Legea distribuției unei variabile aleatoare este dată de tabel. Variabile aleatoare discrete

Scopul serviciului. Calculatorul online este folosit pentru a construi tabelul de distribuție variabilă aleatorie X – numărul de experimente efectuate și calculul tuturor caracteristicilor seriei: așteptare matematică, dispersie și abatere standard. Procesul-verbal cu decizia se intocmeste in format Word.

Exemplul 1. În urnă alb şi bilă neagră. Bilele sunt extrase la întâmplare din urnă fără a se întoarce până când apare o bilă albă. De îndată ce se întâmplă acest lucru, procesul se oprește.
Acest tip de sarcină se referă la problema construirii unei distribuții geometrice.

Exemplul 2. Doi Trei trăgători fiecare trag câte o lovitură în țintă. Probabilitatea ca primul trăgător să-l lovească este , al doilea - . Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de accesări la țintă.

Exemplul 2a. Trăgătorul trage două trei patru focuri. Probabilitatea de a lovi cu o lovitură corespunzătoare este egală cu , . Dacă apare prima ratare, trăgătorul nu participă la alte competiții. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de accesări la țintă.

Exemplul 3. În petrecerea de la Detalii cele standard defecte. Controlerul trage la întâmplare Detalii. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de piese bune defecte din eșantion.
Sarcină similară: Sunt m bile roșii și n albastre în coș. K bile sunt extrase la întâmplare. Întocmește legea distribuției DSV X - aspectul bilelor albastre.
vezi alte soluții exemple.

Exemplul 4. Probabilitatea ca un eveniment să apară într-o singură încercare este egală cu . Produs teste. Întocmește o lege de distribuție a variabilei aleatoare X - numărul de apariții ale evenimentului.
Sarcini similare pentru acest tip de distribuție:
1. Întocmește o lege de distribuție a variabilei aleatoare X numărul de lovituri cu patru lovituri, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0,8.
2. Moneda este aruncată de 7 ori. Găsi valorea estimatași variația numărului de apariții ale stemei. Faceți un tabel cu distribuția lui X - numărul de apariții ale stemei.

Exemplul nr. 1. Se aruncă trei monede. Probabilitatea de a obține o stemă într-o singură aruncare este de 0,5. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de embleme aruncate.
Soluţie.
Probabilitatea ca să nu fi fost desenată nicio stemă: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilitatea de a obține trei steme: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

Legea distribuției variabilei aleatoare X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Verificați: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Exemplul nr. 2. Probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea trăgător – 0,85. Trăgătorii au tras o singură lovitură în țintă. Considerând lovirea țintei ca evenimente independente pentru trăgători individuali, găsiți probabilitatea evenimentului A – exact o lovitură pe țintă.
Soluţie.
Luați în considerare evenimentul A - o lovitură pe țintă. Opțiunile posibile pentru ca acest eveniment să aibă loc sunt următoarele:

1. Primul trăgător a lovit, al doilea trăgător a ratat: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Primul trăgător a ratat, al doilea trăgător a lovit ținta: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Prima și a doua săgeată lovesc ținta independent una de cealaltă: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Atunci probabilitatea evenimentului A – exact o lovitură pe țintă – va fi egală cu: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Definiție 2.3. O variabilă aleatoare, notată cu X, se numește discretă dacă ia un set finit sau numărabil de valori, de exemplu. set – un set finit sau numărabil.

Să luăm în considerare exemple de variabile aleatoare discrete.

1. Două monede sunt aruncate o dată. Numărul de embleme din acest experiment este o variabilă aleatorie X. Valorile sale posibile sunt 0,1,2, adică – un set finit.

2. Se înregistrează numărul de apeluri de ambulanță într-o anumită perioadă de timp. Valoare aleatoare X– numărul de apeluri. Valorile sale posibile sunt 0, 1, 2, 3, ..., adică. =(0,1,2,3,...) este o mulțime numărabilă.

3. În grup sunt 25 de elevi. Într-o anumită zi, se înregistrează numărul de elevi care au venit la clasă - o variabilă aleatorie X. Valorile sale posibile: 0, 1, 2, 3, ...,25 i.e. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Deși toate cele 25 de persoane din exemplul 3 nu pot lipsi de la cursuri, variabila aleatoare X poate lua această valoare. Aceasta înseamnă că valorile unei variabile aleatoare au probabilități diferite.

Sa luam in considerare model matematic variabilă aleatoare discretă.

