Variabila aleatoare x este dată de exemplele legii distribuției. Variabilă aleatorie discretă

Scopul serviciului. Calculatorul online este folosit pentru a construi tabelul de distribuție variabilă aleatorie X – numărul de experimente efectuate și calculul tuturor caracteristicilor seriei: așteptare matematică, dispersie și abatere standard. Procesul-verbal cu decizia se intocmeste in format Word.

Exemplul 1. În urnă alb şi bilă neagră. Bilele sunt extrase la întâmplare din urnă fără a se întoarce până când apare o bilă albă. De îndată ce se întâmplă acest lucru, procesul se oprește.
Acest tip de sarcină se referă la problema construirii unei distribuții geometrice.

Exemplul 2. Doi Trei trăgători fiecare trag câte o lovitură în țintă. Probabilitatea ca primul trăgător să-l lovească este , al doilea - . Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de accesări la țintă.

Exemplul 2a. Trăgătorul trage două trei patru focuri. Probabilitatea de a lovi cu o lovitură corespunzătoare este egală cu , . Dacă apare prima ratare, trăgătorul nu participă la alte competiții. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de accesări la țintă.

Exemplul 3. În petrecerea de la Detalii cele standard defecte. Controlerul trage la întâmplare Detalii. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de piese bune defecte din eșantion.
Sarcină similară: Sunt m bile roșii și n albastre în coș. K bile sunt extrase la întâmplare. Întocmește legea distribuției DSV X - aspectul bilelor albastre.
vezi alte soluții exemple.

Exemplul 4. Probabilitatea ca un eveniment să apară într-o singură încercare este egală cu . Produs teste. Întocmește o lege de distribuție a variabilei aleatoare X - numărul de apariții ale evenimentului.
Sarcini similare pentru acest tip de distribuție:
1. Întocmește o lege de distribuție a variabilei aleatoare X numărul de lovituri cu patru lovituri, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0,8.
2. Moneda este aruncată de 7 ori. Găsi valorea estimatași variația numărului de apariții ale stemei. Faceți un tabel cu distribuția lui X - numărul de apariții ale stemei.

Exemplul nr. 1. Se aruncă trei monede. Probabilitatea de a obține o stemă într-o singură aruncare este de 0,5. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de embleme aruncate.
Soluţie.
Probabilitatea ca nu au fost desenate embleme: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilitatea de a obține trei steme: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

Legea distribuției variabilei aleatoare X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Verificați: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Exemplul nr. 2. Probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea trăgător – 0,85. Trăgătorii au tras o singură lovitură în țintă. Considerând lovirea țintei ca evenimente independente pentru trăgători individuali, găsiți probabilitatea evenimentului A – exact o lovitură pe țintă.
Soluţie.
Luați în considerare evenimentul A - o lovitură pe țintă. Opțiunile posibile pentru ca acest eveniment să aibă loc sunt următoarele:

1. Primul trăgător a lovit, al doilea trăgător a ratat: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Primul trăgător a ratat, al doilea trăgător a lovit ținta: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Prima și a doua săgeată lovesc ținta independent una de cealaltă: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Atunci probabilitatea evenimentului A – exact o lovitură pe țintă – va fi egală cu: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Este dată o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. Găsiți probabilitatea lipsă și reprezentați grafic funcția de distribuție. Calculați așteptarea și varianța matematică a acestei mărimi.

Variabila aleatoare X ia doar patru valori: -4, -3, 1 și 2. Ia fiecare dintre aceste valori cu o anumită probabilitate. Deoarece suma tuturor probabilităților trebuie să fie egală cu 1, probabilitatea lipsă este egală cu:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Să compunem funcția de distribuție a variabilei aleatoare X. Se știe că funcția de distribuție , atunci:

Prin urmare,

Să diagramăm funcția F(X) .

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este egală cu suma produselor valorii variabilei aleatoare și probabilitatea corespunzătoare, i.e.

Găsim varianța unei variabile aleatoare discrete folosind formula:

APLICARE

Elemente de combinatorie Aici: - factorial al unui număr

Acțiuni pe evenimente Un eveniment este orice fapt care se poate întâmpla sau nu ca urmare a unei experiențe. Îmbinarea evenimentelor AȘi ÎN- acest eveniment CU care constă într-o apariție sau eveniment A, sau evenimente ÎN, sau ambele evenimente simultan. Desemnare: ; Încrucișarea evenimentelor AȘi ÎN- acest eveniment CU, care constă în producerea simultană a ambelor evenimente. Desemnare: ;

Definiția clasică a probabilității Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul de experimente , favorabil pentru producerea unui eveniment A, la numărul total de experimente :

Formula de multiplicare a probabilității Probabilitatea evenimentului poate fi găsit folosind formula: - probabilitatea evenimentului A, - probabilitatea evenimentului ÎN, - probabilitatea evenimentului ÎN cu condiția ca evenimentul A sa întâmplat deja. Dacă evenimentele A și B sunt independente (apariția unuia nu afectează apariția celuilalt), atunci probabilitatea evenimentului este egală cu:

Formula de adunare a probabilităților Probabilitatea evenimentului poate fi găsit folosind formula: Probabilitatea evenimentului A, Probabilitatea evenimentului ÎN, - probabilitatea de apariție concomitentă a evenimentelor AȘi ÎN. Dacă evenimentele A și B sunt incompatibile (nu pot avea loc simultan), atunci probabilitatea evenimentului este egală cu:

Formula probabilității totale Lasă evenimentul A se poate întâmpla simultan cu unul dintre evenimente , , …, - să le numim ipoteze. De asemenea stiut - probabilitatea de executare i-a ipoteza si - probabilitatea apariţiei evenimentului A la executare i-a ipoteza. Apoi probabilitatea evenimentului A poate fi găsită prin formula:

Schema Bernoulli Să fie n teste independente. Probabilitatea de apariție (succes) a unui eveniment Aîn fiecare dintre ele este constantă și egală p, probabilitatea de eșec (adică evenimentul nu are loc A) q = 1 - p. Apoi probabilitatea de apariție k succes in n testele pot fi găsite folosind formula lui Bernoulli: Cel mai probabil numărul de succese în schema Bernoulli, acesta este numărul de apariții ale unui anumit eveniment care are cea mai mare probabilitate. Poate fi găsit folosind formula:

Variabile aleatoare continuu discret (de exemplu, numărul de fete dintr-o familie cu 5 copii) (de exemplu, timpul în care fierbătorul funcționează corect) Caracteristici numerice variabile aleatoare discrete Fie o cantitate discretă dată de o serie de distribuție: X R , , …, - valorile unei variabile aleatoare X; , , …, sunt valorile de probabilitate corespunzătoare. Funcția de distribuție Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este o funcţie definită pe întreaga dreaptă numerică şi egală cu probabilitatea ca X vor fi mai puține X:

Întrebări pentru examen

Eveniment. Operații pe evenimente aleatorii.

Conceptul de probabilitate a unui eveniment.

Reguli de adunare și înmulțire a probabilităților. Probabilități condiționate.

Formula probabilității totale. Formula lui Bayes.

Schema Bernoulli.

Variabila aleatorie, funcția sa de distribuție și seria de distribuție.

Proprietățile de bază ale funcției de distribuție.

Valorea estimata. Proprietățile așteptărilor matematice.

Dispersia.

Proprietăți de dispersie.

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare unidimensionale.

Tipuri de distribuții: uniformă, exponențială, normală, binomială și distribuție Poisson.

Teoreme locale și integrale ale lui Moivre-Laplace.

Legea și funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare.

Densitatea de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare.

Legile condiționale ale distribuției, așteptările matematice condiționate.

Probă. Prelucrarea probei. Poligon și histogramă de frecvență. Funcția de distribuție empirică.

Conceptul de estimare a parametrilor de distribuție. Cerințe pentru evaluare. Interval de încredere. Construirea intervalelor de estimare a așteptărilor matematice și a abaterii standard.

Ipoteze statistice. Criterii de consimțământ.

În aplicațiile teoriei probabilităților, caracteristicile cantitative ale experimentului sunt de importanță primordială. O cantitate care poate fi determinată cantitativ și care, în urma unui experiment, poate lua, după caz sensuri diferite, numit variabilă aleatorie.

Exemple de variabile aleatoare:

1. De câte ori apare un număr par de puncte în zece aruncări ale unui zar.

2. Numărul de lovituri pe țintă de către un trăgător care trage o serie de focuri.

3. Numărul de fragmente ale unei obuze care explodează.

În fiecare dintre exemplele date, variabila aleatoare poate lua numai valori izolate, adică valori care pot fi numerotate folosind o serie naturală de numere.

O astfel de variabilă aleatoare valori posibile care are numere izolate individuale pe care această mărime le preia cu anumite probabilităţi se numeşte discret.

Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit (numărabil).

Legea distribuției O variabilă aleatorie discretă este o listă a valorilor sale posibile și a probabilităților corespunzătoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată sub forma unui tabel (serie de distribuție a probabilității), analitic și grafic (poligon de distribuție a probabilității).

Când se efectuează un experiment, devine necesar să se evalueze valoarea studiată „în medie”. Rolul valorii medii a unei variabile aleatoare este jucat de o caracteristică numerică numită așteptări matematice, care este determinat de formula

Unde X 1 , X 2 ,.. , X n– valori ale variabilelor aleatoare X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– probabilitățile acestor valori (rețineți că p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Exemplu. Tragerea se efectuează la țintă (Fig. 11).

O lovitură în I dă trei puncte, în II – două puncte, în III – un punct. Numărul de puncte marcate într-o singură lovitură de un trăgător are o lege de distribuție a formei

Pentru a compara îndemânarea trăgătorilor, este suficient să comparăm valorile medii ale punctelor marcate, adică. așteptări matematice M(X) Și M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Al doilea trăgător dă în medie un număr ceva mai mare de puncte, adică. va da rezultate mai bune atunci când este tras în mod repetat.

Să notăm proprietățile așteptării matematice:

1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși:

M(C) = C.

2. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor matematice ale factorilor

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Negația matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare (sarcina 4.6).

M(X) = pr.

Pentru a evalua modul în care o variabilă aleatoare „în medie” se abate de la așteptările ei matematice, de ex. Pentru a caracteriza răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în teoria probabilității, se utilizează conceptul de dispersie.

Varianta variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a abaterii la pătrat:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersia este o caracteristică numerică a dispersiei unei variabile aleatorii. Din definiție este clar că, cu cât dispersia unei variabile aleatoare este mai mică, cu atât valorile posibile ale acesteia sunt mai apropiate de așteptarea matematică, adică cu atât valorile variabilei aleatoare sunt mai bine caracterizate de așteptarea sa matematică. .

Din definiție rezultă că varianța poate fi calculată folosind formula

.

Este convenabil să calculați varianța folosind o altă formulă:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersia are următoarele proprietăți:

1. Varianta constantei este zero:

D(C) = 0.

2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianței termenilor:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Varianta distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea apariției și neapariției unui eveniment într-o singură încercare:

D(X) = npq.

În teoria probabilității, este adesea folosită o caracteristică numerică egală cu rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare. Această caracteristică numerică se numește deviația pătrată medie și este notă cu simbolul

.

Caracterizează dimensiunea aproximativă a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie și are aceeași dimensiune ca și variabila aleatoare.

4.1. Trăgătorul trage trei focuri în țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură este de 0,3.

Construiți o serie de distribuție pentru numărul de accesări.

Soluţie. Numărul de accesări este o variabilă aleatorie discretă X. Fiecare valoare X n variabilă aleatorie X corespunde unei anumite probabilităţi P n .

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete în acest caz poate fi specificată aproape de distribuție.

În această problemă X ia valori 0, 1, 2, 3. Conform formulei lui Bernoulli

,

Să găsim probabilitățile de valori posibile ale variabilei aleatoare:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Prin aranjarea valorilor variabilei aleatoare Xîn ordine crescătoare, obținem seria de distribuție:

X n

Rețineți că suma

înseamnă probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua cel puțin o valoare dintre cele posibile, iar acest eveniment este, prin urmare, de încredere

.

4.2 .În urnă sunt patru bile cu numere de la 1 la 4. Se scot două bile. Valoare aleatoare X– suma numerelor bilelor. Construiți o serie de distribuție a unei variabile aleatoare X.

Soluţie. Valori ale variabilelor aleatorii X sunt 3, 4, 5, 6, 7. Să găsim probabilitățile corespunzătoare. Valoarea variabilei aleatoare 3 X poate fi acceptat în singurul caz în care una dintre bile selectate are numărul 1, iar cealaltă 2. Numărul de rezultate posibile ale testului este egal cu numărul de combinații de patru (numărul de perechi posibile de bile) de două.

Folosind formula clasică de probabilitate obținem

De asemenea,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Suma 5 poate apărea în două cazuri: 1 + 4 și 2 + 3, deci

.

X are forma:

Găsiți funcția de distribuție F(X) variabilă aleatorie Xși complotează-l. Calculați pentru X așteptarea și varianța sa matematică.

Soluţie. Legea de distribuție a unei variabile aleatoare poate fi specificată de funcția de distribuție

F(X) = P(X X).

Funcția de distribuție F(X) este o funcție nedescrescătoare, continuă în stânga, definită pe întreaga linie numerică, în timp ce

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Pentru o variabilă aleatoare discretă, această funcție este exprimată prin formula

.

Prin urmare, în acest caz

Graficul funcției de distribuție F(X) este o linie în trepte (Fig. 12)

	F(X)

Valorea estimataM(X) este media aritmetică ponderată a valorilor X 1 , X 2 ,……X n variabilă aleatorie X cu solzi ρ 1, ρ 2, …… , ρ n și se numește valoarea medie a variabilei aleatoare X. Conform formulei

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersia caracterizează gradul de dispersie a valorilor unei variabile aleatoare față de valoarea sa medie și se notează D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Pentru o variabilă aleatoare discretă, varianța are forma

sau poate fi calculat folosind formula

Înlocuind datele numerice ale problemei în formulă, obținem:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Două zaruri sunt aruncate de două ori în același timp. Scrieți legea binomială de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X- numărul de apariții a unui număr total par de puncte pe două zaruri.

