Стандартное отклонение реализации. Стандартное отклонение процентов

Стандартное отклонение - классический индикатор изменчивости из описательной статистики.

Стандартное отклонение , среднеквадратичное отклонение, СКО, выборочное стандартное отклонение (англ. standard deviation, STD, STDev) - очень распространенный показатель рассеяния в описательной статистике. Но, т.к. технический анализ сродни статистике, данный показатель можно (и нужно) использовать в техническом анализе для обнаружения степени рассеяния цены анализируемого инструмента во времени. Обозначается греческим символом Сигма «σ».

Спасибо Карлам Гауссу и Пирсону за то, что мы имеем возможность пользоваться стандартным отклонением.

Используя стандартное отклонение в техническом анализе , мы превращаем этот «показатель рассеяния » в «индикатор волатильности «, сохраняя смысл, но меняя термины.

Что представляет собой стандартное отклонение

Но помимо промежуточных вспомогательных вычислений, стандартное отклонение вполне приемлемо для самостоятельного вычисления и применения в техническом анализе. Как отметил активный читатель нашего журнала burdock, «до сих пор не пойму, почему СКО не входит в набор стандартных индикаторов отечественных диллинговых центров «.

Действительно, стандартное отклонение может классическим и «чистым» способом измерить изменчивость инструмента . Но к сожалению, этот индикатор не так распространен в анализе ценных бумаг .

Применение стандартного отклонения

Вручную вычислить стандартное отклонение не очень интересно , но полезно для опыта. Стандартное отклонение можно выразить формулой STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , что звучит как корень из суммы квадратов разниц между элементами выборки и средним, деленной на количество элементов в выборке.

Если количество элементов в выборке превышает 30, то знаменатель дроби под корнем принимает значение n-1. Иначе используется n.

Пошагово вычисление стандартного отклонения :

1. вычисляем среднее арифметическое выборки данных
2. отнимаем это среднее от каждого элемента выборки
3. все полученные разницы возводим в квадрат
4. суммируем все полученные квадраты
5. делим полученную сумму на количество элементов в выборке (или на n-1, если n>30)
6. вычисляем квадратный корень из полученного частного (именуемого дисперсией )

Коэффициент вариации – это сравнение рассеивания двух случайно взятых величин. Величины имеют единицы измерения, что приводит к получению сопоставимого результата. Этот коэффициент нужен для подготовки статистического анализа.

С помощью него инвесторы могут рассчитать показатели риска перед тем, как сделать вклады в выбранные активы. Он полезен, когда у выбранных активов различная доходность и степень риска. К примеру, у одного актива может быть высокий доход и степень риска тоже высокая, а у другого, наоборот, малый доход и степень риска соответственно меньшая.

Расчет стандартного отклонения

Стандартное отклонение является статистической величиной. С помощью расчета этой величины пользователь получит информацию о том, насколько отклоняются данные в ту или иную сторону относительно среднего значения. Стандартное отклонение в Excel рассчитывается в несколько шагов.

Подготавливаете данные : открываете страницу, где будут происходить расчеты. В нашем случае это картинка, но может быть любой другой файл. Главное собрать ту информацию, которую будете использовать в таблице для рассчета.

Вводите данные в любой табличный редактор (в нашем случае Excel), заполняя ячейки слева направо. Начинать следует с колонки «А». Заголовки вводите в строке сверху, а названия в тех же столбцах, которые относятся к заголовкам, только ниже. Затем дату и данные, которые подлежат расчету, справа от даты.

Этот документ сохраняете.

Теперь переходим к самому вычислению. Выделяете курсором ячейку после последнего введенного значения снизу.

Вписываете знак «=» и прописываете далее формулу. Знак равенства обязателен. Иначе программа не посчитает предложенные данные. Формула вводится без пробелов.

Утилита выдаст названия нескольких формул. Выбираете «СТАНДОТКЛОН ». Это формула вычисления стандартного отклонения. Существует два вида расчета:

• с вычислением по выборке;
• с вычислением по генеральной совокупности.

Выбрав одну из них, указываете диапазон данных. Вся введенная формула будет выглядеть так: «=СТАНДОТКЛОН (В2: В5)».

Затем кликаете по кнопке «Enter ». Полученные данные появятся в отмеченном пункте.

Расчет среднего арифметического

Вычисляется, когда пользователю необходимо создать отчет, например, по заработной плате в его компании. Делается это следующим образом:

• останется только выделить диапазон и кликнуть по кнопке «Ввод». А в ячейке теперь отобразится результат из взятых данных выше.

Расчет коэффициента вариации

Формула расчета коэффициента вариации:

V= S/X, где S – это стандартное отклонение, а X – среднее значение.

Для того, чтобы посчитать коэффициент вариации в Excel, необходимо найти стандартное отклонение и среднее арифметическое. То есть проделав первые два расчета, которые были показаны выше, можно перейти к работе над коэффициентом вариации.

Для этого открываете Excel, заполняем два поля, куда следует вписать полученные числа стандартного отклонения и среднего значения.

Теперь выделяете ячейку, которую отвели под число для вычисления вариации. Открываете вкладку «Главная », если она не открыта. Кликаете по инструменту «Число ». Выбираете процентный формат.

Переходите к отмеченной ячейке и кликаете по ней дважды. Затем вводите знак равенства и выделяете пункт, куда вписан итог стандартного отклонения. Затем кликаете на клавиатуре по кнопке «слэш» или «разделить» (выглядит так: «/»). Выделяете пункт , куда вписано среднее арифметическое, и кликаете по кнопке «Enter». Должно получиться так:

А вот и результат после нажатия «Enter»:

Также для расчета коэффициента вариации можно использовать онлайн калькуляторы, например planetcalc.ru и allcalc.ru . Достаточно внести необходимые цифры и запустить расчет, после чего получить необходимые сведения.

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратичное отклонение в Excel решается с помощью двух формул:

Простыми словами, извлекается корень из дисперсии. Как вычислить дисперсию рассмотрено ниже.

Среднее квадратичное отклонение является синонимом стандартного и вычисляется точное также. Выделяется ячейка для результата под числами, которые нужно рассчитать. Вставляется одна из функций, указанных на рисунке выше. Кликается кнопка «Enter ». Результат получен.

Коэффициент осциляции

Соотношением размаха вариации к среднему – называется коэффициентом осциляции. Готовых формул в Экселе нет, поэтому нужно компоновать несколько функций в одну.

Функциями, которые необходимо скомпоновать, являются формулы среднего значения, максимума и минимума. Этот коэффициент используют для сравнения набора данных.

Дисперсия

Дисперсия – это функция, с помощью которой характеризуют разброс данных вокруг математического ожидания. Вычисляется по следующему уравнению:

Переменные принимают такие значения:

В Excel есть две функции, которые определяют дисперсию:

Чтобы произвести расчет, под числами, которые необходимо посчитать, выделяется ячейка. Заходите во вкладку вставки функции. Выбираете категорию «Статистические ». В выпавшем списке выбираете одну из функций и кликаете по кнопке «Enter».

Максимум и минимум

Максимум и минимум нужны для того, чтобы не искать вручную среди большого количества чисел минимальное или максимальное число.

Чтобы вычислить максимум, выделяете весь диапазон необходимых чисел в таблице и отдельную ячейку, затем кликаете по значку «Σ» или «Автосумма ». В выпавшем окне выбираете «Максимум» и, нажав кнопку «Enter» получаете нужное значение.

Тоже самое делаете, чтобы получить минимум. Только выбираете функцию «Минимум».

Функция стандартное отклонение это уже из разряда высшей математики относящейся к статистики. В Excel существует несколько вариантов использования Функции стандартного отклонения это:

• Функция СТАНДОТКЛОНП.
• Функция СТАНДОТКЛОН.
• Функция СТАНДОТКЛОНПА

Данные функции в статистике продаж нам понадобятся для выявления стабильности продаж (анализ XYZ). Эти данные можно использовать как для ценообразования, так и для формирования (корректирования) ассортиментной матрицы и для других полезных анализов продаж, о которых я обязательно расскажу в следующих статьях.

