Teoreme despre mulțimi deschise și închise. §6

Plan

1. Spațiu vectorial .
2. Punctul interior al unui set deschis în spațiu
3. Proprietățile seturi deschise
4. Punctul limită al unui set. Seturi închise în spațiu
5. Proprietăți ale mulțimilor închise în spațiu

1. Spațiul vectorial . Conceptul de metrică. Proprietăți metrice

Lasa. Elementele spațiului sunt vectori, unde. În spațiu au fost introduse două operații: adăugarea vectorilor și înmulțirea unui vector cu un scalar, ale căror proprietăți sunt discutate în cursul algebrei și geometriei.

Să definim norma vectorială ca o funcție:

Funcția de normă vectorială satisface următoarele proprietăți:

Definiția 1. Distanţă in spatiu între vectori se numește

Proprietăți la distanță:

1. i dacă și numai dacă;

Definiția 2. Lasa. O bilă deschisă cu rază centrată într-un punct (notat) este setul de puncte astfel încât

Exemplu. - acesta este intervalul (Fig. 1).

Exemplu. (Fig. 2).

Definiția 3. Lasa. O bilă închisă cu rază cu centru într-un punct (notat) este mulțimea de puncte astfel încât

Definiția 4. Un punct se numește punct interior al acestui set dacă există o bilă deschisă care este complet conținută în setul.

Definiția 5. O mulțime se numește mulțime deschisă dacă fiecare dintre punctele sale este un punct interior.

Exemplu. Setul gol și setul sunt seturi deschise.

Exemplu. Demonstrați că este un set deschis (Fig. 3).

Să o luăm. Înseamnă că. Să notăm Luați în considerare o minge deschisă. Să demonstrăm asta. Pentru a face acest lucru, să arătăm ce aparține simultan:

Astfel, și asta înseamnă că.

Definiția 6. Un paralelipiped deschis este un set de puncte pentru care sunt valabile următoarele inegalități:

Exercițiu. Arătați că un paralelipiped deschis este o mulțime deschisă.

Teorema 1. Intersecția oricărui număr finit de mulțimi deschise este o mulțime deschisă.

Dovada. Să fie seturi deschise, . Să arătăm că este un set deschis. Pentru a face acest lucru, să luăm și să arătăm că acest punct este intern:

Deoarece fiecare set este deschis, există o minge deschisă pentru. Să notăm Apoi

Astfel, este intern pentru acest set, iar setul în sine este deschis.

cometariu. Intersecția unui număr infinit de mulțimi deschise poate să nu fie o mulțime deschisă.

Exemplu. Să luăm în considerare o colecție infinită de seturi deschise pentru ei. Un set care conține un punct nu este deschis.

Teorema 2. Unirea oricărui număr de seturi deschise este un set deschis.

Dovada. Să fie un set de indici. Lasă setul să fie deschis pentru. Sa luam in considerare. Să arătăm că este deschis. Pentru a face acest lucru, să luăm și să arătăm că acest punct este intern:

Din moment ce este un set deschis, atunci, și asta înseamnă că este un set deschis.

Seturi deschise și închise

Anexa 1 . Seturi deschise și închise

O multime de M pe o linie dreaptă se numește deschis, dacă fiecare dintre punctele sale este conținut în acest set împreună cu un anumit interval. Închis este o mulțime care conține toate punctele sale limită (adică, astfel încât orice interval care conține acest punct intersectează mulțimea cel puțin la încă un punct). De exemplu, un segment este un set închis, dar nu este deschis, iar un interval, dimpotrivă, este un set deschis, dar nu este închis. Există seturi care nu sunt nici deschise, nici închise (de exemplu, o jumătate de interval). Există două seturi care sunt ambele închise și deschise - acesta este gol și atât Z(demonstrează că nu există altele). Este ușor de văzut că dacă M deschide, apoi [` M] (sau Z \ M- plus la set M inainte de Z) este închis. Într-adevăr, dacă [` M] nu este închisă, atunci nu conține niciun punct limită propriu m. Dar apoi m DESPRE M, și fiecare interval care conține m, se intersectează cu mulțimea [` M], adică are un punct în care nu zace M, iar asta contrazice faptul că M- deschis. În mod similar, tot direct din definiție, se demonstrează că dacă M este închis, apoi [` M] deschis (verificați!).

Acum vom demonstra următoarea teoremă importantă.

Teorema. Orice set deschis M poate fi reprezentat ca o uniune de intervale cu capete raționale (adică cu capete în puncte raționale).

Dovada . Luați în considerare uniunea U toate intervalele cu capete raționale care sunt submulțimi ale mulțimii noastre. Să demonstrăm că această unire coincide cu întregul set. Într-adevăr, dacă m- un punct de la M, atunci există un interval ( m 1 , m 2) M M conținând m(acest lucru rezultă din faptul că M- deschis). Pe orice interval puteți găsi un punct rațional. Dai drumul ( m 1 , m) - Acest m 3, pe ( m, m 2) – aceasta este m 4 . Apoi punct m acoperite de unire Uși anume intervalul ( m 3 , m 4). Astfel, am demonstrat că fiecare punct m din M acoperite de unire U. Mai mult, așa cum rezultă evident din construcție U, niciun punct care nu este cuprins în M, neacoperit U. Mijloace, UȘi M se potrivesc.

O consecință importantă a acestei teoreme este faptul că orice mulțime deschisă este numărabile combinarea intervalelor.

Nicăieri seturi dense și seturi de măsură zero. Cantor set>

Anexa 2 . Nicăieri seturi dense și seturi de măsură zero. Setul Cantor

O multime de A numit nicăieri dens, dacă pentru puncte diferite AȘi b există un segment [ c, d] M [ A, b], care nu se intersectează cu A. De exemplu, setul de puncte din succesiune A n = [ 1/(n)] nu este dens nicăieri, dar mulțimea numerelor raționale nu este.

teorema lui Baire. Un segment nu poate fi reprezentat ca o uniune numărabilă de mulțimi dense nicăieri.