Soluţie. Să introducem un eveniment aleatoriu

A= (două zaruri cu o singură aruncare au dus la un total de puncte par).

Folosind definiția clasică a probabilității găsim

R(A)= ,

Unde n - numărul de rezultate posibile ale testului este găsit conform regulii

multiplicare:

n = 6∙6 =36,

m - numărul de persoane care favorizează evenimentul A rezultate - egale

m= 3∙6=18.

Astfel, probabilitatea de succes într-o singură încercare este

ρ = P(A)= 1/2.

Problema este rezolvată folosind o schemă de testare Bernoulli. O provocare aici ar fi să aruncați două zaruri o dată. Numărul de astfel de teste n = 2. Variabilă aleatoare X ia valori 0, 1, 2 cu probabilități

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Distribuția binomială necesară a unei variabile aleatoare X poate fi reprezentat ca o serie de distribuție:

X n
ρ n

4.5 . Într-un lot de șase părți există patru părți standard. Trei părți au fost selectate la întâmplare. Construiți o distribuție de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete X– numărul de piese standard dintre cele selectate și găsiți așteptările sale matematice.

Soluţie. Valori ale variabilelor aleatorii X sunt numerele 0,1,2,3. Este clar că R(X=0)=0, deoarece există doar două părți non-standard.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Legea distribuției unei variabile aleatoare X Să o prezentăm sub forma unei serii de distribuție:

X n
ρ n

Valorea estimata

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Demonstrați că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X- numărul de apariții ale evenimentului A V nîncercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca un eveniment să se producă este egală cu ρ – egal cu produsul numărului de încercări cu probabilitatea apariției unui eveniment într-o singură încercare, adică pentru a demonstra că așteptarea matematică a distribuției binomiale

M(X) =n . ρ ,

și dispersie

D(X) =n.p. .

Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valori 0, 1, 2..., n. Probabilitate R(X= k) se găsește folosind formula lui Bernoulli:

R(X=k)= R n(k)= ρ La (1-ρ ) n- La

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X are forma:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Unde q= 1- ρ .

Pentru așteptarea matematică avem expresia:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

În cazul unui singur test, adică cu n= 1 pentru variabila aleatoare X 1 – numărul de apariții ale evenimentului A- seria de distributie are forma:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Dacă X k – numărul de apariții ale evenimentului Aîn care test, atunci R(X La)= ρ Și

X=X 1 +X 2 +….+X n .

De aici ajungem

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Departamentul de control al calității verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca produsul să fie standard este de 0,9. Fiecare lot contine 5 produse. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X- numarul de loturi, fiecare dintre acestea va contine 4 produse standard - daca 50 de loturi sunt supuse inspectiei.

Soluţie. Probabilitatea ca în fiecare lot selectat aleatoriu să existe 4 produse standard este constantă; să o notăm prin ρ .Apoi așteptarea matematică a variabilei aleatoare X egală M(X)= 50∙ρ.

Să găsim probabilitatea ρ conform formulei lui Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Se aruncă trei zaruri. Găsiți așteptările matematice ale sumei punctelor căzute.

Soluţie. Puteți găsi distribuția unei variabile aleatoare X- suma punctelor scazute si apoi asteptarea sa matematica. Totuși, această cale este prea greoaie. Este mai ușor să folosești o altă tehnică, reprezentând o variabilă aleatorie X, a cărui așteptare matematică trebuie calculată, sub forma unei sume a mai multor variabile aleatoare mai simple, a căror așteptare matematică este mai ușor de calculat. Dacă variabila aleatoare X i este numărul de puncte acumulate i– oasele ( i= 1, 2, 3), apoi suma punctelor X va fi exprimat sub formă

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Pentru a calcula așteptarea matematică a variabilei aleatoare originale, tot ce rămâne este să folosiți proprietatea așteptării matematice

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Este evident că

R(X i = K)= 1/6, LA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Prin urmare, așteptarea matematică a variabilei aleatoare X i se pare ca

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Determinați așteptările matematice ale numărului de dispozitive care au eșuat în timpul testării dacă:

a) probabilitatea de defecțiune pentru toate dispozitivele este aceeași R, iar numărul de dispozitive testate este egal cu n;

b) probabilitatea de eşec pt i – a dispozitivului este egal cu p i , i= 1, 2, … , n.

Soluţie. Fie variabila aleatoare X este numărul de dispozitive eșuate, atunci

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Este clar că

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

În cazul „a”, probabilitatea defecțiunii dispozitivului este aceeași, adică

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Acest răspuns ar putea fi obținut imediat dacă observăm că variabila aleatoare X are o distribuție binomială cu parametri ( n, p).

4.10. Două zaruri sunt aruncate simultan de două ori. Scrieți legea binomială de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X - numărul de aruncări ale unui număr par de puncte pe două zaruri.

Soluţie. Lăsa

A=(da un număr par pe primul zar),

B =(rularea unui număr par pe al doilea zar).

