पूर्ण संख्या पी. PI संख्या क्या है और इसका क्या अर्थ है?

कई सदियों से और यहां तक ​​कि, अजीब तरह से, सहस्राब्दियों से, लोगों ने विज्ञान के लिए एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के बराबर गणितीय स्थिरांक के महत्व और मूल्य को समझा है। पाई संख्या अभी भी अज्ञात है, लेकिन हमारे इतिहास के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ इसमें शामिल रहे हैं। उनमें से अधिकांश इसे एक परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करना चाहते थे।

1. पाई संख्या के शोधकर्ताओं और सच्चे प्रशंसकों ने एक क्लब का आयोजन किया है, जिसमें शामिल होने के लिए आपको इसके संकेतों की काफी बड़ी संख्या को दिल से जानना होगा।

2. 1988 से "पाई दिवस" ​​मनाया जा रहा है, जो 14 मार्च को पड़ता है। वे उनकी छवि के साथ सलाद, केक, कुकीज़ और पेस्ट्री तैयार करते हैं।

3. पाई नंबर को पहले ही संगीत पर सेट कर दिया गया है, और यह काफी अच्छा लगता है। अमेरिकी सिएटल में सिटी म्यूज़ियम ऑफ़ आर्ट के सामने उनके लिए एक स्मारक भी बनाया गया था।

उस सुदूर समय में, उन्होंने ज्यामिति का उपयोग करके संख्या पाई की गणना करने का प्रयास किया। यह तथ्य कि यह संख्या विभिन्न प्रकार के वृत्तों के लिए स्थिर है, जियोमीटर द्वारा ज्ञात किया गया था प्राचीन मिस्र, बेबीलोन, भारत और प्राचीन ग्रीस, जिन्होंने अपने कार्यों में दावा किया कि यह तीन से थोड़ा ही अधिक है।

एक में पवित्र पुस्तकेंजैन धर्म (एक प्राचीन भारतीय धर्म जो छठी शताब्दी ईसा पूर्व में उत्पन्न हुआ था) में उल्लेख है कि तब पाई संख्या पर विचार किया जाता था जड़ के बराबरदस में से वर्ग, जो कुल 3.162 देता है...।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने एक खंड का निर्माण करके एक वृत्त को मापा था, लेकिन एक वृत्त को मापने के लिए, उन्हें एक समान वर्ग का निर्माण करना पड़ता था, अर्थात, उसके क्षेत्रफल के बराबर एक आकृति।

जबकि उन्हें अभी तक पता नहीं था दशमलवमहान आर्किमिडीज़ ने 99.9% की सटीकता के साथ पाई का मान ज्ञात किया। उन्होंने एक ऐसी विधि की खोज की जो बाद की कई गणनाओं का आधार बनी, जिसमें नियमित बहुभुजों को एक वृत्त में अंकित करना और उसके चारों ओर उसका वर्णन करना शामिल था। परिणामस्वरूप, आर्किमिडीज़ ने पाई के मान की गणना 22/7 ≈ 3.142857142857143 के अनुपात के रूप में की।

चीन में, गणितज्ञ और दरबारी खगोलशास्त्री, ज़ू चोंगज़ी, 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। इ। अधिक संकेत दिया सही मूल्यपाई, इसकी सात दशमलव स्थानों तक गणना करना और संख्याओं 3.1415926 और 3.1415927 के बीच इसका मान निर्धारित करना। इस डिजिटल श्रृंखला को जारी रखने में वैज्ञानिकों को 900 साल से अधिक का समय लगा।

मध्य युग

प्रसिद्ध भारतीय वैज्ञानिक माधव, जो 14वीं-15वीं शताब्दी के मोड़ पर रहते थे और केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स के संस्थापक बने, ने इतिहास में पहली बार त्रिकोणमितीय कार्यों को श्रृंखला में विस्तारित करने पर काम करना शुरू किया। सच है, उनके केवल दो काम ही बचे हैं, और उनके छात्रों के केवल संदर्भ और उद्धरण ही दूसरों के लिए जाने जाते हैं। वैज्ञानिक ग्रंथ "महाज्ञानयान", जिसका श्रेय माधव को दिया जाता है, में कहा गया है कि पाई संख्या 3.14159265359 है। और ग्रंथ "सद्रत्नमाला" में और भी अधिक सटीक दशमलव स्थानों के साथ एक संख्या दी गई है: 3.14159265358979324। दी गई संख्याओं में, अंतिम अंक सही मान के अनुरूप नहीं हैं।

15वीं शताब्दी में, समरकंद के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री अल-काशी ने सोलह दशमलव स्थानों के साथ पाई संख्या की गणना की। उनका परिणाम अगले 250 वर्षों में सबसे सटीक माना गया।

इंग्लैंड के गणितज्ञ डब्ल्यू जॉनसन, वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को अक्षर π से दर्शाने वाले पहले लोगों में से एक थे। पाई ग्रीक शब्द "περιφέρεια" - सर्कल का पहला अक्षर है। लेकिन यह पदनाम 1736 में अधिक प्रसिद्ध वैज्ञानिक एल. यूलर द्वारा उपयोग किए जाने के बाद ही आम तौर पर स्वीकृत हो सका।

निष्कर्ष

आधुनिक वैज्ञानिक पाई के मानों की आगे की गणना पर काम करना जारी रखते हैं। इसके लिए सुपर कंप्यूटर का उपयोग पहले से ही किया जा रहा है। 2011 में, शिगेरु कोंडो के एक वैज्ञानिक ने एक अमेरिकी छात्र अलेक्जेंडर यी के साथ मिलकर 10 ट्रिलियन अंकों के अनुक्रम की सही गणना की। लेकिन यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि पाई संख्या की खोज किसने की, किसने सबसे पहले इस समस्या के बारे में सोचा और इस वास्तव में रहस्यमय संख्या की पहली गणना की।