Dovada . Să presupunem că există o secvență A k nicăieri seturi dense astfel încât Şi i A i = [A, b]. Să construim următoarea succesiune de segmente. Lăsa eu 1 – un segment încorporat în [ A, b] și nu se intersectează cu A 1 . Prin definiție, un set dens nicăieri pe un interval eu 1 există un segment care nu se intersectează cu mulțimea A 2. Să-l sunăm eu 2. Mai departe, pe segment eu 2, luați în mod similar segmentul eu 3, care nu se intersectează cu A 3, etc. Secvență eu k segmentele imbricate au un punct comun (aceasta este una dintre principalele proprietăți ale numerelor reale). Prin construcție, acest punct nu se află în niciunul dintre seturi A k, ceea ce înseamnă că aceste seturi nu acoperă întregul segment [ A, b].

Să sunăm pe setul M având măsura zero, dacă pentru orice e pozitiv există o secvență eu k intervale cu lungimea totală mai mică de e, acoperind M. Evident, orice set numărabil are măsura zero. Cu toate acestea, există și seturi nenumărate care au măsura zero. Să construim unul, foarte faimos, numit Cantor's.

Orez. unsprezece

Să luăm un segment. Să-l împărțim în trei părți egale. Să aruncăm segmentul din mijloc (Fig. 11, A). Vor fi două segmente de lungime totală [2/3]. Vom efectua exact aceeași operațiune cu fiecare dintre ele (Fig. 11, b). Vor mai rămâne patru segmente cu lungimea totală [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Continuând astfel (Fig. 11, V–e) până la infinit, obținem o mulțime care are o măsură mai mică decât orice măsură pozitivă predeterminată, adică măsura zero. Este posibil să se stabilească o corespondență unu-la-unu între punctele acestei mulțimi și secvențe infinite de zerouri și unu. Dacă în timpul primei „aruncări” punctul nostru cade în segmentul din dreapta, vom pune 1 la începutul secvenței, dacă în stânga - 0 (Fig. 11, A). În continuare, după prima „aruncare”, obținem o copie mică a segmentului mare, cu care facem același lucru: dacă punctul nostru după aruncare cade în segmentul din dreapta, punem 1, dacă este în cel stâng. – 0 etc. (verificați relația unu-la-unu) , orez. unsprezece, b, V. Deoarece mulțimea de secvențe de zerouri și unu are continuu de cardinalitate, mulțimea Cantor are și continuu de cardinalitate. Mai mult, este ușor de demonstrat că nu este dens nicăieri. Cu toate acestea, nu este adevărat că are măsura strictă zero (vezi definiția măsurii stricte). Ideea de a demonstra acest fapt este următoarea: luați secvența A n, tinde spre zero foarte repede. De exemplu, secvența A n = [ 1/(2 2 n)]. Apoi vom demonstra că această secvență nu poate acoperi setul Cantor (fă-o!).

Anexa 3 . Sarcini

Setați operațiuni

Seturi AȘi B sunt numite egal, dacă fiecare element al mulţimii A aparține setului B, si invers. Desemnare: A = B.

O multime de A numit subset seturi B, dacă fiecare element al mulţimii A aparține setului B. Desemnare: A M B.

1. Pentru fiecare două dintre următoarele seturi, indicați dacă unul este un subset al celuilalt:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Demonstrează că setul A dacă și numai dacă este o submulțime a mulțimii B, când fiecare element care nu aparține B, nu apartin A.

3. Demonstrați că pentru mulțimi arbitrare A, BȘi C

A) A M A; b) dacă A M BȘi B M C, Acea A M C;

V) A = B, dacă și numai dacă A M BȘi B M A.

Setul este numit gol, dacă nu conține niciun element. Denumirea: F.

4. Câte elemente are fiecare dintre următoarele seturi:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. Câte submulțimi are o mulțime de trei elemente?

6. Poate o mulțime să aibă exact a) 0; b*) 7; c) 16 submultimi?

Asociere seturi AȘi B X, Ce X DESPRE A sau X DESPRE B. Desemnare: AȘI B.

Prin traversare seturi AȘi B se numeste o multime formata din astfel X, Ce X DESPRE AȘi X DESPRE B. Desemnare: A Z B.

Prin diferenta seturi AȘi B se numeste o multime formata din astfel X, Ce X DESPRE AȘi X P B. Desemnare: A \ B.

7. Seturi date A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Găsiți seturile:

A) AȘI B;	b) A Z B;	V) ( A Z B)ȘI D;
G) C Z ( D Z B);	d) ( AȘI B)Z ( CȘI D);	e) ( AȘI ( B Z C))Z D;
și) ( C Z A)ȘI (( AȘI ( C Z D))Z B);	h) ( AȘI B) \ (C Z D);	Și) A \ (B \ (C \ D));
La) (( A \ (BȘI D)) \ C)ȘI B.

8. Lăsa A este mulțimea numerelor pare și B– set de numere divizibil cu 3. Găsiți A Z B.

9. Demonstrați asta pentru orice seturi A, B, C

A) AȘI B = BȘI A, A Z B = B Z A;

b) AȘI ( BȘI C) = (AȘI B)ȘI C, A Z ( B Z C) = (A Z B)Z C;

V) A Z ( BȘI C) = (A Z B)ȘI ( A Z C), AȘI ( B Z C) = (AȘI B)Z ( AȘI C);

G) A \ (BȘI C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)ȘI ( A \ C).

10. Este adevărat că pentru orice seturi A, B, C

A) A Z ZH = F, A I F = A;	b) AȘI A = A, A Z A = A;	V) A Z B = A Y A M B;
G) ( A \ B)ȘI B = A; 7 d) A \ (A \ B) = A Z B;	e) A \ (B \ C) = (A \ B)ȘI ( A Z C);
și) ( A \ B)ȘI ( B \ A) = AȘI B?

