एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की ऊंचाई. नियमित चतुर्भुज पिरामिड

परिभाषा। पार्श्व किनारा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियाँ- ये पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज के कोण होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह पिरामिड के ऊपर से आधार तक डाला गया एक लंब है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व मुख का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र. पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड के गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिराया गया एक लंब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं।

पार्श्व पसलियाँ तब बराबर होती हैं जब वे आधार के तल के साथ बनती हैं समान कोणया यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को उसके केंद्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हों, तो पार्श्व फलक के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के अक्षर समान होते हैं।

5. सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल बराबर है।

6. सभी फलकों का डायहेड्रल (सपाट) कोण समान होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिबद्ध गोले का केंद्र किनारों के मध्य से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. आप एक गोले को पिरामिड में फिट कर सकते हैं। अंकित गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि उत्कीर्ण गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π के बराबर है या इसके विपरीत, एक कोण π/n के बराबर है, जहां n संख्या है पिरामिड के आधार पर कोणों की संख्या.

पिरामिड और गोले के बीच संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन तब किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

एक गोले को हमेशा किसी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा.

एक शंकु के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित हो।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

पिरामिड और सिलेंडर के बीच संबंध

एक पिरामिड को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर अंकित है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिड प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर खंड तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े पिरामिड के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (चतुष्फलक)एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन वे स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिकोणीय कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है चतुष्फलक का माध्यिका(जीएम).

बिमेडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड कहा जाता है जो स्पर्श नहीं करते (केएल)।

चतुष्फलक की सभी द्विमध्यरेखाएँ और मध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, द्विमध्यरेखाओं को आधे में विभाजित किया जाता है, और शीर्ष से शुरू करके मध्यिकाओं को 3:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा। तिरछा पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक किनारा आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है।

परिभाषा। न्यूनकोण पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। कुंठित पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हों। यह पाँच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलकीय कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी फलक का एपोटेम आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। समफलकीय चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की ओर गई सभी ऊंचाइयां (लंब) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा है।

परिभाषा। bipyramid- एक बहुफलक जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को काटा भी जा सकता है), जिसका आधार एक समान होता है और शीर्ष तल के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं।

यहां आप पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी पा सकते हैं। उन सभी का अध्ययन एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए एक गणित शिक्षक के साथ किया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें , इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S, इसमें नहीं पड़ा हुआ है। आइए S को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ें। परिणामी बहुफलक को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व पसलियाँ कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S पिरामिड का शीर्ष है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिकोणीय (n=3), चतुष्कोणीय (n=4), पंचकोणीय (n=5) इत्यादि कहा जाता है। वैकल्पिक शीर्षक त्रिकोणीय पिरामिड – चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार के तल तक उतरने वाला लंबवत है।

पिरामिड को नियमित यदि कहा जाता है एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

शिक्षक की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणाओं को भ्रमित न करें। एक नियमित पिरामिड में, पार्श्व किनारे आवश्यक रूप से आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में, सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यही उसकी परिभाषा है. यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का अर्थ है कि बहुभुज का केंद्र P संपाती है आधार ऊंचाई के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोटेम क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊँचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो उसके सभी उपशीर्षक समान हैं। इसका विपरीत सत्य नहीं है.

एक गणित शिक्षक अपनी शब्दावली के बारे में: पिरामिड के साथ 80% काम दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से किया जाता है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA से युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित शिक्षक के लिए उनमें से पहले को कॉल करना अधिक सुविधाजनक है अपोथेमल, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा पेश करना होगा।

पिरामिड के आयतन का सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहां है, और पिरामिड की ऊंचाई कहां है
2) , खुदे हुए गोले की त्रिज्या कहां है, और क्षेत्रफल कहां है पूरी सतहपिरामिड.
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों के बीच की दूरी है, और शेष चार किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है।

पिरामिड की ऊंचाई के आधार की संपत्ति:

बिंदु P (चित्र देखें) पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोथेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई पर समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पार्श्व सतहों पर समान रूप से झुकी हुई है

गणित शिक्षक की टिप्पणी: कृपया ध्यान दें कि सभी बिंदुओं में एक बात समान है सामान्य संपत्ति: किसी न किसी रूप में, पार्श्व फलक हर जगह शामिल होते हैं (एपोटेम उनके तत्व हैं)। इसलिए, शिक्षक कम सटीक, लेकिन सीखने के लिए अधिक सुविधाजनक सूत्रीकरण की पेशकश कर सकता है: बिंदु पी, अंकित वृत्त के केंद्र, पिरामिड के आधार के साथ मेल खाता है, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे सिद्ध करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेम त्रिभुज समान हैं।

यदि तीन स्थितियों में से एक सत्य है, तो बिंदु P पिरामिड के आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र के साथ संपाती होता है:
1) सभी किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियाँ आधार की ओर समान रूप से झुकी हुई हैं
3) सभी तरफ की पसलियां ऊंचाई पर समान रूप से झुकी हुई हैं

परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय इसलिए पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और हमारे बाद से भविष्य का पेशावास्तुकार, इस आकृति से प्रेरित होकर, हम सोचते हैं कि वह हमें महान परियोजनाओं की ओर प्रेरित कर सकती है।

वास्तु संरचनाओं की मजबूती उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण है। ताकत को जोड़ने से, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ जिनसे वे बनाए जाते हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चलता है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम एक ज्यामितीय आकृति के बारे में बात कर रहे हैं जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार एक वास्तुशिल्प संरचना की ताकत भी निर्धारित करता है।

प्राचीन काल से, मिस्र के पिरामिडों को सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचनाएं माना जाता रहा है। जैसा कि आप जानते हैं, इनका आकार नियमित चतुर्भुज पिरामिड जैसा होता है।

यह वह ज्यामितीय आकृति है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करती है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान कम होता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत बनाते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिडों के बारे में कुछ नया सीखें, अपने ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

· पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी जानें

· पिरामिड को ऐसे समझें ज्यामितीय आकृति

· जीवन और वास्तुकला में अनुप्रयोग ढूंढें

· में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें विभिन्न भागस्वेता

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे सक्रिय रूप से विकसित किया गया था प्राचीन ग्रीस. पिरामिड का आयतन स्थापित करने वाले पहले व्यक्ति डेमोक्रिटस थे, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया था। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने "एलिमेंट्स" के XII खंड में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी निकाली: एक विमान से एक बिंदु तक एकत्रित होने वाले विमानों से घिरी एक ठोस आकृति।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़े - एल गीज़ा में चेप्स, खाफ़्रे और मिकेरिन के पिरामिड - प्राचीन काल में दुनिया के सात आश्चर्यों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं के अभूतपूर्व गौरव और क्रूरता का एक स्मारक देखा था, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को अर्थहीन निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया था, सबसे महत्वपूर्ण पंथ कार्य था और जाहिर तौर पर इसे व्यक्त करना था। देश और उसके शासक की रहस्यमयी पहचान। देश की आबादी कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के कुछ समय के दौरान मकबरे के निर्माण पर काम करती थी। कई ग्रंथ इस बात की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे के निर्माण और उसके निर्माताओं पर ध्यान और देखभाल दी थी। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो पिरामिड को ही दिए गए थे।

