mai întâi trebuie să dublezi dimensiunea zonei.
2. Rezultatul este împărțit la suma lungimilor tuturor laturilor. Apoi formula va arăta astfel: r = 2*S/(a+b+c).
3. Dacă utilizați valoarea semiperimetrului, puteți obține complet formulă simplă: r = S/p.

Calcul folosind funcții trigonometrice

Dacă enunțul problemei conține lungimea uneia dintre laturi, valoarea unghiului opus și perimetrul, puteți folosi funcția trigonometrică - tangentă. În acest caz, formula de calcul va arăta astfel:

r = (P /2- a)* tg (α/2), unde r este raza dorită, P este perimetrul, a este lungimea uneia dintre laturi, α este valoarea partea opusă, și unghiul.

Raza cercului care va trebui să fie înscris într-un triunghi regulat poate fi găsită folosind formula r = a*√3/6.

Cercul înscris într-un triunghi dreptunghic

ÎN triunghi dreptunghic poate fi introdus doar un cerc. Centrul unui astfel de cerc servește simultan ca punct de intersecție al tuturor bisectoarelor. Această figură geometrică are unele caracteristici distinctive, care trebuie luată în considerare la calcularea razei cercului înscris.

1. Mai întâi trebuie să construiți un triunghi dreptunghic cu parametrii dați. Puteți construi o astfel de figură după dimensiunea unei laturi și valorile a două unghiuri sau după două laturi și unghiul dintre aceste laturi. Toți acești parametri trebuie specificați în condițiile sarcinii. Triunghiul este notat cu ABC, cu C fiind vârful unghi drept. Picioarele sunt desemnate prin variabile, OŞi b, iar ipotenuza este o variabilă Cu.
2. Pentru a construi formula clasică și a calcula raza unui cerc, este necesar să găsiți dimensiunile tuturor laturilor figurii descrise în enunțul problemei și să calculați semiperimetrul din ele. Dacă condițiile dau dimensiunile a două catete, le puteți folosi pentru a calcula dimensiunea ipotenuzei pe baza teoremei lui Pitagora.
3. Dacă condiția dă dimensiunea unui picior și a unui unghi, este necesar să înțelegem dacă acest unghi este adiacent sau opus. În primul caz, ipotenuza se găsește folosind teorema sinusului: c=a/sinСАВ, în al doilea caz se aplică teorema cosinusului c=a/cosCBA.
4. Când toate calculele au fost finalizate și valorile tuturor laturilor sunt cunoscute, semiperimetrul este găsit folosind formula descrisă mai sus.
5. Cunoscând dimensiunea semi-perimetrului, puteți găsi raza. Formula este o fracție. Numătorul său este produsul diferențelor dintre semiperimetru și fiecare latură, iar numitorul este valoarea semiperimetrului.

Trebuie remarcat faptul că numărătorul acestei formule este un indicator de zonă. În acest caz, formula pentru găsirea razei este mult mai simplă - este suficient să împărțiți zona la semiperimetru.

Este posibil să se determine aria unei figuri geometrice chiar dacă ambele părți sunt cunoscute. Pentru a afla ipotenuza se folosește suma pătratelor acestor catete, apoi se calculează semiperimetrul. Puteți calcula suprafața înmulțind valorile picioarelor între ele și împărțind rezultatul la 2.

Dacă în condițiile sunt date lungimile catetelor și ale ipotenuzei, raza poate fi determinată folosind o formulă foarte simplă: pentru aceasta se adună lungimile catetelor, iar lungimea ipotenuzei se scade din rezultatul. număr. Rezultatul trebuie împărțit în jumătate.

Video

În acest videoclip veți învăța cum să găsiți raza unui cerc înscris într-un triunghi.

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

O rază este un segment de linie care leagă orice punct dintr-un cerc de centrul său. Aceasta este una dintre cele mai importante caracteristici ale acestei figuri, deoarece pe baza ei pot fi calculați toți ceilalți parametri. Dacă știți cum să găsiți raza unui cerc, puteți calcula diametrul, lungimea și aria acestuia. În cazul în care o anumită figură este înscrisă sau descrisă în jurul alteia, pot fi rezolvate o serie de alte probleme. Astăzi ne vom uita la formulele de bază și la caracteristicile aplicării lor.

Cantitati cunoscute

Dacă știți cum să găsiți raza unui cerc, care este de obicei notă cu litera R, atunci aceasta poate fi calculată folosind o caracteristică. Aceste valori includ:

• circumferinta (C);
• diametru (D) - un segment (sau mai bine zis, o coardă) care trece prin punctul central;
• zona (S) - spațiul care este limitat de o cifră dată.

Circumferinţă

Dacă valoarea lui C este cunoscută în problemă, atunci R = C / (2 * P). Această formulă este un derivat. Dacă știm care este circumferința, atunci nu mai trebuie să ne amintim. Să presupunem că în problema C = 20 m Cum se află raza cercului în acest caz? Pur și simplu înlocuim valoarea cunoscută în formula de mai sus. Rețineți că, în astfel de probleme, cunoașterea numărului P este întotdeauna implicită. Soluția în acest caz arată astfel: notăm ce cantități sunt date, derivăm formula și efectuăm calculele. În răspuns scriem că raza este 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m Este important să nu uităm ce am calculat și să menționăm numele unităților de măsură.

După diametru

Să subliniem imediat că acesta este cel mai simplu tip de problemă, care întreabă cum să găsim raza unui cerc. Dacă ai dat peste un astfel de exemplu la un test, atunci poți fi liniștit. Nici măcar nu aveți nevoie de un calculator aici! După cum am spus deja, diametrul este un segment sau, mai corect, o coardă care trece prin centru. În acest caz, toate punctele cercului sunt echidistante. Prin urmare, acest acord este format din două jumătăți. Fiecare dintre ele este o rază, care rezultă din definiția sa ca un segment care leagă un punct dintr-un cerc și centrul acestuia. Dacă diametrul este cunoscut în problemă, atunci pentru a găsi raza trebuie pur și simplu să împărțiți această valoare la două. Formula este următoarea: R = D / 2. De exemplu, dacă diametrul în problemă este de 10 m, atunci raza este de 5 metri.

După aria unui cerc

Acest tip de problemă este de obicei numit cea mai dificilă. Acest lucru se datorează în primul rând necunoașterii formulei. Dacă știți cum să găsiți raza unui cerc în acest caz, atunci restul este o chestiune de tehnică. În calculator, trebuie doar să găsiți pictograma de calcul rădăcină pătrată în avans. Aria unui cerc este produsul dintre numărul P și raza înmulțită cu ea însăși. Formula este următoarea: S = P * R 2. Izolând raza pe o parte a ecuației, puteți rezolva cu ușurință problema. Acesta va fi egal cu rădăcina pătrată a câtului ariei împărțit la numărul P. Dacă S = 10 m, atunci R = 1,78 metri. Ca și în problemele anterioare, este important să ne amintim unitățile de măsură folosite.

Cum să găsiți circumraza unui cerc

Să presupunem că a, b, c sunt laturile triunghiului. Dacă le cunoașteți valorile, puteți găsi raza cercului descris în jurul acestuia. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să găsiți semiperimetrul triunghiului. Pentru a fi mai ușor de înțeles, să o notăm cu litera mică p. Va fi egal cu jumătate din suma laturilor. Formula sa: p = (a + b + c) / 2.

De asemenea, calculăm produsul lungimilor laturilor. Pentru comoditate, să o notăm cu litera S. Formula pentru raza cercului circumscris va arăta astfel: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Să ne uităm la un exemplu de sarcină. Avem un cerc circumscris unui triunghi. Lungimile laturilor sale sunt de 5, 6 și 7 cm. Mai întâi, calculăm semiperimetrul. În problema noastră va fi egal cu 9 centimetri. Acum să calculăm produsul lungimilor laturilor - 210. Înlocuim rezultatele calculelor intermediare în formulă și aflăm rezultatul. Raza cercului circumscris este de 3,57 centimetri. Notăm răspunsul, fără a uita de unitățile de măsură.

Cum să găsiți raza unui cerc înscris

Să presupunem că a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului. Dacă le cunoașteți valorile, puteți găsi raza cercului înscris în el. Mai întâi trebuie să-i găsiți semi-perimetrul. Pentru a fi mai ușor de înțeles, să o notăm cu litera mică p. Formula de calcul este următoarea: p = (a + b + c) / 2. Acest tip de problemă este oarecum mai simplă decât precedenta, deci nu mai sunt necesare calcule intermediare.

Raza cercului înscris se calculează folosind următoarea formulă: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Să ne uităm la asta cu un exemplu concret. Să presupunem că problema descrie un triunghi cu laturile de 5, 7 și 10 cm este înscris în el un cerc, a cărui rază trebuie găsită. Mai întâi găsim semiperimetrul. În problema noastră, va fi egal cu 11 cm. Acum îl înlocuim în formula principală. Raza va fi egală cu 1,65 centimetri. Scrieți răspunsul și nu uitați de unitățile de măsură corecte.

Cercul și proprietățile sale

Fiecare figură geometrică are propriile sale caracteristici. Corectitudinea rezolvării problemelor depinde de înțelegerea acestora. Cercul le are și el. Ele sunt adesea folosite atunci când se rezolvă exemple cu cifre descrise sau înscrise, deoarece oferă o imagine clară a unei astfel de situații. Printre acestea:

• O linie dreaptă poate avea zero, unul sau două puncte de intersecție cu un cerc. În primul caz nu se intersectează cu ea, în al doilea este o tangentă, în al treilea este o secantă.
• Dacă luați trei puncte care nu se află pe aceeași linie, atunci doar un cerc poate fi trasat prin ele.
• O linie dreaptă poate fi tangentă la două cifre simultan. În acest caz, va trece printr-un punct care se află pe segmentul care leagă centrele cercurilor. Lungimea sa este egală cu suma razelor acestor cifre.
• Un număr infinit de cercuri pot fi trase printr-unul sau două puncte.

În acest articol vom vorbi despre cum să exprimăm aria unui poligon în care poate fi înscris un cerc, prin raza acestui cerc. Merită remarcat imediat că nu orice poligon poate încadra într-un cerc. Cu toate acestea, dacă acest lucru este posibil, atunci formula prin care se calculează aria unui astfel de poligon devine foarte simplă. Citiți acest articol până la sfârșit sau urmăriți tutorialul video atașat și veți învăța cum să exprimați aria unui poligon în funcție de raza cercului înscris în acesta.

Formula pentru aria unui poligon în funcție de raza cercului înscris

Să desenăm un poligon O 1 O 2 O 3 O 4 O 5, nu neapărat corect, dar unul în care poate fi înscris un cerc. Permiteți-mi să vă reamintesc că un cerc înscris este un cerc care atinge toate laturile poligonului. În imagine este un cerc verde cu un centru în punct O:

Am luat ca exemplu 5-gon aici. Dar, de fapt, acest lucru nu are o importanță semnificativă, deoarece dovada ulterioară este valabilă atât pentru un 6-gon, cât și pentru un 8-gon și, în general, pentru orice „gon” arbitrar.

Dacă conectați centrul cercului înscris cu toate vârfurile poligonului, atunci acesta va fi împărțit în atâtea triunghiuri câte vârfuri există în poligonul dat. În cazul nostru: pentru 5 triunghiuri. Dacă conectăm punctul O cu toate punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile poligonului, apoi obțineți 5 segmente (în figura de mai jos acestea sunt segmente OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 și OH 5), care sunt egale cu raza cercului și perpendiculare pe laturile poligonului pe care sunt desenate. Acesta din urmă este adevărat, deoarece raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente:

Cum să găsim aria poligonului nostru circumscris? Răspunsul este simplu. Trebuie să aduni zonele tuturor triunghiurilor rezultate:

Să luăm în considerare care este aria unui triunghi. În imaginea de mai jos este evidențiată cu galben:

Este egal cu jumătate din produsul bazei O 1 O 2 la înălțime OH 1, tras la această bază. Dar, așa cum am aflat deja, această înălțime este egală cu raza cercului înscris. Adică, formula pentru aria unui triunghi ia forma: , Unde r— raza cercului înscris. Zonele tuturor triunghiurilor rămase se găsesc în mod similar. Ca urmare, aria necesară a poligonului este egală cu:

Se vede că în toți termenii acestei sume există multiplicator comun, care poate fi scos din paranteze. Rezultatul va fi următoarea expresie:

Adică, ceea ce rămâne între paranteze este pur și simplu suma tuturor laturilor poligonului, adică perimetrul acestuia P. Cel mai adesea în această formulă expresia este pur și simplu înlocuită cu pși ei numesc această literă „semi-perimetru”. Ca urmare, formula finală ia forma:

Adică, aria unui poligon în care este înscris un cerc de rază cunoscută este egală cu produsul acestei raze și jumătatea perimetrului poligonului. Acesta este rezultatul pe care ne-am propus.

În cele din urmă, el va observa că un cerc poate fi întotdeauna înscris într-un triunghi, care este un caz special al unui poligon. Prin urmare, pentru un triunghi această formulă poate fi întotdeauna aplicată. Pentru alte poligoane cu mai mult de 3 laturi, trebuie mai întâi să vă asigurați că un cerc poate fi înscris în ele. Dacă acesta este cazul, puteți utiliza în siguranță această formulă simplă și o puteți utiliza pentru a găsi aria acestui poligon.

Material pregătit de Serghei Valerievich