Setați mapări

Dacă fiecare element X seturi X se potrivește exact un element f(X) seturi Y, atunci ei spun că este dat afişa f din multi Xîn mulţime Y. În același timp, dacă f(X) = y, apoi elementul y numit cale element X când este afișat f, și elementul X numit prototip element y când este afișat f. Desemnare: f: X ® Y.

11. Desenați toate mapările posibile de la mulțime (7,8,9) la mulțime (0,1).

Lăsa f: X ® Y, y DESPRE Y, A M X, B M Y. Prototipul complet al elementului y când este afișat f se numeste multime ( X DESPRE X | f(X) = y). Desemnare: f - 1 (y). Imaginea mulțimii A M X când este afișat f se numeste multime ( f(X) | X DESPRE A). Desemnare: f(A). Prototipul setului B M Y se numeste multime ( X DESPRE X | f(X) DESPRE B). Desemnare: f - 1 (B).

12. A afișa f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), dat de imagine, găsiți f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

a B C)

13. Lăsa f: X ® Y, A 1 , A 2 M X, B 1 , B 2 M Y. Este întotdeauna adevărat că

A) f(X) = Y;

b) f - 1 (Y) = X;

V) f(A 1 eu A 2) = f(A 1) Și f(A 2);

G) f(A 1 W A 2) = f(A 1) Z f(A 2);

d) f - 1 (B 1 eu B 2) = f - 1 (B 1) Și f - 1 (B 2);

e) f - 1 (B 1 W B 2) = f - 1 (B 1) Z f - 1 (B 2);

g) dacă f(A 1M f(A 2), atunci A 1M A 2 ;

h daca f - 1 (B 1M f - 1 (B 2), atunci B 1M B 2 ?

Compoziţie mapări f: X ® YȘi g: Y ® Z se numește mapare care asociază un element X seturi X element g(f(X)) seturi Z. Desemnare: g° f.

14. Demonstrați că pentru mapări arbitrare f: X ® Y, g: Y ® ZȘi h: Z ® W se face urmatoarele: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. Lăsa f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – mapări prezentate în figură:

f: g: h:

Desenați imagini pentru următoarele afișaje:

A) g° f; b) h° g; V) f° h° g; G) g° h° f.

Afişa f: X ® Y numit bijectiv, dacă pentru fiecare y DESPRE Y exista exact unul X DESPRE X astfel încât f(X) = y.

16. Lăsa f: X ® Y, g: Y ® Z. Este adevărat că dacă fȘi g sunt bijective, atunci g° f bijectiv?

17. Lăsa f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), – mapări prezentate în figură:

18. Pentru fiecare două dintre următoarele seturi, aflați dacă există o bijecție de la prima la a doua (presupunând că zero este un număr natural):

a) multe numere naturale;

b) mulţimea numerelor naturale pare;

c) mulțimea numerelor naturale fără numărul 3.

Spațiu metric numit set X cu un dat metric r: X× X ® Z

1) " X,y DESPRE X r ( X,y) i 0 și r ( X,y) = 0 dacă și numai dacă X = y (non-negativitatea ); 2) " X,y DESPRE X r ( X,y) = r ( y,X) (simetrie ); 3) " X,y,z DESPRE X r ( X,y) + r ( y,z) i r ( X,z) (inegalitatea triunghiulară ). 19 19. X

A) X = Z, r ( X,y) = | X - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[A,bA,b] funcții,

Unde D

Deschis(respectiv, închis) bilă de rază r in spatiu X centrat într-un punct X numit set U r (X) = {y DESPRE X:r ( X,y) < r) (respectiv, B r (X) = {y DESPRE X:r ( X,y) Ј r}).

Punct intern seturi U M X U

deschis împrejurimi acest punct.

Punct limită seturi F M X F.

închis

20. Demonstrează asta

21. Demonstrează asta

b) unirea unui set A scurt circuit A

Afişa f: X ® Y numit continuu

22.

23. Demonstrează asta

F (X) = inf y DESPRE F r ( X,y

F.

24. Lăsa f: X ® Y– . Este adevărat că inversul său este continuu?

Hartă continuă unu-la-unu f: X ® Y homeomorfism. Spații X, Yhomeomorf.

25.

26. Pentru ce cupluri? X, Y f: X ® Y, care nu se lipește împreună puncte (adică f(X) № f(y) la X № y investitii)?

27*. homeomorfism local(adică în fiecare punct X avion şi f(X) torus există astfel de cartiere UȘi V, Ce f hărți homeomorfe U pe V).

Spații metrice și mapări continue

Spațiu metric numit set X cu un dat metric r: X× X ® Z, satisfacand urmatoarele axiome:

1) " X,y DESPRE X r ( X,y) i 0 și r ( X,y) = 0 dacă și numai dacă X = y (non-negativitatea ); 2) " X,y DESPRE X r ( X,y) = r ( y,X) (simetrie ); 3) " X,y,z DESPRE X r ( X,y) + r ( y,z) i r ( X,z) (inegalitatea triunghiulară ). 28. Demonstrați că următoarele perechi ( X,r ) sunt spații metrice:

A) X = Z, r ( X,y) = | X - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[A,b] – set de continuu pe [ A,b] funcții,

Unde D– un cerc de rază unitară cu centrul la origine.

Deschis(respectiv, închis) bilă de rază r in spatiu X centrat într-un punct X numit set U r (X) = {y DESPRE X:r ( X,y) < r) (respectiv, B r (X) = {y DESPRE X:r ( X,y) Ј r}).

Punct intern seturi U M X este un punct care este cuprins în Uîmpreună cu o minge cu raza diferită de zero.