Предисловие

Давайте посмотрим на формулы сначала математическим языком, а после (ниже по тексту) подробно разберем формулу в Excel и как получившийся результат применяется в анализе статистических данных продаж.

Итак, Стандартное отклонение - это оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии)))) Не пугайтесь не понятных слов, потерпите и Вы все поймете!

Описание формулы: Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины

Теперь стандартное отклонение - оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии:

Дисперсия;

- i -й элемент выборки;

Объём выборки;

Среднее арифметическое выборки:

Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. Однако оценка на основе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной.

Правило трёх сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - приблизительно с 0,9973 вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки). Мы же будем использовать округленный интервал 0,1

Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не , а s . Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх s . Именно это правило поможет нам определить стабильность продаж, но об этом чуть позже...

Теперь Функция стандартного отклонения в Excel

Надеюсь я не слишком Вас загрузил математикой? Возможно кому то данная информация потребуется для реферата или еще каких-нибудь целей. Теперь разжуем как эти формулы работают в Excel...

Для определения стабильности продаж нам не потребуется вникать во все варианты функций стандартного отклонения. Мы будем пользоваться всего одной:

Функция СТАНДОТКЛОНП

СТАНДОТКЛОНП (число1 ;число2 ;... )

Число1, число2,.. - от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих генеральной совокупности.

Теперь разберем на примере:

Давайте создадим книгу и импровизированную таблицу. Данный пример в Excel Вы скачаете в конце статьи.

Продолжение следует!!!

И снова здравствуйте. Ну что!? Выдалась свободная минутка. Давайте продолжим?

И так стабильность продаж при помощи Функции СТАНДОТКЛОНП

Для наглядности возьмем несколько импровизированных товаров:

В аналитике, будь то прогноз, исследование или еще что то, что связано с статистикой всегда необходимо брать три периода. Это может быть неделя, месяц, квартал или год. Можно и даже лучше всего брать как можно больше периодов, но не менее трех.

Я специально показал утрированные продажи, где не вооруженным глазом видно, что продается стабильно, а что нет. Так проще будет понять как работают формулы.

И так у нас есть продажи, теперь нам нужно рассчитать средние значения продаж по периодам.

Формула среднего значения СРЗНАЧ(данные периода) в моем случае формула выглядит вот так =СРЗНАЧ(C6:E6)

Протягиваем формулу по всем товарам. Это можно сделать взявшись за правый угол выделенной ячейки и протянуть до конца списка. Или поставить курсор на столбец с товаром и нажать следующие комбинации клавиш:

Ctrl + Вниз курсор переместиться в коней списка.

Ctrl + Вправо, курсор переместиться в правую часть таблицы. Еще раз вправо и мы попадем на столбец с формулой.

Теперь зажимаем

Ctrl + Shift и нажимаем вверх. Так мы выделим область протягивания формулы.

И комбинация клавиш Ctrl + D протянет функцию там где нам надо.

Запомните эти комбинации, они реально увеличивают Вашу скорость работы в Excel, особенно когда Вы работаете с большими массивами.

Следующий этап, сама функция стандартного откланения, как я уже говорил мы будем пользоваться всего одной СТАНДОТКЛОНП

Прописываем функцию и в значениях функции ставим значения продаж каждого периода. Если у Вас продажи в таблице друг за другом можно использовать диапазон, как у меня в формуле =СТАНДОТКЛОНП(C6:E6) или через точку с запятой перечисляем нужные ячейки =СТАНДОТКЛОНП(C6;D6;E6)

Вот все расчеты и готовы. Но как понять, что продается стабильно, а что нет? Просто проставим условность XYZ где,

Х - это стабильно

Y - с не большими отклонениями

Z - не стабильно

Для этого используем интервалы погрешности. если колебания происходят в пределах 10% будем считать что продажи стабильны.

Если в пределах от 10 до 25 процентов - это будет Y.

И если значения вариации превышает 25% - это не стабильность.

Что бы правильно задать буквы каждому товару, воспользуемся формулой ЕСЛИ подробнее про . В моей таблице данная функция будет выглядеть так:

ЕСЛИ(H6<0,1;"X";ЕСЛИ(H6<0,25;"Y";"Z"))

Соответственно все формулы протягиваем по всем наименованиям.

Постараюсь сразу ответить на вопрос, Почему интервалы 10% и 25%?

На самом деле интервалы могут быть иными, все зависит от конкретной задачи. Я специально показал Вам утрированные значения продаж, где разница видна на "глаз". Очевидно, что товар 1 продается не стабильно, но динамика показывает увеличение продаж. Такой товар оставляем в покое...

А вот товар 2, тут уже дистабилизация на лицо. И наши расчеты показывают Z, что говорит нам о не стабильности продаж. Товар 3 и Товар 5 показывают стабильные показатели, обратите внимание, Вариация в пределах 10%.

Т.е. Товар 5 с показателями 45, 46 и 45 показывает вариацию 1%, что является стабильным числовым рядом.

А вот Товар 2 с показателями 10, 50 и 5 показывают вариацию в 93%, что является НЕ стабильным числовым рядом.

После всех расчетов, можно поставить фильтр и отфильтровать стабильность, таким образом если Ваша таблица составляет несколько тысяч наименований вы с легкостью выделите которые не стабильны в продажах или же на оборот, какие стабильны.

В моей таблице не получилось "Y", я думаю для наглядности числового ряда, его нужно добавить. Пририсую Товар 6...

Вот видите, числовой ряд 40, 50 и 30 показывает 20% вариации. Вроде большой погрешности нет, но все же разброс существенный...

И так под итожим:

10,50,5 - Z не стабильность. Вариация более 25%

40,50,30 - Y на этот товар можно обратить внимание, и улучшить его продажи. Вариация меньше 25%, но больше 10%

45,46,45 - X это стабильность, с этим товаром пока ничего делать не надо. Вариация меньше 10%

На этом все! Надеюсь я все понятно изложил, если нет спрашивайте что не понятно. И буду благодарен Вам за каждый комментарий будь то похвала или критика. Так я буду знать, что Вы меня читаете и Вам, что очень ВАЖНО, интересно. И соответственно будут появляться новые уроки.

Необходимо вмешательство менеджмента для выявления причин отклонений.

Для построения контрольной карты я использую исходные данные, среднее значение (μ) и стандартное отклонение (σ). В Excel: μ = СРЗНАЧ($F$3:$F$15), σ = СТАНДОТКЛОН($F$3:$F$15)

Сама контрольная карта включает: исходные данные, среднее значение (μ), нижнюю контрольную границу (μ – 2σ) и верхнюю контрольную границу (μ + 2σ):

Скачать заметку в формате , примеры в формате

Посмотрев на представленную карту, я заметил, что исходные данные демонстрируют вполне различимую линейную тенденцию к снижению доли накладных расходов:

Чтобы добавить линию тренду выделите на графике ряд с данными (в нашем примере – зеленые точки), кликните правой кнопкой мыши и выберите опцию «Добавить линию тренда». В открывшемся окне «Формат линии тренда», поэкспериментируйте с опциями. Я остановился на линейном тренде.

Если исходные данные не разбросаны в соответствии с вокруг среднего значения, то описывать их параметрами μ и σ не вполне корректно. Для описания вместо среднего значения лучше подойдет прямая линейного тренда и контрольные границы, равноудаленные от этой линии тренда.

Линию тренда Excel позволяет построить с помощью функции ПРЕДСКАЗ. Нам потребуется дополнительный ряд А3:А15, чтобы известные значения Х были непрерывным рядом (номера кварталов такой непрерывный ряд не образуют). Вместо среднего значения в столбце Н вводим функцию ПРЕДСКАЗ:

Стандартное отклонение σ (функция СТАНДОТКЛОН в Excel) вычисляется по формуле:

К сожалению, я не нашел в Excel функции для такого определения стандартного отклонения (по отношению к тренду). Задачу можно решить с помощью формулы массива. Кто не знаком с формулами массива, предлагаю сначала почитать .

Формула массива может возвращать одно значение или массив. В нашем случае формула массива вернет одно значение:

Давайте подробнее изучим, как работает формула массива в ячейке G3

СУММ(($F$3:$F$15-$H$3:$H$15)^2) определяет сумму квадратов разностей; фактически формула считает следующую сумму = (F3 – H3) 2 + (F4 – H4) 2 + … + (F15 – H15) 2

СЧЁТЗ($F$3:$F$15) – число значений в диапазоне F3:F15

КОРЕНЬ(СУММ(($F$3:$F$15-$H$3:$H$15)^2)/(СЧЁТЗ($F$3:$F$15)-1)) = σ

Значение 6,2% есть точка нижней контрольной границы = 8,3% – 2 σ

Фигурные кавычки с обеих сторон формулы означают, что это формула массива. Для того, чтобы создать формулу массива, после ввода формулы в ячейку G3:

H4 – 2*КОРЕНЬ(СУММ(($F$3:$F$15-$H$3:$H$15)^2)/(СЧЁТЗ($F$3:$F$15)-1))

необходимо нажать не Enter, а Ctrl + Shift + Enter. Не пытайтесь ввести фигурные скобки с клавиатуры – формула массива не заработает. Если требуется отредактировать формулу массива, сделайте это так же, как и с обычной формулой, но опять же по окончании редактирования нажмите не Enter, а Ctrl + Shift + Enter.

Формулу массива, возвращающую одно значение, можно «протаскивать», как и обычную формулу.

В результате получили контрольную карту, построенную для данных, имеющих тенденцию к понижению

P.S. После того, как заметка была написана, я смог усовершенствовать формулы, используемые для вычисления стандартного отклонения для данных с тенденцией. Ознакомиться с ними вы можете в Excel-файле

Среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение) - вторая по значению константа вариаци-онного ряда. Она является мерой разнообразия входящих в груп-пу объектов и показывает, на сколько в среднем отклоняются варианты от средней арифметической изучаемой совокупности. Чем сильнее раз-бросаны варианты вокруг средней, чем чаще встречаются край-ние или другие отдаленные классы отклонений от средней ва-риационного ряда, тем большим оказывается и среднее квад-ратичное отклонение. Стандартное отклонение есть мера изменчивости признаков, обусловлен-ная влиянием на них случайных факторов. Квадрат стандартного отклонения (S ²) называется дисперсией .

Что такое «случайное» при детальном рассмотрении? В формуле модели вариант случайный компонент предстает в виде некой «добавки» к доле варианты, сформированной под действием систематических факторов, ± x случ . . Она, в свою очередь, складывается из эффектов влияния неопределенно большого числа факторов: x случ . = Σ x случ. k .

Каждый из этих факторов может обнаружить свое сильное действие (дать большой вклад), а может почти не участвовать в становлении конкретной варианты (слабое действие, незначительный вклад). Причем доля случайной «прибавки» для каждой варианты оказывается различной! Рассматривая, например, размеры дафний , можно увидеть, что одна особь крупнее, другая мельче, поскольку одна родилась на несколько часов раньше, другая позже, или одна генетически не вполне идентична прочим, а третья росла в более прогреваемой зоне аквариума и т. д.

Если эти частные факторы не входят в число контролируемых при сборе вариант, то они, индивидуально проявляясь в разной степени, обеспечивают случайное варьирование вариант. Чем больше случайных факторов, чем они сильнее, тем дальше будут раз-бросаны варианты вокруг средней и тем большим оказывается характеристика варьирования, среднее квад-ратичное отклонение. В контексте нашей книги термин «случайное» есть синоним слова «неизвестное», «неподконтрольное». Пока мы каким-либо способом не выразим интенсивность фактора (группировкой, градацией, числом), до тех пор он останется фактором, вызывающим случайную изменчивость.

Смысл стандартного отклонения (вариант от средней) выражает формула:

где x - значение признака у каждого объекта в группе,

М - средняя арифметическая признака,

п - число вари-ант выборки.

Выполнять расчеты удобнее с помощью рабочей формулы :

,

где Σ x ² - сумма квадратов значений признака для всех вариант,

Σ x - сумма значений признака,

n - объем вы-борки.

Для примера с массой тела бурозубок стандартное отклонение будет равно: S = 0.897216496, а после необходимого округления S = 0.897 г.

В некоторых случаях бывает необходимо определить взвешенное сред-нее квадратичное отклонение для суммарного распределения, составленного из нескольких выборок, для которых значения стандартных отклонений уже известны. Эта задача решается с помощью формулы:

,

где S Σ - усредненная величина среднего квадратичного откло-нения для суммарного распределения,

S --- усредняемые значе-ния стандартного отклонения,

п - объемы отдельных выборок,

k - число усредняе-мых стандартных отклонений.

Рассмотрим такой пример. Четыре независимых определе-ния веса печени (мг) у землероек-бурозубок в июне, июле, ав-густе и сентябре дали следующие величины стандартных отклонений: 93, 83, 50, 71 (при n = 17, 115, 132, 140). Подставив в вышеприведенную фор-мулу нужные значения, получим стандартные отклонения для суммарной выбор-ки (для всего бесснежного периода):

В случае, если требуется первичная статистическая обработка большого числа выборок, но необязательно с большой точностью, для оценки стандартного отклонения можно воспользоваться экспресс-методом , основанным на знании закона нормального распределения. Как уже отмечалось, крайние значения для выборки (с вероятностью P = 95%) можно считать границами, удаленными от средней на расстояние 2S : x min = M − 2S , x max = M + 2S . Это значит, что в лимите (Lim), в диапазоне от максимального до минимального выборочного значения, укладываются четыре стандартных отклонения:

Lim = (M + 2S ) − (M − 2S ) = 4S .

Однако этот вывод справедлив только по отношению к выборкам большого размера, тогда как для небольших выборок необходимо делать поправки. Рекомендуется следующая формула приблизительного расчета стандартного отклонения (Ашмарин и др., 1975):

,

где величина d взята из таблицы 3 (против соответствую-щего объема выборки, n ).

Таблица 3

Выборочное стандартное отклонение веса тела бурозубок (n = 63), рассчитанное по приведенной формуле, составляет:

S = (11.9 − 7.3) / 4 = 1.15 г,

что достаточно близко к точному значению, S = 0.89 г.

Использование экспресс-оценок стандартного отклонения значительно сокращает время расчетов, существенно не сказываясь на их точности. Отмечается лишь небольшая тенденция к завышению получаемых этим методом значений стандартного отклонения при небольших объемах выборок.

Стандартное отклонение - величина именованная, поэтому с ее помощью можно сравнивать характер варьирования лишь одних и тех же признаков. Чтобы сопоставить изменчивость разнородных признаков, выраженных в различных единицах измерения, а также нивелировать влияние мас-штаба измерений, используют так называемый коэффициент вариации (СV) , безразмерную величину, отношение выборочной оценки S к собственной средней M :

.

В нашем примере с весом тела бурозубок:

9.6%.

Индивидуальная изменчивость (варьирование) признаков - одна из наиболее емких характеристик биологи-ческой популяции, любого биологического процесса или явле-ния. Коэффициент вариации может считаться вполне адекватным и объективным показателем, хорошо отражающим фактическое разнообразие совокупности независимо от абсолютной величины признака. Индекс был создан для унификации показа-телей изменчивости разных или разноразмерных признаков пу-тем приведения их к одному масштабу.

Практика показывает, что для многих биологических признаков наблюдается увеличение изменчивости (стандартного отклонения) с ростом их величины (средней арифметической). При этом коэффициент вариации остается примерно на одном и том же уровне - 8-15%. За увеличение коэффициента вариации ответственны, как правило, растущие отличия распределения признака от нормального закона.