पढ़ना पाई नंबरपर आरंभ होती है प्राथमिक स्कूल, जब छात्र वृत्त, परिधि का अध्ययन करते हैं और पाई का मान सामने आता है। चूँकि पाई का मान एक स्थिरांक है जिसका अर्थ है वृत्त की लंबाई और दिए गए वृत्त के व्यास की लंबाई का अनुपात। उदाहरण के लिए, यदि हम एक वृत्त लें जिसका व्यास एक के बराबर है, तो उसकी लंबाई एक के बराबर है पाई नंबर. पाई का यह मान गणितीय निरंतरता में अनंत है, लेकिन आम तौर पर स्वीकृत पदनाम भी है। यह पाई के मान की सरलीकृत वर्तनी से आता है, यह 3.14 जैसा दिखता है।

पाई का ऐतिहासिक जन्म

माना जाता है कि पाई संख्या की जड़ें प्राचीन मिस्र में थीं। चूँकि प्राचीन मिस्र के वैज्ञानिकों ने व्यास D का उपयोग करके एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना की, जिसका मान D - D/92 था। जो 16/92, या 256/81 के अनुरूप है, जिसका अर्थ है कि पाई 3.160 है।
छठी शताब्दी ईसा पूर्व में भारत ने भी पाई संख्या को छुआ था, जैन धर्म में ऐसे रिकॉर्ड पाए गए थे जिनमें कहा गया था कि पाई संख्या वर्गमूल में 10 के बराबर है, जिसका अर्थ है 3.162।

ईसा पूर्व तीसरी शताब्दी में वृत्त की माप पर आर्किमिडीज़ की शिक्षाओं ने उन्हें निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुँचाया:

बाद में, उन्होंने इन आकृतियों की भुजाओं की संख्या को दोगुना करने के साथ सही ढंग से अंकित या वर्णित बहुभुज आकृतियों के उदाहरणों का उपयोग करके गणनाओं के अनुक्रम द्वारा अपने निष्कर्षों की पुष्टि की। सटीक गणना में, आर्किमिडीज़ ने 3 * 10/71 और 3 * 1/7 के बीच संख्याओं में व्यास और परिधि का अनुपात निकाला, इसलिए पाई का मान 3.1419 है... चूंकि हम पहले ही अनंत आकार के बारे में बात कर चुके हैं दिया गया मूल्य, यह 3.1415927 जैसा दिखता है... और यह सीमा नहीं है, क्योंकि पंद्रहवीं शताब्दी में गणितज्ञ काशी ने पाई के मान की गणना सोलह अंकों के मान के रूप में की थी।
1706 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉनसन डब्ल्यू ने प्रतीक के लिए प्रतीक पाई का उपयोग करना शुरू किया? (ग्रीक से यह सर्कल शब्द का पहला अक्षर है)।

रहस्यमय अर्थ.

पाई का मान अपरिमेय है और इसे भिन्न रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता क्योंकि भिन्न पूर्ण मान का उपयोग करते हैं। यह समीकरण में जड़ नहीं हो सकता है, यही कारण है कि यह पारलौकिक भी हो जाता है, यह किसी भी प्रक्रिया पर विचार करने पर, परिष्कृत होने पर पाया जाता है; बड़ी मात्राइस प्रक्रिया के चरणों पर विचार किया गया। हिसाब-किताब करने की बहुत कोशिशें हुईं सबसे बड़ी संख्यासंख्या पाई में संकेत, जिसके कारण दशमलव बिंदु से दिए गए मान के दसियों खरब अंक प्राप्त हुए।

दिलचस्प तथ्य: अजीब बात है कि पाई के मूल्य की अपनी छुट्टी है। इसे अंतर्राष्ट्रीय पाई दिवस कहा जाता है। यह 14 मार्च को मनाया जाता है। यह तारीख Pi 3.14 (mm.yy) के मूल्य और भौतिक विज्ञानी लैरी शॉ के कारण प्रकट हुई, जो 1987 में इस छुट्टी को मनाने वाले पहले व्यक्ति थे।

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परिचय

लेख में गणितीय सूत्र हैं, इसलिए पढ़ने के लिए उन्हें सही ढंग से प्रदर्शित करने के लिए साइट पर जाएँ।संख्या \(\pi\) है समृद्ध इतिहास. यह स्थिरांक किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को दर्शाता है।

विज्ञान में, संख्या \(\pi \) का उपयोग वृत्तों से संबंधित किसी भी गणना में किया जाता है। सोडा के एक कैन के आयतन से लेकर उपग्रहों की कक्षाओं तक। और सिर्फ वृत्त नहीं. दरअसल, घुमावदार रेखाओं के अध्ययन में, संख्या \(\pi \) आवधिक और दोलन प्रणालियों को समझने में मदद करती है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय तरंगें और यहां तक ​​कि संगीत भी।

1706 में, ब्रिटिश वैज्ञानिक विलियम जोन्स (1675-1749) की पुस्तक ए न्यू इंट्रोडक्शन टू मैथमेटिक्स में, ग्रीक वर्णमाला के अक्षर \(\pi\) का उपयोग पहली बार संख्या 3.141592 को दर्शाने के लिए किया गया था.... यह पदनाम प्रारंभिक अक्षर से आता है ग्रीक शब्दπεριϕερεια - वृत्त, परिधि और περιµετρoς - परिधि। 1737 में लियोनहार्ड यूलर के काम के बाद यह पदनाम आम तौर पर स्वीकार कर लिया गया।