Obținerea unui număr par pe ambele zaruri într-o singură aruncare este exprimată de produs AB. Apoi

R (AB) = R(A)∙R(ÎN) =
.

Rezultatul celei de-a doua aruncări a două zaruri nu depinde de primul, așa că formula lui Bernoulli se aplică atunci când

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Valoare aleatoare X poate lua valori 0, 1, 2 , a cărui probabilitate poate fi găsită folosind formula lui Bernoulli:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X:

4.11. Dispozitivul constă dintr-un număr mare de elemente care funcționează independent, cu aceeași probabilitate foarte mică de defecțiune a fiecărui element în timp t. Găsiți numărul mediu de refuzuri în timp t elemente, dacă probabilitatea ca cel puțin un element să eșueze în acest timp este de 0,98.

Soluţie. Numărul de persoane care au refuzat în timp t elemente – variabilă aleatoare X, care este distribuit conform legii lui Poisson, deoarece numărul de elemente este mare, elementele funcționează independent și probabilitatea de eșec a fiecărui element este mică. Numărul mediu de apariții ale unui eveniment în n teste este egal

M(X) = n.p..

Din moment ce probabilitatea de eșec LA elemente din n exprimat prin formula

R n (LA)
,

unde  = n.p., atunci probabilitatea ca niciun element să nu eșueze în timpul respectiv t ajungem la K = 0:

R n (0)= e -  .

Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus este în timp t cel puțin un element eșuează – egal cu 1 - e -  . Conform condițiilor problemei, această probabilitate este de 0,98. Din Ec.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

de aici  = -ln 0,02  4.

Deci, în timp t funcționarea dispozitivului, în medie 4 elemente vor eșua.

4.12 . Zarurile sunt aruncate până când apare un „doi”. Aflați numărul mediu de aruncări.

Soluţie. Să introducem o variabilă aleatoare X– numărul de teste care trebuie efectuate până la producerea evenimentului care ne interesează. Probabilitatea ca X= 1 este egal cu probabilitatea ca în timpul unei aruncări a zarului să apară „doi”, adică.

R(X= 1) = 1/6.

Eveniment X= 2 înseamnă că la primul test „doi” nu au apărut, dar la al doilea a apărut. Probabilitatea evenimentului X= 2 se găsește prin regula înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

De asemenea,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

etc. Obținem o serie de distribuții de probabilitate:

					(5/6) La ∙1/6

Numărul mediu de aruncări (încercări) este așteptarea matematică

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + LA (5/6) LA -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + LA (5/6) LA -1 + …)

Să găsim suma seriei:

LAg LA -1 = (g LA) g 
.

Prin urmare,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Astfel, trebuie să faceți o medie de 6 aruncări de zaruri până când apare un „două”.

4.13. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului A la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă A, dacă varianța numărului de apariții ale unui eveniment în trei încercări independente este 0,63 .

Soluţie. Numărul de apariții ale unui eveniment în trei încercări este o variabilă aleatorie X, distribuit conform legii binomului. Varianța numărului de apariții ale unui eveniment în studii independente (cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului în fiecare studiu) este egală cu produsul numărului de încercări cu probabilitățile de apariție și neapariție a evenimentului (problema 4.6)

D(X) = npq.

După condiție n = 3, D(X) = 0,63, așa că poți R găsiți din ecuație

0,63 = 3∙R(1-R),

care are două soluții R 1 = 0,7 și R 2 = 0,3.

X este dat de legea distribuției probabilităților: Apoi media sa deviație standard este egal cu... 0,80

Soluţie:
Abaterea standard a variabilei aleatoare X este definită ca , unde varianța unei variabile aleatoare discrete poate fi calculată folosind formula , și

Soluţie:
A(o bilă extrasă la întâmplare este neagră) aplicăm formula probabilității totale: Iată probabilitatea ca o bilă albă să fi fost transferată din prima urnă în a doua urnă; – probabilitatea ca o bilă neagră să fi fost transferată de la prima urnă în a doua urnă; – probabilitatea condiționată ca bila extrasă să fie neagră dacă o bilă albă a fost mutată din prima urna în a doua; – probabilitatea condiționată ca bila extrasă să fie neagră dacă o bilă neagră a fost mutată din prima urnă în a doua.

Variabila aleatoare discretă X este dată de legea distribuției probabilității: Apoi probabilitatea egal...

Soluţie:
Varianta unei variabile aleatoare discrete poate fi calculată folosind formula. Apoi

Sau . Rezolvând ultima ecuație, obținem două rădăcini și

Tema: Determinarea probabilității
Într-un lot de 12 piese, există 5 piese defecte. Trei părți au fost selectate la întâmplare. Atunci probabilitatea ca printre părțile selectate să nu existe părți adecvate este egală cu...

Soluţie:
Pentru a calcula evenimentul A (nu există părți adecvate printre părțile selectate), folosim formula unde n m– numărul de rezultate elementare favorabile producerii evenimentului A. în cazul nostru numărul total posibilele rezultate elementare este egal cu numărul de moduri prin care trei detalii pot fi extrase din cele 12 disponibile, adică .

Și numărul total de rezultate favorabile este egal cu numărul de moduri prin care trei părți defecte pot fi extrase din cinci, adică.

Banca acordă 44% din toate împrumuturile persoanelor juridice și 56% persoanelor fizice. Probabilitatea ca entitate nu va rambursa creditul la timp, egal cu 0,2; iar pentru un individ această probabilitate este 0,1. Atunci probabilitatea ca următorul împrumut să fie rambursat la timp este...

0,856

Soluţie:
Pentru a calcula probabilitatea unui eveniment A(împrumutul emis va fi rambursat la timp) aplicați formula probabilității totale: . Iată probabilitatea ca împrumutul să fi fost acordat unei persoane juridice; – probabilitatea ca împrumutul să fi fost emis unui individ; – probabilitatea condiționată ca împrumutul să fie rambursat la timp dacă a fost emis unei persoane juridice; – probabilitatea condiționată ca împrumutul să fie rambursat la timp dacă a fost acordat unei persoane fizice. Apoi

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete
Pentru o variabilă aleatoare discretă X

0,655

Tema: Determinarea probabilității
zarul este aruncat de două ori. Atunci probabilitatea ca suma punctelor laminate să nu fie mai mică de nouă este...

Soluţie:
Pentru a calcula evenimentul (suma punctelor acumulate va fi de cel puțin nouă), folosim formula , unde este numărul total de rezultate elementare posibile ale testului și m– numărul de rezultate elementare favorabile producerii evenimentului A. În cazul nostru este posibil rezultatele testelor elementare, dintre care favorabile sunt rezultatele de forma , , , , , , , și , adică. Prin urmare,

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete

funcția de distribuție a probabilității are forma:

Atunci valoarea parametrului poate fi egală cu...

			0,7
			0,85
			0,6

Soluţie:
A-prioriu . Prin urmare, și . Aceste condiții sunt îndeplinite, de exemplu, de valoare

Tema: Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare
O variabilă aleatoare continuă este specificată de o funcție de distribuție a probabilității:

Atunci varianța sa este...

Soluţie:
Această variabilă aleatoare este distribuită uniform în interval. Apoi, varianța sa poate fi calculată folosind formula . Acesta este

Subiect: Probabilitate totală. Formule Bayes
Prima urna contine 6 bile negre si 4 bile albe. A doua urnă conține 2 bile albe și 8 negre. O minge a fost luată dintr-o urnă aleatorie, care s-a dovedit a fi albă. Atunci probabilitatea ca această minge să fi fost extrasă din prima urnă este...

Soluţie:
A(o bila extrasa la intamplare este alba) dupa formula probabilitatii totale: . Iată probabilitatea ca mingea să fie extrasă din prima urnă; – probabilitatea ca mingea să fie extrasă din a doua urnă; – probabilitatea condiționată ca mingea extrasă să fie albă dacă este extrasă din prima urnă; este probabilitatea condiționată ca bila extrasă să fie albă dacă este extrasă din a doua urnă.
Apoi .
Acum să calculăm probabilitatea condiționată ca această minge să fi fost extrasă din prima urna folosind formula lui Bayes:

Tema: Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare
Variabilă aleatorie discretă X este dat de legea distribuției probabilităților:

Atunci varianța sa este...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Soluţie:
Varianta unei variabile aleatoare discrete poate fi calculată folosind formula

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete

Soluţie:
A-prioriu . Apoi
a) la , ,
b) la , ,
pisică , ,
d) la , ,
d) la , .
Prin urmare,

Tema: Determinarea probabilității
Un punct este aruncat la întâmplare în interiorul unui cerc cu raza 4. Atunci probabilitatea ca punctul să fie în afara pătratului înscris în cerc este...

Tema: Determinarea probabilității
Într-un lot de 12 piese, există 5 piese defecte. Trei părți au fost selectate la întâmplare. Atunci probabilitatea ca printre piesele selectate să nu existe piese defecte este egală cu...

Soluţie:
Pentru a calcula evenimentul (nu există piese defecte printre părțile selectate), folosim formula, unde n este numărul total de rezultate posibile ale testului elementar și m– numărul de rezultate elementare favorabile producerii evenimentului. În cazul nostru, numărul total de rezultate elementare posibile este egal cu numărul de moduri prin care trei detalii pot fi extrase din cele 12 disponibile, adică. Și numărul total de rezultate favorabile este egal cu numărul de moduri în care trei părți nedefective pot fi extrase din șapte, adică. Prin urmare,

Subiect: Probabilitate totală. Formule Bayes

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Soluţie:
Pentru a calcula probabilitatea unui eveniment A
Apoi

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete
O variabilă aleatorie discretă este specificată de legea distribuției probabilităților:

Apoi probabilitatea egal...