बुनियादी अवधारणाओं

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक त्रिभुज होते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, उसके शीर्ष से खींची गई;

पार्श्व चेहरे- एक शीर्ष पर मिलने वाले त्रिकोण;

पार्श्व पसलियाँ- पार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष;

पिरामिड का शीर्ष- पार्श्व पसलियों को जोड़ने वाला और आधार के तल में न पड़ा हुआ एक बिंदु;

ऊंचाई- पिरामिड के शीर्ष से होकर उसके आधार के तल तक खींचा गया एक लंबवत खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाला पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

एक नियमित पिरामिड के मूल गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः बराबर हैं।

आधार पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु आधार के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है।

प्रत्येक ऊँचाई बिंदु सभी पार्श्व फलकों से समान दूरी पर है।

बुनियादी पिरामिड सूत्र

पिरामिड की पार्श्व और कुल सतह का क्षेत्रफल.

एक पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और छोटा) उसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, कुल सतह क्षेत्रफल उसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार परिधि;

एच- एपोटेम।

काटे गए पिरामिड की पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

पी 1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोटेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस ओर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्र;

एस 1 + एस 2- आधार क्षेत्र

पिरामिड का आयतन

रूप वॉल्यूम यूला का उपयोग किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एच- पिरामिड की ऊंचाई.

पिरामिड कोने

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बने कोणों को पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

पार्श्व किनारे और आधार तल पर इसके प्रक्षेपण से बनने वाले कोण कहलाते हैं पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण.

दो पार्श्व किनारों से बनने वाला कोण कहलाता है पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

पिरामिड के एक फलक के दो पार्श्व किनारों से बनने वाला कोण कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोण.

पिरामिड खंड

पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह होती है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए काटने वाले तल द्वारा परिभाषित पिरामिड का खंड एक टूटी हुई रेखा है जिसमें अलग-अलग सीधी रेखाएँ होती हैं।

विकर्ण खंड

एक समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं, कहलाते हैं विकर्ण खंडपिरामिड.

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक विमान द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊंचाइयों को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस विमान का खंड आधार के समान एक बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्रफल शीर्ष से उनकी दूरी के वर्ग के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिड- एक पिरामिड जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है।

एक नियमित पिरामिड के लिए:

1. पार्श्व पसलियाँ बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर हैं

3. एपोथेम बराबर हैं

4. आधार पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं

6. ऊंचाई का प्रत्येक बिंदु आधार के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पार्श्व किनारों से समान दूरी पर है

कटा हुआ पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो इसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले तल के बीच घिरा हुआ है।

काटे गए पिरामिड के आधार और संगत खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई.

कार्य

नंबर 1. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, बिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1. एक नियमित पिरामिड में, सभी फलक और किनारे बराबर होते हैं।

OSB पर विचार करें: OSB एक आयताकार आयत है, क्योंकि।

एसबी 2 =एसओ 2 +ओबी 2

एसबी 2 =64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड एक साधारण नियमित ज्यामितीय पिरामिड के रूप में एक स्मारकीय संरचना है, जिसमें भुजाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। अपने कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफन या पंथ पूजा के स्थान थे। पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, या मनमाने ढंग से शीर्षों की संख्या के साथ बहुभुज के आकार में हो सकता है, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

यहां काफी संख्या में पिरामिड बने हुए हैं विभिन्न संस्कृतियां प्राचीन विश्वमुख्यतः मन्दिरों या स्मारकों के रूप में। बड़े पिरामिडों में मिस्र के पिरामिड भी शामिल हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाएँ देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिड महानतम स्थापत्य स्मारक हैं प्राचीन मिस्र, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। तलहटी से शीर्ष तक इसकी ऊंचाई 137.3 मीटर है, और शीर्ष खोने से पहले इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

उल्टे पिरामिड जैसा दिखने वाला स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत 1983 में बनाई गई थी। कार्यालयों और सेवा परिसरों के अलावा, वॉल्यूम के अंदर एक काफी विशाल कॉन्सर्ट हॉल है, जो स्लोवाकिया के सबसे बड़े अंगों में से एक है।

लौवर, जो "पिरामिड की तरह शांत, अपरिवर्तित और राजसी है," दुनिया का सबसे बड़ा संग्रहालय बनने से पहले सदियों से कई बदलाव हुए हैं। इसका जन्म एक किले के रूप में हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस ने बनवाया था, जो जल्द ही एक शाही निवास बन गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। वसीयत या खरीद के माध्यम से संग्रह को समृद्ध किया जाता है।

परिकल्पना:हमारा मानना ​​है कि पिरामिड आकार की पूर्णता किसके कारण है गणितीय नियम, इसके स्वरूप में अंतर्निहित है।

लक्ष्य:एक ज्यामितीय पिंड के रूप में पिरामिड का अध्ययन करके इसके स्वरूप की पूर्णता स्पष्ट कीजिए।

कार्य:

1. पिरामिड की गणितीय परिभाषा दीजिए।

2. पिरामिड का एक ज्यामितीय निकाय के रूप में अध्ययन करें।

3. समझें कि मिस्रवासियों ने अपने पिरामिडों में किस गणितीय ज्ञान को शामिल किया था।

निजी प्रश्न:

1. एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड क्या है?

2. पिरामिड की अनोखी आकृति को गणितीय दृष्टिकोण से कैसे समझाया जा सकता है?

3. पिरामिड के ज्यामितीय चमत्कारों की क्या व्याख्या है?

4. पिरामिड आकार की पूर्णता क्या बताती है?

पिरामिड की परिभाषा.

पिरामिड (ग्रीक पिरामिड से, जेन. पिरामिडोस) - एक बहुफलक जिसका आधार एक बहुभुज है, और शेष फलक एक सामान्य शीर्ष (ड्राइंग) वाले त्रिकोण हैं। आधार के कोनों की संख्या के आधार पर पिरामिडों को त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में वर्गीकृत किया जाता है।

पिरामिड - एक स्मारकीय संरचना जिसमें पिरामिड का ज्यामितीय आकार होता है (कभी-कभी सीढ़ीदार या मीनार के आकार का भी)। पिरामिड तीसरी-दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के प्राचीन मिस्र के फिरौन की विशाल कब्रों को दिया गया नाम है। ई., साथ ही ब्रह्माण्ड संबंधी पंथों से जुड़े प्राचीन अमेरिकी मंदिर कुरसी (मेक्सिको, ग्वाटेमाला, होंडुरास, पेरू में)।

यह संभव है कि ग्रीक शब्द"पिरामिड" मिस्र की अभिव्यक्ति per-em-us से आया है, यानी, एक शब्द से जिसका अर्थ पिरामिड की ऊंचाई है। उत्कृष्ट रूसी मिस्रविज्ञानी वी. स्ट्रुवे का मानना ​​था कि ग्रीक "पुरम...जे" प्राचीन मिस्र के "पी"-एमआर" से आया है।

इतिहास से. अतानास्यान के लेखकों द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति" में सामग्री का अध्ययन करने के बाद। बुटुज़ोव और अन्य, हमने सीखा कि: एक एन-गॉन A1A2A3 ... An और n त्रिकोण PA1A2, PA2A3, ..., PANA1 से बना एक बहुफलक पिरामिड कहलाता है। बहुभुज A1A2A3...An पिरामिड का आधार है, और त्रिकोण PA1A2, PA2A3,..., PANA1 पिरामिड के पार्श्व फलक हैं, P पिरामिड का शीर्ष है, खंड PA1, PA2,..., PAN पार्श्व किनारे हैं.