ज्यामितीय काल

किसी भी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास के अनुपात की स्थिरता लंबे समय से देखी गई है। मेसोपोटामिया के निवासियों ने संख्या \(\pi\) का एक मोटा अनुमान इस्तेमाल किया। प्राचीन समस्याओं के अनुसार, वे अपनी गणना में \(\pi ≈ 3\) मान का उपयोग करते हैं।

प्राचीन मिस्रवासियों द्वारा \(\pi\) के लिए अधिक सटीक मान का उपयोग किया जाता था। लंदन और न्यूयॉर्क में प्राचीन मिस्र के पपीरस के दो टुकड़े रखे हुए हैं, जिन्हें "रिंडा पपीरस" कहा जाता है। पपीरस को लेखक आर्मेस द्वारा 2000-1700 के बीच संकलित किया गया था। BC. आर्म्स ने अपने पपीरस में लिखा कि \(r\) त्रिज्या वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल \(\frac(8)(9) \) के बराबर भुजा वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। वृत्त का व्यास \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), अर्थात, \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). अतः \(\pi = 3.16\).

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) वृत्त को मापने की समस्या को वैज्ञानिक आधार पर रखने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्हें \(3\frac(10)(71) का स्कोर प्राप्त हुआ< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

विधि काफी सरल है, लेकिन अभाव में तैयार टेबलत्रिकोणमितीय कार्यों के लिए जड़ों को निकालने की आवश्यकता होगी। इसके अलावा, सन्निकटन बहुत धीरे-धीरे \(\pi \) में परिवर्तित होता है: प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ त्रुटि केवल चार गुना कम हो जाती है।

विश्लेषणात्मक काल

इसके बावजूद, 17वीं शताब्दी के मध्य तक, यूरोपीय वैज्ञानिकों द्वारा संख्या \(\pi\) की गणना करने के सभी प्रयास बहुभुज की भुजाओं को बढ़ाने तक ही सिमट कर रह गए। उदाहरण के लिए, डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन ज़िजलेन (1540-1610) ने 20 दशमलव अंकों तक सटीक संख्या \(\pi\) के अनुमानित मान की गणना की।

गणना करने में उन्हें 10 साल लग गए। आर्किमिडीज़ की विधि का उपयोग करके उत्कीर्ण और परिचालित बहुभुजों की भुजाओं की संख्या को दोगुना करके, वह 20 दशमलव स्थानों के साथ \(\pi \) की गणना करने के लिए \(60 \cdot 2^(29) \) - एक त्रिकोण पर पहुंचे।

उनकी मृत्यु के बाद, उनकी पांडुलिपियों में संख्या \(\pi\) के 15 और सटीक अंक खोजे गए। लुडोल्फ़ को वसीयत दी गई कि जो चिह्न उसे मिले, उन्हें उसकी समाधि के पत्थर पर उकेरा जाए। उनके सम्मान में, संख्या \(\pi\) को कभी-कभी "लुडोल्फ संख्या" या "लुडोल्फ स्थिरांक" कहा जाता था।

आर्किमिडीज़ से अलग एक विधि पेश करने वाले पहले लोगों में से एक फ्रांकोइस विएते (1540-1603) थे। वह इस नतीजे पर पहुंचे कि एक वृत्त जिसका व्यास एक के बराबर है, का क्षेत्रफल है:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

दूसरी ओर, क्षेत्रफल \(\frac(\pi)(4)\) है। अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित और सरल करके, हम \(\frac(\pi)(2)\) के अनुमानित मूल्य की गणना के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

परिणामी सूत्र संख्या \(\pi\) के लिए पहली सटीक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है। इस सूत्र के अलावा, वियत ने, आर्किमिडीज़ की विधि का उपयोग करते हुए, उत्कीर्ण और परिचालित बहुभुजों का उपयोग करते हुए, 6-गॉन से शुरू करके \(2^(16) \cdot 6 \) भुजाओं वाले बहुभुज पर समाप्त करते हुए, एक सन्निकटन दिया संख्या \(\pi \) का 9 सही चिन्हों के साथ।

अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम ब्रॉनकर (1620-1684) ने निरंतर भिन्न का उपयोग करते हुए \(\frac(\pi)(4)\) की गणना के लिए निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

संख्या \(\frac(4)(\pi)\) के सन्निकटन की गणना करने की इस विधि में एक छोटा सा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए भी काफी गणनाओं की आवश्यकता होती है।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप प्राप्त मान या तो अधिक होते हैं या कम संख्या\(\pi \), और हर बार यह वास्तविक मान के करीब पहुंच जाता है, लेकिन मान 3.141592 प्राप्त करने के लिए आपको काफी गणना करने की आवश्यकता होगी।

एक अन्य अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन मैकिन (1686-1751) ने 1706 में, 100 दशमलव स्थानों के साथ संख्या \(\pi\) की गणना करने के लिए, 1673 में लाइबनिज़ द्वारा प्राप्त सूत्र का उपयोग किया और इसे इस प्रकार लागू किया:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

श्रृंखला तेजी से परिवर्तित होती है और इसकी मदद से आप बड़ी सटीकता के साथ संख्या \(\pi \) की गणना कर सकते हैं। इस प्रकार के सूत्रों का उपयोग कंप्यूटर युग के दौरान कई रिकॉर्ड स्थापित करने के लिए किया गया है।

17वीं सदी में गणित के युग की शुरुआत के साथ परिवर्तनशील आकारपहुँचा नया मंच\(\pi\) की गणना में। जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) ने 1673 में संख्या \(\pi\) का विस्तार पाया, सामान्य रूप से देखेंइसे निम्नलिखित अनंत श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

श्रृंखला को \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + में x = 1 प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। \frac (x^9)(9) – \cdots\)

लियोनहार्ड यूलर ने संख्या \(\pi\) की गणना में आर्कटान x के लिए श्रृंखला के उपयोग पर अपने कार्यों में लाइबनिज़ के विचार को विकसित किया। 1738 में लिखा गया ग्रंथ "डी वेरिस मोडिस सर्कुली क्वाड्रेटुरम न्यूमेरिस प्रॉक्सिम एक्सप्रिमेंडी" (अनुमानित संख्याओं द्वारा वृत्त के वर्ग को व्यक्त करने के विभिन्न तरीकों पर), लाइबनिज़ के सूत्र का उपयोग करके गणना में सुधार करने के तरीकों पर चर्चा करता है।

यूलर लिखते हैं कि यदि तर्क शून्य हो जाता है तो आर्कटेंजेंट की श्रृंखला तेजी से परिवर्तित हो जाएगी। \(x = 1\) के लिए, श्रृंखला का अभिसरण बहुत धीमा है: 100 अंकों की सटीकता के साथ गणना करने के लिए श्रृंखला के \(10^(50)\) शब्दों को जोड़ना आवश्यक है। आप तर्क का मान कम करके गणना में तेजी ला सकते हैं। यदि हम \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) लेते हैं, तो हमें श्रृंखला मिलती है

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots \]

यूलर के अनुसार यदि हम इस श्रृंखला के 210 पद लें तो हमें संख्या के 100 सही अंक प्राप्त होंगे। परिणामी श्रृंखला असुविधाजनक है क्योंकि अपरिमेय संख्या \(\sqrt(3)\) का काफी सटीक मान जानना आवश्यक है। यूलर ने अपनी गणना में छोटे तर्कों के आर्कटिक स्पर्शरेखाओं के योग में विस्तार का भी उपयोग किया:

\[जहाँ x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

\(\pi\) की गणना के लिए यूलर द्वारा अपनी नोटबुक में उपयोग किए गए सभी सूत्र प्रकाशित नहीं हुए थे। प्रकाशित पत्रों और नोटबुक में, उन्होंने आर्कटेंजेंट की गणना के लिए 3 अलग-अलग श्रृंखलाओं पर विचार किया, और दी गई सटीकता के साथ \(\pi\) का अनुमानित मान प्राप्त करने के लिए आवश्यक योग योग्य शब्दों की संख्या के बारे में कई बयान भी दिए।

बाद के वर्षों में, संख्या \(\pi\) के मूल्य में तेजी से सुधार हुआ। उदाहरण के लिए, 1794 में, जॉर्ज वेगा (1754-1802) ने पहले ही 140 संकेतों की पहचान कर ली थी, जिनमें से केवल 136 ही सही निकले।

कंप्यूटिंग अवधि

20वीं शताब्दी को संख्या \(\pi\) की गणना में एक पूरी तरह से नए चरण द्वारा चिह्नित किया गया था। भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन (1887-1920) ने \(\pi\) के लिए कई नए सूत्र खोजे। 1910 में, उन्होंने टेलर श्रृंखला में चाप स्पर्शरेखा विस्तार के माध्यम से \(\pi\) की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100 पर, संख्या \(\pi\) के 600 सही अंकों की सटीकता प्राप्त की जाती है।

कंप्यूटर के आगमन ने कम समय में प्राप्त मूल्यों की सटीकता में उल्लेखनीय वृद्धि करना संभव बना दिया। 1949 में, केवल 70 घंटों में, ENIAC का उपयोग करके, जॉन वॉन न्यूमैन (1903-1957) के नेतृत्व में वैज्ञानिकों के एक समूह ने संख्या \(\pi\) के लिए 2037 दशमलव स्थान प्राप्त किए। 1987 में, डेविड और ग्रेगरी चुडनोव्स्की ने एक सूत्र प्राप्त किया जिसके साथ वे \(\pi\) की गणना में कई रिकॉर्ड स्थापित करने में सक्षम थे:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य 14 अंक देता है। 1989 में 1,011,196,691 दशमलव स्थान प्राप्त हुए। यह फॉर्मूला पर्सनल कंप्यूटर पर \(\pi \) की गणना के लिए उपयुक्त है। पर इस पलदोनों भाई न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के पॉलिटेक्निक संस्थान में प्रोफेसर हैं।

एक महत्वपूर्ण हालिया विकास 1997 में साइमन प्लॉफ़ द्वारा सूत्र की खोज थी। यह आपको पिछली संख्या की गणना किए बिना संख्या \(\pi\) के किसी भी हेक्साडेसिमल अंक को निकालने की अनुमति देता है। उस लेख के लेखकों के सम्मान में सूत्र को "बेली-बोरवेन-प्लॉफ़े फॉर्मूला" कहा जाता है जहां सूत्र पहली बार प्रकाशित हुआ था। यह इस तरह दिख रहा है:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4 ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

2006 में, साइमन, PSLQ का उपयोग करके, \(\pi\) की गणना के लिए कुछ अच्छे सूत्र लेकर आए। उदाहरण के लिए,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

जहां \(q = e^(\pi)\). 2009 में, जापानी वैज्ञानिकों ने T2K त्सुकुबा सिस्टम सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके 2,576,980,377,524 दशमलव स्थानों के साथ संख्या \(\pi\) प्राप्त की। गणना में 73 घंटे 36 मिनट लगे। कंप्यूटर 640 क्वाड-कोर एएमडी ओपर्टन प्रोसेसर से लैस था, जो प्रति सेकंड 95 ट्रिलियन ऑपरेशन का प्रदर्शन प्रदान करता था।

