कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण: सिद्धांत, उदाहरण, समस्या समाधान। प्रत्यक्ष ढलान (और अधिक)

गणित में, कार्तीय निर्देशांक तल पर एक रेखा की स्थिति का वर्णन करने वाले मापदंडों में से एक इस रेखा का कोणीय गुणांक है। यह पैरामीटर एब्सिस्सा अक्ष पर सीधी रेखा के ढलान को दर्शाता है। यह समझने के लिए कि ढलान का पता कैसे लगाया जाए, पहले XY समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के समीकरण के सामान्य रूप को याद करें।

में सामान्य रूप से देखेंकिसी भी सीधी रेखा को अभिव्यक्ति ax+by=c द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां a, b और c मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन हमेशा a 2 + b 2 ≠ 0।

सरल परिवर्तनों का उपयोग करके, ऐसे समीकरण को y=kx+d के रूप में लाया जा सकता है, जिसमें k और d वास्तविक संख्याएँ हैं। संख्या k ढलान है, और इस प्रकार की रेखा के समीकरण को ढलान वाला समीकरण कहा जाता है। यह पता चला है कि ढलान को खोजने के लिए, आपको बस मूल समीकरण को ऊपर बताए गए फॉर्म में कम करना होगा। अधिक संपूर्ण समझ के लिए, एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:

समस्या: समीकरण 36x - 18y = 108 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइए मूल समीकरण को रूपांतरित करें।

उत्तर: इस रेखा का अपेक्षित ढलान 2 है।

यदि, समीकरण के परिवर्तन के दौरान, हमें x = const जैसी अभिव्यक्ति प्राप्त हुई और परिणामस्वरूप हम y को x के एक फलन के रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते, तो हम X अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के साथ काम कर रहे हैं। ढलान कारकएक समान सीधी रेखा अनंत के बराबर होती है।

y = const जैसे समीकरण द्वारा व्यक्त रेखाओं के लिए ढलान शून्य है। यह भुज अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के लिए विशिष्ट है। उदाहरण के लिए:

समस्या: समीकरण 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइये मूल समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाएँ

24x + 12y - 12y + 28 = 4

परिणामी अभिव्यक्ति से y को व्यक्त करना असंभव है, इसलिए इस रेखा का कोणीय गुणांक अनंत के बराबर है, और रेखा स्वयं Y अक्ष के समानांतर होगी।

ज्यामितीय अर्थ

बेहतर समझ के लिए, आइए चित्र देखें:

चित्र में हम y = kx जैसे किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ देखते हैं। सरल बनाने के लिए, आइए गुणांक c = 0 लें। त्रिभुज OAB में, भुजा BA से AO का अनुपात कोणीय गुणांक k के बराबर होगा। साथ ही, अनुपात BA/AO समकोण त्रिभुज OAB में न्यून कोण α की स्पर्शरेखा है। यह पता चला है कि सीधी रेखा का कोणीय गुणांक उस कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है जो यह सीधी रेखा समन्वय ग्रिड के भुज अक्ष के साथ बनाती है।

एक सीधी रेखा का कोणीय गुणांक कैसे ज्ञात किया जाए, इस समस्या को हल करते हुए, हम इसके और समन्वय ग्रिड के एक्स अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात करते हैं। सीमा मामले, जब प्रश्न में रेखा समन्वय अक्षों के समानांतर होती है, तो उपरोक्त की पुष्टि करें। दरअसल, समीकरण y=const द्वारा वर्णित एक सीधी रेखा के लिए, इसके और भुज अक्ष के बीच का कोण शून्य के बराबर. शून्य कोण की स्पर्शरेखा भी शून्य होती है और ढलान भी शून्य होता है।

भुज अक्ष के लंबवत और समीकरण x=const द्वारा वर्णित सीधी रेखाओं के लिए, उनके और X अक्ष के बीच का कोण 90 डिग्री है। स्पर्शरेखा समकोणअनंत के बराबर है, और समान सीधी रेखाओं का कोणीय गुणांक भी अनंत के बराबर है, जो ऊपर लिखी गई बात की पुष्टि करता है।

स्पर्शरेखा ढलान

व्यवहार में अक्सर सामने आने वाला एक सामान्य कार्य किसी निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात करना भी है। स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है, इसलिए ढलान की अवधारणा इस पर भी लागू होती है।