Se numește o mulțime ale cărei puncte sunt interioare deschis. Se numește un set deschis care conține un punct dat împrejurimi acest punct.

Punct limită seturi F M X este un punct astfel încât orice vecinătate conține infinit de puncte ale mulțimii F.

Se numește o mulțime care conține toate punctele sale limită închis(comparați această definiție cu cea dată în Anexa 1).

29. Demonstrează asta

a) o mulțime este deschisă dacă și numai dacă complementul său este închis;

b) uniunea finită și intersecția numărabilă a mulțimilor închise este închisă;

c) uniunea numărabilă și intersecția finită a mulțimilor deschise sunt deschise.

30. Demonstrează asta

a) mulţimea punctelor limită ale oricărei mulţimi este o mulţime închisă;

b) unirea unui set Ași setul punctelor sale limită ( scurt circuit A) este un set închis.

Afişa f: X ® Y numit continuu, dacă imaginea inversă a fiecărui set deschis este deschisă.

31. Demonstrați că această definiție este în concordanță cu definiția continuității funcțiilor pe o linie.

32. Demonstrează asta

a) distanța până la setarea r F (X) = inf y DESPRE F r ( X,y) este o funcție continuă;

b) setul de zerouri a funcției de la punctul a) coincide cu închiderea F.

33. Lăsa f: X ® Y

Hartă continuă unu-la-unu f: X ® Y, al cărui invers este și continuu se numește homeomorfism. Spații X, Y, pentru care există o astfel de mapare, sunt numite homeomorf.

34. Pentru fiecare pereche a următoarelor mulțimi, determinați dacă sunt homeomorfe:

35. Pentru ce cupluri? X, Y spații din problema anterioară există o mapare continuă f: X ® Y, care nu se lipește împreună puncte (adică f(X) № f(y) la X № y– se numesc astfel de mapări investitii)?

36*. Vino cu o mapare continuă de la un avion la un tor care ar fi homeomorfism local(adică în fiecare punct X avion şi f(X) torus există astfel de cartiere UȘi V, Ce f hărți homeomorfe U pe V).

Completitudine. teorema lui Baire

Lăsa X– spațiu metric. Urmare X n elementele sale se numesc fundamental, Dacă

" e > 0 $ n " k,m > n r ( X k ,X m) < e .

37. Demonstrați că șirul convergent este fundamental. Este adevărată afirmația opusă?

Spațiul metric este numit complet, dacă fiecare secvență fundamentală converge în ea.

38. Este adevărat că un spațiu homeomorf cu unul complet este complet?

39. Demonstrați că un subspațiu închis al unui spațiu complet este el însuși complet; subspațiul complet al unui spațiu arbitrar este închis în el.

40. Demonstrați că într-un spațiu metric complet o succesiune de bile închise imbricate cu raze care tind spre zero are un element comun.

41. Este posibil în problema anterioară să se elimine condiția de completitudine a spațiului sau tendința razelor bilelor la zero?

Afişa f spațiu metric X chemat în sine compresiv, Dacă

$ c (0 Ј c < 1): " X,y DESPRE X r ( f(X),f(y)) < c r ( X,y).

42. Demonstrați că harta de contracție este continuă.

43. a) Demonstrați că o mapare de contracție a unui spațiu metric complet în sine are exact un punct fix.

b) Plasați o hartă a Rusiei la scara 1:20.000.000 pe o hartă a Rusiei la scara 1:5.000.000 Demonstrați că există un punct ale cărui imagini de pe ambele hărți coincid.

44*. Există un spațiu metric incomplet în care afirmația problemei eh este adevărată?

Se numește un subset al unui spațiu metric dens peste tot, dacă închiderea sa coincide cu întregul spațiu; nicăieri dens– dacă închiderea sa nu are submulțimi deschise nevide (comparați această definiție cu cea dată în Anexa 2).

45. a) Fie A, b, a , b O ZȘi A < a < b < b. Demonstrează că setul funcții continue pe [ A,b], monoton pe , nicăieri dens în spațiul tuturor funcțiilor continue pe [ A,b] cu metrica uniformă.

b) Fie A, b, c, e O ZȘi A < b, c> 0, e > 0. Apoi setul de funcții continue pe [ A,b], astfel încât

$ X DESPRE [ A,b]: " y (0 < | X - y| < e ) Ю | f(X) - f(y)| | X - y| Ј c,

nicăieri dens în spațiul tuturor funcțiilor continue pe [ A,b] cu metrica uniformă.

46. (Teorema lui Baire generalizată .) Demonstrați că un spațiu metric complet nu poate fi reprezentat ca unirea unui număr numărabil de mulțimi dense nicăieri.

47. Demonstrați că mulțimea de funcții continue, nemonotone pe orice interval nevid și funcții diferențiabile nicăieri definite pe interval este densă peste tot în spațiul tuturor funcțiilor continue pe cu o metrică uniformă.

48*. Lăsa f– funcţie diferenţiabilă pe interval. Demonstrați că derivata sa este continuă pe o mulțime de puncte densă peste tot. Aceasta este definiția Lebesgue masoara zero. Dacă numărul numărabil de intervale este înlocuit cu unul finit, obținem definiția Jordanova masoara zero.

§6. Teoreme despre mulțimi deschise și închise

Teorema 1. Unirea oricărui număr de seturi deschise este un set deschis.

Lăsa G k – seturi deschise.

Să demonstrăm că este un set deschis.

Ia orice punct X O  G. Prin definiția uniunii mulțimilor, punctul X O va aparține cel puțin unuia dintre seturi G k . Deoarece G k sunt seturi deschise, atunci există  - vecinătatea unui punct X O, care aparține complet setului G k :

Am înțeles orice punct X O  G – intern, ceea ce înseamnă că G– set deschis. 