\(\pi\) की गणना में अगली उपलब्धि फ्रांसीसी प्रोग्रामर फैब्रिस बेलार्ड की है, जिन्होंने 2009 के अंत में, फेडोरा 10 चलाने वाले अपने निजी कंप्यूटर पर संख्या \(\pi\) के 2,699,999,990,000 दशमलव स्थानों की गणना करके एक रिकॉर्ड बनाया। ). पिछले 14 वर्षों में, यह पहला विश्व रिकॉर्ड है जो सुपर कंप्यूटर के उपयोग के बिना बनाया गया है। उच्च प्रदर्शन के लिए, फैब्रिस ने चुडनोव्स्की भाइयों के फॉर्मूले का उपयोग किया। कुल मिलाकर, गणना में 131 दिन (गणना में 103 दिन और परिणाम के सत्यापन में 13 दिन) लगे। बेलर की उपलब्धि से पता चला कि ऐसी गणनाओं के लिए सुपर कंप्यूटर की आवश्यकता नहीं होती है।

ठीक छह महीने बाद, फ्रेंकोइस का रिकॉर्ड इंजीनियर अलेक्जेंडर यी और सिंगर कोंडो ने तोड़ दिया। संख्या \(\pi\) के 5 ट्रिलियन दशमलव स्थानों का रिकॉर्ड स्थापित करने के लिए, एक व्यक्तिगत कंप्यूटर का भी उपयोग किया गया था, लेकिन अधिक प्रभावशाली विशेषताओं के साथ: दो इंटेल प्रोसेसर Xeon X5680 3.33 GHz, 96 GB पर रैंडम एक्सेस मेमोरी, 38 टीबी डिस्क मेमोरी और ऑपरेटिंग सिस्टमविंडोज़ सर्वर 2008 आर2 एंटरप्राइज़ x64। गणना के लिए, अलेक्जेंडर और सिंगर ने चुडनोव्स्की भाइयों के सूत्र का उपयोग किया। गणना प्रक्रिया में 90 दिन और 22 टीबी डिस्क स्थान लगा। 2011 में, उन्होंने संख्या \(\pi\) के लिए 10 ट्रिलियन दशमलव स्थानों की गणना करके एक और रिकॉर्ड बनाया। गणना उसी कंप्यूटर पर हुई जिस पर उनका पिछला रिकॉर्ड सेट किया गया था और इसमें कुल 371 दिन लगे। 2013 के अंत में, अलेक्जेंडर और सिंगरौ ने संख्या \(\pi\) के 12.1 ट्रिलियन अंकों के रिकॉर्ड में सुधार किया, जिसकी गणना करने में उन्हें केवल 94 दिन लगे। यह प्रदर्शन सुधार प्रदर्शन अनुकूलन के माध्यम से हासिल किया गया है सॉफ़्टवेयर, प्रोसेसर कोर की संख्या में वृद्धि और सॉफ़्टवेयर दोष सहनशीलता में उल्लेखनीय सुधार।

वर्तमान रिकॉर्ड अलेक्जेंडर यी और सिंगर कोंडो का है, जो 12.1 ट्रिलियन दशमलव स्थानों \(\pi\) का है।

इस प्रकार, हमने प्राचीन काल में उपयोग की जाने वाली संख्या \(\pi\) की गणना करने के तरीकों, विश्लेषणात्मक तरीकों को देखा, और यह भी देखा आधुनिक तरीकेऔर कंप्यूटर पर संख्या \(\pi \) की गणना के लिए रिकॉर्ड।

स्रोतों की सूची

1. ज़ुकोव ए.वी. सर्वव्यापी संख्या पाई - एम.: पब्लिशिंग हाउस एलकेआई, 2007 - 216 पी।
2. एफ.रुडियो. एफ रुडियो द्वारा संकलित मुद्दे के इतिहास के अनुप्रयोग के साथ, वृत्त के वर्गीकरण पर। / रुडियो एफ. - एम.: ओएनटीआई एनकेटीपी यूएसएसआर, 1936. - 235सी।
3. अरंड्ट, जे. पाई अनलीशेड / जे. अरंड्ट, सी. हेनेल। - स्प्रिंगर, 2001. - 270पी.
4. शुखमन, ई.वी. लियोनहार्ड यूलर/ई.वी. के प्रकाशित और अप्रकाशित कार्यों में आर्कटान एक्स के लिए श्रृंखला का उपयोग करके पाई की अनुमानित गणना। शुखमन। - विज्ञान और प्रौद्योगिकी का इतिहास, 2008 - क्रमांक 4। - पृ. 2-17.
5. यूलर, एल. डे वेरिस मोडिस सर्कुली क्वाड्रेटुरम न्यूमेरिस प्रॉक्सिम एक्सप्रिमेंडी/ कमेंटरी एकेडेमिया साइंटिअरम पेट्रोपोलिटाने। 1744 - खंड 9 - 222-236पी।
6. शुमिखिन, एस. नंबर पाई। 4000 वर्षों का इतिहास / एस शुमिखिन, ए शुमिखिना। - एम.: एक्स्मो, 2011. - 192 पी।
7. बोरवीन, जे.एम. रामानुजन और संख्या पाई. / बोरवीन, जे.एम., बोरवीन पी.बी. विज्ञान की दुनिया में. 1988 - नंबर 4. - पृ. 58-66.
8. एलेक्स यी. संख्या संसार. एक्सेस मोड: numberworld.org

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कहना

संख्या π दर्शाती है कि किसी वृत्त की परिधि उसके व्यास से कितनी गुना अधिक है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वृत्त का आकार क्या है - जैसा कि कम से कम 4 हजार साल पहले देखा गया था, अनुपात हमेशा समान रहता है। एकमात्र सवाल यह है कि यह किसके बराबर है।

इसकी लगभग गणना करने के लिए एक साधारण धागा ही काफी है। तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में ग्रीक आर्किमिडीज़। अधिक धूर्ततापूर्ण तरीका अपनाया। उन्होंने वृत्त के अंदर और बाहर नियमित बहुभुज बनाए। बहुभुजों की भुजाओं की लंबाई जोड़कर, आर्किमिडीज़ ने अधिक से अधिक सटीक रूप से उस कांटे को निर्धारित किया जिसमें संख्या π स्थित है, और महसूस किया कि यह लगभग 3.14 के बराबर था।

आर्किमिडीज़ के बाद लगभग 2 हजार वर्षों तक बहुभुज पद्धति का उपयोग किया गया; इससे दशमलव के 38वें स्थान तक संख्या π का ​​मान ज्ञात करना संभव हो गया। एक या दो और संकेत - और आप परमाणु परिशुद्धता के साथ ब्रह्मांड जैसे व्यास वाले एक वृत्त की लंबाई की गणना कर सकते हैं।

जबकि कुछ वैज्ञानिकों ने ज्यामितीय विधि का उपयोग किया, दूसरों ने महसूस किया कि संख्या π की गणना अन्य संख्याओं को जोड़कर, घटाकर, विभाजित या गुणा करके की जा सकती है। इसके कारण, "पूंछ" कई सौ दशमलव स्थानों तक बढ़ गई।

पहले कंप्यूटर के आगमन के साथ और विशेष रूप से आधुनिक कंप्यूटरपरिमाण के क्रम से सटीकता में वृद्धि हुई है - 2016 में, स्विस पीटर ट्रब ने संख्या π का ​​मान 22.4 ट्रिलियन दशमलव स्थानों तक निर्धारित किया। यदि आप इस परिणाम को सामान्य चौड़ाई की 14-बिंदु रेखा में प्रिंट करते हैं, तो प्रविष्टि पृथ्वी से शुक्र तक की औसत दूरी से थोड़ी कम होगी।

सिद्धांत रूप में, कुछ भी हमें और भी अधिक सटीकता प्राप्त करने से नहीं रोकता है, लेकिन वैज्ञानिक गणनाओं के लिए लंबे समय तक इसकी कोई आवश्यकता नहीं है - कंप्यूटर, एल्गोरिदम के परीक्षण और गणित में अनुसंधान के अलावा। और खोजने के लिए बहुत कुछ है। स्वयं संख्या π के बारे में भी सब कुछ ज्ञात नहीं है। यह सिद्ध हो चुका है कि इसे अनंत गैर-आवधिक भिन्न के रूप में लिखा जाता है, अर्थात दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं की कोई सीमा नहीं है, और वे दोहराए जाने वाले ब्लॉकों में नहीं जुड़ते हैं। लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि संख्याएँ और उनके संयोजन समान आवृत्ति के साथ दिखाई देते हैं या नहीं। जाहिर तौर पर यह सच है, लेकिन अभी तक किसी ने भी इसका पुख्ता सबूत नहीं दिया है।

आगे की गणनाएँ मुख्य रूप से खेल के लिए की जाती हैं - और इसी कारण से लोग यथासंभव अधिक से अधिक दशमलव स्थानों को याद रखने का प्रयास करते हैं। यह रिकॉर्ड भारतीय राजवीर मीना के नाम है, जिन्होंने 2015 में लगभग दस घंटे तक आंखों पर पट्टी बांधकर बैठकर याददाश्त से 70 हजार पात्रों के नाम बताए थे।

संभवतः, उसके परिणाम को पार करने के लिए, आपको एक विशेष प्रतिभा की आवश्यकता है। लेकिन हर कोई अपने दोस्तों को एक अच्छी याददाश्त से आश्चर्यचकित कर सकता है। मुख्य बात स्मरणीय तकनीकों में से एक का उपयोग करना है, जो बाद में किसी और चीज़ के लिए उपयोगी हो सकती है।

संरचना डेटा

सबसे स्पष्ट तरीका संख्या को समान ब्लॉकों में विभाजित करना है। उदाहरण के लिए, आप π को दस अंकों वाली संख्याओं वाली एक फोन बुक के रूप में सोच सकते हैं, या आप इसे वर्षों को सूचीबद्ध करने वाली एक फैंसी इतिहास (और भविष्य) पाठ्यपुस्तक के रूप में सोच सकते हैं। आपको बहुत कुछ याद नहीं होगा, लेकिन प्रभाव डालने के लिए कुछ दर्जन दशमलव स्थान पर्याप्त हैं।

किसी संख्या को कहानी में बदलें

ऐसा माना जाता है कि संख्याओं को याद रखने का सबसे सुविधाजनक तरीका एक कहानी के साथ आना है जहां वे शब्दों में अक्षरों की संख्या के अनुरूप होंगे (शून्य को रिक्त स्थान से बदलना तर्कसंगत होगा, लेकिन तब अधिकांश शब्द विलीन हो जाएंगे; इसके बजाय, दस अक्षरों वाले शब्दों का प्रयोग करना बेहतर है)। वाक्यांश "क्या मुझे कॉफ़ी बीन्स का एक बड़ा पैकेज मिल सकता है?" इसी सिद्धांत पर आधारित है। अंग्रेजी में:

मई - 3,

है - 4

बड़ा - 5

कंटेनर - 9

कॉफी - 6

सेम - 5

पूर्व-क्रांतिकारी रूस में, वे एक समान वाक्य लेकर आए: "जो कोई भी, मजाक में और जल्द ही, संख्या जानने के लिए (बी) पाई चाहता है, वह पहले से ही जानता है (बी)।" सटीकता - दशमलव के दसवें स्थान तक: 3.1415926536। लेकिन अधिक आधुनिक संस्करण को याद रखना आसान है: "काम पर उसका सम्मान किया जाता था और किया जाएगा।" एक कविता भी है: "मैं इसे जानता हूं और इसे अच्छी तरह से याद रखता हूं - नहीं, कई संकेत मेरे लिए अनावश्यक हैं, व्यर्थ हैं।" और सोवियत गणितज्ञ याकोव पेरेलमैन ने एक संपूर्ण स्मरणीय संवाद की रचना की:

मैं मंडलियों के बारे में क्या जानता हूँ? (3.1415)

तो मुझे पाई नामक संख्या पता है - शाबाश! (3.1415927)

संख्या के पीछे की संख्या जानें और जानें, सौभाग्य को कैसे नोटिस करें! (3.14159265359)

अमेरिकी गणितज्ञ माइकल कीथ ने एक पूरी किताब नॉट ए वेक भी लिखी, जिसके पाठ में संख्या के पहले 10 हजार अंकों के बारे में जानकारी है।

संख्याओं को अक्षरों से बदलें

कुछ लोगों को यादृच्छिक संख्याओं की तुलना में यादृच्छिक अक्षरों को याद रखना आसान लगता है। इस मामले में, संख्याओं को वर्णमाला के पहले अक्षरों से बदल दिया जाता है। माइकल कीथ की कहानी कैडेइक कैडेन्ज़ा के शीर्षक में पहला शब्द इस प्रकार आया। कुल मिलाकर, इस कार्य में पाई के 3835 अंक एन्कोड किए गए हैं - हालाँकि, उसी तरह जैसे किताब नॉट ए वेक में।

रूसी में, समान उद्देश्यों के लिए, आप A से I तक के अक्षरों का उपयोग कर सकते हैं (बाद वाला शून्य के अनुरूप होगा)। इनसे बने संयोजनों को याद रखना कितना सुविधाजनक होगा यह एक खुला प्रश्न है।

संख्याओं के संयोजन के लिए चित्र लेकर आएं

वास्तव में उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त करने के लिए, पिछले तरीके काम नहीं करेंगे। रिकॉर्ड धारक विज़ुअलाइज़ेशन तकनीकों का उपयोग करते हैं: संख्याओं की तुलना में छवियों को याद रखना आसान होता है। सबसे पहले आपको प्रत्येक संख्या को एक व्यंजन अक्षर से मिलाना होगा। यह पता चला है कि प्रत्येक दो अंकों की संख्या (00 से 99 तक) दो अक्षरों के संयोजन से मेल खाती है।

चलो एक कहते हैं एन- यह "एन", चार है आरई - "आर", प्या टीबी - "टी"। तब संख्या 14 "एनआर" है, और 15 "एनटी" है। अब इन जोड़ियों को अन्य अक्षरों के साथ जोड़कर शब्द बनाया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, " एनहे आरए" और " एनऔर टीबी"। कुल मिलाकर, आपको सौ शब्दों की आवश्यकता होगी - यह बहुत लगता है, लेकिन उनके पीछे केवल दस अक्षर हैं, इसलिए इसे याद रखना उतना मुश्किल नहीं है।

संख्या π मन में छवियों के अनुक्रम के रूप में दिखाई देगी: तीन पूर्ण संख्याएँ, एक छेद, एक धागा, आदि। इस क्रम को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए, छवियों को खींचा या मुद्रित किया जा सकता है और आपकी आंखों के सामने रखा जा सकता है। कुछ लोग बस कमरे के चारों ओर संबंधित वस्तुएं रख देते हैं और आंतरिक भाग को देखते हुए संख्याओं को याद रख लेते हैं। इस पद्धति का उपयोग करके नियमित प्रशिक्षण आपको सैकड़ों और यहां तक ​​कि हजारों दशमलव स्थानों - या किसी अन्य जानकारी को याद रखने की अनुमति देगा, क्योंकि आप न केवल संख्याओं की कल्पना कर सकते हैं।

मराट कुज़ेव, क्रिस्टीना नेडकोवा

(), और यूलर के काम के बाद इसे आम तौर पर स्वीकार कर लिया गया। यह पदनाम ग्रीक शब्द περιφέρεια - वृत्त, परिधि और περίμετρος - परिधि के प्रारंभिक अक्षर से आया है।

रेटिंग

• 510 दशमलव स्थान: π ≈ 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 12 8 4 75 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 8 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

गुण

अनुपात

संख्या π के साथ कई ज्ञात सूत्र हैं:

• वालिस सूत्र:

• यूलर की पहचान:

• टी.एन. "पॉइसन इंटीग्रल" या "गॉस इंटीग्रल"

अतिक्रमण और तर्कहीनता

अनसुलझी समस्याएं

• यह ज्ञात नहीं है कि संख्याएँ π और हैं या नहीं इबीजगणितीय रूप से स्वतंत्र.
• यह अज्ञात है कि क्या संख्याएँ π + हैं इ , π − इ , π इ , π / इ , π इ , π π , इ इपारमार्थिक।
• अब तक, संख्या π की सामान्यता के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है; यह भी ज्ञात नहीं है कि 0-9 में से कौन सा अंक संख्या π के दशमलव निरूपण में अनंत बार प्रकट होता है।

गणना इतिहास

और चुडनोव्स्की

स्मरणीय नियम

ताकि हम गलतियाँ न करें, हमें सही ढंग से पढ़ना चाहिए: तीन, चौदह, पंद्रह, निन्यानवे और छह। आपको बस कोशिश करनी है और हर चीज़ को वैसे ही याद रखना है जैसे वह है: तीन, चौदह, पंद्रह, निन्यानवे और छह। तीन, चौदह, पंद्रह, नौ, दो, छह, पाँच, तीन, पाँच। विज्ञान करने के लिए ये बात हर किसी को पता होनी चाहिए. आप बस कोशिश कर सकते हैं और अधिक बार दोहरा सकते हैं: "तीन, चौदह, पंद्रह, नौ, छब्बीस और पाँच।"

2. नीचे दिए गए वाक्यांशों में प्रत्येक शब्द में अक्षरों की संख्या गिनें ( विराम चिह्नों को छोड़कर) और इन संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें - पहले अंक "3" के बाद दशमलव बिंदु के बारे में न भूलें। परिणाम पाई की अनुमानित संख्या होगी।

यह मैं जानता हूं और अच्छी तरह याद रखता हूं: लेकिन कई संकेत मेरे लिए अनावश्यक हैं, व्यर्थ हैं।

जो कोई भी, मजाक में और जल्द ही, पाई से नंबर जानना चाहता है - वह पहले से ही जानता है!

तो मीशा और अन्युता दौड़ते हुए आए और नंबर जानना चाहा।

(दूसरा स्मरक सही है (अंतिम अंक को पूर्णांकित करने के साथ) केवलपूर्व-सुधार वर्तनी का उपयोग करते समय: शब्दों में अक्षरों की संख्या गिनते समय, कठिन संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है!)

इस स्मरणीय संकेतन का दूसरा संस्करण:

यह मैं अच्छी तरह जानता और याद रखता हूँ:
और कई संकेत मेरे लिए अनावश्यक हैं, व्यर्थ हैं।
आइए अपने विशाल ज्ञान पर भरोसा करें
जिन्होंने शस्त्रागार की संख्याएँ गिनीं।

यदि आप काव्य मीटर का अनुसरण करते हैं, तो आप जल्दी से याद कर सकते हैं:

तीन, चौदह, पंद्रह, नौ दो, छह पाँच, तीन पाँच
आठ नौ, सात और नौ, तीन दो, तीन आठ, छियालीस
दो छह चार, तीन तीन आठ, तीन दो सात नौ, पांच शून्य दो
आठ आठ और चार, उन्नीस, सात, एक

मजेदार तथ्य

टिप्पणियाँ

देखें अन्य शब्दकोशों में "पाई" क्या है:

संख्या- प्राप्ति स्रोत: GOST 111 90: शीट ग्लास। तकनीकी विशिष्टताएँ मूल दस्तावेज़ संबंधित शर्तें भी देखें: 109. बीटाट्रॉन दोलनों की संख्या ... मानक और तकनीकी दस्तावेज़ीकरण की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

संज्ञा, स., प्रयुक्त. बहुत बार आकृति विज्ञान: (नहीं) क्या? संख्याएँ, क्या? संख्या, (देखें) क्या? संख्या, क्या? संख्या, किस बारे में? संख्या के बारे में; कृपया. क्या? संख्याएँ, (नहीं) क्या? संख्याएँ, क्यों? संख्याएँ, (देखें) क्या? संख्याएँ, क्या? संख्याएँ, किस बारे में? संख्या गणित के बारे में 1. संख्या से... ... शब्दकोषदमित्रिएवा

संख्या, अंक, बहुवचन. संख्याएँ, संख्याएँ, संख्याएँ, cf. 1. वह अवधारणा जो मात्रा की अभिव्यक्ति के रूप में कार्य करती है, कुछ ऐसा जिसकी सहायता से वस्तुओं और घटनाओं को गिना जाता है (चटाई)। पूर्णांक. एक भिन्नात्मक संख्या. नामांकित संख्या. प्रधान संख्या। (1 में सरल 1 मान देखें)… … उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

किसी निश्चित श्रृंखला के किसी भी सदस्य के लिए विशेष सामग्री से रहित एक अमूर्त पदनाम, जिसमें यह सदस्य किसी अन्य विशिष्ट सदस्य से पहले या बाद में आता है; अमूर्त व्यक्तिगत विशेषता जो एक सेट को अलग करती है... ... दार्शनिक विश्वकोश

संख्या- संख्या एक व्याकरणिक श्रेणी है जो विचार की वस्तुओं की मात्रात्मक विशेषताओं को व्यक्त करती है। व्याकरणिक संख्या, शाब्दिक अभिव्यक्ति ("शब्दावली... ...) के साथ-साथ मात्रा की अधिक सामान्य भाषाई श्रेणी (भाषा श्रेणी देखें) की अभिव्यक्तियों में से एक है। भाषाई विश्वकोश शब्दकोश

लगभग 2.718 के बराबर एक संख्या, जो अक्सर गणित और विज्ञान में पाई जाती है। उदाहरण के लिए, जब कोई रेडियोधर्मी पदार्थ समय t के बाद क्षय होता है, तो e kt के बराबर अंश पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा का रह जाता है, जहाँ k एक संख्या है,... ... कोलियर का विश्वकोश

ए; कृपया. संख्याएँ, सैट, स्लैम; बुध 1. किसी विशेष मात्रा को व्यक्त करने वाली खाते की एक इकाई। भिन्नात्मक, पूर्णांक, अभाज्य घंटे। सम, विषम घंटे। गोल संख्याओं में गिनती करें (लगभग, पूर्ण इकाइयों या दहाई में गिनती)। प्राकृतिक एच. (धनात्मक पूर्णांक) विश्वकोश शब्दकोश

बुध। मात्रा, गिनती से, प्रश्न पर: कितना? और वही चिन्ह जो मात्रा, संख्या को व्यक्त करता है। बिना नंबर के; गिनती के बिना कोई संख्या नहीं होती, अनेक, अनेक। मेहमानों की संख्या के अनुसार कटलरी की व्यवस्था करें। रोमन, अरबी या चर्च संख्याएँ। पूर्णांक, विपरीत. अंश... ... डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश