Seria de variații. valori medii

Setul de valori ale parametrului studiat într-un experiment sau observație dat, ordonate după valoare (creștere sau scădere) se numește serie de variații.

Să presupunem că am măsurat presiunea arterială la zece pacienţi pentru a obţine un prag superior al tensiunii arteriale: presiunea sistolică, i.e. un singur număr.

Să ne imaginăm că o serie de observații (set statistic) de arterială presiune sistolicăîn 10 observații are următoarea formă (Tabelul 1):

tabelul 1

Componentele unei serii de variații se numesc variante. Opțiunile reprezintă valoarea numerică a caracteristicii studiate.

Construirea unei serii de variații dintr-un set statistic de observații este doar primul pas către înțelegerea caracteristicilor întregului set. În continuare trebuie să determinați nivel mediu caracteristica cantitativă studiată (nivelul mediu de proteine ​​din sânge, greutatea medie a pacienților, timpul mediu de debut al anesteziei etc.)

Nivelul mediu este măsurat folosind criterii numite medii. Valoarea medie – generalizare caracteristica numerica mărimi calitativ omogene, caracterizând cu un număr întreaga populaţie statistică după o caracteristică. Valoarea medie exprimă ceea ce este comun unei caracteristici dintr-un set dat de observații.

Există trei tipuri de medii de uz curent: mod (), mediană () și medie aritmetică ().

Pentru a determina oricare mărime medie este necesar să se utilizeze rezultatele observațiilor individuale, înregistrându-le sub forma unei serii de variații (Tabelul 2).

Modă- valoarea care apare cel mai frecvent într-o serie de observaţii. În exemplul nostru, modul = 120. Dacă nu există valori care se repetă în seria de variații, atunci ei spun că nu există mod. Dacă mai multe valori sunt repetate de același număr de ori, atunci cea mai mică dintre ele este luată ca mod.

Median- o valoare care împarte o distribuție în două părți egale, valoarea centrală sau mediană a unei serii de observații ordonate în ordine crescătoare sau descrescătoare. Deci, dacă există 5 valori într-o serie de variații, atunci mediana acesteia este egală cu al treilea termen al seriei de variații, dacă există un număr par de termeni în serie, atunci mediana este media aritmetică a celor doi; observații centrale, adică dacă există 10 observații într-o serie, atunci mediana este egală cu media aritmetică a observațiilor a 5-a și a 6-a. În exemplul nostru.

Să remarcăm o caracteristică importantă a modului și a mediei: valorile lor nu sunt influențate de valorile numerice ale variantelor extreme.

Media aritmetică calculat prin formula:

unde este valoarea observată în a-a observație și este numărul de observații. Pentru cazul nostru.

Media aritmetică are trei proprietăți:

Media ocupă poziția de mijloc în seria de variații. Într-un rând strict simetric.

Media este o valoare generalizantă, iar fluctuațiile aleatoare și diferențele dintre datele individuale nu sunt vizibile în spatele mediei. Ea reflectă ceea ce este tipic pentru întreaga populație.

Suma abaterilor tuturor opțiunilor de la medie este zero: . Este indicată abaterea opțiunii de la medie.

Seria de variații constă din variante și frecvențele corespunzătoare acestora. Din cele zece valori obținute, numărul 120 a apărut de 6 ori, 115 - 3 ori, 125 - 1 dată. Frecvență () - numărul absolut de variante individuale în agregat, indicând de câte ori apare o anumită variantă într-o serie de variații.

Seria de variații poate fi simplă (frecvențe = 1) sau grupată și scurtată, cu 3-5 opțiuni. O serie simplă este folosită atunci când există un număr mic de observații (), grupate - când un numar mare observatii().

Variațională se numesc serii de distribuţie construite pe o bază cantitativă. Valorile caracteristicilor cantitative în unitățile individuale ale populației nu sunt constante și diferă mai mult sau mai puțin unele de altele.

Variație- fluctuația, variabilitatea valorii unei caracteristici între unitățile populației. Se numesc valori numerice individuale ale unei caracteristici găsite în populația studiată Opțiuni valorile. Insuficiența valorii medii pentru a caracteriza pe deplin populația ne obligă să suplimentăm valorile medii cu indicatori care ne permit să apreciem tipicitatea acestor medii prin măsurarea variabilității (variației) caracteristicii studiate.

Prezența variației se datorează influenței unui număr mare de factori asupra formării nivelului trăsăturii. Acești factori acționează cu forță inegală și în direcții diferite. Indicii de variație sunt utilizați pentru a descrie măsura variabilității trăsăturilor.

Obiectivele studiului statistic al variației:

• 1) studiul naturii și gradului de variație a caracteristicilor în unitățile individuale ale populației;
• 2) determinarea rolului factorilor individuali sau grupurilor acestora în variaţia anumitor caracteristici ale populaţiei.

În statistică, se folosesc metode speciale de studiere a variației, bazate pe utilizarea unui sistem de indicatori, Cu prin care se măsoară variația.

Cercetarea variației este importantă. Măsurarea variațiilor este necesară atunci când se efectuează observarea eșantionului, analiza de corelație și varianță etc. Ermolaev O.Yu. Statistici matematice pentru psihologi: Manual [Text]/ O.Yu. Ermolaev. - M.: Editura Flint a Institutului Psihologic și Social din Moscova, 2012. - 335 p.

După gradul de variație se poate judeca omogenitatea populației, stabilitatea valorilor individuale ale caracteristicilor și tipicitatea mediei. Pe baza acestora, se elaborează indicatori ai strângerii relației dintre caracteristici și indicatorii pentru evaluarea acurateței observării eșantionului.

Se face o distincție între variația în spațiu și variația în timp.

Variația în spațiu este înțeleasă ca fluctuația valorilor atributelor între unitățile de populație reprezentând teritorii individuale. Variația de timp se referă la modificări ale valorilor unei caracteristici pe diferite perioade de timp.

Pentru a studia variația rândurilor de distribuție, toate variantele valorilor atributelor sunt aranjate în ordine crescătoare sau descrescătoare. Acest proces se numește clasare pe rând.

Cele mai simple semne de variație sunt minim si maxim- cel mai puțin și cea mai mare valoare semne în ansamblu. Numărul de repetări ale variantelor individuale ale valorilor caracteristicilor se numește frecvență de repetiție (fi). Este convenabil să înlocuiți frecvențele cu frecvențe - wi. Frecvența este un indicator relativ al frecvenței, care poate fi exprimat în fracțiuni de unitate sau procent și permite compararea serie de variații Cu număr diferit observatii. Exprimat prin formula:

unde Xmax, Xmin sunt valorile maxime și minime ale caracteristicii în agregat; n - numărul de grupuri.

Pentru a măsura variația unei caracteristici, se folosesc diverși indicatori absoluti și relativi. LA indicatori absoluti variațiile includ intervalul de variație, abaterea liniară medie, dispersia, medie deviație standard. Indicatorii relativi ai oscilației includ coeficientul de oscilație, deviația liniară relativă și coeficientul de variație.

Un exemplu de găsire a unei serii de variații

Exercițiu. Pentru această probă:

• a) Aflați seria de variații;
• b) Construiți funcția de distribuție;

Nr.=42. Elemente de probă:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Soluţie.

• a) construirea unei serii de variații ordonate:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• b) construirea unei serii de variaţii discrete.

Să calculăm numărul de grupuri din seria de variații folosind formula Sturgess:

Să luăm numărul de grupuri egal cu 7.

Cunoscând numărul de grupuri, calculăm dimensiunea intervalului:

Pentru comoditatea construirii tabelului, vom lua numărul de grupuri egal cu 8, intervalul va fi 1.

Orez. 1 Volumul vânzărilor de mărfuri de către un magazin pentru o anumită perioadă de timp

Seria de variații este o serie de valori numerice ale unei caracteristici.

