भिन्न को नियमित संख्या में कैसे बदलें। भिन्न को समझने योग्य संख्या में बदलना

गणितीय-कैलकुलेटर-ऑनलाइन v.1.0

कैलकुलेटर निम्नलिखित ऑपरेशन करता है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, दशमलव के साथ काम करना, मूल निष्कर्षण, घातांक, प्रतिशत गणना और अन्य ऑपरेशन।

समाधान:

गणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चाबी	पद का नाम	स्पष्टीकरण
5	संख्या 0-9	अरबी अंक. प्राकृतिक पूर्णांक दर्ज करना, शून्य. ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त करने के लिए, आपको +/- कुंजी दबानी होगी
.	अवधि (अल्पविराम)	दशमलव अंश को इंगित करने के लिए विभाजक। यदि बिंदु (अल्पविराम) से पहले कोई संख्या नहीं है, तो कैलकुलेटर स्वचालित रूप से बिंदु से पहले शून्य डाल देगा। उदाहरण के लिए: .5 - 0.5 लिखा जाएगा
+	धन चिह्न	संख्याएँ जोड़ना (पूर्णांक, दशमलव)
-	ऋण चिह्न	संख्याओं को घटाना (पूर्णांक, दशमलव)
÷	विभाजन चिह्न	विभाजक संख्याएँ (पूर्णांक, दशमलव)
एक्स	गुणन चिन्ह	संख्याओं का गुणन (पूर्णांक, दशमलव)
√	जड़	किसी संख्या का मूल निकालना. जब आप "रूट" बटन को दोबारा दबाते हैं, तो परिणाम के रूट की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए: 16 का मूल = 4; 4 का मूल = 2
एक्स 2	बराबरी	किसी संख्या का वर्ग निकालना. जब आप "वर्गीकरण" बटन को दोबारा दबाते हैं, तो परिणाम वर्गांकित हो जाता है, उदाहरण के लिए: वर्ग 2 = 4; वर्ग 4 = 16
1/x	अंश	दशमलव अंशों में आउटपुट. अंश 1 है, हर दर्ज की गई संख्या है
%	प्रतिशत	किसी संख्या का प्रतिशत प्राप्त करना। काम करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा: वह संख्या जिससे प्रतिशत की गणना की जाएगी, चिह्न (प्लस, माइनस, विभाजित, गुणा), संख्यात्मक रूप में कितने प्रतिशत, "%" बटन
(	खुला कोष्ठक	गणना प्राथमिकता निर्दिष्ट करने के लिए एक खुला कोष्ठक। एक बंद कोष्ठक आवश्यक है. उदाहरण: (2+3)*2=10
)	बंद कोष्ठक	गणना प्राथमिकता निर्दिष्ट करने के लिए एक बंद कोष्ठक। एक खुला कोष्ठक आवश्यक है
±	धन ऋण	उलटा संकेत
=	के बराबर होती है	समाधान का परिणाम प्रदर्शित करता है. कैलकुलेटर के ऊपर, "समाधान" फ़ील्ड में, मध्यवर्ती गणना और परिणाम प्रदर्शित होते हैं।
←	एक चरित्र हटाना	अंतिम अक्षर हटा देता है
साथ	रीसेट करें	बटन को रीसेट करें। कैलकुलेटर को पूरी तरह से "0" स्थिति पर रीसेट कर देता है

उदाहरणों का उपयोग करके ऑनलाइन कैलकुलेटर का एल्गोरिदम

जोड़ना।

पूर्णांकों का योग प्राकृतिक संख्या { 5 + 7 = 12 }

पूर्णांक प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का योग (5 + (-2) = 3)

दशमलव भिन्नों को जोड़ना (0.3 + 5.2 = 5.5)

घटाव.

प्राकृत पूर्णांकों को घटाने पर (7 - 5 = 2)

प्राकृतिक और ऋणात्मक पूर्णांकों को घटाने पर (5 - (-2) = 7)

दशमलव भिन्नों को घटाना (6.5 - 1.2 = 4.3)

गुणन.

प्राकृत पूर्णांकों का गुणनफल (3 * 7 = 21)

प्राकृत और ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल (5 * (-3) = -15 )

दशमलव भिन्नों का गुणनफल (0.5 * 0.6 = 0.3)

विभाजन।

प्राकृत पूर्णांकों का विभाजन (27/3=9)

प्राकृतिक और ऋणात्मक पूर्णांकों का विभाजन (15 / (-3) = -5)

दशमलव भिन्नों का विभाजन (6.2/2 = 3.1)

किसी संख्या का मूल निकालना.

