Rezolvați derivata unei funcții complexe. Rezolvarea derivatei pentru manechine: definiție, cum se găsește, exemple de soluții

De când ați venit aici, probabil că ați văzut deja această formulă în manual

si fa o fata ca asta:

Prietene, nu-ți face griji! De fapt, totul este pur și simplu scandalos. Cu siguranță vei înțelege totul. O singură cerere - citiți articolul încet, încearcă să înțelegi fiecare pas. Am scris cât se poate de simplu și clar, dar tot trebuie să înțelegeți ideea. Și asigurați-vă că rezolvați sarcinile din articol.

Ce este o funcție complexă?

Imaginați-vă că vă mutați într-un alt apartament și, prin urmare, împachetați lucrurile în cutii mari. Să presupunem că trebuie să colectăm câteva obiecte mici, de exemplu, materialele de scris din școală. Dacă doar le arunci într-o cutie imensă, se vor pierde printre altele. Pentru a evita acest lucru, le pui mai întâi, de exemplu, într-o pungă, pe care apoi o pui într-o cutie mare, după care o sigilezi. Acest proces „complex” este prezentat în diagrama de mai jos:

S-ar părea, ce legătură are matematica cu asta? Da, în ciuda faptului că o funcție complexă se formează EXACT ÎN ACELAȘI mod! Numai că „împachetăm” nu caiete și pixuri, ci \(x\), în timp ce „pachetele” și „cutiile” sunt diferite.

De exemplu, să luăm x și să-l „împachetăm” într-o funcție:

Ca rezultat, obținem, desigur, \(\cos⁡x\). Acesta este „sacul nostru de lucruri”. Acum să-l punem într-o „cutie” - împachetați-l, de exemplu, într-o funcție cubică.

Ce se va întâmpla până la urmă? Da, așa este, va exista o „pungă de lucruri într-o cutie”, adică „cosinus cu X cub”.

Designul rezultat este o funcție complexă. Diferă de unul simplu prin aceea că MAI MULTE „impacturi” (pachete) sunt aplicate unui X la rândși se dovedește a fi „funcție din funcție” - „ambalare în ambalaj”.

În cursul școlar există foarte puține tipuri de aceste „pachete”, doar patru:

Acum să „împachetăm” X mai întâi într-o funcție exponențială cu baza 7 și apoi într-o funcție trigonometrică. Primim:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Acum să „împachetăm” x de două ori în funcții trigonometrice, mai întâi în și apoi în:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Simplu, nu?

Acum scrieți singur funcțiile, unde x:
- mai întâi este „împachetat” într-un cosinus, apoi într-o funcție exponențială cu baza \(3\);
- mai întâi la puterea a cincea, iar apoi la tangentă;
- primul la logaritmul la baza \(4\) , apoi la puterea \(-2\).

Găsiți răspunsurile la această sarcină la sfârșitul articolului.

Putem „împacheta” X nu de două, ci de trei ori? Nici o problemă! Și de patru, și cinci și de douăzeci și cinci de ori. Iată, de exemplu, o funcție în care x este „ambalat” \(4\) ori:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Dar astfel de formule nu se vor găsi în practica școlară (elevii sunt mai norocoși - ale lor pot fi mai complicate☺).

„Despachetarea” unei funcții complexe

Priviți din nou funcția anterioară. Vă puteți da seama de secvența de „împachetare”? În ce a fost îndesat X mai întâi, în ce apoi și așa mai departe până la sfârșit. Adică, ce funcție este imbricată în care? Ia o bucată de hârtie și notează ce crezi. Puteți face acest lucru cu un lanț cu săgeți așa cum am scris mai sus sau în orice alt mod.

Acum, răspunsul corect este: mai întâi, x a fost „împachetat” în puterea \(4\)-a, apoi rezultatul a fost împachetat într-un sinus, acesta, la rândul său, a fost plasat în logaritmul la baza \(2\) , iar în cele din urmă toată această construcție a fost îndesată într-o putere de cinci.

Adică, trebuie să derulați secvența ÎN ORDINE INVERSĂ. Și iată un indiciu despre cum să o faci mai ușor: uită-te imediat la X - ar trebui să dansezi din el. Să ne uităm la câteva exemple.

De exemplu, iată următoarea funcție: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Ne uităm la X - ce se întâmplă mai întâi cu el? Luat de la el. Și apoi? Se ia tangenta rezultatului. Secvența va fi aceeași:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un alt exemplu: \(y=\cos⁡((x^3))\). Să analizăm - mai întâi am tăiat X cub, apoi am luat cosinusul rezultatului. Aceasta înseamnă că șirul va fi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atentie, functia pare a fi asemanatoare cu prima (unde are poze). Dar aceasta este o funcție complet diferită: aici în cub este x (adică \(\cos⁡((x·x·x)))\), iar acolo în cub este cosinusul \(x\) ( adică \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Această diferență apare din diferite secvențe de „ambalare”.

Ultimul exemplu (cu Informații importanteîn ea): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Este clar că aici au făcut mai întâi operații aritmetice cu x, apoi au luat sinusul rezultatului: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Și acesta este un punct important: în ciuda faptului că operațiile aritmetice nu sunt funcții în sine, aici ele acționează și ca o modalitate de „împachetare”. Să ne adâncim puțin în această subtilitate.

După cum am spus mai sus, în funcțiile simple x este „împachetat” o dată, iar în funcțiile complexe - două sau mai multe. Mai mult, orice combinație funcții simple(adică suma, diferența, înmulțirea sau împărțirea lor) este, de asemenea, o funcție simplă. De exemplu, \(x^7\) este o funcție simplă și la fel este \(ctg x\). Aceasta înseamnă că toate combinațiile lor sunt funcții simple:

\(x^7+ ctg x\) - simplu,
\(x^7· cot x\) – simplu,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – simplu etc.

Cu toate acestea, dacă se aplică încă o funcție unei astfel de combinații, aceasta va deveni o funcție complexă, deoarece vor exista două „pachete”. Vezi diagrama:

Bine, dă-i drumul acum. Scrieți secvența funcțiilor de „împachetare”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Răspunsurile sunt din nou la sfârșitul articolului.

Funcții interne și externe

De ce trebuie să înțelegem imbricarea funcțiilor? Ce ne oferă asta? Faptul este că fără o astfel de analiză nu vom putea găsi în mod fiabil derivate ale funcțiilor discutate mai sus.

Și pentru a merge mai departe, vom avea nevoie de încă două concepte: funcții interne și externe. Acesta este un lucru foarte simplu, în plus, de fapt, le-am analizat deja mai sus: dacă ne amintim analogia de la început, atunci funcția internă este un „pachet”, iar funcția externă este o „cutie”. Acestea. ceea ce este „înfășurat” X este o funcție internă, iar ceea ce este „înfășurat” funcția internă este deja extern. Ei bine, este clar de ce - ea este afară, asta înseamnă exterior.

În acest exemplu: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funcția \(\log_2⁡x\) este internă și
- extern.

Și în aceasta: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) este intern și
- extern.

Finalizați ultima practică de analiză a funcțiilor complexe și, în sfârșit, să trecem la ceea ce am început cu toții - vom găsi derivate ale funcțiilor complexe:

Completați spațiile libere din tabel:

Derivată a unei funcții complexe

Bravo nouă, am ajuns în sfârșit la „șeful” acestui subiect - de fapt, un derivat functie complexa, și mai precis, la acea formulă foarte groaznică de la începutul articolului.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Această formulă se citește astfel:

Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei externe fata de o functie interna constanta si derivata functiei interne.

Și uită-te imediat la diagrama de analiză „cuvânt cu cuvânt” pentru a înțelege ce este:

Sper că termenii „derivat” și „produs” nu provoacă dificultăți. „Funcție complexă” - am rezolvat-o deja. Captura este în „derivatul unei funcții externe în raport cu o funcție internă constantă”. Ce este?

Răspuns: aceasta este derivata obișnuită a unei funcții externe, în care doar funcția externă se modifică, iar cea internă rămâne aceeași. Încă nu este clar? Bine, hai să folosim un exemplu.

Să avem o funcție \(y=\sin⁡(x^3)\). Este clar că funcția internă aici este \(x^3\), iar cea externă
. Să găsim acum derivata exteriorului în raport cu interiorul constant.

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	−păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2)’ + (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− păcat X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini optiune noua h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2 + ln X. Se va rezolva f(X) = păcat ( X 2 + ln X) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliata fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcție g(X). Evident că trebuie înlocuit X 2 + ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Sunt date exemple de calculare a derivatelor folosind formula pentru derivata unei funcții complexe.

Conţinut

Vezi si: Dovada formulei pentru derivata unei funcții complexe

Formule de bază

Aici oferim exemple de calculare a derivatelor următoarelor funcții:
; ; ; ; .

Dacă o funcție poate fi reprezentată ca o funcție complexă în următoarea formă:
,
atunci derivata sa este determinată de formula:
.
În exemplele de mai jos, vom scrie această formulă după cum urmează:
.
Unde .
Aici, indicele sau , situate sub semnul derivatei, denotă variabilele prin care se realizează diferențierea.

De obicei, în tabelele de derivate, sunt date derivate ale funcțiilor din variabila x. Cu toate acestea, x este un parametru formal. Variabila x poate fi înlocuită cu orice altă variabilă. Prin urmare, la diferențierea unei funcții de o variabilă, pur și simplu schimbăm, în tabelul derivatelor, variabila x în variabila u.

Exemple simple

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții complexe
.