हालाँकि, पिरामिड की यह परिभाषा हमेशा मौजूद नहीं थी। उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ, गणित पर सैद्धांतिक ग्रंथों के लेखक जो हमारे पास आए हैं, यूक्लिड, एक पिरामिड को उन विमानों द्वारा सीमित एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित करते हैं जो एक विमान से एक बिंदु तक परिवर्तित होते हैं।

लेकिन इस परिभाषा की आलोचना प्राचीन काल में ही की गई थी। इसलिए हेरॉन ने पिरामिड की निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तावित की: "यह एक बिंदु पर एकत्रित त्रिभुजों से घिरी एक आकृति है और जिसका आधार एक बहुभुज है।"

हमारा समूह, इन परिभाषाओं की तुलना करते हुए, इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि उनके पास "नींव" की अवधारणा का स्पष्ट सूत्रीकरण नहीं है।

हमने इन परिभाषाओं की जांच की और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे की परिभाषा पाई, जिन्होंने 1794 में अपने काम "एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री" में एक पिरामिड को इस प्रकार परिभाषित किया है: "एक पिरामिड एक ठोस आकृति है जो त्रिकोणों द्वारा एक बिंदु पर एकत्रित होने और विभिन्न पक्षों पर समाप्त होने से बनती है।" एक सपाट आधार।"

हमें ऐसा लगता है कि अंतिम परिभाषा पिरामिड का स्पष्ट विचार देती है, क्योंकि यह इस तथ्य की बात करती है कि आधार समतल है। पिरामिड की एक और परिभाषा 19वीं सदी की पाठ्यपुस्तक में दिखाई देती है: "पिरामिड एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित एक ठोस कोण है।"

एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड।

वह। पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका एक फलक (आधार) एक बहुभुज है, शेष फलक (भुजाएँ) त्रिभुज हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष (पिरामिड का शीर्ष) है।

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक खींचे गये लम्ब को कहा जाता है ऊंचाईएचपिरामिड.

मनमाना पिरामिड के अलावा, वहाँ भी हैं सही पिरामिडजिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है और छोटा पिरामिड.

चित्र में एक पिरामिड PABCD है, ABCD इसका आधार है, PO इसकी ऊंचाई है।

कुल सतह क्षेत्रफल पिरामिड उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है।

फुल = साइड + स्मैन,कहाँ ओर- पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग।

पिरामिड का आयतन सूत्र द्वारा पाया जाता है:

V=1/3Sbas. एच, जहां Sbas. - आधार क्षेत्र, एच- ऊंचाई।

एक नियमित पिरामिड की धुरी उसकी ऊंचाई वाली सीधी रेखा होती है।
एपोथेम एसटी एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: साइड। =1/2पी एच, जहां P आधार का परिमाप है, एच- पार्श्व फलक की ऊंचाई (नियमित पिरामिड का एपोथेम)। यदि पिरामिड को आधार के समानांतर समतल A'B'C'D' द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो:

1) पार्श्व पसलियों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है;

2) क्रॉस-सेक्शन में आधार के समान एक बहुभुज A'B'C'D' प्राप्त होता है;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width=”287” ऊंचाई=”151”>

एक काटे गए पिरामिड के आधार– समान बहुभुज ABCD और A`B`C`D`, पार्श्व फलक समलंब चतुर्भुज हैं।

ऊंचाईकाटे गए पिरामिड - आधारों के बीच की दूरी।

छोटा किया गया आयतनपिरामिड सूत्र द्वारा पाया जाता है:

वी=1/3 एच(एस + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "91" ऊंचाई = "96"> एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: Sside = ½(P+P') एच, जहां P और P' आधारों की परिधि हैं, एच- पार्श्व चेहरे की ऊँचाई (नियमित रूप से काटे गए पिरामी का प्रतीक)।

पिरामिड के खंड.

किसी पिरामिड के शीर्ष से गुजरने वाले तलों द्वारा उसके खंड त्रिभुज होते हैं।

पिरामिड के दो गैर-आसन्न पार्श्व किनारों से गुजरने वाले खंड को कहा जाता है विकर्ण खंड.

यदि अनुभाग पार्श्व किनारे और आधार के किनारे पर एक बिंदु से होकर गुजरता है, तो पिरामिड के आधार के तल पर इसका निशान इस तरफ होगा।

एक खंड पिरामिड के मुख पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरता है और आधार तल पर एक दिए गए खंड का पता लगाता है, तो निर्माण निम्नानुसार किया जाना चाहिए:

· किसी दिए गए चेहरे के तल के प्रतिच्छेदन बिंदु और पिरामिड के अनुभाग के निशान को ढूंढें और इसे नामित करें;

गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें दिया गया बिंदुऔर परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु;

· अगले चेहरों के लिए इन चरणों को दोहराएं.

, जो एक समकोण त्रिभुज के पैरों के अनुपात 4:3 से मेल खाता है। पैरों का यह अनुपात 3:4:5 भुजाओं वाले प्रसिद्ध समकोण त्रिभुज से मेल खाता है, जिसे "संपूर्ण", "पवित्र" या "मिस्र" त्रिकोण कहा जाता है। इतिहासकारों के अनुसार, "मिस्र" त्रिकोण को एक जादुई अर्थ दिया गया था। प्लूटार्क ने लिखा कि मिस्रवासियों ने ब्रह्मांड की प्रकृति की तुलना एक "पवित्र" त्रिकोण से की; उन्होंने प्रतीकात्मक रूप से ऊर्ध्वाधर पैर की तुलना पति से, आधार की तुलना पत्नी से और कर्ण की तुलना उस पैर से की जो दोनों से पैदा होता है।

त्रिभुज 3:4:5 के लिए, समानता सत्य है: 32 + 42 = 52, जो पाइथागोरस प्रमेय को व्यक्त करता है। क्या यह वह प्रमेय नहीं था जिसे मिस्र के पुजारी त्रिभुज 3:4:5 के आधार पर एक पिरामिड बनाकर कायम रखना चाहते थे? इससे अधिक खोजना कठिन है अच्छा उदाहरणपाइथागोरस प्रमेय को स्पष्ट करने के लिए, जो पाइथागोरस द्वारा इसकी खोज से बहुत पहले मिस्रवासियों को ज्ञात था।

इस प्रकार, प्रतिभाशाली रचनाकार मिस्र के पिरामिडअपने ज्ञान की गहराई से दूर के वंशजों को आश्चर्यचकित करने की कोशिश की, और उन्होंने चेप्स पिरामिड के लिए "मुख्य ज्यामितीय विचार" के रूप में "सुनहरा" चुनकर इसे हासिल किया। सही त्रिकोण, और खफरे के पिरामिड के लिए - "पवित्र" या "मिस्र" त्रिकोण।

अक्सर वैज्ञानिक अपने शोध में सुनहरे अनुपात वाले पिरामिडों के गुणों का उपयोग करते हैं।

गणित में विश्वकोश शब्दकोशगोल्डन सेक्शन की निम्नलिखित परिभाषा दी गई है - यह एक हार्मोनिक डिवीजन है, चरम और औसत अनुपात में विभाजन - खंड एबी को दो भागों में इस तरह विभाजित करना कि इसका बड़ा हिस्सा एसी पूरे खंड एबी और उसके बीच औसत आनुपातिक हो छोटा भाग NE.