Teorema 2 . Intersecția unui număr finit de mulțimi deschise nevide este o mulțime deschisă.

Lăsa G k ( k = 1,2, …,n) sunt seturi deschise.

Să demonstrăm asta
– set deschis.

Ia orice punct X O  G. Prin definiția intersecției mulțimilor X O aparțin fiecăruia dintre seturi G k. Deoarece seturi G k deschis, apoi în orice set G k există  k- vecinătatea unui punct X O : U( X o ,  k)  G k. O mulțime de numere { 1 ,  2 ,…,  n ) este finită, deci   = min { 1 ,  2 ,…,  n). Apoi  - vecinătatea unui punct X O aparține tuturor  k- vecinătatea unui punct X O :

Am inteles X O– punctul interior al ansamblului G, ceea ce înseamnă că G– set deschis. 

Nota 1. Intersecția unui număr infinit de mulțimi deschise poate să nu fie o mulțime deschisă.

Exemplu 1 . Lasă în spațiu R Unde k= 1,2,…,n, ….

Teorema 3 . Intersecția unui număr infinit de mulțimi nevide închise este o mulțime închisă.

Lăsa F k– seturi închise.

Să demonstrăm că seturile
închis, adică conține toate punctele sale limită.

Teorema 4. Unirea unui număr finit de mulțimi închise nevide este o mulțime închisă.

Lasă seturile F k- închis.

Să demonstrăm că setul
închis, adică dacă X O F, Acea X O  F.

Nota 2. Unirea unui număr infinit de mulțimi închise poate fi o mulțime deschisă.

Exemplu 2 . In spatiu R: F k =

Teorema 5 . Dacă setul Eînchis, apoi complementul său la set X: C X E=CE – set deschis.

Exemplu .3 . E=, C R E =

Teorema 6 . Dacă setul E deschis, apoi complementul său la set X: C X E=CE – set închis.

Exemplu 4 . E=(2,5), C R E =

§7. Secvențe de puncte în spațiul metric

Definiție 1 . O succesiune de puncte într-un spațiu metric (X,  ) numită cartografiere f set de numere naturale Nîn mulţime X: f: NX.

Valoarea acestei mapări la punct n  N numit n-membru al succesiunii de puncte din spatiul metric si se noteaza cu X n = f(n). Vom nota succesiunea (X n) sau ( X 1 ,X 2 ,…, X n … ).

Exemplu 1. In spatiu R 2 : X n = (1 n, n+ 1/ n));

Exemplu 2 . In spatiu CU: (X n = (1/ nx + n 2 X)) unde  A,b nu conține 0.

Definiție 2 . Lăsa ( X nX, ), (k 1 , k 2 ,…, k n ,… ) este o succesiune crescătoare de numere naturale. Apoi secvența (X kn) se numește succesiune a secvenței (X n).

Exemplu 3. Secvența (1 / n 2 ) – subsecvența secvenței (1 / n).

Definiție 3 . Lăsa ( X n) X, ), Urmare (X n) se numește limitat , dacă există o minge închisă cu centru Ași o rază finală R, care conține toți membrii secvenței, adică.

.

Nota 1 . Conceptul de succesiune monotonă nu poate fi introdus în toate spațiile metrice.

Definiție 4. Lăsa ( X n) – succesiunea punctelor spațiului metric ( X, ). Punct A X numit limita secvenței (X n) Dacă:

  (    N   n   ( , n  N   X n , A  

sau, care este același lucru, o secvență de numere (  X n , A)) - infinitezimal (tinde spre 0), cu n ,acestea.

şi abazanaetstsa

prin metrica  sau
, la n .

Dacă secvența ( X n) are o limită finită, atunci se numește convergent, în caz contrar se numește divergent.

Dacă ( X n) – succesiunea punctelor spațiului metric ( X, ) converge către un punct A X, Acea A– punctul limită al secvenței ( X n).

Opusul nu este întotdeauna cazul.

Nota 2 . Aceeași secvență în spații metrice diferite poate converge și diverge

Exemplu 4. Secvența (1 / n) converge în spațiul R, dar diverge în spațiul ( X, ), Unde
 (X, y)=  X la, pentru că 0
.

Teoremele sunt valabile pentru secvențe convergente.

Teorema 1. Dacă ( X n) – secvența convergentă a spațiului metric ( X, ), atunci limita sa este unică.

  X n ,A 0 Și
  X n ,b 0.

Conform axiomelor metricii 0   A, b    X n , A +  X n , b. Trecem la limita, la n , Primim  A, b = 0  A= b. 

Teorema 2 . Dacă ( X n) – succesiunea punctelor spațiului metric ( X, ) – convergent, atunci este mărginit.

Să
.

Teorema 3 . Dacă ( X n) – succesiunea punctelor spațiului metric ( X, ) converge spre un punct A X, atunci oricare dintre subsecvențele sale converge către A.

Să
– orice subsecvență a secvenței (X n). După condiție. Înseamnă că:      n    X n ,A   .

Deoarece k n  n, apoi pentru toată lumea n> N dreapta k n > N și deci 
.

Astfel am dovedit că     n   , înseamnă că
.

§8. Proprietăţi ale secvenţelor convergente în unele

spații metrice

Teorema 1 (asupra convergenței în coordonate a unei secvențe în m.R m ). Pentru o succesiune de puncte într-un spațiu metric R m

(X n = (X 1 ( n ) ,X 2 ( n ) ,…, X m ( n ) ) converge către un punct A = (A 1 ,A 2 ,…, A m) acest spațiu este necesar și suficient pentru secvențele numerice ( X 1 ( n ) ), (X 2 ( n ) ),…, (X m ( n ) ) (coordonatele corespunzătoare) tind în mod corespunzător cu numerele A 1 ,A 2 ,…, A m , adică

,
,...,
(1)

Dacă egalitățile (1) sunt îndeplinite, atunci spunem că șirul ( X n) converge spre un punct A coordonată cu coordonată.

1. Lasă în m.pr. R m . (2)

Să demonstrăm că egalitățile (1) sunt îndeplinite.

În virtutea egalității (2) (prin definiția limitei unei secvențe) în m.p. R m vom avea:

  n    X n ,A ,

Unde  - metrica spațiului metric R m :

X y R m .

2. Fie îndeplinite egalitățile (1).

Să demonstrăm că (2) în spațiul metric R m .

Lăsa  - orice număr pozitiv luați în considerare numărul
. Apoi

Exemplu 1 . Găsiți limita A = (A 1 , A 2 ) secvențe

in spatiu R 2 .

Prin urmare, = (1/4;3).

Teorema 2 (Bolzana-Weierstrasse în m.pr.R m ). Din orice secvență limitată de spațiu R m se poate identifica o subsecvenţă convergentă.

Un caz particular al acestei teoreme pentru spațiu R 1 a fost dovedit în primul an.

Teorema 3 . Pentru succesiunea ( X n) puncte m.pr. CU [ A , b] cu metrica Chebyshev convergentă către element X Acest lucru, etc., este necesar și suficient pentru secvența funcțională ( X n) converge uniform spre X pe [ A, b].

Să o demonstrăm folosind criteriul convergenței uniforme.

Se știe că secvența funcțională ( X n) converge uniform către funcția limită X atunci și numai când

Ținând cont de definiția metricii în m.pr. CU[A, b] obținem egalitate

(vezi definiția 4 §7)
prin metrica  în m.pr. CU[A, b]. 

Exemplu 2. X n (t) = t n  t ;   n N. se ştie că pe ;/2 succesiunea funcţională X n (t) = t n converge uniform către funcția limită X (t) = 0. Astfel  t ; secvență ( X n) converge către funcția x = 0 în m.pr. CU.

Teorema 4. Dacă A– punctul limită al setului E spațiu metric ( X,  ), atunci există o secvență ( X n), ale căror membri aparțin E si nu sunt egali A, și ( X n), converge spre Aîn acest spațiu metric.

Dovada este similară cu cea din spațiu R.

Nota 1. Deoarece orice normă specifică o metrică,

 o ( X, y) =

apoi în spațiu normalizat A se poate defini şi limita unei succesiuni de elemente ale unui spaţiu normat.

Nota 2. Deoarece un spațiu pre-Hilbert este un spațiu normat cu normă
, atunci într-un spațiu pre-Hilbert se poate defini și limita șirului de elemente ale unui spațiu pre-Hilbert.

§9. Spații metrice complete

Definiție 1 . Urmare ( X n) spațiu metric ( X, ) se numeste fundamental daca

Un exemplu de succesiune fundamentală este orice succesiune convergentă de puncte dintr-un spațiu metric.

In spatiu R orice succesiune fundamentală este convergentă. Dar pentru orice m.pr. nu orice secvență fundamentală a unui spațiu metric ( X,  ) converg in acest spatiu.

Exemplu 1 . În m.pr. X = (Q;  =  X la) succesiunea este fundamentală, dar din anul I se știe că dar e X(e eu ).

Definiție 2 . Spațiul metric este numit spațiu metric complet , dacă orice succesiune fundamentală de puncte din acest spațiu converge în ea.

Exemplu 2 . Spațiu metric R este un spațiu metric complet, deoarece orice succesiune fundamentală converge către un număr din spațiu R. Aceasta rezultă din criteriul Cauchy (vezi primul curs).

Exemplu 3 . Să demonstrăm acel spațiu R m- spatiu metric complet.

Lasă secvența( X n= X 1 (n) , X 2 (n) ,…, X m ( n)) (1)

orice secvență fundamentală a spațiului R m . Să arătăm că această secvență este convergentă și limita ei aparține spațiului R m .

Despre definirea secvenței fundamentale și definirea metricii în spațiu R m

0 N( ) N  p,n >N  (X p ,X n) 

Conform demonstrației teoremei 1 §8 Astfel, natura fundamentală a secvențelor de numere ( X 1 ( n ) ), (X 2 ( n ) ),…, (X m ( n ) ), și de aici convergența lor (după criteriul Cauchy).

Lăsa

Luați în considerare ideea a =(A 1 , A 2 , …, A m). Deoarece A 1 , A 2 , …, A m  R, Acea A R m. Prin Teorema 1 §8 obţinem că în m.pr. R m urmatoarea ( X n) converge spre A R m . Aceasta înseamnă că spațiul R m spațiu metric complet. 

Exemplu 4 . Să demonstrăm că spațiul metric CU[A, b] este complet.

Să ( X n) – orice succesiune fundamentală în m.p. CU[A, b] , termenii săi sunt continui pe [ A, b] funcții.

Să demonstrăm că șirul ( X n) converge în spațiul metric CU [ A , b] . Mai întâi arătăm că converge către funcția limită X pe segmentul [ A, b].

Prin definiţia secvenţei fundamentale

Înseamnă că  t [A, b] (remediază t) fundamentală este șirul de numere ( X n (t) ). Aceasta înseamnă că are o limită, pe care o notăm prin
pentru fiecare fix t [A, b].

Să arătăm că funcția limită X(t) continuu pe [ A, b]. Pentru a face acest lucru, în inegalitatea (2) mergem la limita la m . Primim

 X (t) X n (t)   n>N t [a,b].

Astfel, am dovedit că

0 NN  m,n > N X (t) X n (t)   t [a,b].

Aceasta înseamnă că secvența ( X n) converge uniform către funcție X pe [ A, b]. Deoarece toți membrii secvenței ( X n) continuu pe [ A, b] funcția, atunci și funcția limită este continuă pe acest segment, adică este un element al spațiului metric CU [ A , b]. Prin Teorema 2 §8 în acest spațiu șirul ( X n) converge spre X. Aceasta înseamnă spațiu CU [ A , b] – spațiu metric complet. 

Definiție 3. Un spațiu normat complet se numește Banohav th spaţiu m .

Spațiile Banohavian sunt spațiile:

R P cu standarde
,
;

l 2 cu norma vectoriala X = (X n) = (X 1 , X 2 , … )

C [ A, b] cu norma de funcţii X(t)
.

Și spațiu C 1 [A, b] cu normă nu este Banoch.

Definiție 2 . Se numește un spațiu complet pre-Hilbert în raport cu norma (2) §3 Spațiul Hilbert .

Exemple de spații Hilbert sunt spațiile enumerate din exemplele din §4. Spațiul pre-Hilbert din Exemplul 3 al §4 nu este complet în raport cu norma (2) și, prin urmare, nu este Hilbert.

Informatica, 4 ani, 1-2 modul) Definițiemetricspaţiu(m.p.). Exemple. Seturi deschise și închise în p.t. Convergență... mapări liniare ale normalizate spatii. Exemple. Normalizat spaţiu mapări liniare. Teorema...

Curs nr. 3 Spații metrice Seturi deschise și închise

Lectura

... spatii. Definiție 4. Metricspaţiu se numește completă dacă vreo secvență fundamentală converge în ea (la un element al acestuia spaţiu!). Exemple. 9) B spaţiu ...

LA STUDIUL SPAȚILOR METRICE

Document

Ceea ce obținem este echivalent definițiemetricspaţiu. 4. Demonstrați că pentru un arbitrar metricspaţiuáX, rñ sunt echivalente cu afirmația... mapări continue metricspatii continuu. Arata spre exemplu, Ce...

Una dintre sarcinile principale ale teoriei mulțimilor de puncte este studiul proprietăților tipuri variate seturi de puncte. Să ne familiarizăm cu această teorie folosind două exemple și să studiem proprietățile așa-numitelor mulțimi închise și deschise.

Setul este numit închis , dacă conține toate punctele sale limită. Dacă un set nu are un singur punct limită, atunci este considerat și închis. Pe lângă punctele sale limită, un set închis poate conține și puncte izolate. Setul este numit deschis , dacă fiecare dintre punctele sale este intern pentru acesta.

Să dăm exemple de seturi închise și deschise .

Fiecare segment este o mulțime închisă și fiecare interval (a, b) este o mulțime deschisă. Semi-intervale improprii şi închis, și intervale necorespunzătoare și deschis. Întreaga linie este atât un set închis, cât și unul deschis. Este convenabil să considerați că setul gol este atât închis, cât și deschis în același timp. Orice set finit de puncte de pe o linie este închis, deoarece nu are puncte limită.

Un set format din puncte:

închis; această mulțime are un punct limită unic x=0, care aparține mulțimii.

Sarcina principală este de a afla cum este structurat un set arbitrar închis sau deschis. Pentru asta avem nevoie de o serie fapte justificative, pe care îl vom accepta fără dovezi.

• 1. Intersecția oricărui număr de mulțimi închise este închisă.
• 2. Suma oricărui număr de seturi deschise este un set deschis.
• 3. Dacă o mulțime închisă este mărginită mai sus, atunci ea conține supremul său. În mod similar, dacă o mulțime închisă este mărginită mai jos, atunci ea conține infimul său.

Fie E o mulțime arbitrară de puncte pe o dreaptă. Să numim complementul mulțimii E și să notăm cu CE mulțimea tuturor punctelor de pe dreapta care nu aparțin mulțimii E. Este clar că dacă x este un punct extern pentru E, atunci este un punct intern pentru setul CE și invers.

4. Dacă o mulțime F este închisă, atunci complementul său CF este deschis și invers.

Propunerea 4 arată că există o legătură foarte strânsă între mulțimile închise și cele deschise: unele sunt complemente ale altora. Din acest motiv, este suficient să studiezi doar seturile închise sau doar deschise. Cunoașterea proprietăților mulțimilor de un tip vă permite să aflați imediat proprietățile mulțimilor de alt tip. De exemplu, orice set deschis se obține prin eliminarea unui set închis dintr-o linie.

Să începem să studiem proprietățile mulțimilor închise. Să introducem o definiție. Fie F o mulțime închisă. Un interval (a, b) având proprietatea că niciunul dintre punctele sale nu aparține mulțimii F, dar punctele a și b aparțin lui F, se numește interval adiacent al mulțimii F.

Vom include, de asemenea, intervale improprii între intervalele adiacente, sau dacă punctul a sau punctul b aparțin mulțimii F, iar intervalele în sine nu se intersectează cu F. Să arătăm că dacă un punct x nu aparține unei mulțimi închise F, atunci el aparține unuia dintre intervalele sale adiacente.

Să notăm cu partea mulțimii F situată în dreapta punctului x. Deoarece punctul x însuși nu aparține mulțimii F, acesta poate fi reprezentat sub formă de intersecție:

Fiecare dintre seturi este F și închis. Prin urmare, prin Propunerea 1, mulțimea este închisă. Dacă mulțimea este goală, atunci întregul semiinterval nu aparține mulțimii F. Să presupunem acum că mulțimea nu este goală. Deoarece acest set este situat în întregime pe o jumătate de interval, este mărginit mai jos. Să notăm limita sa inferioară cu b. Conform Propoziției 3, ceea ce înseamnă. Mai mult, deoarece b este infimul mulțimii, semiintervalul (x, b) situat la stânga punctului b nu conține puncte ale mulțimii și, prin urmare, nu conține puncte ale mulțimii F. Deci, am construit un semiinterval (x, b) care nu conține puncte ale mulțimii F și oricare sau punctul b aparține mulțimii F. În mod similar, se construiește un semiinterval (a, x) care nu conține puncte din mulțimea F și fie sau. Acum este clar că intervalul (a, b) conține punctul x și este un interval adiacent al mulțimii F. Este ușor de observat că dacă și sunt două intervale adiacente ale mulțimii F, atunci aceste intervale fie coincid, fie nu nu se intersectează.

Din cele precedente rezultă că orice mulțime închisă pe o dreaptă se obține prin eliminarea unui anumit număr de intervale de pe linie, și anume intervale adiacente ale mulțimii F. Deoarece fiecare interval conține cel puțin un punct rațional, și există o mulțime numărabilă de toate punctele raționale de pe linie, este ușor să vă asigurați că numărul tuturor intervalelor adiacente este cel mult numărabil. De aici ajungem la concluzia finală. Fiecare set închis de pe o linie se obține prin eliminarea de pe linie a cel mult un set numărabil de intervale disjunse.

În virtutea Propoziției 4, rezultă imediat că fiecare set deschis pe o linie nu este altceva decât o sumă numărabilă de intervale disjunse. În virtutea Propozițiilor 1 și 2, este, de asemenea, clar că orice mulțime aranjată așa cum este indicat mai sus este într-adevăr închisă (deschisă).

După cum se poate observa din exemplul următor, seturile închise pot avea o structură foarte complexă.

Funcțiile mai multor variabile.

Când se studiază multe fenomene, se întâlnesc funcții a două sau mai multe variabile independente.

Exemple.

1) Aria unui dreptunghi cu laturile x și y: S=xy.

2) Volumul unui paralelipiped dreptunghic cu muchiile x,y,z: V=xyz.

3) Conform legii lui Ohm, tensiunea U într-un circuit de curent electric este legată de rezistența R a circuitului și de puterea curentului I prin dependența U=RI. Dacă considerăm U și R ca date, atunci I va fi definit ca o funcție a lui U și R: I= .

Elementele spațiului aritmetic R n sunt mulțimi ordonate de n numere reale (x 1, x 2,…, x n). Aceste mulțimi ordonate se numesc puncte în spațiu n-dimensional sau vectori n-dimensionali.

x=(x 1,x 2,…,x n), y=(y 1,y 2,…,y n). x 1, x 2,…, x n – coordonatele punctului.

Definiție. Distanța dintre punctele x=(x 1,x 2,…,x n) și y=(y 1,y 2,…,y n):

d(x,y)= (1)

Proprietăți la distanță:

1) d(x,y)³0 și d(x,y)=0 Û x=y, adică. x i =y i "i=1,2,...,n.

2) d(x,y)=d(y,x) – proprietatea simetriei.

3) d(x,y)£d(x,z)+d(z,y) "x,y,zÎR n – inegalitatea triunghiulară ( £ + ).

Fie a(a 1,a 2,...,a n) un punct arbitrar în spațiul R n și fie R>0 un anumit număr. Mulțimea tuturor punctelor x(x 1,x 2,…,x n):

B(a,R)=(xÎR n: d(x,a)

(a,R)=(xÎR n: d(x,a)£R) este o bilă închisă (sferă) cu un centru în punctul a și raza R.

S(a,R)=(xÎR n: d(x,a)=R) – sferă în R n.

Prin urmare, ecuația unei sfere în R n este:

=R (2)

Definiție. Să fie numere a 1 ,…,a n și b 1 ,…,b n astfel încât a 1

numit paralelipiped deschis – P.

Mulțimea tuturor punctelor M(x 1,x 2,…,x n)ÎR n, pentru care

numit paralelipiped închis –.

Punctul C( ,…, ) – centru paralelipiped.

O sferă deschisă de orice rază R>0 cu un centru în punctul M 0 ( ,…, ) poate fi considerată ca Cartier acest punct. (În mod similar, un paralelipiped deschis cu un centru în punctul M 0 ( ,…, ) poate fi considerat ca o vecinătate).

Definiție. Fie E un set de puncte din Rn. Se numește mulțimea E limitat, dacă există un număr R>0 astfel încât toate punctele mulțimii E să se afle în interiorul unei sfere de rază R cu centrul în punctul O(0,...,0).

Teorema. Fie mulţimea E(M)ÌR n . Lăsa

(x 1 ) - mulțimea care formează primele coordonate ale punctelor MOE,

…………………………………………………………………………..

(x n) este mulțimea formată din coordonatele a n-a ale punctelor MOE.

Pentru ca mulțimea E(M) să fie mărginită este necesar și suficient ca mulțimile (x 1 ),..., (x n ) să fie mărginite în același timp.

Dovada. Necesitate. Fie E(M) limitat. Prin urmare, există un număr R>0 astfel încât d(M,O)

0£êx 1 ê£

Și asta înseamnă că mulțimile (x 1 ),..., (x n) sunt limitate.

Adecvarea. Fie mărginite mulțimile (x 1 ),..., (x n ). Prin urmare, $С>0: êx 1 ê

adică d(M,O)

Definiție. Setul este numit deschis, dacă fiecare punct al acestui set este inclus în el împreună cu vecinătatea lui.

Proprietățile seturi deschise.

1) mulţimile R n şi Æ sunt deschise.

2) Unirea oricărui sistem de seturi deschise este deschisă (spectacol).

3) Intersecția unui sistem finit de mulțimi deschise este deschisă (arată).

Punctul M 0 ÎE se numește punct de condensare mulţimea EÌR n dacă fiecare din vecinătăţile sale conţine cel puţin un punct al mulţimii E diferit de M 0 .

Definiție. Se numește mulțimea FÌR n închis, dacă complementul său în R n este deschis (adică dacă R n \F este deschis).

Punctele de condensare ale unui set deschis care nu îi aparțin sunt numite puncte de frontieră a acestei multimi. Se formează puncte de frontieră frontieră mulţimi.

Se numește un set deschis cu propria sa limită închis.