Soluţie:
Să folosim formula . Apoi

Subiect: Probabilitate totală. Formule Bayes

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Soluţie:
Să calculăm mai întâi probabilitatea evenimentului A
.
.

Tema: Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare

Atunci așteptarea sa matematică este...

Soluţie:
Să folosim formula . Apoi .

Tema: Determinarea probabilității

Soluţie:

Tema: Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare
O variabilă aleatoare continuă este specificată de densitatea distribuției de probabilitate . Apoi așteptarea matematică A iar deviația standard a acestei variabile aleatoare este egală cu...

Soluţie:
Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare distribuite normal are forma , Unde , . De aceea .

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete
O variabilă aleatorie discretă este specificată de legea distribuției probabilităților:

Apoi valorile AȘi b poate fi egal...

Soluţie:
Deoarece suma probabilităților valorilor posibile este egală cu 1, atunci . Răspunsul îndeplinește această condiție: .

Tema: Determinarea probabilității
Un cerc mai mic cu raza 5 este plasat într-un cerc cu raza 8. Atunci probabilitatea ca un punct aruncat la întâmplare în cercul mai mare să cadă și el în cercul mai mic este...

Soluţie:
Pentru a calcula probabilitatea evenimentului dorit, folosim formula , unde este aria cercului mai mic și este aria cercului mai mare. Prin urmare, .

Subiect: Probabilitate totală. Formule Bayes
Prima urna contine 3 bile negre si 7 bile albe. A doua urnă conține 4 bile albe și 5 bile negre. O minge a fost transferată din prima urnă în a doua. Atunci probabilitatea ca o bila extrasa la intamplare din a doua urna sa fie alba este...

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Soluţie:
Pentru a calcula probabilitatea unui eveniment A(o bila extrasa la intamplare este alba) aplicati formula probabilitatii totale: . Iată probabilitatea ca o minge albă să fi fost transferată din prima urnă în a doua urnă; – probabilitatea ca o bilă neagră să fi fost transferată de la prima urnă în a doua urnă; – probabilitatea condiționată ca bila extrasă să fie albă dacă o minge albă a fost mutată din prima urnă în a doua; – probabilitatea condiționată ca bila extrasă să fie albă dacă o bilă neagră este mutată din prima urnă în a doua.
Apoi

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete
Pentru o variabilă aleatoare discretă:

funcția de distribuție a probabilității are forma:

Atunci valoarea parametrului poate fi egală cu...

			0,7
			0,85
			0,6

SARCINA N 10 raportează o eroare
Subiect: Probabilitate totală. Formule Bayes
Banca acordă 70% din toate împrumuturile persoanelor juridice și 30% persoanelor fizice. Probabilitatea ca o persoană juridică să nu ramburseze împrumutul la timp este de 0,15; iar pentru un individ această probabilitate este 0,05. A fost primit un mesaj care indică faptul că împrumutul nu a fost rambursat. Atunci probabilitatea ca persoana juridică să nu ramburseze acest împrumut este...

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Soluţie:
Să calculăm mai întâi probabilitatea evenimentului A(împrumutul emis nu va fi rambursat la timp) conform formulei de probabilitate totală: . Iată probabilitatea ca împrumutul să fi fost acordat unei persoane juridice; – probabilitatea ca împrumutul să fi fost acordat unei persoane fizice; – probabilitatea condiționată ca împrumutul să nu fie rambursat la timp dacă a fost emis unei persoane juridice; – probabilitatea condiționată ca împrumutul să nu fie rambursat la timp dacă a fost acordat unei persoane fizice. Apoi
.
Acum să calculăm probabilitatea condiționată ca acest împrumut să nu fi fost rambursat de o entitate juridică, folosind formula Bayes:
.

SARCINA N 11 raportează o eroare
Tema: Determinarea probabilității
Într-un lot de 12 piese, există 5 piese defecte. Trei părți au fost selectate la întâmplare. Atunci probabilitatea ca printre părțile selectate să nu existe părți adecvate este egală cu...

Soluţie:
Pentru a calcula evenimentul (nu există părți adecvate printre părțile selectate), folosim formula, unde n este numărul total de rezultate posibile ale testului elementar și m– numărul de rezultate elementare favorabile producerii evenimentului. În cazul nostru, numărul total de rezultate elementare posibile este egal cu numărul de moduri prin care trei detalii pot fi extrase din cele 12 disponibile, adică. Și numărul total de rezultate favorabile este egal cu numărul de moduri prin care trei părți defecte pot fi extrase din cinci, adică. Prin urmare,

SARCINA N 12 raportează o eroare
Tema: Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare
O variabilă aleatoare continuă este specificată de densitatea distribuției de probabilitate:

Atunci varianța sa este...

Soluţie:
Varianta unei variabile aleatoare continue poate fi calculată folosind formula

Apoi

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete
O variabilă aleatorie discretă este specificată de legea distribuției probabilităților:

Atunci funcția sa de distribuție a probabilității are forma...

Soluţie:
A-prioriu . Apoi
a) la , ,
b) la , ,
pisică , ,
d) la , ,
d) la , .
Prin urmare,

Subiect: Probabilitate totală. Formule Bayes
Există trei urne care conțin 5 bile albe și 5 negre și șapte urne care conțin 6 bile albe și 4 negre. Se extrage o minge dintr-o urna aleatorie. Atunci probabilitatea ca această minge să fie albă este...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Soluţie:
Pentru a calcula probabilitatea unui eveniment A(o bila extrasa la intamplare este alba) aplicati formula probabilitatii totale: . Iată probabilitatea ca o minge să fie extrasă din prima serie de urne; – probabilitatea ca mingea să fie extrasă din a doua serie de urne; – probabilitatea condiționată ca mingea extrasă să fie albă dacă este extrasă din prima serie de urne; – probabilitatea condiționată ca mingea extrasă să fie albă dacă este extrasă din a doua serie de urne.
Apoi .

Subiect: Legile distribuției de probabilitate a variabilelor aleatoare discrete
O variabilă aleatorie discretă este specificată de legea distribuției probabilităților:

Apoi probabilitatea egal...

Tema: Determinarea probabilității
zarul este aruncat de două ori. Atunci probabilitatea ca suma punctelor extrase să fie zece este...

Discret numită variabilă aleatoare care poate lua valori separate, izolate, cu anumite probabilități.

EXEMPLUL 1. De câte ori stema apare în trei aruncări de monede. Valori posibile: 0, 1, 2, 3, probabilitățile lor sunt egale, respectiv:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

EXEMPLUL 2. Numărul de elemente eșuate dintr-un dispozitiv format din cinci elemente. Valori posibile: 0, 1, 2, 3, 4, 5; probabilitățile lor depind de fiabilitatea fiecărui element.

Variabilă aleatorie discretă X poate fi dat de o serie de distribuție sau de o funcție de distribuție (legea distribuției integrale).

Aproape de distribuție este multimea tuturor valorilor posibile Xiși probabilitățile corespunzătoare acestora Ri = P(X = xi), poate fi specificat ca tabel:

x i				x n
p i				р n

În acest caz, probabilitățile Ri satisface condiția

Ri= 1 deoarece

unde este numărul de valori posibile n poate fi finit sau infinit.

Reprezentarea grafică a seriei de distribuție numit poligon de distribuție . Pentru a-l construi, valorile posibile ale variabilei aleatoare ( Xi) sunt trasate de-a lungul axei x, iar probabilitățile Ri- de-a lungul axei ordonatelor; puncte Ai cu coordonate ( Xi,рi) sunt conectate prin linii întrerupte.

Funcția de distribuție variabilă aleatorie X numită funcție F(X), a cărui valoare la punct X este egală cu probabilitatea ca variabila aleatoare X va fi mai mică decât această valoare X, acesta este

F(x) = P(X< х).

Funcţie F(X) Pentru variabilă aleatoare discretă calculate prin formula

F(X) = Ri , (1.10.1)

unde însumarea se realizează asupra tuturor valorilor i, pentru care Xi< х.

EXEMPLUL 3. Dintr-un lot care conține 100 de produse, dintre care 10 sunt defecte, cinci produse sunt selectate aleatoriu pentru a le verifica calitatea. Construiți o serie de distribuții ale unui număr aleatoriu X produse defecte conținute în eșantion.

Soluţie. Deoarece în eșantion numărul de produse defecte poate fi orice număr întreg cuprins între 0 și 5 inclusiv, atunci valorile posibile Xi variabilă aleatorie X sunt egale:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probabilitate R(X = k) pe care eșantionul îl conține exact k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produse defecte, egal

P (X = k) = .

Ca rezultat al calculelor folosind această formulă cu o precizie de 0,001, obținem:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Folosind egalitatea pentru a verifica Rk=1, ne asigurăm că calculele și rotunjirea s-au făcut corect (vezi tabel).

x i
p i

EXEMPLUL 4. Având în vedere o serie de distribuție a unei variabile aleatoare X :

x i
p i

Găsiți funcția de distribuție a probabilității F(X) din această variabilă aleatoare și construiți-o.

Soluţie. Dacă X 10 lire sterline atunci F(X)= P(X<X) = 0;

daca 10<X 20 de lire sterline atunci F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

daca 20<X 30 de lire sterline atunci F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

daca 30<X 40 de lire sterline atunci F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

daca 40<X 50 de lire sterline atunci F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Dacă X> 50, atunci F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.