Ecuația unei tangente în două puncte. Calculator online

Exemplul 1. Dată o funcție f(X) = 3X 2 + 4X– 5. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X) la punctul grafic cu abscisa X 0 = 1.

Soluţie. Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.

Apoi f(X 0) = f(1) = 2; (X 0) = = 10. Ecuația tangentei are forma:

y = (X 0) (X – X 0) + f(X 0),

y = 10(X – 1) + 2,

y = 10X – 8.

Răspuns. y = 10X – 8.

Exemplul 2. Dată o funcție f(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X), paralel cu linia y = 2X – 11.

Soluţie. Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Deoarece tangenta la graficul functiei f(X) la punctul de abscisă X 0 este paralel cu dreapta y = 2X– 11, apoi ea pantă este egal cu 2, adică ( X 0) = 2. Să găsim această abscisă din condiția ca 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Această egalitate este valabilă numai atunci când X 0 = 0 și la X 0 = 2. Întrucât în ​​ambele cazuri f(X 0) = 5, apoi drept y = 2X + b atinge graficul funcției fie în punctul (0; 5), fie în punctul (2; 5).

În primul caz, egalitatea numerică 5 = 2×0 + este adevărată b, Unde b= 5, iar în al doilea caz egalitatea numerică 5 = 2×2 + este adevărată b, Unde b = 1.

Deci sunt două tangente y = 2X+ 5 și y = 2X+ 1 la graficul funcției f(X), paralel cu linia y = 2X – 11.

Răspuns. y = 2X + 5, y = 2X + 1.

Exemplul 3. Dată o funcție f(X) = X 2 – 6X+ 7. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X), trecând prin punct A (2; –5).

Soluţie. Deoarece f(2) –5, apoi punctul A nu aparține graficului funcției f(X). Lăsa X 0 - abscisa punctului tangent.

Derivata unei functii f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.

Apoi f(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. Ecuația tangentei are forma:

y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

De la punctul A aparține tangentei, atunci egalitatea numerică este adevărată

–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,

Unde X 0 = 0 sau X 0 = 4. Aceasta înseamnă că prin punct A puteți desena două tangente la graficul funcției f(X).

Dacă X 0 = 0, atunci ecuația tangentei are forma y = –6X+ 7. Dacă X 0 = 4, atunci ecuația tangentei are forma y = 2X – 9.

Răspuns. y = –6X + 7, y = 2X – 9.

Exemplul 4. Funcții date f(X) = X 2 – 2X+ 2 și g(X) = –X 2 – 3. Să scriem ecuația tangentei comune la graficele acestor funcții.

Soluţie. Lăsa X 1 - abscisa punctului de tangenta a dreptei dorite cu graficul functiei f(X), A X 2 - abscisa punctului de tangență al aceleiași drepte cu graficul funcției g(X).

Derivata unei functii f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.

Apoi f(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. Ecuația tangentei are forma:

y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Să găsim derivata funcției g(X):

= (–X 2 – 3)′ = –2 X.

Y = f(x) și dacă în acest punct se poate desena o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa absciselor, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a). Avem deja folosit acest lucru de mai multe ori De exemplu, în § 33 s-a stabilit că graficul funcției y = sin x (sinusoid) la origine formează un unghi de 45° cu axa x (mai precis, tangenta la graficul de la origine formează un unghi de 45° cu direcția pozitivă a axei x), iar în exemplul 5 § 33 de puncte au fost găsite în programul dat funcții, în care tangenta este paralelă cu axa x. În exemplul 2 din § 33, s-a întocmit o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = x 2 în punctul x = 1 (mai precis, la punctul (1; 1), dar mai des doar valoarea abscisei este indicat, crezând că dacă se cunoaște valoarea abscisei, atunci valoarea ordonatei poate fi găsită din ecuația y = f(x)). În această secțiune vom dezvolta un algoritm pentru alcătuirea unei ecuații tangente la graficul oricărei funcții.

Să fie date funcția y = f(x) și punctul M (a; f(a)) și să se știe, de asemenea, că f"(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la grafic funcţie dată V punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx+m, deci sarcina este de a găsi valorile coeficienților k și m.

Nu există probleme cu coeficientul unghiular k: știm că k = f "(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)) . Aceasta înseamnă că dacă substituim punctul de coordonate M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă: f(a) = ka+m, din care aflăm că m = f(a) - ka.
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților kit-ului în ecuația Drept:

Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.
Dacă, să zicem,
Înlocuind valorile găsite a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 în ecuația (1), obținem: y = 1+2(x-f), adică y = 2x-1.
Comparați acest rezultat cu cel obținut în exemplul 2 din § 33. Desigur, același lucru s-a întâmplat.
Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tan x la origine. Avem: aceasta înseamnă cos x f"(0) = 1. Înlocuind valorile găsite a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 în ecuația (1), obținem: y = x.
De aceea am trasat tangentoidul în § 15 (vezi Fig. 62) prin originea coordonatelor la un unghi de 45° față de axa absciselor.
Când am rezolvat aceste exemple destul de simple, am folosit de fapt un anumit algoritm, care este conținut în formula (1). Să explicăm acest algoritm.

ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFUL FUNCTIEI y = f(x)

1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2) Calculați 1 (a).
3) Aflați f"(x) și calculați f"(a).
4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), (a) în formula (1).

Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul x = 1.
Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu

În fig. 126 este descrisă o hiperbolă, se construiește o linie dreaptă y = 2.
Desenul confirmă calculele de mai sus: într-adevăr, linia y = 2 atinge hiperbola în punctul (1; 1).

Răspuns: y = 2- x.
Exemplul 2. Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta y = 4x - 5.
Să clarificăm formularea problemei. Cerința de a „trage o tangentă” înseamnă de obicei „a forma o ecuație pentru tangentă”. Acest lucru este logic, deoarece dacă o persoană a fost capabilă să creeze o ecuație pentru o tangentă, atunci este puțin probabil să aibă dificultăți în construirea unei linii drepte pe planul de coordonate folosind ecuația acesteia.
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont de faptul că în acest exemplu Dar, spre deosebire de exemplul anterior, există o ambiguitate: abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit.
Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = 4x-5. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei trebuie să fie egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f"(a) = 4.
Avem:
Din ecuație Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 2, cealaltă în punctul cu abscisa -2.
Acum puteți urma algoritmul.

Exemplul 3. Din punctul (0; 1) trageți o tangentă la graficul funcției
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont că în acest exemplu, Rețineți că aici, ca și în exemplul 2, abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.

Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 1). Înlocuind valorile x = 0, y = 1 în ecuația (2), obținem:
După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =4 în ecuația (2), obținem:

În fig. 127 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: este trasat un grafic al funcției

În § 32 am observat că pentru o funcție y = f(x), care are o derivată la un punct fix x, egalitatea aproximativă este valabilă:

Pentru comoditatea unui raționament suplimentar, să schimbăm notația: în loc de x vom scrie a, în loc de x, și, în consecință, în loc de x-a. Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:

Acum uită-te la fig. 128. Se trasează o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul M (a; f (a)). Punctul x este marcat pe axa x aproape de a. Este clar că f(x) este ordonata graficului funcției în punctul x specificat. Ce este f(a) + f"(a) (x-a)? Aceasta este ordonata tangentei corespunzătoare aceluiași punct x - vezi formula (1). Care este sensul egalității aproximative (3)? Faptul că Pentru a calcula valoarea aproximativă a funcției, luați valoarea ordonată a tangentei.

Exemplul 4. Găsiți valoarea aproximativă expresie numerică 1,02 7 .
Vorbim despre găsirea valorii funcției y = x 7 în punctul x = 1,02. Să folosim formula (3), ținând cont de faptul că în acest exemplu
Ca rezultat obținem:

Dacă folosim un calculator, obținem: 1,02 7 = 1,148685667...
După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.
Răspuns: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, poze, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate

Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” demonstrează material educativ să stăpânească subiectul. În timpul lecției video sunt descrise materialul teoretic necesar formulării conceptului de ecuație a unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat, un algoritm pentru găsirea unei astfel de tangente și exemple de rezolvare a problemelor folosind materialul teoretic studiat. .

Tutorialul video folosește metode care îmbunătățesc claritatea materialului. Prezentarea conține desene, diagrame, comentarii vocale importante, animație, evidențiere și alte instrumente.

Lecția video începe cu o prezentare a subiectului lecției și o imagine a unei tangente la graficul unei funcții y=f(x) în punctul M(a;f(a)). Se știe că coeficientul unghiular al tangentei trasate la grafic într-un punct dat este egal cu derivata funcției f΄(a) în acest punct. Tot din cursul de algebră cunoaștem ecuația dreptei y=kx+m. Schematic este prezentată soluția problemei găsirii ecuației tangentei într-un punct, ceea ce se reduce la găsirea coeficienților k, m. Cunoscând coordonatele unui punct aparținând graficului funcției, putem găsi m substituind valoarea coordonatei în ecuația tangentei f(a)=ka+m. Din el găsim m=f(a)-ka. Astfel, cunoscând valoarea derivatei într-un punct dat și coordonatele punctului, putem reprezenta ecuația tangentei în acest fel y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Următorul este un exemplu de compunere a unei ecuații tangente după diagramă. Având în vedere funcția y=x 2 , x=-2. Luând a=-2, găsim valoarea funcției la un punct dat f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determinăm derivata funcției f΄(x)=2x. În acest moment, derivata este egală cu f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Pentru alcătuirea ecuației s-au găsit toți coeficienții a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, deci ecuația tangentei este y=4+(-4)(x+2). Simplificand ecuația, obținem y = -4-4x.

Următorul exemplu sugerează construirea unei ecuații pentru tangenta de la origine la graficul funcției y=tgx. La un punct dat a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Deci ecuația tangentei arată ca y=x.

Ca o generalizare, procesul de compunere a unei ecuații tangente la graficul unei funcții la un anumit punct este formalizat sub forma unui algoritm format din 4 pași:

• Introduceți denumirea a pentru abscisa punctului tangent;
• f(a) se calculează;
• Se determină f΄(x) și se calculează f΄(a). Valorile găsite ale lui a, f(a), f΄(a) sunt substituite în formula ecuației tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Exemplul 1 are în vedere alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y=1/x în punctul x=1. Pentru a rezolva problema folosim un algoritm. Pentru o funcție dată la punctul a=1, valoarea funcției f(a)=-1. Derivată a funcției f΄(x)=1/x 2. La punctul a=1 derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Cu ajutorul datelor obținute se întocmește ecuația tangentei y=-1+(x-1), sau y=x-2.

În exemplul 2, este necesar să găsim ecuația tangentei la graficul funcției y=x 3 +3x 2 -2x-2. Condiția principală este paralelismul tangentei și dreptei y=-2x+1. În primul rând, găsim coeficientul unghiular al tangentei, egal cu coeficientul unghiular al dreptei y=-2x+1. Deoarece f΄(a)=-2 pentru o linie dată, atunci k=-2 pentru tangenta dorită. Găsim derivata funcției (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Știind că f΄(a)=-2, găsim coordonatele punctului 3a 2 +6a-2=-2. După ce am rezolvat ecuația, obținem un 1 =0 și 2 =-2. Folosind coordonatele găsite, puteți găsi ecuația tangentei folosind un algoritm binecunoscut. Găsim valoarea funcției în punctele f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Valoarea derivatei în punctul f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Substituind valorile găsite în ecuația tangentei, obținem pentru primul punct a 1 =0 y=-2x-2, iar pentru al doilea punct a 2 =-2 ecuația tangentei y=-2x-22.

Exemplul 3 descrie compoziția ecuației tangentei pentru trasarea acesteia în punctul (0;3) la graficul funcției y=√x. Rezolvarea se face folosind un algoritm binecunoscut. Punctul tangent are coordonatele x=a, unde a>0. Valoarea funcției în punctul f(a)=√x. Derivata funcției f΄(х)=1/2√х, deci la un punct dat f΄(а)=1/2√а. Înlocuind toate valorile obținute în ecuația tangentei, obținem y = √a + (x-a)/2√a. Transformând ecuația, obținem y=x/2√а+√а/2. Știind că tangenta trece prin punctul (0;3), găsim valoarea lui a. Găsim a de la 3=√a/2. Prin urmare √a=6, a=36. Găsim ecuația tangentei y=x/12+3. Figura prezintă graficul funcției luate în considerare și tangenta dorită construită.

Elevilor li se reamintesc egalitățile aproximative Δy=≈f΄(x)Δx și f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Luând x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, obținem f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deci f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

În exemplul 4, este necesar să găsim valoarea aproximativă a expresiei 2.003 6. Deoarece este necesar să găsim valoarea funcției f(x) = x 6 în punctul x = 2,003, putem folosi formula binecunoscuta, luând f(x)=x 6, a=2, f(a)= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivată în punctul f΄(2)=192. Prin urmare, 2,003 6 ≈65-192·0,003. După ce am calculat expresia, obținem 2,003 6 ≈64,576.

Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” este recomandată pentru utilizare într-o lecție tradițională de matematică la școală. Pentru un profesor care predă de la distanță, materialul video va ajuta la explicarea subiectului mai clar. Videoclipul poate fi recomandat studenților să-l revizuiască independent, dacă este necesar, pentru a-și aprofunda înțelegerea subiectului.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Știm că dacă un punct M (a; f(a)) (em cu coordonatele a și ef din a) aparține graficului funcției y = f (x) și dacă în acest punct este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe abscisa axei, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a) (eff prim din a).

Să fie date o funcție y = f(x) și un punct M (a; f(a)) și se știe, de asemenea, că f´(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul unei funcții date la un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx+m (y este egal cu ka x plus em), deci sarcina este de a găsi valorile lui coeficienții k și m (ka și em)

Coeficientul unghiului k= f"(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)). Aceasta înseamnă că dacă înlocuim coordonatele lui punctul M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă : f(a) = ka+m, de unde aflăm că m = f(a) - ka.

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților ki și m în ecuația dreptei:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(A)+ f"(A) (X- A). ( y este egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu x minus a).

Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.

Dacă, să spunem, y = x 2 și x = -2 (adică a = -2), atunci f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, ceea ce înseamnă f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (atunci ef a lui a este egal cu patru, ef a primului lui x este egal cu doi x, ceea ce înseamnă ef prim din a este egal cu minus patru)

Înlocuind valorile găsite a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 în ecuație, obținem: y = 4+(-4)(x+2), adică y = -4x -4.

(E este egal cu minus patru x minus patru)

Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tanx (y este egal cu tangentei x) la origine. Avem: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , ceea ce înseamnă f"(0) = l. Înlocuind valorile găsite a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 în ecuație, obținem: y=x.

Să rezumam pașii noștri în găsirea ecuației tangentei la graficul unei funcții în punctul x folosind un algoritm.

ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFICUL FUNCTIEI y = f(x):

1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.

2) Calculați f(a).

3) Aflați f´(x) și calculați f´(a).

4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f´(a) în formulă y= f(A)+ f"(A) (X- A).

Exemplul 1. Creați o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = - in

punctul x = 1.

Soluţie. Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Înlocuiți cele trei numere găsite: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 în formula. Se obține: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Răspuns: y = x-2.

Exemplul 2. Având în vedere funcția y = x 3 +3x 2 -2x-2. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x), paralelă cu dreapta y = -2x +1.

Folosind algoritmul de alcătuire a ecuației tangentei, ținem cont că în acest exemplu f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, dar abscisa punctului tangent nu este indicată aici.

Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = -2x+1. Și liniile paralele au coeficienți unghiulari egali. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei este egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: k tangentă. = -2. Hok cas. = f"(a). Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f ´(a) = -2.

Să găsim derivata funcției y=f(X):

f"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f„(a)= 3a 2 +6a-2.

Din ecuația f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 găsim a 1 =0, a 2 =-2. Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 0, cealaltă în punctul cu abscisa -2.

Acum puteți urma algoritmul.

1) a 1 =0 și 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Înlocuind valorile a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 în formulă, obținem:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Înlocuind valorile a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 în formula, obținem:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Răspuns: y=-2x-2, y=-2x+2.

Exemplul 3. Din punctul (0; 3) trageți o tangentă la graficul funcției y = . Soluţie. Sa folosim algoritmul de alcatuire a ecuatiei tangentei, tinand cont ca in acest exemplu f(x) = . Rețineți că aici, ca în exemplul 2, abscisa punctului tangent nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.

1) Fie x = a abscisa punctului de tangență; este clar că un >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Înlocuind valorile lui a, f(a) = , f"(a) = în formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), primim:

Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 3). Înlocuind valorile x = 0, y = 3 în ecuație, obținem: 3 = , iar apoi =6, a =36.

După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =36 în ecuație, obținem: y=+3

În fig. Figura 1 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: se construiește un grafic al funcției y =, se trasează o linie dreaptă y = +3.

Răspuns: y = +3.

Știm că pentru o funcție y = f(x), care are o derivată în punctul x, egalitatea aproximativă este valabilă: Δyf´(x)Δx (delta y este aproximativ egal cu eff prim al lui x înmulțit cu delta x)

sau, mai detaliat, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff din x plus delta x minus ef din x este aproximativ egal cu ef prim din x prin delta x).

Pentru comoditatea discuțiilor ulterioare, să schimbăm notația:

în loc de x vom scrie A,

în loc de x+Δx vom scrie x

În loc de Δx vom scrie x-a.

Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff din x este aproximativ egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu diferența dintre x și a).

Exemplul 4. Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 2.003 6.

Soluţie. Vorbim despre găsirea valorii funcției y = x 6 în punctul x = 2,003. Să folosim formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), ținând cont că în acest exemplu f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 și, prin urmare, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Ca rezultat obținem:

2,003 6 64+192· 0,003, i.e. 2,003 6 =64,576.

Dacă folosim un calculator, obținem:

2,003 6 = 64,5781643...

După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.

Instrucțiuni

Determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul M.
Curba reprezentând graficul funcției y = f(x) este continuă într-o anumită vecinătate a punctului M (inclusiv punctul M însuși).

Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, devine clar sens geometric derivată – calculul pantei tangentei.

Găsiți valoarea de abscisă a punctului tangent, care este notat cu litera „a”. Dacă coincide cu un punct tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f(a) prin substituirea în ecuație funcții valoare de abscisă.

Determinați prima derivată a ecuației funcții f’(x) și înlocuiți valoarea punctului „a”.

Lua ecuație generală tangentă, care este definită ca y = f(a) = f (a)(x – a), și înlocuiți valorile găsite ale lui a, f(a), f „(a) în ea. Ca rezultat, se va găsi soluţia graficului şi tangentei.

Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent dat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în loc de numere în ecuația tangentei. După aceea, în loc de literele „x” și „y”, înlocuiți valoarea coordonatelor punctului dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscutul. Introduceți valoarea rezultată în ecuația tangentei.

Scrieți o ecuație pentru o tangentă cu litera „a” dacă enunțul problemei specifică ecuația funcțiiși ecuația unei drepte paralele în raport cu tangentei dorite. După aceasta avem nevoie de derivată funcții

Să fie dată o funcție f, care la un punct x 0 are o derivată finită f (x 0). Atunci linia dreaptă care trece prin punctul (x 0 ; f (x 0)), având un coeficient unghiular f ’(x 0), se numește tangentă.

Ce se întâmplă dacă derivata nu există în punctul x 0? Există două opțiuni:

1. Nu există nici tangentă la grafic. Un exemplu clasic este funcția y = |x | în punctul (0; 0).
2. Tangenta devine verticală. Acest lucru este adevărat, de exemplu, pentru funcția y = arcsin x în punctul (1; π /2).

Ecuația tangentei

Orice dreaptă neverticală este dată de o ecuație de forma y = kx + b, unde k este panta. Tangenta nu face excepție și pentru a-și crea ecuația la un punct x 0 este suficient să cunoaștem valoarea funcției și a derivatei în acest punct.

Deci, să fie dată o funcție y = f (x), care are o derivată y = f ’(x) pe segment. Atunci în orice punct x 0 ∈ (a ; b) se poate trasa o tangentă la graficul acestei funcții, care este dată de ecuația:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Aici f ’(x 0) este valoarea derivatei în punctul x 0, iar f (x 0) este valoarea funcției în sine.

Sarcină. Având în vedere funcția y = x 3 . Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 2.

Ecuație tangentă: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punctul x 0 = 2 ne este dat, dar valorile f (x 0) și f ’(x 0) vor trebui calculate.

A începe haideti sa gasim valoarea funcții. Totul este ușor aici: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Acum să găsim derivata: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Inlocuim x 0 = 2 in derivata: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
În total obținem: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Aceasta este ecuația tangentei.

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției f (x) = 2sin x + 5 în punctul x 0 = π /2.

De data aceasta nu vom descrie fiecare acțiune în detaliu - vom indica doar pașii cheie. Avem:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Ecuația tangentei:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

În acest din urmă caz, linia dreaptă s-a dovedit a fi orizontală, deoarece coeficientul său unghiular k = 0. Nu este nimic în neregulă cu asta - tocmai am dat peste un punct extremum.