किसी खंड के स्वर्ण खंड का बीजगणितीय निर्धारण एबी = एसमीकरण a: x = x: (a - x) को हल करने के लिए कम करता है, जिसमें से x लगभग 0.62a के बराबर है। अनुपात x को भिन्न 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां 2, 3, 5, 8, 13, 21 फाइबोनैचि संख्याएं हैं।

खंड AB के सुनहरे खंड का ज्यामितीय निर्माण निम्नानुसार किया जाता है: बिंदु B पर, AB पर एक लंबवत बहाल किया जाता है, खंड BE = 1/2 AB उस पर बिछाया जाता है, A और E जुड़े हुए हैं, DE = बीई को हटा दिया गया है और, अंत में, एसी = एडी, फिर समानता एबी संतुष्ट है: सीबी = 2:3।

सुनहरा अनुपातअक्सर कला, वास्तुकला के कार्यों में उपयोग किया जाता है और प्रकृति में पाया जाता है। अपोलो बेल्वेडियर और पार्थेनन की मूर्तियाँ इसके ज्वलंत उदाहरण हैं। पार्थेनन के निर्माण के दौरान इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई के अनुपात का उपयोग किया गया था और यह अनुपात 0.618 है। हमारे आस-पास की वस्तुएँ भी स्वर्णिम अनुपात का उदाहरण प्रदान करती हैं, उदाहरण के लिए, कई पुस्तकों की बाइंडिंग का चौड़ाई-से-लंबाई अनुपात 0.618 के करीब है। पौधों के सामान्य तने पर पत्तियों की व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, आप देख सकते हैं कि पत्तियों के प्रत्येक दो जोड़े के बीच तीसरा स्वर्ण अनुपात (स्लाइड) पर स्थित होता है। हम में से प्रत्येक अपने साथ "अपने हाथों में" स्वर्णिम अनुपात रखता है - यह उंगलियों के फालेंजों का अनुपात है।

कई गणितीय पपीरी की खोज के लिए धन्यवाद, मिस्र के वैज्ञानिकों ने गणना और माप की प्राचीन मिस्र प्रणालियों के बारे में कुछ सीखा है। उनमें निहित कार्यों को शास्त्रियों द्वारा हल किया जाता था। सबसे प्रसिद्ध में से एक है रिहंद मैथमेटिकल पेपिरस। इन समस्याओं का अध्ययन करके, मिस्र के वैज्ञानिकों ने सीखा कि प्राचीन मिस्रवासी वजन, लंबाई और आयतन के मापों की गणना करते समय उत्पन्न होने वाली विभिन्न मात्राओं से कैसे निपटते थे, जिसमें अक्सर अंश शामिल होते थे, साथ ही वे कोणों को कैसे संभालते थे।

प्राचीन मिस्रवासी एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई और आधार के अनुपात के आधार पर कोणों की गणना करने की एक विधि का उपयोग करते थे। वे किसी भी कोण को ढाल की भाषा में व्यक्त करते थे। ढलान प्रवणता को पूर्णांक अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया जिसे "सेकेड" कहा जाता है। फ़राओ के युग में गणित में, रिचर्ड पिलिन्स बताते हैं: "एक नियमित पिरामिड का सेक्ड आधार के तल पर चार त्रिकोणीय चेहरों में से किसी एक का झुकाव है, जिसे वृद्धि की प्रति ऊर्ध्वाधर इकाई क्षैतिज इकाइयों की nवीं संख्या द्वारा मापा जाता है। . इस प्रकार, माप की यह इकाई झुकाव के कोण के हमारे आधुनिक कोटैंजेंट के बराबर है। इसलिए, मिस्र का शब्द "सेकेड" हमारे से संबंधित है आधुनिक शब्द"ढाल""।

पिरामिडों की संख्यात्मक कुंजी उनकी ऊंचाई और आधार के अनुपात में निहित है। व्यावहारिक रूप से, पिरामिड के निर्माण के दौरान झुकाव के सही कोण की लगातार जांच करने के लिए आवश्यक टेम्पलेट बनाने का यह सबसे आसान तरीका है।

मिस्रविज्ञानी हमें यह समझाने में प्रसन्न होंगे कि प्रत्येक फिरौन अपनी वैयक्तिकता को व्यक्त करने के लिए उत्सुक रहता है, इसलिए प्रत्येक पिरामिड के झुकाव के कोणों में अंतर होता है। लेकिन एक और कारण भी हो सकता है. शायद वे सभी अलग-अलग अनुपात में छिपे अलग-अलग प्रतीकात्मक संघों को मूर्त रूप देना चाहते थे। हालाँकि, खफरे के पिरामिड का कोण (त्रिभुज (3:4:5) पर आधारित) रिहंद गणितीय पेपिरस में पिरामिड द्वारा प्रस्तुत तीन समस्याओं में दिखाई देता है। इसलिए यह दृष्टिकोण प्राचीन मिस्रवासियों को अच्छी तरह से ज्ञात था।

मिस्र के वैज्ञानिकों के प्रति निष्पक्ष रहें जो दावा करते हैं कि प्राचीन मिस्रवासी 3:4:5 त्रिकोण के बारे में नहीं जानते थे, कर्ण 5 की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था। लेकिन गणित की समस्याओंपिरामिडों से संबंधित प्रश्न हमेशा दूसरे कोण के आधार पर तय किए जाते हैं - ऊंचाई और आधार का अनुपात। चूँकि कर्ण की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया कि मिस्रवासियों ने कभी भी तीसरी भुजा की लंबाई की गणना नहीं की।

गीज़ा पिरामिडों में प्रयुक्त ऊंचाई-से-आधार अनुपात निस्संदेह प्राचीन मिस्रवासियों को ज्ञात था। यह संभव है कि प्रत्येक पिरामिड के लिए ये रिश्ते मनमाने ढंग से चुने गए हों। हालाँकि, यह सभी प्रकार के मिस्र में संख्या प्रतीकवाद से जुड़े महत्व का खंडन करता है दृश्य कला. यह बहुत संभव है कि ऐसे रिश्ते महत्वपूर्ण थे क्योंकि वे विशिष्ट धार्मिक विचार व्यक्त करते थे। दूसरे शब्दों में, संपूर्ण गीज़ा परिसर एक निश्चित दिव्य विषय को प्रतिबिंबित करने के लिए डिज़ाइन किए गए सुसंगत डिजाइन के अधीन था। इससे पता चलेगा कि डिजाइनरों ने इसे क्यों चुना विभिन्न कोणतीन पिरामिडों का झुकाव.

द ओरियन मिस्ट्री में, बाउवल और गिल्बर्ट ने गीज़ा पिरामिडों को ओरियन तारामंडल से जोड़ने वाले ठोस साक्ष्य प्रस्तुत किए, विशेष रूप से ओरियन बेल्ट के सितारों के साथ, वही तारामंडल आइसिस और ओसिरिस के मिथक में मौजूद है, और प्रत्येक पिरामिड को एक के रूप में देखने का कारण है तीन मुख्य देवताओं में से एक का प्रतिनिधित्व - ओसिरिस, आइसिस और होरस।

"ज्यामितीय" चमत्कार.

मिस्र के भव्य पिरामिडों में इसका विशेष स्थान है फिरौन चेओप्स का महान पिरामिड (खुफू). इससे पहले कि हम चेप्स पिरामिड के आकार और आकार का विश्लेषण करना शुरू करें, हमें यह याद रखना चाहिए कि मिस्रवासियों ने माप की कौन सी प्रणाली का उपयोग किया था। मिस्रवासियों की लंबाई की तीन इकाइयाँ थीं: एक "हाथ" (466 मिमी), जो सात "हथेलियों" (66.5 मिमी) के बराबर थी, जो बदले में, चार "उंगलियों" (16.6 मिमी) के बराबर थी।

आइए हम यूक्रेनी वैज्ञानिक निकोलाई वासुतिन्स्की की अद्भुत पुस्तक "द गोल्डन प्रोपोर्शन" (1990) में दिए गए तर्कों का पालन करते हुए चेप्स पिरामिड (चित्र 2) के आयामों का विश्लेषण करें।

अधिकांश शोधकर्ता इस बात से सहमत हैं कि उदाहरण के लिए, पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई, जीएफके बराबर एल= 233.16 मी. यह मान लगभग 500 "कोहनी" से मेल खाता है। 500 "कोहनी" का पूर्ण अनुपालन तब होगा जब "कोहनी" की लंबाई 0.4663 मीटर के बराबर मानी जाए।

पिरामिड की ऊंचाई ( एच) शोधकर्ताओं द्वारा विभिन्न प्रकार से 146.6 से 148.2 मीटर तक का अनुमान लगाया गया है और पिरामिड की स्वीकृत ऊंचाई के आधार पर, इसके ज्यामितीय तत्वों के सभी संबंध बदल जाते हैं। पिरामिड की ऊंचाई के अनुमान में अंतर का क्या कारण है? तथ्य यह है कि, कड़ाई से बोलते हुए, चेप्स पिरामिड को छोटा कर दिया गया है। इसका ऊपरी मंच आज लगभग 10 ´ 10 मीटर मापता है, लेकिन एक शताब्दी पहले यह 6 ´ 6 मीटर था, जाहिर है, पिरामिड का शीर्ष ध्वस्त हो गया था, और यह मूल के अनुरूप नहीं है।

पिरामिड की ऊंचाई का आकलन करते समय, संरचना के "ड्राफ्ट" जैसे भौतिक कारक को ध्यान में रखना आवश्यक है। पीछे लंबे समय तकभारी दबाव (निचली सतह के प्रति 1 मी2 पर 500 टन तक पहुंचने) के प्रभाव में, पिरामिड की ऊंचाई इसकी मूल ऊंचाई की तुलना में कम हो गई।

पिरामिड की मूल ऊँचाई कितनी थी? पिरामिड के मूल "ज्यामितीय विचार" को ढूंढकर इस ऊंचाई को फिर से बनाया जा सकता है।

चित्र 2।

1837 में, अंग्रेज कर्नल जी. वाइज़ ने पिरामिड के चेहरों के झुकाव के कोण को मापा: यह बराबर निकला ए= 51°51"। यह मान आज भी अधिकांश शोधकर्ताओं द्वारा मान्यता प्राप्त है। निर्दिष्ट कोण मान स्पर्शरेखा (टीजी) से मेल खाता है ए), 1.27306 के बराबर। यह मान पिरामिड की ऊंचाई के अनुपात से मेल खाता है एसीइसके आधे आधार तक सी.बी.(चित्र 2), अर्थात् एसी। / सी.बी. = एच / (एल / 2) = 2एच / एल.

और यहां शोधकर्ता बड़े आश्चर्य में थे! ए= 1.27306, हम देखते हैं कि ये मान एक दूसरे के बहुत करीब हैं। अगर हम कोण लें ए= 51°50", अर्थात इसे केवल एक से कम करें चाप का मिनट, फिर मूल्य ए 1.272 के बराबर हो जाएगा, यानी यह मान के साथ मेल खाएगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1840 में जी. वाइज ने अपने माप को दोहराया और स्पष्ट किया कि कोण का मूल्य ए=51°50"।

इन मापों ने शोधकर्ताओं को निम्नलिखित बहुत ही दिलचस्प परिकल्पना की ओर अग्रसर किया: चेप्स पिरामिड का त्रिभुज ACB संबंध AC पर आधारित था / सी.बी. = = 1,272!

अब समकोण त्रिभुज पर विचार करें एबीसी, जिसमें पैरों का अनुपात है एसी। / सी.बी.= (चित्र 2). यदि अब आयत की भुजाओं की लंबाई एबीसीद्वारा नामित करें एक्स, य, जेड, और उस अनुपात को भी ध्यान में रखें य/एक्स= , तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंबाई जेडसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

अगर हम स्वीकार करें एक्स = 1, य= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png' width='143' ऊंचाई='27'>

चित्र तीन।"स्वर्णिम" समकोण त्रिभुज.

एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ इस प्रकार संबंधित हैं टी:सुनहरा" समकोण त्रिभुज।

फिर, यदि हम इस परिकल्पना को आधार के रूप में लेते हैं कि चेप्स पिरामिड का मुख्य "ज्यामितीय विचार" एक "सुनहरा" समकोण त्रिभुज है, तो यहां से हम आसानी से चेप्स पिरामिड की "डिज़ाइन" ऊंचाई की गणना कर सकते हैं। यह इसके बराबर है:

एच = (एल/2) ´ = 148.28 मीटर।

आइए अब हम चेप्स पिरामिड के लिए कुछ अन्य संबंध प्राप्त करें, जो "सुनहरे" परिकल्पना से अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से, हम पिरामिड के बाहरी क्षेत्रफल और उसके आधार के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम पैर की लंबाई लेते हैं सी.बी.प्रति इकाई, अर्थात्: सी.बी.= 1. लेकिन फिर पिरामिड के आधार की भुजा की लंबाई जीएफ= 2, और आधार का क्षेत्रफल ईएफजीएचबराबर होगा SEFGH = 4.

आइए अब चेप्स पिरामिड के पार्श्व फलक के क्षेत्रफल की गणना करें एसडी. क्योंकि ऊंचाई अबत्रिकोण एईएफके बराबर टी, तो पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होगा एसडी = टी. तब पिरामिड के चारों पार्श्व फलकों का कुल क्षेत्रफल 4 के बराबर होगा टी, और पिरामिड के कुल बाहरी क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर होगा! यह वही है - चेप्स पिरामिड का मुख्य ज्यामितीय रहस्य!

चेप्स पिरामिड के "ज्यामितीय चमत्कारों" के समूह में पिरामिड के विभिन्न आयामों के बीच संबंधों के वास्तविक और दूरगामी गुण शामिल हैं।

एक नियम के रूप में, वे कुछ "स्थिरांक" की खोज में प्राप्त किए जाते हैं, विशेष रूप से, संख्या "पाई" (लुडोल्फो की संख्या), 3.14159 के बराबर...; मैदान प्राकृतिक लघुगणक"ई" (नेपर की संख्या), 2.71828 के बराबर...; संख्या "एफ", "गोल्डन सेक्शन" की संख्या, उदाहरण के लिए, 0.618... आदि के बराबर।

उदाहरण के लिए, आप नाम बता सकते हैं: 1) हेरोडोटस की संपत्ति: (ऊंचाई)2 = 0.5 कला। बुनियादी एक्स एपोथेम; 2) वी. की संपत्ति कीमत: ऊंचाई: 0.5 कला. आधार = "एफ" का वर्गमूल; 3) एम. ईस्ट की संपत्ति: आधार की परिधि: 2 ऊंचाई = "पाई"; एक अलग व्याख्या में - 2 बड़े चम्मच। बुनियादी : ऊँचाई = "पाई"; 4) जी. एज की संपत्ति: अंकित वृत्त की त्रिज्या: 0.5 कला. बुनियादी = "एफ"; 5) के. क्लेपिश की संपत्ति: (कला. मुख्य.)2: 2(कला. मुख्य. एक्स एपोथेम) = (कला. मुख्य. डब्ल्यू. एपोथेमा) = 2(कला. मुख्य. एक्स एपोथेम) : ((2 कला. . मुख्य एक्स एपोथेम) + (v. मुख्य)2). वगैरह। आप ऐसी कई संपत्तियों के बारे में सोच सकते हैं, खासकर यदि आप दो आसन्न पिरामिडों को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, "ए. अरेफ़ेयेव के गुण" के रूप में यह उल्लेख किया जा सकता है कि चेप्स के पिरामिड और खफ़्रे के पिरामिड के आयतन में अंतर मिकेरिन के पिरामिड के आयतन के दोगुने के बराबर है...

अनेक दिलचस्प प्रावधानविशेष रूप से, "गोल्डन रेशियो" के अनुसार पिरामिडों के निर्माण का वर्णन डी. हैम्बिज की पुस्तकों "वास्तुकला में गतिशील समरूपता" और एम. गिक "प्रकृति और कला में अनुपात का सौंदर्यशास्त्र" में किया गया है। आइए याद रखें कि "सुनहरा अनुपात" एक खंड का इस अनुपात में विभाजन है कि भाग ए, भाग बी से कई गुना बड़ा है, ए पूरे खंड ए + बी से कितना गुना छोटा है। अनुपात ए/बी संख्या "एफ" == 1.618 के बराबर है .. "गोल्डन रेशियो" का उपयोग न केवल व्यक्तिगत पिरामिडों में, बल्कि गीज़ा के पिरामिडों के पूरे परिसर में भी दर्शाया गया है।

हालाँकि, सबसे दिलचस्प बात यह है कि एक ही चेप्स पिरामिड में इतने सारे अद्भुत गुण बस "नहीं" हो सकते हैं। एक निश्चित संपत्ति को एक-एक करके लेते हुए, इसे "फिट" किया जा सकता है, लेकिन वे सभी एक साथ फिट नहीं होते हैं - वे मेल नहीं खाते हैं, वे एक-दूसरे का खंडन करते हैं। इसलिए, यदि, उदाहरण के लिए, सभी गुणों की जाँच करते समय, हम शुरू में पिरामिड के आधार का एक ही पक्ष (233 मीटर) लेते हैं, तो विभिन्न गुणों वाले पिरामिडों की ऊँचाई भी भिन्न होगी। दूसरे शब्दों में, पिरामिडों का एक निश्चित "परिवार" है जो बाहरी रूप से चेप्स के समान है, लेकिन अलग-अलग गुण रखते हैं। ध्यान दें कि "ज्यामितीय" गुणों में कुछ भी विशेष रूप से चमत्कारी नहीं है - आकृति के गुणों से, बहुत कुछ पूरी तरह से स्वचालित रूप से उत्पन्न होता है। एक "चमत्कार" को केवल कुछ ऐसा माना जाना चाहिए जो प्राचीन मिस्रवासियों के लिए स्पष्ट रूप से असंभव था। इसमें, विशेष रूप से, "ब्रह्मांडीय" चमत्कार शामिल हैं, जिसमें चेप्स पिरामिड या गीज़ा के पिरामिड परिसर की माप की तुलना कुछ खगोलीय मापों से की जाती है और "सम" संख्याएं इंगित की जाती हैं: एक लाख गुना कम, एक अरब गुना कम, और जल्द ही। आइए कुछ "लौकिक" रिश्तों पर विचार करें।

इनमें से एक कथन है: "यदि आप पिरामिड के आधार की भुजा को इससे विभाजित करते हैं सटीक लंबाईवर्ष, तब हमें पृथ्वी की धुरी का ठीक 10 मिलियनवां भाग प्राप्त होता है।" गणना करें: 233 को 365 से विभाजित करें, हमें 0.638 प्राप्त होता है। पृथ्वी की त्रिज्या 6378 किमी है।

एक अन्य कथन वास्तव में पिछले कथन के विपरीत है। एफ. नोएटलिंग ने बताया कि यदि आप उनके द्वारा आविष्कार किए गए "मिस्र के क्यूबिट" का उपयोग करते हैं, तो पिरामिड का किनारा "सबसे सटीक अवधि" के अनुरूप होगा। सौर वर्ष, एक दिन के निकटतम अरबवें हिस्से तक व्यक्त किया गया" - 365.540.903.777।

पी. स्मिथ का कथन: "पिरामिड की ऊंचाई पृथ्वी से सूर्य की दूरी का ठीक एक अरबवां हिस्सा है।" हालाँकि आमतौर पर ऊँचाई 146.6 मीटर ली जाती है, स्मिथ ने इसे 148.2 मीटर माना, आधुनिक रडार माप के अनुसार, पृथ्वी की कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी 149,597,870 + 1.6 किमी है। यह पृथ्वी से सूर्य की औसत दूरी है, लेकिन पेरिहेलियन पर यह एपहेलियन की तुलना में 5,000,000 किलोमीटर कम है।

एक आखिरी दिलचस्प बयान:

"हम यह कैसे समझा सकते हैं कि चेप्स, खाफ़्रे और मायकेरिनस के पिरामिडों का द्रव्यमान पृथ्वी, शुक्र, मंगल ग्रह के द्रव्यमान की तरह एक दूसरे से संबंधित है?" चलिए हिसाब लगाते हैं. तीन पिरामिडों का द्रव्यमान इस प्रकार है: खफरे - 0.835; चेप्स - 1,000; मिकेरिन - 0.0915। तीन ग्रहों के द्रव्यमान का अनुपात: शुक्र - 0.815; पृथ्वी - 1,000; मंगल - 0.108.