Să-l notăm funcţie dată in forma echivalenta:
.
În tabelul derivatelor găsim:
;
.

Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:
.
Aici .

Exemplul 2

Găsiți derivata
.

Luăm constanta 5 din semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
.

.
Aici .

Exemplul 3

Găsiți derivata
.

Scoatem o constantă -1 pentru semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
;
Din tabelul derivatelor găsim:
.

Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:
.
Aici .

Exemple mai complexe

În exemple mai complexe, aplicăm de mai multe ori regula de diferențiere a unei funcții complexe. În acest caz, calculăm derivata de la final. Adică, împărțim funcția în părțile sale componente și găsim derivatele celor mai simple părți folosind tabelul derivatelor. De asemenea, folosim reguli de diferențiere a sumelor, produse și fracții. Apoi facem substituții și aplicăm formula pentru derivata unei funcții complexe.

Exemplul 4

Găsiți derivata
.

Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia. .

.
Aici am folosit notația
.

Găsim derivata următoarei părți a funcției originale folosind rezultatele obținute. Aplicam regula de diferentiere a sumei:
.

Încă o dată aplicăm regula diferențierii funcțiilor complexe.

.
Aici .

Exemplul 5

Aflați derivata funcției
.

Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia din tabelul cu derivate. .

Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
.
Aici
.

Să diferențiem următoarea parte folosind rezultatele obținute.
.
Aici
.

Să diferențiem următoarea parte.

.
Aici
.

Acum găsim derivata funcției dorite.

.
Aici
.

Vezi si:

În această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei functii complexe. Lecția este o continuare logică a lecției Cum să găsesc derivatul?, în care am examinat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele tehnici tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu ești foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt complet clare, atunci citește mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să aveți o dispoziție serioasă - materialul nu este simplu, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.

În practică, trebuie să te ocupi de derivata unei funcții complexe foarte des, chiar aș spune, aproape întotdeauna, când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm la tabelul la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Să ne dăm seama. În primul rând, să fim atenți la intrare. Aici avem două funcții – și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în cadrul funcției . O funcție de acest tip (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție internă (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus avem nu doar litera „X”, ci o expresie întreagă, așa că găsirea derivatei imediat din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să se aplice primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că sinusul nu poate fi „sfâșiat în bucăți”:

În acest exemplu, este deja intuitiv clar din explicațiile mele că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.

Primul pas ceea ce trebuie să faceți când găsiți derivata unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.

În cazul exemplelor simple, pare clar că un polinom este încorporat sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum să determinați cu exactitate ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerez să utilizați următoarea tehnică, care poate fi făcută mental sau în formă de schiță.

Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei pe un calculator (în loc de unul poate fi orice număr).

Ce vom calcula mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , prin urmare polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui găsit, deci sine – va fi o funcție externă:

După ce noi VÂNDUT Cu funcții interne și externe, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcțiilor complexe.

Să începem să decidem. Din clasa Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea unei soluții la orice derivat începe întotdeauna astfel - încadrăm expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:

La început găsim derivata funcției externe (sinus), ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că . Toate formulele de tabel sunt de asemenea aplicabile dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Vă rugăm să rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul final al aplicării formulei arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, notează soluția pe hârtie și citește din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, notăm:

Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde avem una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau într-o schiță) să calculăm valoarea expresiei la . Ce ar trebui să faci mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: prin urmare, polinomul este funcția internă:

Și, numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei, mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula necesară în tabel: . Repetăm ​​din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „X”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției externe, funcția noastră internă nu se schimbă:

Acum tot ce rămâne este să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interne și să modificați puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Pentru a vă consolida înțelegerea derivatei unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, motivul unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata funcției

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca putere. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma adecvată pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma celor trei termeni este o funcție internă, iar ridicarea la putere este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:

Reprezentăm din nou gradul ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți reduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când obțineți derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faceți acest lucru (este ușor să vă confundați, să faceți o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, puteți folosi regula pentru diferențierea unui coeficient. , dar o astfel de soluție va arăta ca o perversiune amuzantă. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul din semnul derivat și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră:

Găsim derivata funcției interne și resetăm cosinusul înapoi în jos:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați folosind regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Până acum am analizat cazurile în care am avut un singur cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, sunt imbricate 3 sau chiar 4-5 funcții deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Să încercăm să calculăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți , ceea ce înseamnă că arcsinusul este cea mai adâncă încorporare:

Acest arcsinus al lui unu ar trebui apoi să fie pătrat:

Și, în sfârșit, ridicăm șapte la o putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două înglobări, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Să începem să decidem

Conform regulii, mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul de derivate și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Sub accident vascular cerebral avem din nou o funcție complexă! Dar deja este mai simplu. Este ușor de verificat că funcția interioară este arcsinus, funcția exterioară este gradul. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, mai întâi trebuie să luați derivata puterii.

Dacă g(X) Și f(u) – funcții diferențiabile ale argumentelor lor, respectiv, la puncte XȘi u= g(X), atunci funcția complexă este și ea diferențiabilă la punct X si se gaseste prin formula

O greșeală tipică la rezolvarea problemelor derivate este transferul mecanic al regulilor de diferențiere a funcțiilor simple la funcții complexe. Să învățăm să evităm această greșeală.

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita: calculati logaritmul natural fiecare termen între paranteze și căutați suma derivatelor:

Solutia corecta: din nou determinăm unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici logaritmul natural al expresiei din paranteză este un „măr”, adică o funcție peste argumentul intermediar u, iar expresia dintre paranteze este „carne tocată”, adică un argument intermediar u prin variabila independenta X.

Apoi (folosind formula 14 din tabelul derivatelor)

În multe probleme din viața reală, expresia cu un logaritm poate fi ceva mai complicată, motiv pentru care există o lecție

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita:

Soluție corectă.Încă o dată stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, cosinusul expresiei dintre paranteze (formula 7 din tabelul derivatelor) este un „măr”, este pregătit în modul 1, care îl afectează numai pe acesta, iar expresia dintre paranteze (derivata gradului este numărul 3 în tabelul derivatelor) este „carne tocată”, se prepară în modul 2, care o afectează numai pe aceasta. Și, ca întotdeauna, conectăm două derivate cu semnul produsului. Rezultat:

Derivata unei funcții logaritmice complexe este o sarcină frecventă în teste, așa că vă recomandăm insistent să urmați lecția „Derivată a unei funcții logaritmice”.

Primele exemple au fost pe funcții complexe, în care argumentul intermediar pe variabila independentă era o funcție simplă. Dar în sarcinile practice este adesea necesar să se găsească derivata unei funcții complexe, unde argumentul intermediar este fie el însuși o funcție complexă, fie conține o astfel de funcție. Ce să faci în astfel de cazuri? Găsiți derivate ale unor astfel de funcții folosind tabele și reguli de diferențiere. Când derivata argumentului intermediar este găsită, este pur și simplu substituită în Locul potrivit formule. Mai jos sunt două exemple despre cum se face acest lucru.

În plus, este util să știți următoarele. Dacă o funcţie complexă poate fi reprezentată ca un lanţ de trei funcţii

atunci derivata sa ar trebui găsită ca produsul derivatelor fiecăreia dintre aceste funcții:

Multe dintre temele dvs. pot necesita să vă deschideți ghidurile în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe, fara a uita ca in produsul de derivate rezultat exista un argument intermediar fata de variabila independenta X nu se schimba:

Pregătim al doilea factor al produsului și aplicăm regula de diferențiere a sumei:

Al doilea termen este rădăcina, deci

Astfel, am constatat că argumentul intermediar, care este o sumă, conține o funcție complexă ca unul dintre termeni: ridicarea la o putere este o funcție complexă, iar ceea ce este ridicat la o putere este un argument intermediar față de independenta. variabil X.

Prin urmare, aplicăm din nou regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Transformăm gradul primului factor într-o rădăcină, iar la diferențierea celui de-al doilea factor, nu uităm că derivata constantei este egală cu zero:

Acum putem găsi derivata argumentului intermediar necesar pentru a calcula derivata unei funcții complexe cerute în enunțul problemei y:

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

În primul rând, folosim regula pentru diferențierea sumei:

Am obținut suma derivatelor a două funcții complexe. Să-l găsim pe primul:

Aici, ridicarea sinusului la o putere este o funcție complexă, iar sinusul însuși este un argument intermediar pentru variabila independentă X. Prin urmare, vom folosi regula de diferențiere a unei funcții complexe, pe parcurs scotând factorul din paranteze :

Acum găsim al doilea termen al derivatelor funcției y:

Aici ridicarea cosinusului la o putere este o funcție complexă f, iar cosinusul însuși este un argument intermediar în variabila independentă X. Să folosim din nou regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Rezultatul este derivata necesară:

Tabel de derivate ale unor funcții complexe

Pentru funcțiile complexe, bazate pe regula de diferențiere a unei funcții complexe, formula pentru derivata unei funcții simple ia o formă diferită.

1. Derivat al unui complex functie de putere, Unde u X
2. Derivat al rădăcinii expresiei
3. Derivata unei functii exponentiale
4. Caz special functie exponentiala
5. Derivată a unei funcții logaritmice cu o bază pozitivă arbitrară A
6. Derivata unei functii logaritmice complexe, unde u– funcţia diferenţiabilă a argumentului X
7. Derivată de sinus
8. Derivată a cosinusului
9. Derivată a tangentei
10. Derivat de cotangente
11. Derivată de arcsinus
12. Derivatul arccosinului
13. Derivată a arctangentei
14. Derivată a cotangentei arcului