यह जानने के लिए कि स्पर्शरेखा का ढलान कैसे ज्ञात किया जाए, हमें व्युत्पन्न की अवधारणा को याद करना होगा। किसी निश्चित बिंदु पर किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक स्थिर संख्यात्मक रूप से कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है जो इस फ़ंक्शन के ग्राफ और एब्सिस्सा अक्ष के निर्दिष्ट बिंदु पर स्पर्शरेखा के बीच बनता है। यह पता चला है कि बिंदु x 0 पर स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक को निर्धारित करने के लिए, हमें इस बिंदु k = f"(x 0) पर मूल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। आइए उदाहरण देखें:

समस्या: x = 0.1 पर फ़ंक्शन y = 12x 2 + 2xe x की स्पर्श रेखा की ढलान ज्ञात करें।

समाधान: मूल फलन का व्युत्पन्न सामान्य रूप में ज्ञात कीजिए

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

उत्तर: बिंदु x = 0.1 पर आवश्यक ढलान 4.831 है

यह आंकड़ा सीधी रेखा के झुकाव के कोण को दर्शाता है और ढलान के मूल्य को इंगित करता है विभिन्न विकल्पआयताकार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष रेखा का स्थान।

ऑक्स अक्ष के झुकाव के ज्ञात कोण के साथ एक सीधी रेखा का ढलान ढूँढना कोई कठिनाई पेश नहीं करता है। ऐसा करने के लिए, कोणीय गुणांक की परिभाषा को याद करना और झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा की गणना करना पर्याप्त है।

उदाहरण।

एक सीधी रेखा का ढलान ज्ञात करें यदि इसका भुज अक्ष पर झुकाव का कोण बराबर है।

समाधान।

शर्त के अनुसार. फिर, एक सीधी रेखा के ढलान की परिभाषा के अनुसार, हम गणना करते हैं .

उत्तर:

ज्ञात ढलान के साथ x-अक्ष पर एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण को खोजने का कार्य थोड़ा अधिक जटिल है। यहां ढलान के संकेत को ध्यान में रखना आवश्यक है। जब सीधी रेखा का झुकाव कोण न्यूनकोण होता है और पाया जाता है। जब सीधी रेखा के झुकाव का कोण अधिक होता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है .

उदाहरण।

भुज अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण निर्धारित करें यदि इसकी ढलान 3 के बराबर है।

समाधान।

चूँकि स्थिति के अनुसार कोणीय गुणांक धनात्मक है, ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण तीव्र है। हम सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना करते हैं।

उत्तर:

उदाहरण।

सीधी रेखा का ढलान है। ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण निर्धारित करें।

समाधान।

चलो निरूपित करें k सीधी रेखा का कोणीय गुणांक है, - ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में इस सीधी रेखा के झुकाव का कोण। क्योंकि , तो हम निम्नलिखित रूप की रेखा के झुकाव के कोण को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं . हम इसमें शर्त से डेटा प्रतिस्थापित करते हैं: .

उत्तर:

कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण.

ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणका रूप है, जहां k रेखा का ढलान है, b कुछ वास्तविक संख्या है। कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करके, आप किसी भी सीधी रेखा को निर्दिष्ट कर सकते हैं जो ओए अक्ष के समानांतर नहीं है (ऑर्डिनेट अक्ष के समानांतर सीधी रेखा के लिए, कोणीय गुणांक परिभाषित नहीं है)।

आइए वाक्यांश का अर्थ समझें: "एक निश्चित समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा "" के कोणीय गुणांक के साथ एक समीकरण द्वारा दी जाती है। इसका मतलब यह है कि समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और समतल पर किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है। इस प्रकार, यदि किसी बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर सही समानता प्राप्त हो जाती है, तो सीधी रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है। अन्यथा, बात लाइन पर नहीं है.

उदाहरण।

सीधी रेखा ढलान वाले समीकरण द्वारा दी गई है। क्या बिंदु भी इसी रेखा के हैं?

समाधान।

आइए ढलान के साथ सीधी रेखा के मूल समीकरण में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें: . हमने सही समानता प्राप्त कर ली है, इसलिए, बिंदु M 1 रेखा पर स्थित है।

किसी बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते समय, हमें एक गलत समानता मिलती है: . इस प्रकार, बिंदु M 2 रेखा पर स्थित नहीं है।

उत्तर:

डॉट एम 1 लाइन से संबंधित है, एम 2 नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है, क्योंकि जब हम इसके निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं तो हमें सही समानता प्राप्त होती है:।

इस प्रकार, एक कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण विमान पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो एक बिंदु से होकर गुजरती है और एक्स-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाती है, और।

उदाहरण के तौर पर, आइए हम फॉर्म के कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा को चित्रित करें। यह रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है और इसमें ढलान है ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में रेडियन (60 डिग्री)। इसका ढलान बराबर है.

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

अब हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या का समाधान करेंगे: हम दिए गए ढलान k के साथ और बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करेंगे।

चूँकि रेखा बिंदु से होकर गुजरती है, समानता सत्य है . हम संख्या नहीं जानते बी. इससे छुटकारा पाने के लिए बाएँ से और घटाएँ सही भागकोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण, क्रमशः अंतिम समानता के बाएँ और दाएँ पक्ष। इस मामले में हमें मिलता है . ये समानता है किसी दिए गए ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण, जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है.

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण।

बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण लिखिए, इस रेखा का ढलान -2 है।

समाधान।

हमारी जो स्थिति है उससे . फिर कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण रूप ले लेगा।

उत्तर:

उदाहरण।

एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें यदि यह ज्ञात हो कि यह एक बिंदु से होकर गुजरती है और ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में झुकाव का कोण बराबर है।

समाधान।

सबसे पहले, आइए उस रेखा के ढलान की गणना करें जिसका समीकरण हम ढूंढ रहे हैं (हमने इस समस्या को इस लेख के पिछले पैराग्राफ में हल किया है)। ए-प्राथमिकता . अब हमारे पास कोण गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखने के लिए सारा डेटा है:

उत्तर:

उदाहरण।

रेखा के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली कोणीय गुणांक वाली रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान।

जाहिर है, ऑक्स अक्ष पर समानांतर रेखाओं के झुकाव के कोण मेल खाते हैं (यदि आवश्यक हो, तो रेखाओं की समानता पर लेख देखें), इसलिए, समानांतर रेखाओं के कोणीय गुणांक बराबर होते हैं। तब सीधी रेखा का ढलान, जिसका समीकरण हमें प्राप्त करना है, 2 के बराबर है, क्योंकि सीधी रेखा का ढलान 2 के बराबर है। अब हम ढलान वाली एक सीधी रेखा का आवश्यक समीकरण बना सकते हैं:

उत्तर:

कोण गुणांक वाली रेखा के समीकरण से रेखा के अन्य प्रकार के समीकरण में संक्रमण और इसके विपरीत।

तमाम परिचितता के बावजूद, समस्याओं को हल करते समय कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण हमेशा उपयोग में सुविधाजनक नहीं होता है। कुछ मामलों में, जब किसी रेखा के समीकरण को भिन्न रूप में प्रस्तुत किया जाता है तो समस्याओं को हल करना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण आपको सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक या सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को तुरंत लिखने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, आपको कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से इस सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों की ओर बढ़ना सीखना चाहिए।

कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से प्रपत्र के समतल पर एक सीधी रेखा का विहित समीकरण प्राप्त करना आसान है . ऐसा करने के लिए, हम पद b को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर c पर ले जाते हैं विपरीत संकेत, फिर परिणामी समानता के दोनों पक्षों को ढलान k: से विभाजित करें। ये क्रियाएं हमें कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से आगे ले जाती हैं विहित समीकरणसीधा।

उदाहरण।

कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण दीजिए विहित रूप में.

समाधान।

आइए आवश्यक परिवर्तन करें: .

उत्तर:

उदाहरण।

एक सीधी रेखा कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा दी जाती है। क्या सदिश इस रेखा का एक सामान्य सदिश है?

समाधान।

इस समस्या को हल करने के लिए, आइए कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की ओर बढ़ें: . हम जानते हैं कि एक रेखा के सामान्य समीकरण में चर x और y के गुणांक इस रेखा के सामान्य वेक्टर के संगत निर्देशांक होते हैं, अर्थात रेखा के सामान्य वेक्टर . यह स्पष्ट है कि वेक्टर वेक्टर के संरेख है, क्योंकि संबंध वैध है (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें)। इस प्रकार, मूल वेक्टर भी एक सामान्य रेखा वेक्टर है , और, इसलिए, एक सामान्य वेक्टर और मूल रेखा है।

उत्तर:

हां यह है।

और अब हम व्युत्क्रम समस्या को हल करेंगे - एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण को एक कोण गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण में बदलने की समस्या।