इसलिए, संदेह के बावजूद, हम बयानों के निर्माण के प्रसिद्ध सामंजस्य पर ध्यान देते हैं: 1) पिरामिड की ऊंचाई, "अंतरिक्ष में जाने वाली" रेखा की तरह, पृथ्वी से सूर्य तक की दूरी से मेल खाती है; 2) पिरामिड के आधार का किनारा, "सब्सट्रेट के सबसे करीब", यानी पृथ्वी के, पृथ्वी की त्रिज्या और पृथ्वी के परिसंचरण के लिए जिम्मेदार है; 3) पिरामिड का आयतन (पढ़ें - द्रव्यमान) पृथ्वी के निकटतम ग्रहों के द्रव्यमान के अनुपात के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, कार्ल वॉन फ्रिस्क द्वारा विश्लेषण की गई मधुमक्खी भाषा में एक समान "सिफर" का पता लगाया जा सकता है। हालाँकि, हम अभी इस मामले पर टिप्पणी करने से बचेंगे।

पिरामिड आकार

पिरामिडों की प्रसिद्ध चतुष्फलकीय आकृति तुरंत उत्पन्न नहीं हुई। सीथियनों ने मिट्टी की पहाड़ियों - टीलों के रूप में दफ़नियाँ बनाईं। मिस्रवासियों ने पत्थर की "पहाड़ियाँ" बनाईं - पिरामिड। यह पहली बार 28वीं शताब्दी ईसा पूर्व में ऊपरी और निचले मिस्र के एकीकरण के बाद हुआ, जब तीसरे राजवंश के संस्थापक, फिरौन जोसर (ज़ोसर) को देश की एकता को मजबूत करने के कार्य का सामना करना पड़ा।

और यहाँ, इतिहासकारों के अनुसार, महत्वपूर्ण भूमिकाराजा की "देवीकरण की नई अवधारणा" ने केंद्रीय शक्ति को मजबूत करने में भूमिका निभाई। यद्यपि शाही दफ़नाने अधिक भव्यता से प्रतिष्ठित थे, सिद्धांत रूप में, वे दरबारी रईसों की कब्रों से भिन्न नहीं थे, वे एक ही संरचनाएं थीं - मस्तबास; ममी वाले ताबूत वाले कक्ष के ऊपर, छोटे पत्थरों की एक आयताकार पहाड़ी डाली गई थी, जहाँ बड़े पत्थर के खंडों से बनी एक छोटी इमारत - एक "मस्तबा" (अरबी में - "बेंच") रखी गई थी। फिरौन जोसर ने अपने पूर्ववर्ती सनाख्त के मस्तबा के स्थान पर पहला पिरामिड बनवाया। यह कदम रखा गया था और एक वास्तुशिल्प रूप से दूसरे वास्तुशिल्प रूप में, एक मस्तबा से पिरामिड तक एक दृश्यमान संक्रमणकालीन चरण था।

इस तरह, ऋषि और वास्तुकार इम्होटेप, जिन्हें बाद में एक जादूगर माना गया और यूनानियों द्वारा भगवान एस्क्लेपियस के साथ पहचाना गया, ने फिरौन को "बढ़ाया"। ऐसा लग रहा था मानो एक पंक्ति में छह मस्तबा खड़े किये गये हों। इसके अलावा, पहले पिरामिड का क्षेत्रफल 1125 x 115 मीटर था, जिसकी अनुमानित ऊंचाई 66 मीटर (मिस्र के मानकों के अनुसार - 1000 "हथेलियाँ") थी। सबसे पहले, वास्तुकार ने एक मस्तबा बनाने की योजना बनाई, लेकिन आयताकार नहीं, बल्कि योजना में चौकोर। बाद में इसका विस्तार किया गया, लेकिन चूंकि विस्तार नीचे किया गया था, इसलिए ऐसा लगा कि इसमें दो चरण हैं।

इस स्थिति ने वास्तुकार को संतुष्ट नहीं किया, और विशाल सपाट मस्तबा के ऊपरी मंच पर, इम्होटेप ने तीन और रख दिए, जो धीरे-धीरे शीर्ष की ओर कम हो रहे थे। यह कब्र पिरामिड के नीचे स्थित थी।

कई और चरण पिरामिड ज्ञात हैं, लेकिन बाद में बिल्डरों ने टेट्राहेड्रल पिरामिड बनाना शुरू कर दिया जो हमारे लिए अधिक परिचित हैं। हालाँकि, त्रिकोणीय या कहें तो अष्टकोणीय क्यों नहीं? एक अप्रत्यक्ष उत्तर इस तथ्य से मिलता है कि लगभग सभी पिरामिड चार प्रमुख दिशाओं के साथ पूरी तरह से उन्मुख हैं, और इसलिए उनकी चार भुजाएँ हैं। इसके अलावा, पिरामिड एक "घर" था, जो एक चतुर्भुज दफन कक्ष का खोल था।

लेकिन चेहरों के झुकाव का कोण किसने निर्धारित किया? "अनुपात का सिद्धांत" पुस्तक में एक पूरा अध्याय इस पर समर्पित है: "पिरामिडों के झुकाव के कोणों को क्या निर्धारित किया जा सकता था।" विशेष रूप से, यह संकेत दिया गया है कि “पुराने साम्राज्य के महान पिरामिड जिस छवि की ओर आकर्षित होते हैं वह शीर्ष पर समकोण वाला एक त्रिकोण है।

अंतरिक्ष में यह एक अर्ध-अष्टफलक है: एक पिरामिड जिसके किनारे और आधार की भुजाएँ बराबर हैं, किनारे समबाहु त्रिभुज हैं।" हैम्बिज, गिक और अन्य की पुस्तकों में इस विषय पर कुछ विचार दिए गए हैं।

अर्ध-अष्टफलकीय कोण का क्या लाभ है? पुरातत्वविदों और इतिहासकारों के विवरण के अनुसार, कुछ पिरामिड अपने ही वजन के कारण ढह गए। जिस चीज़ की आवश्यकता थी वह एक "स्थायित्व कोण" थी, एक ऐसा कोण जो ऊर्जावान रूप से सबसे विश्वसनीय था। विशुद्ध रूप से अनुभवजन्य रूप से, इस कोण को सूखी रेत के ढेर में शीर्ष कोण से लिया जा सकता है। लेकिन सटीक डेटा प्राप्त करने के लिए, आपको एक मॉडल का उपयोग करने की आवश्यकता है। चार मजबूती से तय की गई गेंदों को लेते हुए, आपको उन पर पांचवीं गेंद रखनी होगी और झुकाव के कोण को मापना होगा। हालाँकि, आप यहां गलती कर सकते हैं, इसलिए एक सैद्धांतिक गणना मदद करती है: आपको गेंदों के केंद्रों को रेखाओं से जोड़ना चाहिए (मानसिक रूप से)। आधार एक वर्ग होगा जिसकी भुजा त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी। वर्ग पिरामिड का सिर्फ आधार होगा, जिसके किनारों की लंबाई भी त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी।

इस प्रकार, 1:4 जैसी गेंदों की एक करीबी पैकिंग हमें एक नियमित अर्ध-ऑक्टाहेड्रोन देगी।

हालाँकि, कई पिरामिड, समान आकार की ओर आकर्षित होते हुए भी इसे बरकरार क्यों नहीं रखते? पिरामिड संभवतः पुराने हो रहे हैं। प्रसिद्ध कहावत के विपरीत:

"दुनिया में हर चीज समय से डरती है, और समय पिरामिड से डरता है," पिरामिड की इमारतों की उम्र होनी चाहिए, न केवल बाहरी अपक्षय की प्रक्रियाएं उनमें हो सकती हैं और होनी भी चाहिए, बल्कि आंतरिक "संकोचन" की प्रक्रियाएं भी हो सकती हैं। पिरामिडों के निचले होने का कारण। सिकुड़न इसलिए भी संभव है क्योंकि, जैसा कि डी. डेविडोविट्स के काम से पता चला है, प्राचीन मिस्रवासी चूने के चिप्स से, दूसरे शब्दों में, "कंक्रीट" से ब्लॉक बनाने की तकनीक का इस्तेमाल करते थे। यह बिल्कुल ऐसी ही प्रक्रियाएं हैं जो काहिरा से 50 किमी दक्षिण में स्थित मेडम पिरामिड के विनाश का कारण बता सकती हैं। यह 4600 वर्ष पुराना है, आधार का आयाम 146 x 146 मीटर, ऊंचाई 118 मीटर है। वी. ज़मारोव्स्की पूछते हैं, "यह इतना विकृत क्यों है?" समय के विनाशकारी प्रभावों और "अन्य इमारतों के लिए पत्थर के उपयोग" के सामान्य संदर्भ यहां उपयुक्त नहीं हैं।

आख़िरकार, इसके अधिकांश ब्लॉक और फेसिंग स्लैब आज तक अपनी जगह पर बने हुए हैं, इसके तल पर खंडहर हैं।" जैसा कि हम देखेंगे, कई प्रावधान हमें यह सोचने पर भी मजबूर करते हैं कि चेप्स का प्रसिद्ध पिरामिड भी "सिकुड़ा हुआ" है। किसी भी स्थिति में, सभी प्राचीन छवियों में पिरामिड नुकीले होते हैं...

पिरामिडों का आकार नकल द्वारा भी तैयार किया जा सकता था: कुछ प्राकृतिक नमूने, "चमत्कारिक पूर्णता", कहते हैं, अष्टफलक के रूप में कुछ क्रिस्टल।

समान क्रिस्टल हीरे और सोने के क्रिस्टल हो सकते हैं। विशेषता एक बड़ी संख्या कीफिरौन, सूर्य, सोना, हीरा जैसी अवधारणाओं के लिए "अतिव्यापी" संकेत। हर जगह - महान, प्रतिभाशाली (शानदार), महान, त्रुटिहीन, इत्यादि। समानताएं आकस्मिक नहीं हैं.

जैसा कि ज्ञात है, सौर पंथ प्राचीन मिस्र के धर्म का एक महत्वपूर्ण हिस्सा था। "कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पिरामिडों में सबसे महान के नाम का अनुवाद कैसे करते हैं," उनमें से एक नोट करता है आधुनिक सहायता- "खुफू का आकाश" या "खुफू का आकाश", इसका मतलब था कि राजा सूर्य है।" यदि खुफू ने अपनी शक्ति की चमक में खुद को दूसरा सूर्य होने की कल्पना की, तो उसका पुत्र जेडेफ-रा बन गया मिस्र के पहले राजा जिन्होंने खुद को "रा का पुत्र" कहा, यानी सूर्य का पुत्र। लगभग सभी लोगों के बीच सूर्य को "सौर धातु", सोना का प्रतीक माना जाता था। बड़ी डिस्कचमकीला सोना" - इसे मिस्रवासी हमारा दिन का प्रकाश कहते थे। मिस्रवासी सोने को भली-भांति जानते थे, वे इसके मूल स्वरूप को जानते थे, जहां सोने के क्रिस्टल अष्टफलक के रूप में दिखाई दे सकते हैं।

"सूरज पत्थर" - हीरा - यहाँ "रूपों के नमूने" के रूप में भी दिलचस्प है। हीरे का नाम ठीक यहीं से आया अरब दुनिया, "अल्मास" - सबसे कठोर, सबसे कठोर, अविनाशी। प्राचीन मिस्रवासी हीरे और उसके गुणों को अच्छी तरह से जानते थे। कुछ लेखकों के अनुसार, उन्होंने ड्रिलिंग के लिए हीरे के कटर के साथ कांस्य ट्यूबों का भी उपयोग किया।

वर्तमान में हीरे का मुख्य आपूर्तिकर्ता है दक्षिण अफ्रीका, लेकिन पश्चिमी अफ़्रीका हीरों से भी समृद्ध है। माली गणराज्य के क्षेत्र को "डायमंड लैंड" भी कहा जाता है। इस बीच, यह माली के क्षेत्र में है कि डोगोन रहते हैं, जिनके साथ पेलियो-विज़िट परिकल्पना के समर्थकों को कई उम्मीदें हैं (नीचे देखें)। इस क्षेत्र के साथ प्राचीन मिस्रवासियों के संपर्क का कारण हीरे नहीं हो सकते थे। हालाँकि, एक तरह से या किसी अन्य, यह संभव है कि यह हीरे और सोने के क्रिस्टल के अष्टधातु की नकल करके ही था कि प्राचीन मिस्रियों ने फिरौन को हीरे की तरह "अविनाशी" और सोने की तरह "शानदार" सूर्य के पुत्र, तुलनीय बताया। केवल सबसे ज्यादा के लिए अद्भुत रचनाएँप्रकृति।

निष्कर्ष:

एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड का अध्ययन करने, उसके तत्वों और गुणों से परिचित होने के बाद, हम पिरामिड के आकार की सुंदरता के बारे में राय की वैधता के बारे में आश्वस्त हुए।

हमारे शोध के परिणामस्वरूप, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि मिस्रवासियों ने, सबसे मूल्यवान गणितीय ज्ञान एकत्र करके, इसे एक पिरामिड में समाहित किया। इसलिए, पिरामिड वास्तव में प्रकृति और मनुष्य की सबसे उत्तम रचना है।

ग्रंथ सूची

"ज्यामिति: पाठ्यपुस्तक। 7-9 ग्रेड के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान\, आदि - 9वां संस्करण - एम.: शिक्षा, 1999

स्कूल में गणित का इतिहास, एम: "प्रोस्वेशचेनी", 1982।

ज्यामिति 10-11 ग्रेड, एम: "ज्ञानोदय", 2000

पीटर टॉमपकिंस "चेप्स के महान पिरामिड का रहस्य", एम: "त्सेंट्रोपोलिग्राफ", 2005।

इंटरनेट संसाधन

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html