Principalele caracteristici ale seriei de variații: v – varianta, p – frecvența apariției acesteia.

Tipuri de serie de variații:

în funcție de frecvența de apariție a opțiunilor: simplă - opțiunea apare o dată, ponderată - opțiunea apare de două sau de mai multe ori;

după locația opțiunilor: clasate - opțiunile sunt aranjate în ordine descrescătoare și crescătoare, neclasate - opțiunile sunt scrise fără o ordine anume;

prin combinarea unei opțiuni în grupuri: grupate - opțiunile sunt combinate în grupuri, negrupate - opțiunile nu sunt combinate în grupuri;

opțiuni după dimensiune: continuu - opțiunile sunt exprimate ca număr întreg și fracționar, discrete - opțiunile sunt exprimate ca număr întreg, complexe - opțiunile sunt reprezentate printr-o valoare relativă sau medie.

O serie de variații este compilată și formalizată în scopul calculării valorilor medii.

Formular de înregistrare a seriei de variații:

8. Valori medii, tipuri, metode de calcul, aplicare în sănătate

Valori medii– o caracteristică generalizantă cumulativă a caracteristicilor cantitative. Aplicarea mediilor:

1. Să caracterizeze organizarea muncii instituțiilor medicale și să evalueze activitățile acestora:

a) în clinică: indicatori ai volumului de muncă al medicilor, numărul mediu de vizite, numărul mediu de rezidenți din zonă;

b) într-un spital: numărul mediu de zile în care un pat este deschis pe an; durata medie de spitalizare;

c) în centrul igienei, epidemiologiei și sănătății publice: suprafața medie (sau capacitatea cubică) pe persoană, standardele nutriționale medii (proteine, grăsimi, glucide, vitamine, săruri minerale, calorii), norme și standarde sanitare etc.;

2. Să caracterizeze dezvoltarea fizică (principalele caracteristici antropometrice, morfologice și funcționale);

3. Să determine parametrii medicali și fiziologici ai organismului în condiții normale și patologice în studii clinice și experimentale.

4. În cercetarea științifică specială.

Diferența dintre valorile medii și indicatori:

1. Coeficienții caracterizează o caracteristică alternativă care apare doar într-o anumită parte a populației statistice, care poate să apară sau nu.

Valorile medii acoperă caracteristici care sunt comune tuturor membrilor echipei, dar în grade diferite (greutate, înălțime, zile de tratament în spital).

2. Coeficienții sunt utilizați pentru măsurarea caracteristicilor calitative. Valori medii – pentru diferite caracteristici cantitative.

Tipuri de medii:

media aritmetică, caracteristicile sale sunt abaterea standard și eroarea medie

mod și mediană. Moda (lună)– corespunde valorii caracteristicii care apare mai des decât altele într-o anumită populație. Mediană (eu)– valoarea unei caracteristici care ocupă valoarea mediană într-o populație dată. Împarte seria în 2 părți egale în funcție de numărul de observații. Media aritmetică (M)– spre deosebire de mod și mediană, se bazează pe toate observațiile făcute, de aceea este o caracteristică importantă pentru întreaga distribuție.

alte tipuri de medii care sunt folosite în studiile speciale: rădăcină medie pătrată, cubică, armonică, geometrică, progresivă.

Media aritmetică caracterizează nivelul mediu al populaţiei statistice.

Pentru o serie simplă, unde

∑v – opțiune de sumă,

n – numărul de observații.

pentru o serie ponderată, unde

∑vр – suma produselor fiecărei opțiuni și frecvența apariției acesteia

n – numărul de observații.

Deviație standard media aritmetică sau sigma (σ) caracterizează diversitatea unei caracteristici

- pentru o serie simplă

Σd 2 – suma pătratelor diferenței dintre media aritmetică și fiecare opțiune (d = │M-V│)

n – numărul de observații

- pentru o serie cântărită

∑d 2 p – suma produselor pătratelor diferenței dintre media aritmetică și fiecare opțiune și frecvența apariției acesteia,

n – numărul de observații.

Gradul de diversitate poate fi judecat după mărimea coeficientului de variație
. Mai mult de 20% este o diversitate puternică, 10-20% este o diversitate medie, mai puțin de 10% este o diversitate slabă.

Dacă adunăm și scădem o sigma (M ± 1σ) la valoarea medie aritmetică, atunci cu o distribuție normală, cel puțin 68,3% din toate variantele (observațiile) se vor încadra în aceste limite, ceea ce este considerat norma pentru fenomenul studiat. . Dacă k 2 ± 2σ, atunci 95,5% din toate observațiile vor fi în aceste limite, iar dacă k M ± 3σ, atunci 99,7% din toate observațiile vor fi în aceste limite. Astfel, abaterea standard este o abatere standard care ne permite să anticipăm probabilitatea apariției unei astfel de valori a caracteristicii studiate care se află în limitele specificate.

Eroarea medie a mediei aritmetice sau părtinire de reprezentativitate. Pentru o serie simplă, ponderată și regula momentelor:

.

Pentru a calcula valorile medii, este necesar: omogenitatea materialului, un număr suficient de observații. Dacă numărul de observații este mai mic de 30, n-1 este utilizat în formulele pentru calcularea σ și m.

La evaluarea rezultatului obținut prin mărimea erorii medii, se utilizează un coeficient de încredere, care face posibilă determinarea probabilității unui răspuns corect, adică indică faptul că valoarea rezultată a erorii de eșantionare nu va fi mai mare decât eroarea reală făcută ca urmare a observației continue. Prin urmare, pe măsură ce probabilitatea de încredere crește, lățimea crește interval de încredere, care, la rândul său, mărește încrederea judecății și sustenabilitatea rezultatului obținut.

Să numim diferitele valori ale eșantionului Opțiuni serie de valori și notăm: X 1 , X 2,…. In primul rand vom produce variind opțiuni, adică aranjarea lor în ordine crescătoare sau descrescătoare. Pentru fiecare opțiune este indicată propria sa greutate, adică un număr care caracterizează contribuția unei opțiuni date la populația totală. Frecvențele sau frecvențele acționează ca greutăți.

Frecvență n i opțiune x i numit un număr care arată de câte ori apare o opțiune dată în cea considerată populația eșantionului.

Frecvența sau frecvența relativă w i opțiune x i este un număr egal cu raportul dintre frecvența unei variante și suma frecvențelor tuturor variantelor. Frecvența arată ce proporție de unități din populația eșantion au o anumită variantă.

O secvență de opțiuni cu ponderile lor corespunzătoare (frecvențe sau frecvențe), scrise în ordine crescătoare (sau descrescătoare), se numește serie de variații.

Serii de variații sunt discrete și interval.

Pentru o serie de variații discrete, sunt specificate valori punctuale ale caracteristicii, pentru o serie de intervale, valorile caracteristice sunt specificate sub formă de intervale. Serii de variații pot arăta distribuția frecvențelor sau a frecvențelor relative (frecvențe), în funcție de ce valoare este indicată pentru fiecare opțiune - frecvență sau frecvență.

Serii de variații discrete ale distribuției de frecvență are forma:

Frecvențele se găsesc prin formula, i = 1, 2, …, m.

w 1 +w 2 + … + w m = 1.

Exemplu 4.1. Pentru un anumit set de numere

4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6

construiți serii de variații discrete ale distribuțiilor de frecvență și frecvență.

Soluţie . Volumul populației este egal cu n= 10. Seria de distribuție a frecvenței discrete are forma

Seriile cu intervale au o formă similară de înregistrare.

Seria de variație a intervalului de distribuție a frecvenței se scrie ca:

Suma tuturor frecvențelor este egală numărul total observații, adică volum total: n = n 1 +n 2 + … + n m.

Seria de variație a intervalului de distribuție a frecvențelor relative (frecvențe) are forma:

Frecvența se găsește prin formula, i = 1, 2, …, m.

Suma tuturor frecvențelor este egală cu unu: w 1 +w 2 + … + w m = 1.

Serii de intervale sunt cel mai des folosite în practică. Dacă există o mulțime de date statistice de eșantion și valorile lor diferă unele de altele printr-o cantitate arbitrar de mică, atunci serie discretă deoarece aceste date vor fi destul de greoaie și incomode pentru cercetări ulterioare. În acest caz, se utilizează gruparea datelor, adică Intervalul care conține toate valorile atributului este împărțit în mai multe intervale parțiale și, prin calcularea frecvenței pentru fiecare interval, se obține o serie de intervale. Să scriem mai detaliat schema de construire a unei serii de intervale, presupunând că lungimile intervalelor parțiale vor fi aceleași.

2.2 Construirea unei serii de intervale

Pentru a construi o serie de intervale aveți nevoie de:

Determinați numărul de intervale;

Determinați lungimea intervalelor;

Determinați locația intervalelor pe axă.

Pentru determinare numărul de intervale k Există formula lui Sturges, conform căreia

,

Unde n- volumul întregului agregat.

De exemplu, dacă există 100 de valori ale unei caracteristici (variante), atunci se recomandă să luați numărul de intervale egal cu intervalele pentru a construi o serie de intervale.

Cu toate acestea, de foarte multe ori în practică numărul de intervale este ales chiar de cercetător, ținând cont de faptul că acest număr nu trebuie să fie foarte mare pentru ca seria să nu fie greoaie, dar nici foarte mică pentru a nu pierde unele proprietăți ale distributie.

Lungimea intervalului h determinată de următoarea formulă:

,

Unde X max si X min este, respectiv, cea mai mare și, respectiv, cea mai mare valori mici Opțiuni.

mărimea numit domeniul de aplicare rând.

Pentru a construi intervalele în sine, ele procedează în moduri diferite. Una dintre cele mai moduri simple este după cum urmează. Începutul primului interval este considerat a fi
. Apoi limitele rămase ale intervalelor sunt găsite prin formula. Evident, sfârșitul ultimului interval A m+1 trebuie să îndeplinească condiția

După ce au fost găsite toate limitele intervalelor, se determină frecvențele (sau frecvențele) acestor intervale. Pentru a rezolva această problemă, examinați toate opțiunile și determinați numărul de opțiuni care se încadrează într-un anumit interval. Construcție completă Să ne uităm la o serie de intervale folosind un exemplu.

Exemplu 4.2. Pentru următoarele date statistice, înregistrate în ordine crescătoare, construiți o serie de intervale cu numărul de intervale egal cu 5:

11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.

Soluţie. Total n=50 de valori ale variantei.

Numărul de intervale este specificat în enunțul problemei, adică. k=5.

Lungimea intervalelor este
.

Să definim limitele intervalelor:

A 1 = 11 − 8,5 = 2,5; A 2 = 2,5 + 17 = 19,5; A 3 = 19,5 + 17 = 36,5;

A 4 = 36,5 + 17 = 53,5; A 5 = 53,5 + 17 = 70,5; A 6 = 70,5 + 17 = 87,5;

A 7 = 87,5 +17 = 104,5.

Pentru a determina frecvența intervalelor, numărăm numărul de opțiuni care se încadrează într-un interval dat. De exemplu, primul interval de la 2,5 la 19,5 include opțiunile 11, 12, 12, 14, 14, 15. Numărul lor este 6, prin urmare, frecvența primului interval este n 1 =6. Frecvența primului interval este . Al doilea interval de la 19,5 la 36,5 include opțiunile 21, 21, 22, 23, 25, al căror număr este 5. Prin urmare, frecvența celui de-al doilea interval este n 2 =5 și frecvența . După ce am găsit frecvențele și frecvențele pentru toate intervalele într-un mod similar, obținem următoarea serie de intervale.

Seria de intervale de distribuție a frecvenței are forma:

Suma frecvențelor este 6+5+9+11+8+11=50.

Seria de intervale de distribuție a frecvenței are forma:

Suma frecvențelor este 0,12+0,1+0,18+0,22+0,16+0,22=1. ■

La construirea serii de intervale, în funcție de condițiile specifice ale problemei luate în considerare, se pot aplica și alte reguli și anume

1. Serii de variații de intervale pot consta din intervale parțiale de lungimi diferite. Lungimile inegale ale intervalelor fac posibilă evidențierea proprietăților unei populații statistice cu o distribuție neuniformă a caracteristicii. De exemplu, dacă limitele intervalelor determină numărul de locuitori din orașe, atunci este recomandabil în această problemă să se folosească intervale de lungime inegală. Evident, pentru orașele mici este importantă o mică diferență a numărului de locuitori, dar pentru orașele mari o diferență de zeci sau sute de locuitori nu este semnificativă. Serii de intervale cu lungimi inegale ale intervalelor parțiale sunt studiate în principal în teoria generală a statisticii și luarea în considerare a acestora depășește domeniul de aplicare al acestui manual.

2. În statistica matematică, se iau în considerare uneori serii de intervale, pentru care se presupune că limita stângă a primului interval este egală cu –∞, iar limita dreaptă a ultimului interval +∞. Aceasta se face pentru a apropia distribuția statistică de cea teoretică.

3. Atunci când construiți serii de intervale, se poate dovedi că valoarea unei opțiuni coincide exact cu granița intervalului. Cel mai bun lucru de făcut în acest caz este în felul următor. Dacă există o singură astfel de coincidență, atunci luați în considerare că opțiunea luată în considerare cu frecvența sa a căzut în intervalul situat mai aproape de mijlocul seriei de intervale, dacă există mai multe astfel de opțiuni, atunci fie toate sunt atribuite intervalelor la dreapta acestor opțiuni sau toate sunt alocate la stânga.

4. După determinarea numărului de intervale și a lungimii acestora, aranjarea intervalelor se poate face în alt mod. Găsiți media aritmetică a tuturor valorilor considerate ale opțiunilor X mier și construiți primul interval în așa fel încât această medie eșantionului să fie în interiorul unui interval. Astfel, obținem intervalul de la X mier – 0,5 h inainte de X medie.. + 0,5 h. Apoi la stânga și la dreapta, adăugând lungimea intervalului, construim intervalele rămase până la X min și X max nu se va încadra în primul și, respectiv, ultimul interval.

5. Serii de intervale cu un număr mare de intervale sunt scrise convenabil pe verticală, adică. scrieți intervalele nu în primul rând, ci în prima coloană, iar frecvențele (sau frecvențele) în a doua coloană.

Datele eșantionului pot fi considerate ca valori ale unei variabile aleatorii X. O variabilă aleatorie are propria sa lege de distribuție. Din teoria probabilității se știe că legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată sub forma unei serii de distribuție, iar pentru una continuă - folosind funcția densității distribuției. Cu toate acestea, există o lege de distribuție universală care este valabilă atât pentru discretă, cât și pentru continuă variabile aleatoare. Această lege de distribuție este dată ca funcție de distribuție F(X) = P(X<X). Pentru datele eșantionului, puteți specifica un analog al funcției de distribuție - funcția de distribuție empirică.

Informații conexe.

(definiția unei serii de variații; componentele unei serii de variații; trei forme ale unei serii de variații; fezabilitatea construirii unei serii de intervale; concluzii care pot fi trase din seria construită)

O serie de variații este succesiunea tuturor elementelor eșantionului aranjate în ordine nedescrescătoare. Se repetă elemente identice

Seriile variaționale sunt serii construite pe o bază cantitativă.

Seriile de distribuție variațională constau din două elemente: opțiuni și frecvențe:

Variantele sunt valori numerice ale unei caracteristici cantitative într-o serie de distribuție variațională. Ele pot fi pozitive și negative, absolute și relative. Deci, la gruparea întreprinderilor în funcție de rezultatele activității economice, opțiunile pozitive sunt profitul, iar cifrele negative sunt pierderi.

Frecvențele sunt numerele de variante individuale sau fiecare grup al unei serii de variații, adică Acestea sunt numere care arată cât de des apar anumite opțiuni într-o serie de distribuție. Suma tuturor frecvențelor se numește volumul populației și este determinată de numărul de elemente ale întregii populații.

Frecvențele sunt frecvențe exprimate ca valori relative (fracții de unități sau procente). Suma frecvențelor este egală cu unu sau 100%. Înlocuirea frecvențelor cu frecvențe permite compararea serii de variații cu un număr diferit de observații.

Există trei forme de serie de variații: serii clasificate, serii discrete și serii cu intervale.

O serie clasificată este distribuția unităților individuale ale unei populații în ordinea crescătoare sau descrescătoare a caracteristicii studiate. Clasificarea vă permite să împărțiți cu ușurință datele cantitative în grupuri, să detectați imediat cele mai mici și mai mari valori ale unei caracteristici și să evidențiați valorile care se repetă cel mai adesea.

Alte forme de serie de variații sunt tabele de grup întocmite în funcție de natura variației valorilor caracteristicii studiate. După natura variației, se disting caracteristicile discrete (discontinue) și continue.

O serie discretă este o serie variațională, a cărei construcție se bazează pe caracteristici cu schimbare discontinuă (caracteristici discrete). Acestea din urmă includ categoria tarifară, numărul de copii din familie, numărul de angajați din întreprindere etc. Aceste caracteristici pot lua doar un număr finit de valori specifice.

O serie de variații discrete reprezintă un tabel format din două coloane. Prima coloană indică valoarea specifică a atributului, iar a doua coloană indică numărul de unități din populație cu o anumită valoare a atributului.

Dacă o caracteristică are o schimbare continuă (suma venitului, vechimea în muncă, costul activelor fixe ale unei întreprinderi etc., care poate lua orice valoare în anumite limite), atunci pentru această caracteristică este necesară construirea unui serie de variații de interval.

Tabelul de grup de aici are și două coloane. Primul indică valoarea atributului în intervalul „de la - la” (opțiuni), al doilea indică numărul de unități incluse în interval (frecvență).

Frecvența (frecvența de repetare) - numărul de repetări ale unei anumite variante a valorilor atributelor, se notează cu fi și se notează suma frecvențelor egală cu volumul populației studiate

Unde k este numărul de opțiuni pentru valorile atributelor

Foarte des, tabelul este completat de o coloană în care se calculează frecvențele acumulate S, care arată câte unități din populație au o valoare caracteristică nu mai mare decât această valoare.

O serie de distribuție variațională discretă este o serie în care grupurile sunt compuse în funcție de o caracteristică care se modifică discret și ia doar valori întregi.

O serie de distribuție variațională de interval este o serie în care caracteristica de grupare care formează baza grupării poate lua orice valori, inclusiv fracționale, într-un anumit interval.

O serie de variații de interval este un set ordonat de intervale de variație a valorilor unei variabile aleatoare cu frecvențele corespunzătoare sau frecvențele de apariție ale valorii în fiecare dintre ele.

Este recomandabil să se construiască o serie de distribuție de intervale, în primul rând, cu o variație continuă a unei caracteristici și, de asemenea, dacă o variație discretă se manifestă pe o gamă largă, adică. numărul de variante ale unei caracteristici discrete este destul de mare.

Din această serie se pot trage deja câteva concluzii. De exemplu, elementul din mijloc al unei serii de variații (mediana) poate fi o estimare a celui mai probabil rezultat al măsurării. Primul și ultimul element al seriei de variații (adică elementul minim și maxim al eșantionului) arată răspândirea elementelor eșantionului. Uneori, dacă primul sau ultimul element este foarte diferit de restul elementelor eșantionului, acestea sunt excluse din rezultatele măsurătorilor, având în vedere că aceste valori au fost obținute ca urmare a unui fel de defecțiune gravă, de exemplu, tehnologie.