प्रपत्र के सामान्य सीधी रेखा समीकरण से , जिसमें ढलान गुणांक वाले समीकरण पर जाना बहुत आसान है। इसके लिए आपको चाहिए सामान्य समीकरणय के संबंध में सीधा संकल्प। इस मामले में हमें मिलता है. परिणामी समानता एक सीधी रेखा का समीकरण है जिसका कोणीय गुणांक बराबर है।

सीधी रेखा y=f(x) बिंदु x0 पर चित्र में दिखाए गए ग्राफ़ की स्पर्शरेखा होगी यदि यह निर्देशांक (x0; f(x0)) वाले बिंदु से होकर गुजरती है और इसका कोणीय गुणांक f"(x0) है। खोजें इस तरह के गुणांक, स्पर्शरेखा की विशेषताओं को जानना मुश्किल नहीं है।

आपको चाहिये होगा

• - गणितीय संदर्भ पुस्तक;
• - एक साधारण पेंसिल;
• - स्मरण पुस्तक;
• - चांदा;
• - दिशा सूचक यंत्र;
• - कलम।

निर्देश

यदि मान f'(x0) मौजूद नहीं है, तो या तो कोई स्पर्शरेखा नहीं है, या यह लंबवत चलता है। इसे देखते हुए, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की उपस्थिति बिंदु (x0, f(x0)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के कारण है। इस मामले में, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(x0) के बराबर होगा। इस प्रकार, यह स्पष्ट हो जाता है ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न - स्पर्शरेखा के ढलान की गणना।

अतिरिक्त स्पर्शरेखाएं बनाएं जो बिंदु x1, x2 और x3 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संपर्क में हों, और इन स्पर्शरेखाओं द्वारा x-अक्ष के साथ बनने वाले कोणों को भी चिह्नित करें (यह कोण अक्ष से सकारात्मक दिशा में गिना जाता है) स्पर्श रेखा)। उदाहरण के लिए, कोण, यानी α1, न्यून कोण होगा, दूसरा (α2) अधिक कोण होगा, और तीसरा (α3) शून्य होगा, क्योंकि स्पर्शरेखा रेखा OX अक्ष के समानांतर है। इस मामले में, अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, न्यून कोण की स्पर्श रेखा धनात्मक होती है, और tg0 पर परिणाम शून्य होता है।

टिप्पणी

स्पर्श रेखा से बने कोण का सही निर्धारण करें। ऐसा करने के लिए, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करें।

मददगार सलाह

दो झुकी हुई रेखाएँ समानांतर होंगी यदि उनके कोणीय गुणांक एक दूसरे के बराबर हों; लंबवत यदि इन स्पर्श रेखाओं के कोणीय गुणांक का गुणनफल -1 के बराबर है।

स्रोत:

• किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा

कोसाइन, साइन की तरह, को "प्रत्यक्ष" त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के रूप में वर्गीकृत किया गया है। स्पर्शरेखा (कोटैंजेंट के साथ) को "डेरिवेटिव" नामक एक अन्य जोड़ी के रूप में वर्गीकृत किया गया है। इन फ़ंक्शंस की कई परिभाषाएँ हैं जो दिए गए स्पर्शरेखा को खोजना संभव बनाती हैं ज्ञात मूल्यसमान मान की कोज्या.

निर्देश

दिए गए कोण की कोज्या तक बढ़ाए गए मान से एकता के भागफल को घटाएं, और परिणाम से वर्गमूल निकालें - यह कोण का स्पर्शरेखा मान होगा, जो इसके कोज्या द्वारा व्यक्त किया गया है: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . कृपया ध्यान दें कि सूत्र में कोसाइन भिन्न के हर में है। शून्य से विभाजित करने की असंभवता 90° के बराबर कोणों के साथ-साथ 180° (270°, 450°, -90°, आदि) के गुणज संख्याओं द्वारा इस मान से भिन्न कोणों के लिए इस अभिव्यक्ति के उपयोग को रोकती है।

ज्ञात कोसाइन मान से स्पर्शरेखा की गणना करने का एक वैकल्पिक तरीका है। यदि दूसरों के उपयोग पर कोई प्रतिबंध न हो तो इसका उपयोग किया जा सकता है। इस विधि को लागू करने के लिए, पहले ज्ञात कोसाइन मान से कोण मान निर्धारित करें - यह आर्क कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जा सकता है। फिर परिणामी मान के कोण के लिए स्पर्शरेखा की गणना करें। सामान्य तौर पर, इस एल्गोरिदम को इस प्रकार लिखा जा सकता है: tg(α)=tg(arccos(cos(α)))।

कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करते हुए एक विदेशी विकल्प भी है तेज मोड सही त्रिकोण. इस परिभाषा में, कोसाइन विचाराधीन कोण से सटे पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात से मेल खाती है। कोज्या का मान जानकर, आप इन दोनों पक्षों की संगत लंबाई का चयन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि cos(α) = 0.5, तो आसन्न को 10 सेमी के बराबर लिया जा सकता है, और कर्ण - 20 सेमी। विशिष्ट संख्याएँयहां उनका कोई अर्थ नहीं है - आपको वही मिलेगा और जो भी मान समान हैं उनके साथ सही करेंगे। फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, लापता पक्ष की लंबाई निर्धारित करें - विपरीत पैर। यह बराबर होगा वर्गमूलवर्गाकार कर्ण और ज्ञात पैर की लंबाई के बीच के अंतर से: √(20²-10²)=√300. परिभाषा के अनुसार, स्पर्शरेखा विपरीत और आसन्न पैरों की लंबाई के अनुपात (√300/10) से मेल खाती है - इसकी गणना करें और कोसाइन की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करके पाया गया स्पर्शरेखा मान प्राप्त करें।

स्रोत:

• स्पर्शरेखा सूत्र के माध्यम से कोसाइन

त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक, जिसे अक्सर टीजी अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, हालांकि टैन का भी उपयोग किया जाता है। स्पर्शरेखा को दर्शाने का सबसे आसान तरीका साइन अनुपात है कोणइसके कोसाइन के लिए. यह अजीब आवधिक है और नहीं सतत कार्य, जिसका प्रत्येक चक्र संख्या के बराबरपाई, और विराम बिंदु इस संख्या के आधे से मेल खाता है।

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प्रमाणन परीक्षा में विषय "झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के रूप में स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक" को एक साथ कई कार्य दिए जाते हैं। उनकी स्थिति के आधार पर, स्नातक को पूर्ण उत्तर या संक्षिप्त उत्तर देने की आवश्यकता हो सकती है। तैयारी के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करनागणित में विद्यार्थी को उन समस्याओं को अवश्य दोहराना चाहिए जिनमें स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक की गणना करना आवश्यक हो।

इससे आपको ऐसा करने में मदद मिलेगी शैक्षिक पोर्टल"शकोल्कोवो"। हमारे विशेषज्ञों ने सैद्धांतिक और प्रस्तुत किया व्यावहारिक सामग्रीजितना संभव हो उतना सुलभ। इससे परिचित होने के बाद, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले स्नातक डेरिवेटिव से संबंधित समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में सक्षम होंगे जिनमें स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा को ढूंढना आवश्यक है।

बुनियादी क्षण

सही और खोजने के लिए तर्कसंगत निर्णयएकीकृत राज्य परीक्षा में समान कार्यों के लिए, आपको मूल परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है: व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है; यह एक निश्चित बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींचे गए स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है। ड्राइंग को पूरा करना भी उतना ही महत्वपूर्ण है। यह आपको खोजने की अनुमति देगा सही समाधानव्युत्पन्न पर एकीकृत राज्य परीक्षा समस्याएं, जिसमें स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा की गणना करना आवश्यक है। स्पष्टता के लिए, OXY तल पर ग्राफ़ बनाना सर्वोत्तम है।

यदि आप पहले से ही व्युत्पन्न के विषय पर बुनियादी सामग्री से परिचित हो चुके हैं और स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा की गणना पर समस्याओं को हल करने के लिए तैयार हैं, जैसे कि एकीकृत राज्य परीक्षा असाइनमेंट, आप इसे ऑनलाइन कर सकते हैं। प्रत्येक कार्य के लिए, उदाहरण के लिए, "किसी पिंड की गति और त्वरण के साथ व्युत्पन्न का संबंध" विषय पर समस्याओं के लिए, हमने सही उत्तर और समाधान एल्गोरिदम लिखा है। साथ ही, छात्र जटिलता के विभिन्न स्तरों के कार्य करने का अभ्यास कर सकते हैं। यदि आवश्यक हो, तो अभ्यास को "पसंदीदा" अनुभाग में सहेजा जा सकता है ताकि आप बाद में शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकें।