आकृति का आयतन कितना है? सिलेंडर, शंकु और काटे गए शंकु
किसी भी ज्यामितीय निकाय को सतह क्षेत्र (एस) और आयतन (वी) द्वारा चित्रित किया जा सकता है। क्षेत्रफल और आयतन बिल्कुल भी एक ही चीज़ नहीं हैं। किसी वस्तु में अपेक्षाकृत छोटा V और बड़ा S हो सकता है, उदाहरण के लिए, मानव मस्तिष्क इसी प्रकार काम करता है। सरल ज्यामितीय आकृतियों के लिए इन संकेतकों की गणना करना बहुत आसान है।
समानांतर चतुर्भुज: परिभाषा, प्रकार और गुण
समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म है जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है। आपको किसी आकृति का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र की आवश्यकता क्यों हो सकती है? किताबें, पैकेजिंग बक्से और कई अन्य चीजें रोजमर्रा की जिंदगी. आवासीय और कार्यालय भवनों के कमरे आमतौर पर आयताकार समानांतर चतुर्भुज होते हैं। एक कमरे में वेंटिलेशन, एयर कंडीशनिंग स्थापित करने और हीटिंग तत्वों की संख्या निर्धारित करने के लिए, कमरे की मात्रा की गणना करना आवश्यक है।
आकृति में 6 फलक हैं - समांतर चतुर्भुज और 12 किनारे; दो मनमाने ढंग से चुने गए फलकों को आधार कहा जाता है। एक समान्तर चतुर्भुज कई प्रकार का हो सकता है। अंतर आसन्न किनारों के बीच के कोणों के कारण हैं। विभिन्न बहुभुजों के V ज्ञात करने के सूत्र थोड़े अलग हैं।
यदि किसी ज्यामितीय आकृति के 6 फलक आयताकार हों तो उसे आयताकार भी कहा जाता है। घन है विशेष मामलाएक समांतर चतुर्भुज जिसके सभी 6 फलक समान वर्ग हैं। इस मामले में, वी को खोजने के लिए, आपको केवल एक तरफ की लंबाई का पता लगाना होगा और इसे तीसरी शक्ति तक बढ़ाना होगा।
समस्याओं को हल करने के लिए, आपको न केवल तैयार सूत्रों के ज्ञान की आवश्यकता होगी, बल्कि आकृति के गुणों की भी आवश्यकता होगी। आयताकार प्रिज्म के मूल गुणों की सूची छोटी है और समझने में बहुत आसान है:
- आकृति की सम्मुख भुजाएँ समान और समानांतर हैं। इसका मतलब यह है कि विपरीत स्थित पसलियाँ लंबाई और झुकाव के कोण में समान हैं।
- एक समांतर चतुर्भुज के सभी पार्श्व फलक आयत हैं।
- एक ज्यामितीय आकृति के चार मुख्य विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा आधे में विभाजित होते हैं।
- समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग आकृति के आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है (पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है)।
पाइथागोरस प्रमेयबताता है कि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उसी त्रिभुज के कर्ण पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
अंतिम संपत्ति का प्रमाण नीचे दी गई छवि में देखा जा सकता है। समस्या को हल करने की प्रक्रिया सरल है और इसके लिए विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं है।
एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के आयतन का सूत्र
सभी प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों को खोजने का सूत्र समान है: V=S*h, जहां V आवश्यक आयतन है, S समांतर चतुर्भुज के आधार का क्षेत्रफल है, h विपरीत शीर्ष से कम की गई ऊंचाई है और आधार के लंबवत. एक आयत में, h आकृति की एक भुजा से मेल खाता है, इसलिए एक आयताकार प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको तीन आयामों को गुणा करना होगा।
आयतन आमतौर पर सेमी3 में व्यक्त किया जाता है। a, b और c के तीनों मानों को जानकर किसी आकृति का आयतन ज्ञात करना बिल्कुल भी कठिन नहीं है। एकीकृत राज्य परीक्षा में सबसे आम प्रकार की समस्या एक समांतर चतुर्भुज का आयतन या विकर्ण ज्ञात करना है। कई विशिष्ट हल करें एकीकृत राज्य परीक्षा असाइनमेंटआयत के आयतन के सूत्र के बिना यह असंभव है। किसी कार्य का एक उदाहरण और उसके समाधान का डिज़ाइन नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
नोट 1. एक आयताकार प्रिज्म का सतह क्षेत्र आकृति के तीन चेहरों के क्षेत्रों के योग को 2 से गुणा करके पाया जा सकता है: आधार (एबी) और दो आसन्न पार्श्व चेहरे (बीसी + एसी)।
नोट 2. पार्श्व फलकों का सतह क्षेत्रफल आधार की परिधि को समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई से गुणा करके आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज AB = A1B1, और फलक B1D1 = BD के पहले गुण के आधार पर। पाइथागोरस प्रमेय के परिणाम के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में सभी कोणों का योग 180° होता है, और 30° कोण के विपरीत पैर कर्ण के बराबर होता है। इस ज्ञान को त्रिभुज पर लागू करके, हम आसानी से भुजाओं AB और AD की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। फिर हम प्राप्त मूल्यों को गुणा करते हैं और समांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना करते हैं।
झुके हुए समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने का सूत्र
झुके हुए समान्तर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, आकृति के आधार के क्षेत्रफल को विपरीत कोने से दिए गए आधार तक कम की गई ऊँचाई से गुणा करना आवश्यक है।
इस प्रकार, आवश्यक V को h के रूप में दर्शाया जा सकता है - आधार क्षेत्र S के साथ शीटों की संख्या, इसलिए डेक के आयतन में सभी कार्डों के Vs शामिल होते हैं।
समस्या समाधान के उदाहरण
एकल परीक्षा के कार्यों को एक निश्चित समय के भीतर पूरा किया जाना चाहिए। एक नियम के रूप में, विशिष्ट कार्यों में शामिल नहीं होते हैं बड़ी मात्रागणना और जटिल भिन्न। अक्सर एक छात्र से पूछा जाता है कि एक अनियमित ज्यामितीय आकृति का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए। ऐसे मामलों में, आपको यह सरल नियम याद रखना चाहिए कि कुल आयतन घटक भागों के Vs के योग के बराबर है।
जैसा कि आप ऊपर की छवि में उदाहरण से देख सकते हैं, ऐसी समस्याओं को हल करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। अधिक जटिल अनुभागों के कार्यों के लिए पाइथागोरस प्रमेय और उसके परिणामों के ज्ञान के साथ-साथ किसी आकृति के विकर्ण की लंबाई के सूत्र की आवश्यकता होती है। परीक्षण कार्यों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, पहले से ही विशिष्ट समस्याओं के नमूनों से खुद को परिचित करना पर्याप्त है।
सभी आवश्यक दूरियाँ मीटर में मापें।कई त्रि-आयामी आकृतियों के आयतन की गणना उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है। हालाँकि, सूत्रों में प्रतिस्थापित सभी मानों को मीटर में मापा जाना चाहिए। इसलिए, मानों को सूत्र में प्लग करने से पहले, सुनिश्चित करें कि वे सभी मीटर में मापे गए हैं, या आपने माप की अन्य इकाइयों को मीटर में बदल दिया है।
- 1 मिमी = 0.001 मीटर
- 1 सेमी = 0.01 मीटर
- 1 किमी = 1000 मीटर
आयताकार आकृतियों (घनाभ, घन) के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: आयतन = L × W × H(लंबाई गुणा चौड़ाई गुणा ऊंचाई)। इस सूत्र को आकृति के किसी एक फलक के सतह क्षेत्र और इस फलक के लंबवत किनारे का गुणनफल माना जा सकता है।
- उदाहरण के लिए, आइए 4 मीटर की लंबाई, 3 मीटर की चौड़ाई और 2.5 मीटर की ऊंचाई वाले कमरे की मात्रा की गणना करें, बस लंबाई को चौड़ाई और ऊंचाई से गुणा करें:
- 4×3×2.5
- = 12 × 2.5
- = 30. इस कमरे का आयतन है 30 मीटर 3.
- घन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इस प्रकार, घन के आयतन की गणना करने का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: आयतन = एल 3 (या डब्ल्यू 3, या एच 3)।
सिलेंडर के रूप में आकृतियों की मात्रा की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: अनुकरणीय× आर 2 × एच। एक सिलेंडर के आयतन की गणना करने से वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल को सिलेंडर की ऊंचाई (या लंबाई) से गुणा करना आता है। पाई (3.14) को वृत्त की त्रिज्या (R) के वर्ग से गुणा करके वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें (त्रिज्या वृत्त के केंद्र से इस वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु की दूरी है)। फिर परिणाम को सिलेंडर की ऊंचाई (एच) से गुणा करें और आपको सिलेंडर का आयतन मिलेगा। सभी मान मीटर में मापे जाते हैं।
- उदाहरण के लिए, आइए 1.5 मीटर व्यास और 10 मीटर गहराई वाले एक कुएं के आयतन की गणना करें। त्रिज्या प्राप्त करने के लिए व्यास को 2 से विभाजित करें: 1.5/2 = 0.75 मीटर।
- (3.14) × 0.75 2 × 10
- = (3.14) × 0.5625 × 10
- = 17.66. कुएं का आयतन है 17.66 मीटर 3.
गेंद के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: 4/3 एक्स अनुकरणीय× आर 3 . यानी आपको केवल गेंद की त्रिज्या (R) जानने की जरूरत है।
- उदाहरण के लिए, आइए 10 मीटर व्यास वाले गुब्बारे के आयतन की गणना करें। त्रिज्या प्राप्त करने के लिए व्यास को 2 से विभाजित करें: 10/2 = 5 मीटर।
- 4/3 x पीआई × (5) 3
- = 4/3 x (3.14) × 125
- = 4.189 × 125
- = 523.6. गुब्बारे का आयतन है 523.6 मीटर 3.
शंकु के आकार की आकृतियों के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: 1/3 एक्स अनुकरणीय× R 2 × H. एक शंकु का आयतन एक बेलन के आयतन के 1/3 के बराबर है, जिसकी ऊँचाई और त्रिज्या समान है।
- उदाहरण के लिए, आइए 3 सेमी त्रिज्या और 15 सेमी ऊंचाई वाले एक आइसक्रीम कोन के आयतन की गणना करें, जिसे मीटर में बदलने पर हमें क्रमशः 0.03 मीटर और 0.15 मीटर मिलता है।
- 1/3 x (3.14) × 0.03 2 × 0.15
- = 1/3 x (3.14) × 0.0009 × 0.15
- = 1/3 × 0.0004239
- = 0.000141. एक आइसक्रीम कोन का आयतन है 0.000141 मीटर 3.
अनियमित आकृतियों के आयतन की गणना करने के लिए, कई सूत्रों का उपयोग करें।ऐसा करने के लिए, आकृति को सही आकार की कई आकृतियों में तोड़ने का प्रयास करें। फिर ऐसे प्रत्येक आंकड़े का आयतन ज्ञात करें और परिणाम जोड़ें।
- उदाहरण के लिए, आइए एक छोटे अन्न भंडार के आयतन की गणना करें। गोदाम में एक बेलनाकार बॉडी है जिसकी ऊंचाई 12 मीटर और त्रिज्या 1.5 मीटर है। गोदाम में एक शंक्वाकार छत भी है जिसकी ऊंचाई 1 मीटर है। छत के आयतन की अलग से और बॉडी के आयतन की अलग से गणना करके, हम अन्न भंडार की कुल मात्रा ज्ञात कर सकते हैं:
- पीआई × आर 2 × एच + 1/3 एक्स पीआई × आर 2 × एच
- (3.14) × 1.5 2 × 12 + 1/3 x (3.14) × 1.5 2 × 1
- = (3.14) × 2.25 × 12 + 1/3 x (3.14) × 2.25 × 1
- = (3.14) × 27 + 1/3 x (3.14) × 2.25
- = 84,822 + 2,356
- = 87.178. अन्न भंडार का आयतन बराबर होता है 87.178 मीटर 3.
निर्देश
यदि कोई छात्र एक आयत के आयतन की गणना करने का प्रयास कर रहा है, तो स्पष्ट करें: हम एक विशिष्ट आकृति के बारे में बात कर रहे हैं - या इसके वॉल्यूमेट्रिक एनालॉग, आयताकार। यह भी पता करें: समस्या की स्थितियों के अनुसार वास्तव में क्या खोजने की आवश्यकता है - आयतन या लंबाई। इसके अलावा, पता लगाएं: प्रश्न में आकृति के किस भाग का मतलब है - संपूर्ण आकृति, चेहरा, किनारा, शीर्ष, पक्ष या।
किसी आयताकार के आयतन की गणना करने के लिए उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को गुणा करें ()। अर्थात्, सूत्र का उपयोग करें:
जहां: ए, बी और सी समानांतर चतुर्भुज की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई (क्रमशः) हैं, और वी इसका आयतन है।
पहले सभी भुजाओं की लंबाई को माप की एक इकाई तक कम करें, फिर समानांतर चतुर्भुज का आयतन संबंधित "घन" इकाइयों में प्राप्त किया जाएगा।
निम्नलिखित आयामों वाली पानी की टंकी की क्षमता क्या होगी:
लंबाई - 2 मीटर;
चौड़ाई - 1 मीटर 50 सेंटीमीटर;
ऊंचाई - 200 सेंटीमीटर.
1. हम पक्षों की लंबाई को मीटर तक कम करते हैं: 2; 1.5; 2.
2. परिणामी संख्याओं को गुणा करें: 2 * 1.5 * 2 = 6 (घन)।
यदि समस्या एक आयत के बारे में है, तो संभवतः आपको इसके क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, बस आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें। अर्थात्, सूत्र लागू करें:
कहाँ:
a और b आयत की भुजाओं की लंबाई हैं,
S आयत का क्षेत्रफल है.
यदि समस्या एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के फलक की है तो उसी सूत्र का उपयोग करें - परिभाषा के अनुसार, इसका आकार भी एक आयत का है।
घन का आयतन 27 वर्ग मीटर है। घन के फलक से बने आयत का क्षेत्रफल क्या है?
एक झुका हुआ समांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व फलक आधार फलक के लंबवत नहीं होते हैं। इस मामले में, आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है - V=Sh. झुकी हुई ऊंचाई समानांतर खात- किसी भी शीर्ष शीर्ष से चेहरे के आधार के संगत पक्ष तक उतरने वाला एक लंबवत खंड (यानी, किसी भी तरफ के चेहरे की ऊंचाई)।
घन एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी किनारे बराबर हैं और सभी छह फलक समान हैं। आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है - V=Sh. आधार एक वर्ग है, आधार का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, अर्थात भुजा का आकार है। घन की ऊंचाई समान मान है, इसलिए इस मामले में आयतन तीसरे तक उठाए गए घन के किनारे का मान होगा - V=a³।
टिप्पणी
समांतर चतुर्भुज के आधार हमेशा एक दूसरे के समानांतर होते हैं, यह प्रिज्म की परिभाषा से पता चलता है।
एक समान्तर चतुर्भुज के आयाम उसके किनारों की लंबाई हैं।
आयतन हमेशा आधार के क्षेत्रफल और समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना पार्श्व किनारे के आकार और उसके लंबवत खंड के क्षेत्र के उत्पाद के रूप में की जा सकती है।
किसी भी पिंड के आयतन की गणना करने के लिए, आपको उसके रैखिक आयामों को जानना होगा। यह प्रिज्म, पिरामिड, गोला, बेलन और शंकु जैसी आकृतियों पर लागू होता है। इनमें से प्रत्येक आंकड़े की मात्रा की अपनी परिभाषा है।
आपको चाहिये होगा
- - शासक;
- - वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों के गुणों का ज्ञान;
- - बहुभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र।
निर्देश
उदाहरण के लिए, वह आयतन ज्ञात करने के लिए जिसका आधार है सही त्रिकोण 4 और 3 सेमी पैरों और 7 सेमी ऊंचाई के साथ, निम्नलिखित गणना करें:
आयताकार के क्षेत्रफल की गणना करें, जो प्रिज्म का आधार है। ऐसा करने के लिए, पैरों की लंबाई को गुणा करें और परिणाम को 2 से विभाजित करें। Sbasn=3∙4/2=6 सेमी²;
आधार के क्षेत्रफल को ऊंचाई से गुणा करें, यह प्रिज्म का आयतन होगा V=6∙7=42 सेमी³.
पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊँचाई का गुणनफल ज्ञात करें और परिणाम को 1/3 V=1/3∙Sobas∙H से गुणा करें। पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार के तल तक उतारा गया एक खंड है। सबसे आम तथाकथित नियमित पिरामिड हैं, शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है, जो एक नियमित पिरामिड है।
उदाहरण के लिए, 2 सेमी भुजा और 5 सेमी ऊंचाई वाले नियमित षट्भुज पर आधारित पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, निम्न कार्य करें:
सूत्र S=(n/4) a² ctg(180º/n) का उपयोग करके, जहां n एक नियमित बहुभुज की भुजाएं हैं, और एक भुजा की लंबाई है, आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें। एस=(6/4) 2² सीटीजी(180º/6)≈10.4 सेमी²;
सूत्र V=1/3∙Sbas∙H=1/3∙10.4∙5≈17.33 सेमी³ का उपयोग करके पिरामिड के आयतन की गणना करें।
किसी एक आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊंचाई V=Sbas∙H के गुणनफल के माध्यम से प्रिज्म की तरह ही आयतन ज्ञात करें। गणना करते समय ध्यान रखें कि सिलेंडर का आधार एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल Sbasn=2∙π∙R² है, जहां π≈3.14 है, और R वृत्त की त्रिज्या है, जो आधार है सिलेंडर का.
पिरामिड के अनुरूप, सूत्र V=1/3∙Sbas∙H का उपयोग करके शंकु का आयतन ज्ञात करें। शंकु का आधार एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल एक बेलन के लिए वर्णित अनुसार पाया जाता है।
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एक गेंद ज्यामितीय रूप से नियमित आकार की सबसे सरल त्रि-आयामी आकृति है, जिसकी सीमाओं के भीतर अंतरिक्ष के सभी बिंदु त्रिज्या से अधिक दूरी पर इसके केंद्र से हटा दिए जाते हैं। केंद्र से अधिकतम दूरी पर स्थित बिंदुओं के समूह से बनी सतह को गोला कहा जाता है। किसी गोले के भीतर मौजूद स्थान की माप को मापने के लिए, एक पैरामीटर का उपयोग किया जाता है, जिसे गेंद का आयतन कहा जाता है।
निर्देश
यदि आप किसी गेंद का आयतन सैद्धांतिक रूप से नहीं, बल्कि केवल तात्कालिक साधनों से मापना चाहते हैं, तो यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, उसके द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा निर्धारित करके। यह विधि तब लागू होती है जब गेंद को उसके अनुरूप किसी कंटेनर में रखना संभव हो - एक बीकर, ग्लास, जार, बाल्टी, बैरल, पूल, आदि। इस मामले में, गेंद को रखने से पहले, पानी के स्तर को चिह्नित करें, पूरी तरह से डूब जाने के बाद इसे दोबारा करें और फिर निशानों के बीच अंतर का पता लगाएं। आमतौर पर, फैक्ट्री-निर्मित मापने वाले कंटेनर में लीटर और उससे प्राप्त इकाइयों में मात्रा दिखाने वाले विभाजन होते हैं - आदि। यदि प्राप्त मूल्य की आवश्यकता मात्रा की इकाइयों में होती है जो इसके गुणज हैं, तो इस तथ्य से आगे बढ़ें कि एक लीटर एक घन डेसीमीटर या एक घन मीटर के एक हजारवें हिस्से से मेल खाता है।
यदि आप उस सामग्री को जानते हैं जिससे गेंद बनाई जाती है, और इस सामग्री का घनत्व पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, किसी संदर्भ पुस्तक से, तो इस वस्तु का वजन करके मात्रा निर्धारित की जा सकती है। बस वज़न परिणाम को संदर्भ विनिर्माण घनत्व से विभाजित करें: V=m/p।
यदि समस्या की स्थितियों से गेंद की त्रिज्या ज्ञात हो या उसे मापा जा सके, तो आयतन की गणना के लिए संबंधित गणितीय सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। चतुर्गुणी संख्या Pi को त्रिज्या की तीसरी घात से गुणा करें, और परिणामी परिणाम को तीन से विभाजित करें: V=4*π*r³/3। उदाहरण के लिए, 40 सेमी की त्रिज्या के साथ, गेंद का आयतन 4 * 3.14 * 40³/3 = 267946.67 सेमी³ ≈ 0.268 m³ होगा।
त्रिज्या की तुलना में व्यास को मापना अक्सर आसान होता है। इस मामले में, पिछले चरण के सूत्र के साथ उपयोग करने के लिए इसे आधे में विभाजित करने की कोई आवश्यकता नहीं है - सूत्र स्वयं बेहतर है। परिवर्तित सूत्र के अनुसार, संख्या पाई को व्यास से तीसरी शक्ति तक गुणा करें, और परिणाम को छह से विभाजित करें: V=π*d³/6। उदाहरण के लिए, 50 सेमी का आयतन 3.14 * 50³/6 = 65416.67 सेमी³ ≈ 0.654 वर्ग मीटर होना चाहिए।
कुछ परिस्थितियों के कारण आयताकार शीट बनाना आवश्यक हो सकता है वर्गउदाहरण के लिए, ओरिगेमी तकनीक का उपयोग करके कई कागज शिल्पों के निर्माण के दौरान। लेकिन आपके पास हमेशा एक पेंसिल और रूलर नहीं होता है। हालाँकि, ऐसे तरीके हैं जिनसे आप प्राप्त कर सकते हैं वर्ग, सरलता के अलावा कुछ भी नहीं है।
आपको चाहिये होगा
- - आयत;
- - शासक;
- - पेंसिल;
- - कैंची।
निर्देश
एक आयत है ज्यामितीय आकृति, जिसमें चारों कोण समकोण होते हैं और भुजाओं के जोड़े एक दूसरे के समानांतर होते हैं। विपरीत दिशाएं आयतआपस में लंबाई में, और जोड़ियों के बीच - भिन्न। वर्ग पिछली आकृति से केवल इस मायने में भिन्न है कि सभी चार भुजाएँ समान हैं।
के लिए वर्गसे आयत, आप पेंसिल का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, भुजाएँ आयत 30 सेमी (लंबाई) और 20 सेमी (चौड़ाई) के बराबर। तब वर्गइसकी भुजाएँ कम मान वाली होंगी, अर्थात, शीर्ष लंबी भुजा पर मापें आयत 20 सेमी. वही क्रिया करें, लेकिन केवल नीचे की ओर से. एक रूलर का उपयोग करके परिणामी बिंदुओं को कनेक्ट करें। यदि आवश्यक हो, तो परिणामी अतिरिक्त को काट दें वर्ग 20 सेमी की भुजा के साथ.
करना वर्गसे आयतड्राइंग का सामान न होने पर भी यह संभव है। इसे अपने सामने रखें और इसके दाहिने कोने में से एक (यह कोई भी कोना हो सकता है) को सख्ती से आधा मोड़ें। यदि आप परिणामी आकृति को लंबी तरफ रखते हैं, तो एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड होगा, जिसमें दृश्यमान रूप से एक त्रिकोण और दूसरा शामिल होगा आयत. परिणामी आयत को एक त्रिकोण में मोड़ें (मुड़े हुए के कारण यह दोगुना हो जाएगा), इसे अपनी उंगलियों से चिकना करें और इसे काट लें या ध्यान से इसे फाड़ दें। कागज को खोलो, जो प्रतिनिधित्व करेगा वर्ग. बचे हुए छोटे से आयतआप इसे दोबारा प्राप्त कर सकते हैं वर्ग, केवल छोटे आकार का. समान विधियों का उपयोग करने की अनुमति है।
एक आयत का आकार थोड़ा भिन्न हो सकता है
सामग्री:
आयतन किसी पिंड द्वारा घेरी गई जगह की मात्रा है, और घनत्व पिंड के द्रव्यमान को उसके आयतन से विभाजित करने के बराबर है। किसी पिंड के घनत्व की गणना करने से पहले उसका आयतन ज्ञात करना आवश्यक है। यदि किसी पिंड का ज्यामितीय आकार सही है, तो उसके आयतन की गणना एक सरल सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। आयतन आमतौर पर घन सेंटीमीटर (सेमी 3) या में मापा जाता है घन मीटर(एम 3). शरीर के पाए गए आयतन का उपयोग करके उसके घनत्व की गणना करना आसान है। घनत्व ग्राम प्रति घन सेंटीमीटर (जी/सेमी3) या ग्राम प्रति मिलीलीटर (जी/एमएल) में मापा जाता है।
कदम
भाग 1 नियमित आकार के पिंड के आयतन की गणना करना
- 1
अपने शरीर का आकार निर्धारित करें.आकार जानने से आपको चयन करने में मदद मिलेगी सही सूत्रऔर आयतन की गणना के लिए आवश्यक माप लें।
- गोलाएक पूर्णतः गोल त्रि-आयामी वस्तु है, जिसकी सतह के सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं। दूसरे शब्दों में, एक गोलाकार पिंड एक गोल गेंद की तरह होता है।
- कोनएक त्रि-आयामी आकृति है, जिसका आधार एक वृत्त है, और शीर्ष एक बिंदु है जिसे शंकु का शीर्ष कहा जाता है। शंकु को एक गोल आधार वाले पिरामिड के रूप में भी सोचा जा सकता है।
- घनक्षेत्रछह समान वर्गाकार फलकों से बनी एक त्रि-आयामी आकृति है।
- आयताकार समान्तर चतुर्भुज, जिसे आयताकार प्रिज्म भी कहा जाता है, एक घन के समान है: इसके भी छह फलक होते हैं, लेकिन इस मामले में वे वर्ग के बजाय आयताकार होते हैं।
- सिलेंडरएक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें समान गोल सिरे होते हैं, जिसके किनारे एक गोलाकार सतह से जुड़े होते हैं।
- पिरामिडएक त्रि-आयामी आकृति है, जिसके आधार पर एक बहुभुज स्थित है, जो पार्श्व फलकों द्वारा शीर्ष से जुड़ा हुआ है। सही पिरामिडइसे पिरामिड कहते हैं, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, जिसकी सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
- अगर शरीर है अनियमित आकार, इसे पानी में पूरी तरह डुबाकर इसका आयतन ज्ञात किया जा सकता है।
- 2
आयतन की गणना के लिए सही समीकरण चुनें।प्रत्येक प्रकार के शरीर के लिए अपना स्वयं का सूत्र होता है जो आपको उसके द्वारा घेरे गए आयतन की गणना करने की अनुमति देता है। ऊपर सूचीबद्ध आंकड़ों का आयतन ज्ञात करने के सूत्र नीचे दिए गए हैं। अधिक विस्तृत जानकारी और चित्र लेख में पाए जा सकते हैं।
- गोला: वी = (4/3) π आर 3, जहां r गोले की त्रिज्या है, और π लगभग 3.14 के बराबर एक स्थिरांक है।
- कोन: वी = (1/3) π आर 2 घंटे, जहां r वृत्ताकार आधार की त्रिज्या है, h शंकु की ऊंचाई है, π लगभग 3.14 के बराबर एक स्थिरांक है।
- घनक्षेत्र: वी = एस 3, जहां s घन के किनारे की लंबाई है (इसके किसी भी वर्गाकार फलक की भुजा)।
- आयताकार समान्तर चतुर्भुज: वी = एल एक्स डब्ल्यू एक्स एच, जहां l आयताकार चेहरे की लंबाई है, w इसकी चौड़ाई है, h समांतर चतुर्भुज (प्रिज्म) की ऊंचाई है।
- सिलेंडर: वी= π आर 2 एच, जहां r वृत्ताकार आधार की त्रिज्या है, h सिलेंडर की ऊंचाई है, π लगभग 3.14 स्थिरांक है।
- पिरामिड: वी= (1/3) बी एक्स एच, जहां b पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल है (l x w), h पिरामिड की ऊंचाई है।
- 3
आवश्यक माप लें.वे इस बात पर निर्भर करेंगे कि आप किस प्रकार के शरीर के साथ काम कर रहे हैं। अधिकांश साधारण आकार के निकायों के लिए आपको ऊंचाई मापने की आवश्यकता होगी; यदि आकृति का आधार गोल है, तो उसकी त्रिज्या, यदि आधार में आयत है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई निर्धारित करना भी आवश्यक है;
- एक वृत्त की त्रिज्या उसके व्यास के आधे के बराबर होती है। वृत्त के मध्य में रूलर लगाकर व्यास मापें, फिर परिणाम को 2 से विभाजित करें।
- किसी गोले की त्रिज्या मापना थोड़ा अधिक कठिन है, लेकिन यदि आप लेख में विस्तृत विधियों का उपयोग करते हैं तो यह कठिन नहीं होगा।
- किसी पिंड की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई उस पर उचित स्थानों पर रूलर रखकर और माप रिकॉर्ड करके निर्धारित की जा सकती है।
- 4
आयतन की गणना करें.शरीर के आकार का पता लगाने के बाद, उचित सूत्र चुनें और उसमें शामिल मात्राओं को मापें। मापे गए मानों को सूत्र में रखें और आवश्यक को पूरा करें गणितीय संक्रियाएँ. नतीजतन, आपको शरीर की मात्रा मिलेगी।
- याद रखें कि उत्तर घन इकाइयों में व्यक्त किया जाना चाहिए, चाहे आप किसी भी इकाई का उपयोग करें (मीट्रिक या अन्य)। प्राप्त मूल्य के बाद वह इकाईयाँ अवश्य लिखें जिनमें इसे मापा जाता है।
भाग 2 अनियमित आकार के पिंड के आयतन की गणना
- 1
किसी पिंड का आयतन उसके द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा से निर्धारित करें।शरीर का आकार अनियमित हो सकता है, जिससे इसका आकार मापना मुश्किल हो जाता है और आयतन का गलत निर्धारण हो जाता है। इस मामले में, जो विधि अच्छी तरह से काम करती है वह पूर्ण विसर्जन के दौरान शरीर द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा निर्धारित करना है।
- गणनाओं से बचने के लिए इस विधि का उपयोग नियमित आकार के पिंडों का आयतन ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है।
- 2
एक मापने वाले सिलेंडर (बीकर) को पानी से भरें।यह एक प्रयोगशाला कंटेनर है जिसके किनारे की सतह पर निशान हैं जो आपको तरल पदार्थों की मात्रा मापने की अनुमति देता है। मापी जा रही वस्तु को पूरी तरह से फिट करने के लिए पर्याप्त बड़े सिलेंडर का चयन करें। सिलेंडर में पानी भरना जरूरी है ताकि वस्तु उसमें पूरी तरह डूब जाए, लेकिन बाहर न गिरे। शरीर को मापे बिना पानी की प्रारंभिक मात्रा लिखें।
- पानी की प्रारंभिक मात्रा का निरीक्षण करते समय, नीचे झुकें ताकि आपकी आंखें तरल की सतह के साथ समतल हों, फिर उस ऊंचाई को रिकॉर्ड करें जिस पर मेनिस्कस का निचला भाग स्थित है। मेनिस्कस पानी की बाहरी सतह है, जो अन्य सतहों (हमारे मामले में, बर्तन की दीवारों) के संपर्क में आने पर झुक जाती है।
- 3
मापे जाने वाले शरीर को सावधानीपूर्वक कंटेनर में रखें।वस्तु को गिरने से बचाने के लिए इसे सुचारू रूप से करें, क्योंकि इससे ग्रेजुएटेड सिलेंडर से कुछ पानी बाहर गिर सकता है। सुनिश्चित करें कि आपका शरीर पूरी तरह से पानी में डूबा हुआ है। कंटेनर में पानी के स्तर की नई रीडिंग रिकॉर्ड करें, फिर से खुद को इस तरह रखें कि आपकी आंखें मेनिस्कस के स्तर पर हों।
- यदि शरीर को डुबाते समय कुछ पानी बाहर गिर जाता है, तो शुरुआत से ही कम पानी डालकर या बड़े मापने वाले सिलेंडर का उपयोग करके दोहराने का प्रयास करें।
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अंतिम जल स्तर से मूल मान घटाएँ।वस्तु द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा घन सेंटीमीटर में उसके आयतन के बराबर होगी। आमतौर पर तरल पदार्थों की मात्रा मिलीलीटर में मापी जाती है, लेकिन एक मिलीलीटर बिल्कुल एक घन सेंटीमीटर के बराबर होता है।
- उदाहरण के लिए, यदि पहले पानी का स्तर 35 मिली था, और किसी वस्तु को उसमें डालने के बाद यह 65 मिली तक बढ़ गया, तो इस वस्तु का आयतन 65 - 35 = 30 मिली, या 30 सेमी 3 है।
भाग 3 घनत्व गणना
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वस्तु का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।किसी वस्तु का द्रव्यमान उस पदार्थ की मात्रा से मेल खाता है जिससे वह बनी है। द्रव्यमान को सीधे पैमाने पर तौलकर पाया जाता है, इसे ग्राम या किलोग्राम में मापा जाता है।
- एक सटीक माप पैमाना लें और वस्तु को उस पर रखें। स्केल रीडिंग को अपनी नोटबुक में रिकॉर्ड करें।
- कप स्केल का उपयोग करके शरीर का वजन भी निर्धारित किया जा सकता है। वस्तु को एक कटोरे पर रखने के बाद, दूसरे पर ज्ञात द्रव्यमान वाले वजन रखें ताकि समान ऊंचाई पर स्थित दोनों कटोरे एक-दूसरे को संतुलित कर सकें। इस मामले में, वस्तु का आवश्यक द्रव्यमान उपयोग किए गए भारों के द्रव्यमान के योग के बराबर होगा।
- तौलने से पहले यह सुनिश्चित कर लें कि वस्तु गीली न हो, अन्यथा माप में त्रुटि बढ़ जायेगी।
- 2 शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।यदि वस्तु का आकार सही है, तो उसका आयतन निर्धारित करने के लिए उपरोक्त सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करें। यदि शरीर का आकार अनियमित है, तो ऊपर बताए अनुसार इसे पानी में डुबो कर आयतन मापें।
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घनत्व की गणना करें.परिभाषा के अनुसार, घनत्व द्रव्यमान को आयतन से विभाजित करने के बराबर है। इस प्रकार, मापे गए द्रव्यमान को परिकलित आयतन से विभाजित करें। परिणामस्वरूप, आपको शरीर का घनत्व g/cm3 में मापा जाएगा।
- उदाहरण के लिए, आइए 8 सेमी3 आयतन और 24 ग्राम द्रव्यमान वाली किसी वस्तु के घनत्व की गणना करें।
- घनत्व = द्रव्यमान/आयतन
- डी = 24 ग्राम / 8 सेमी 3
- डी = 3 ग्राम/सेमी 3
- अक्सर वस्तुएं कई हिस्सों से बनी होती हैं जिनमें नियमित ज्यामितीय आकार होते हैं। इस मामले में, घटक तत्वों को एक या दूसरे नियमित आकार से संबंधित समूहों में विभाजित करें, प्रत्येक तत्व का आयतन ज्ञात करें, और फिर उन्हें एक साथ जोड़ें, जिससे संपूर्ण वस्तु का कुल आयतन निर्धारित हो सके।
- आप किसी वस्तु का आयतन या तो गणना द्वारा या पानी में डुबो कर निर्धारित कर सकते हैं, और फिर परिणामों की तुलना कर सकते हैं।
चेतावनियाँ
- सावधान रहें: गणना शुरू करने से पहले, सभी मापे गए मानों को मीट्रिक प्रणाली (इकाइयों की एसआई प्रणाली) में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें।
किसी पदार्थ का घनत्व निर्धारित करने के लिए, किसी पिंड के द्रव्यमान को उसके आयतन से विभाजित करना आवश्यक है:
तराजू का उपयोग करके शरीर का वजन निर्धारित किया जा सकता है। किसी पिंड का आयतन कैसे ज्ञात करें?
यदि पिंड का आकार आयताकार समान्तर चतुर्भुज (चित्र 24) जैसा है, तो इसका आयतन सूत्र के अनुसार ज्ञात किया जाता है
वी = एबीसी.
यदि इसका कोई अन्य आकार है, तो इसका आयतन उस विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसे प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक आर्किमिडीज़ ने तीसरी शताब्दी में खोजा था। ईसा पूर्व इ।
आर्किमिडीज़ का जन्म सिसिली द्वीप पर सिरैक्यूज़ में हुआ था। उनके पिता, खगोलशास्त्री फ़िडियास, हिएरो के रिश्तेदार थे, जो 270 ईसा पूर्व में बने थे। इ। जिस नगर में वे रहते थे उसका राजा।
आर्किमिडीज़ के सभी कार्य हम तक नहीं पहुँचे हैं। उनकी कई खोजें बाद के लेखकों की बदौलत ज्ञात हुईं, जिनके जीवित कार्यों में उनके आविष्कारों का वर्णन है। उदाहरण के लिए, रोमन वास्तुकार विट्रुवियस (पहली शताब्दी ईसा पूर्व) ने अपने एक लेख में निम्नलिखित कहानी बताई थी:
“जहां तक आर्किमिडीज़ की बात है, उनकी सभी अनेक और विविध खोजों में से, जिस खोज के बारे में मैं बात करूंगा वह मुझे असीम बुद्धि से की गई प्रतीत होती है। 
सिरैक्यूज़ में अपने शासनकाल के दौरान, अपनी सभी गतिविधियों के सफल समापन के बाद, हिरो ने किसी मंदिर में अमर देवताओं को एक स्वर्ण मुकुट दान करने की कसम खाई। वह काम के लिए ऊंची कीमत पर मालिक से सहमत हुआ और उसे वजन के हिसाब से आवश्यक मात्रा में सोना दिया। नियत दिन पर, स्वामी अपना काम राजा के पास लाया, जिसने इसे पूरी तरह से निष्पादित पाया; वजन करने के बाद मुकुट का वजन सोने के जारी वजन के अनुरूप निकला।
इसके बाद, एक निंदा की गई कि सोने का कुछ हिस्सा मुकुट से ले लिया गया था और उसके स्थान पर उतनी ही मात्रा में चांदी मिला दी गई थी। हिरो क्रोधित था कि उसके साथ धोखा किया गया था, और, इस चोरी को उजागर करने का कोई रास्ता नहीं मिलने पर, उसने आर्किमिडीज़ को इसके बारे में ध्यान से सोचने के लिए कहा। वह इसी मुद्दे पर विचारों में डूबा हुआ था, किसी तरह गलती से स्नानघर में आ गया और वहां उसने बाथटब में डुबकी लगाते हुए देखा कि उसमें से उतना ही पानी बह रहा है जितना उसके शरीर का आयतन बाथटब में डूबा हुआ है। इस तथ्य के मूल्य को समझने के बाद, वह बिना किसी हिचकिचाहट के, खुशी के साथ स्नान से बाहर कूद गया, नग्न घर गया और ऊंची आवाज में सभी को सूचित किया कि उसे वह मिल गया जिसकी उसे तलाश थी। वह दौड़ा और ग्रीक में वही चिल्लाया: “यूरेका, यूरेका! (पाया, पाया!)।"
फिर, विट्रुवियस लिखते हैं, आर्किमिडीज़ ने पानी से भरा एक बर्तन ऊपर तक ले लिया और उसमें मुकुट के वजन के बराबर एक सोने की ईंट डाल दी। विस्थापित पानी की मात्रा मापने के बाद, उसने बर्तन को फिर से पानी से भर दिया और मुकुट को उसमें डाल दिया। मुकुट द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा सोने की छड़ द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा से अधिक निकली। मुकुट की बड़ी मात्रा का मतलब था कि इसमें सोने की तुलना में कम सघन पदार्थ था। इसलिए, आर्किमिडीज़ द्वारा किए गए प्रयोग से पता चला कि सोने का कुछ हिस्सा चोरी हो गया था।
तो, अनियमित आकार वाले किसी पिंड का आयतन निर्धारित करने के लिए, इस पिंड द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा को मापना पर्याप्त है। यदि आपके पास मापने वाला सिलेंडर (बीकर) है, तो यह करना आसान है।
ऐसे मामलों में जहां किसी पिंड का द्रव्यमान और घनत्व ज्ञात है, उसका आयतन सूत्र (10.1) से निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
इससे यह स्पष्ट है कि किसी पिंड का आयतन निर्धारित करने के लिए, इस पिंड के द्रव्यमान को उसके घनत्व से विभाजित किया जाना चाहिए.
यदि, इसके विपरीत, किसी पिंड का आयतन ज्ञात हो, तो, यह जानकर कि इसमें कौन सा पदार्थ है, कोई इसका द्रव्यमान ज्ञात कर सकता है:
एम = ρV. (10.3)
किसी पिंड का द्रव्यमान निर्धारित करने के लिए, पिंड के घनत्व को उसके आयतन से गुणा करना होगा।
1. आप आयतन निर्धारित करने की कौन सी विधियाँ जानते हैं? 2. आप आर्किमिडीज़ के बारे में क्या जानते हैं? 3. आप किसी पिंड के घनत्व और आयतन के आधार पर उसका द्रव्यमान कैसे ज्ञात कर सकते हैं?
प्रायोगिक कार्य.साबुन का एक टुकड़ा लें जिसका आकार एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जैसा हो, जिस पर उसका द्रव्यमान दर्शाया गया हो। आवश्यक माप लेने के बाद, साबुन का घनत्व निर्धारित करें।