Să fie efectuat un experiment aleatoriu, care corespunde unui spațiu finit sau numărabil de evenimente elementare. Să considerăm maparea acestui spațiu pe mulțimea numerelor reale, adică să atribuim fiecărui eveniment elementar un anumit număr real, . Setul de numere poate fi finit sau numărabil, adică sau

Un sistem de submulțimi, care include orice submulțime, inclusiv una cu un punct, formează o -algebră set de numere( – finit sau numărabil).

Întrucât orice eveniment elementar este asociat cu anumite probabilități p i(în cazul totul finit) și , atunci fiecare valoare a unei variabile aleatoare poate fi asociată cu o anumită probabilitate p i, astfel încât .

Lăsa X este un număr real arbitrar. Să notăm R X (x) probabilitatea ca variabila aleatoare X a luat o valoare egală cu X, adică P X (x)=P(X=x). Apoi funcția R X (x) poate lua valori pozitive numai pentru acele valori X, care aparțin unei mulțimi finite sau numărabile , iar pentru toate celelalte valori probabilitatea acestei valori P X (x)=0.

Deci, am definit setul de valori, -algebra ca un sistem al oricăror submulțimi și pentru fiecare eveniment ( X = x) a comparat probabilitatea pentru orice, i.e. a construit un spațiu de probabilitate.

De exemplu, spațiul evenimentelor elementare ale unui experiment constând în aruncarea de două ori a unei monede simetrice este format din patru evenimente elementare: , unde

Când moneda a fost aruncată de două ori, au apărut două cozi; când moneda a fost aruncată de două ori, au căzut două steme;

La prima aruncare a monedei, a apărut un hash, iar la a doua, o stemă;

La prima aruncare a monedei, a apărut stema, iar la a doua, semnul hash.

Fie variabila aleatoare X– numărul de abandonuri ale grătarului. Este definit pe și setul de valori ale sale . Toate submulțimile posibile, inclusiv cele cu un singur punct, formează o algebră, adică =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Probabilitatea unui eveniment ( X=x i}, і = 1,2,3, definim ca fiind probabilitatea apariției unui eveniment care este prototipul său:

Astfel, asupra evenimentelor elementare ( X = x i) setați o funcție numerică R X, Asa de .

Definiție 2.4. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este un set de perechi de numere (x i, р i), unde x i sunt valorile posibile ale variabilei aleatoare, iar р i sunt probabilitățile cu care ia aceste valori și .

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este un tabel care listează valorile posibile ale variabilei aleatoare și probabilitățile corespunzătoare:

			…		…
			…		…

Un astfel de tabel se numește serie de distribuție. Pentru a oferi seriei de distribuție un aspect mai vizual, aceasta este reprezentată grafic: pe axă Oh puncte x iși trageți din ele perpendiculare de lungime p i. Punctele rezultate se conectează și se obține un poligon, care este una dintre formele legii distribuției (Fig. 2.1).

Astfel, pentru a specifica o variabilă aleatorie discretă, trebuie să specificați valorile acesteia și probabilitățile corespunzătoare.

Exemplul 2.2. Slotul de numerar al aparatului este declanșat de fiecare dată când se introduce o monedă cu probabilitatea R. Odată declanșată, monedele nu coboară. Lăsa X– numărul de monede care trebuie introduse înainte ca slotul de numerar al aparatului să fie declanșat. Construiți o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X.

Soluţie. Valori posibile variabilă aleatorie X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Să găsim probabilitățile acestor valori: p 1– probabilitatea ca receptorul de bani să opereze prima dată când este coborât și p 1 = p; p 2 - probabilitatea ca două încercări să fie făcute. Pentru a face acest lucru, este necesar ca: 1) primitorul de bani să nu funcționeze la prima încercare; 2) la a doua încercare a funcționat. Probabilitatea acestui eveniment este (1–р)р. De asemenea și așa mai departe, . Domeniul de distribuție X va lua forma

	1	2	3	…	La	…
	R	qp	q 2 p		q r -1 p

Rețineți că probabilitățile r k formă progresie geometrică cu numitor: 1–p=q, q<1, de aceea această distribuție de probabilitate se numește geometric.

Să presupunem în continuare că a fost construit un model matematic experiment descris de o variabilă aleatoare discretă X, și luați în considerare calcularea probabilităților de apariție a evenimentelor arbitrare.

Fie ca un eveniment arbitrar să conțină un set finit sau numărabil de valori x i: A= {x 1, x 2,..., x i,...) .Eveniment A poate fi reprezentat ca o uniune de evenimente incompatibile de forma: . Apoi, folosind axioma 3 a lui Kolmogorov , primim

întrucât am determinat ca probabilitățile de apariție a evenimentelor să fie egale cu probabilitățile de apariție a evenimentelor care sunt prototipurile lor. Aceasta înseamnă că probabilitatea oricărui eveniment , , poate fi calculat folosind formula, deoarece acest eveniment poate fi reprezentat sub forma unei uniuni de evenimente, unde .

Apoi funcția de distribuție F(x) = Р(–<Х<х) se gaseste prin formula. Rezultă că funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X este discontinuă și crește în sărituri, adică este o funcție de treaptă (Fig. 2.2):

Dacă mulțimea este finită, atunci numărul de termeni din formulă este finit, dar dacă este numărabil, atunci numărul de termeni este numărabil.

Exemplul 2.3. Dispozitivul tehnic este format din două elemente care funcționează independent unul de celălalt. Probabilitatea de defectare a primului element în timpul T este de 0,2, iar probabilitatea de defectare a celui de-al doilea element este 0,1. Valoare aleatoare X– numărul de elemente eșuate în timpul T. Găsiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare și trasați graficul acesteia.

Soluţie. Spațiul evenimentelor elementare ale unui experiment constând în studierea fiabilității a două elemente ale unui dispozitiv tehnic este determinat de patru evenimente elementare , , , : – ambele elemente sunt operaționale; – primul element funcționează, al doilea este defect; – primul element este defect, al doilea funcționează; – ambele elemente sunt defecte. Fiecare dintre evenimentele elementare poate fi exprimat prin evenimente elementare ale spațiilor Și , unde – primul element este operațional; – primul element a eșuat; – al doilea element funcționează; – al doilea element a eșuat. Apoi, și din moment ce elementele unui dispozitiv tehnic funcționează independent unele de altele, atunci

8. Care este probabilitatea ca valorile unei variabile aleatoare discrete să aparțină intervalului?

Unul dintre cele mai importante concepte din teoria probabilității este conceptul variabilă aleatorie.

Aleatoriu numit mărimea, care în urma testării ia anumite valori posibile care sunt necunoscute în prealabil și depind de motive aleatorii care nu pot fi luate în considerare în prealabil.

Variabilele aleatoare sunt desemnate cu majuscule ale alfabetului latin X, Y, Z etc. sau cu majuscule ale alfabetului latin cu un index dreapta jos și valorile pe care variabilele aleatoare le pot lua - cu literele mici corespunzătoare ale alfabetului latin X, y, z etc.

Conceptul de variabilă aleatoare este strâns legat de conceptul de eveniment aleatoriu. Conexiune cu un eveniment aleatoriu constă în faptul că adoptarea unei anumite valori numerice de către o variabilă aleatoare este un eveniment aleatoriu caracterizat de probabilitate .

În practică, există două tipuri principale de variabile aleatoare:

1. Variabile aleatoare discrete;

2. Variabile aleatoare continue.

O variabilă aleatoare este o funcție numerică a evenimentelor aleatoare.

De exemplu, o variabilă aleatorie este numărul de puncte obținute la aruncarea unui zar sau înălțimea unui elev selectat aleatoriu dintr-un grup de studiu.

Variabile aleatoare discrete sunt numite variabile aleatoare care iau doar valori la distanță între ele, care pot fi listate în prealabil.

Legea distribuției(funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descriu complet comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale cantității studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Să luăm în considerare principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete fiecare relație este numită , stabilirea unei conexiuni între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare acestora .

Legea distribuției unei variabile aleatoare poate fi reprezentată ca Mese:

			…	…
			…	…

Suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare este egală cu unu, adică

Legea distribuției poate fi descrisă grafic: valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile acestor valori sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor; punctele rezultate sunt legate prin segmente. Polilinia construită se numește poligon de distribuție.

Exemplu. Un vânător cu 4 cartușe trage în joc până când face prima lovitură sau consumă toate cartușele. Probabilitatea de a lovi la prima lovitură este de 0,7, cu fiecare lovitură ulterioară scade cu 0,1. Întocmește o lege de distribuție a numărului de cartușe cheltuite de un vânător.

Soluţie. Deoarece un vânător, având 4 cartușe, poate trage patru focuri, apoi variabila aleatorie X- numărul de cartușe cheltuite de vânător poate lua valori 1, 2, 3, 4. Pentru a găsi probabilitățile corespunzătoare, introducem evenimentele:

- „Lovi cu eu- o împușcat”, ;

- „Doar când eu- om shot”, iar evenimentele și sunt independente perechi.

În funcție de condițiile problemei, avem:

,

Folosind teorema înmulțirii pentru evenimente independente și teorema adunării pentru evenimente incompatibile, găsim:

(vânătorul a lovit ținta cu prima lovitură);

(vânătorul a lovit ținta cu a doua lovitură);

(vânătorul a lovit ținta cu a treia lovitură);

(vânătorul a lovit ținta cu a patra lovitură sau a ratat toate cele patru ori).

Verificați: - adevărat.

Astfel, legea distribuției unei variabile aleatoare X are forma:

	0,7	0,18	0,06	0,06

Exemplu. Un muncitor operează trei mașini. Probabilitatea ca în decurs de o oră prima mașină să nu necesite ajustare este de 0,9, a doua - 0,8, a treia - 0,7. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de mașini care vor necesita ajustare într-o oră.

Soluţie. Valoare aleatoare X- numărul de mașini care vor necesita ajustare într-o oră poate lua valori 0,1, 2, 3. Pentru a găsi probabilitățile corespunzătoare, introducem evenimentele:

- “i- mașina va necesita reglare în decurs de o oră,” ;

- “i- mașina nu va necesita ajustare în decurs de o oră,” .

În funcție de condițiile de problemă avem:

, .

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare”.

Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise pentru loterie. A fost extras un câștig de 50 USD. și zece câștiguri de câte 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul posibilelor câștiguri.

Soluţie. Valori posibile pentru X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de a câștiga 10 USD. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru a câștiga 50 USD -p 3 = 0,01. Prin urmare:

	0,89	0,10	0,01

Ușor de controlat: .

Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să fi citit în avans reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității reclamei se realizează prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat publicitatea în prealabil. Întocmește o serie de distribuție pentru numărul de cumpărători chestionați.

Soluţie. Conform condițiilor problemei, p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

p i		0,24

Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: unitatea de sistem, monitorul și tastatura. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Soluţie. Sa luam in considerare distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

	q n					p n

ÎN Să revenim la sarcină.

Valori posibile pentru X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 – niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 – defectarea unui element;

x 2 =2 – defectarea a două elemente;

x 3 =3 – defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula lui Bernoulli, obținem

, ,

, .

Control: .

Prin urmare, legea distribuirii cerută:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Problema 4. 5000 de runde produse. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Soluţie. Aplicabil Distribuția Poisson: Această distribuție este utilizată pentru a determina probabilitatea ca, pentru foarte mari

număr de teste (teste de masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Găsim , atunci probabilitatea dorită: .

Problema 5. Când trageți până la prima lovitură cu probabilitate de lovire p = 0,6 când trageți, trebuie să găsiți probabilitatea ca o lovitură să apară la a treia lovitură.

Soluţie. Să aplicăm o distribuție geometrică: să fie efectuate încercări independente, în fiecare eveniment A având o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 – p). Testul se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă în a k-a încercare este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Prin urmare, .

Problema 6. Fie dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Soluţie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Problema 7. Aflați varianța variabilei aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Soluţie. Aici .

Legea distribuției pentru valoarea pătrată a lui X 2 :

X 2

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează măsura abaterii (dispersiei) a unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.

Problema 8. Fie o variabilă aleatorie dată de distribuția:

			10m

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre variabila aleatoare X putem spune fie: așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau – așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m A doua formulare este evident mai clară.

Sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca în urma testului valoarea X să ia valoarea conținută în interval .

Soluţie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

Sarcină 10. Variabilă aleatorie discretă X este dat de legea distribuției:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și trasează-l.

Soluţie. Deoarece funcția de distribuție,

Pentru , Acea

la ;

la ;

la ;

la ;

Graficul relevant:

Problema 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de lovire X pe interval

Soluţie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

Sarcină 12. Găsiți caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X specificate de legea distribuției:

	–5
	X2: X 2 . , Unde – Funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt găsite folosind un tabel. În cazul nostru: . Din tabel găsim: , prin urmare:

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

să studieze tema „Variabile aleatorii” de către studenții Facultății de Contabilitate pentru Educație prin Corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Variabile aleatoare

Variabile aleatoare discrete și continue

Unul dintre conceptele principale din teoria probabilității este conceptul variabilă aleatorie . Variabilă aleatorie este o cantitate care, în urma testării, ia doar una dintre numeroasele sale valori posibile și nu se știe dinainte care dintre ele.

Există variabile aleatorii discret și continuu . Variabilă aleatorie discretă (DRV) este o variabilă aleatorie care poate lua un număr finit de valori izolate unele de altele, adică dacă valorile posibile ale acestei cantități pot fi recalculate. Variabilă aleatoare continuă (CNV) este o variabilă aleatorie, toate valorile posibile ale cărora umplu complet un anumit interval al liniei numerice.

Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin X, Y, Z etc. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare sunt indicate prin litere mici corespunzătoare.

Record
înseamnă „probabilitatea ca o variabilă aleatorie X va lua o valoare de 5, egală cu 0,28.”

Exemplul 1 . Zarurile se aruncă o dată. În acest caz, pot apărea numere de la 1 la 6, indicând numărul de puncte. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte aruncate). Această variabilă aleatoare ca rezultat al testului poate lua doar una dintre cele șase valori: 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Prin urmare, variabila aleatoare X există DSV.

Exemplul 2 . Când o piatră este aruncată, ea parcurge o anumită distanță. Să notăm variabila aleatoare X=(distanta de zbor de piatra). Această variabilă aleatoare poate lua orice valoare dintr-un anumit interval, dar numai una. Prin urmare, variabila aleatoare X există NSV.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

O variabilă aleatorie discretă este caracterizată de valorile pe care le poate lua și de probabilitățile cu care sunt luate aceste valori. Se numește corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile lor corespunzătoare legea distribuției unei variabile aleatoare discrete .

Dacă sunt cunoscute toate valorile posibile
variabilă aleatorie Xși probabilități
apariția acestor valori, atunci se crede că legea de distribuție a DSV X este cunoscut și poate fi scris sub formă de tabel:

Legea distribuției DSV poate fi reprezentată grafic dacă punctele sunt reprezentate într-un sistem de coordonate dreptunghiular
,
, …,
și leagă-le cu segmente de linie dreaptă. Figura rezultată se numește poligon de distribuție.

Exemplul 3 . Cerealele destinate curățării conțin 10% buruieni. 4 boabe au fost selectate la întâmplare. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de buruieni dintre cele patru selectate). Construiți legea distribuției DSV Xși poligonul de distribuție.

Soluţie . Conform condițiilor exemplu. Apoi:

Să notăm legea de distribuție a DSV X sub forma unui tabel și să construim un poligon de distribuție:

Așteptarea unei variabile aleatoare discrete

Cele mai importante proprietăți ale unei variabile aleatoare discrete sunt descrise de caracteristicile sale. Una dintre aceste caracteristici este valorea estimata variabilă aleatorie.

Să fie cunoscută legea distribuției DSV X:

Așteptări matematice DSV X este suma produselor fiecărei valori a acestei mărimi și probabilitatea corespunzătoare:
.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt aproximativ egale cu media aritmetică a tuturor valorilor sale. Prin urmare, în problemele practice, valoarea medie a acestei variabile aleatoare este adesea luată ca așteptare matematică.

Exemplu 8 . Trăgătorul marchează 4, 8, 9 și 10 puncte cu probabilități de 0,1, 0,45, 0,3 și 0,15. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte cu o singură lovitură.

Soluţie . Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte înscrise). Apoi . Astfel, numărul mediu așteptat de puncte marcate cu o singură lovitură este de 8,2, iar cu 10 lovituri - 82.

Proprietăți principale așteptările matematice sunt:

.

.

, Unde
,
.

.

, Unde XȘi Y sunt variabile aleatoare independente.

Diferență
numit deviere variabilă aleatorie X din așteptările sale matematice. Această diferență este o variabilă aleatorie și așteptarea sa matematică este zero, adică.
.

Varianta unei variabile aleatoare discrete

Pentru a caracteriza o variabilă aleatoare, pe lângă așteptarea matematică, folosim și dispersie , ceea ce face posibilă estimarea dispersiei (împrăștierii) valorilor unei variabile aleatorii în jurul așteptării sale matematice. Când se compară două variabile aleatoare omogene cu așteptări matematice egale, valoarea „cea mai bună” este considerată a fi cea care are mai puțin răspândire, adică. mai puțină dispersie.

Varianta variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică: .

În problemele practice, se utilizează o formulă echivalentă pentru a calcula varianța.

Principalele proprietăți ale dispersiei sunt:

.