किसी पूर्णांक का मूल निकालना (मूल(9) = 3)

दशमलव भिन्नों का मूल निकालना (मूल(2.5) = 1.58)

संख्याओं के योग का मूल निकालना (मूल(56 + 25) = 9)

संख्याओं के बीच अंतर का मूल निकालना (मूल (32 – 7) = 5)

किसी संख्या का वर्ग निकालना.

एक पूर्णांक का वर्ग करने पर ((3)2=9)

दशमलव का वर्ग करना ((2,2)2 = 4.84)

दशमलव भिन्नों में रूपांतरण.

किसी संख्या के प्रतिशत की गणना करना

संख्या 230 को 15% बढ़ाएँ (230 + 230 * 0.15 = 264.5)

संख्या 510 को 35% कम करें (510 - 510 * 0.35 = 331.5)

संख्या 140 का 18% है (140 * 0.18 = 25.2)

ऐसा प्रतीत होता है कि दशमलव भिन्न को नियमित भिन्न में बदलना एक प्रारंभिक विषय है, लेकिन कई छात्र इसे समझ नहीं पाते हैं! इसलिए आज हम एक साथ कई एल्गोरिदम पर विस्तार से नजर डालेंगे, जिसकी मदद से आप किसी भी भिन्न को महज एक सेकंड में समझ जाएंगे।

मैं आपको याद दिला दूं कि एक ही भिन्न को लिखने के कम से कम दो रूप होते हैं: सामान्य और दशमलव। दशमलव भिन्न 0.75 के रूप की सभी प्रकार की रचनाएँ हैं; 1.33; और यहां तक ​​कि −7.41 भी. यहां सामान्य भिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं जो समान संख्याओं को व्यक्त करते हैं:

आइए अब इसका पता लगाएं: दशमलव अंकन से नियमित अंकन की ओर कैसे जाएं? और सबसे महत्वपूर्ण बात: इसे यथाशीघ्र कैसे करें?

बुनियादी एल्गोरिथ्म

वास्तव में, कम से कम दो एल्गोरिदम हैं। और अब हम दोनों को देखेंगे। आइए पहले वाले से शुरू करें - सबसे सरल और सबसे समझने योग्य।

दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, आपको तीन चरणों का पालन करना होगा:

ऋणात्मक संख्याओं के बारे में एक महत्वपूर्ण नोट. यदि मूल उदाहरण में दशमलव अंश के सामने ऋण चिह्न है, तो आउटपुट में साधारण अंश के सामने ऋण चिह्न भी होना चाहिए। यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

भिन्नों के दशमलव अंकन से सामान्य अंशों में संक्रमण के उदाहरण

मैं अंतिम उदाहरण पर विशेष ध्यान देना चाहूँगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, भिन्न 0.0025 में दशमलव बिंदु के बाद कई शून्य होते हैं। इस वजह से, आपको अंश और हर को 10 से चार गुना तक गुणा करना होगा। क्या इस मामले में एल्गोरिदम को किसी तरह सरल बनाना संभव है?

निःसंदेह तुमसे हो सकता है। और अब हम एक वैकल्पिक एल्गोरिदम देखेंगे - इसे समझना थोड़ा अधिक कठिन है, लेकिन थोड़े अभ्यास के बाद यह मानक एल्गोरिदम की तुलना में बहुत तेजी से काम करता है।

तेज़ तरीका

इस एल्गोरिदम के भी 3 चरण हैं। दशमलव से भिन्न प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्य करें:

1. गिनें कि दशमलव बिंदु के बाद कितने अंक हैं। उदाहरण के लिए, अंश 1.75 में दो ऐसे अंक हैं, और 0.0025 में चार हैं। आइए इस मात्रा को $n$ अक्षर से निरूपित करें।
2. मूल संख्या को $\frac(a)(((10)^(n)))$ के अंश के रूप में फिर से लिखें, जहां $a$ मूल भिन्न के सभी अंक हैं (बिना "प्रारंभिक" शून्य के) बाएँ, यदि कोई हो), और $n$ दशमलव बिंदु के बाद अंकों की वही संख्या है जिसकी हमने पहले चरण में गणना की थी। दूसरे शब्दों में, आपको मूल अंश के अंकों को एक से विभाजित करना होगा और उसके बाद $n$ शून्य से विभाजित करना होगा।
3. यदि संभव हो तो परिणामी अंश को कम करें।

इतना ही! पहली नज़र में, यह योजना पिछली योजना से अधिक जटिल है। लेकिन वास्तव में यह सरल और तेज़ दोनों है। अपने लिए जज करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, भिन्न 0.64 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं - 6 और 4। इसलिए $n=2$। यदि हम बाईं ओर अल्पविराम और शून्य हटा दें (इस मामले में, केवल एक शून्य), तो हमें संख्या 64 मिलती है। चलिए दूसरे चरण पर चलते हैं: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, इसलिए, हर ठीक एक सौ है। खैर, फिर जो कुछ बचा है वह अंश और हर को कम करना है :)

एक अन्य उदाहरण:

यहां सब कुछ थोड़ा अधिक जटिल है। सबसे पहले, दशमलव बिंदु के बाद पहले से ही 3 संख्याएँ हैं, अर्थात। $n=3$, इसलिए आपको $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$ से विभाजित करना होगा। दूसरे, यदि हम दशमलव संकेतन से अल्पविराम हटाते हैं, तो हमें यह मिलता है: 0.004 → 0004। याद रखें कि बाईं ओर के शून्य को हटा दिया जाना चाहिए, इसलिए वास्तव में हमारे पास संख्या 4 है। फिर सब कुछ सरल है: विभाजित करें, घटाएं और प्राप्त करें उत्तर.

अंत में, अंतिम उदाहरण:

इस अंश की विशिष्टता एक संपूर्ण भाग की उपस्थिति है। इसलिए, हमें जो आउटपुट मिलता है वह 47/25 का एक अनुचित अंश है। बेशक, आप शेषफल के साथ 47 को 25 से विभाजित करने का प्रयास कर सकते हैं और इस प्रकार फिर से पूरे भाग को अलग कर सकते हैं। लेकिन अगर यह परिवर्तन के चरण में किया जा सकता है तो अपने जीवन को जटिल क्यों बनाएं? खैर, आइए इसका पता लगाएं।

पूरे हिस्से का क्या करें

वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है: यदि हम एक उचित अंश प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें परिवर्तन के दौरान इसमें से पूरे भाग को हटाना होगा, और फिर, जब हमें परिणाम मिलता है, तो इसे अंश रेखा से पहले दाईं ओर फिर से जोड़ना होगा। .

उदाहरण के लिए, उसी संख्या पर विचार करें: 1.88. आइए एक (संपूर्ण भाग) से स्कोर करें और अंश 0.88 देखें। इसे आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है:

फिर हम "खोई हुई" इकाई के बारे में याद करते हैं और इसे सामने जोड़ते हैं:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

इतना ही! उत्तर वही निकला जो पिछली बार पूरा भाग चुनने के बाद आया था। कुछ और उदाहरण:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(संरेखित करें)\]

यह गणित की सुंदरता है: चाहे आप किसी भी रास्ते पर जाएँ, यदि सभी गणनाएँ सही ढंग से की जाती हैं, तो उत्तर हमेशा एक ही होगा :)

अंत में, मैं एक और तकनीक पर विचार करना चाहूंगा जो कई लोगों की मदद करती है।

परिवर्तन "कान से"

आइए विचार करें कि दशमलव सम क्या होता है। अधिक सटीक रूप से, हम इसे कैसे पढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 0.64 - हम इसे "शून्य दशमलव 64 सौवां" के रूप में पढ़ते हैं, है ना? खैर, या सिर्फ "64 सौवां"। यहाँ मुख्य शब्द "सैकड़वाँ" है, अर्थात्। 100 नंबर.

0.004 के बारे में क्या? यह "शून्य दशमलव 4 हजारवां" या बस "चार हजारवां" है। इस तरह या किसी और तरह, कीवर्ड- "हजारवां", यानी। 1000.

तो इसमें बड़ी बात क्या है? और तथ्य यह है कि ये संख्याएँ ही हैं जो अंततः एल्गोरिथम के दूसरे चरण में हर में "पॉप अप" होती हैं। वे। 0.004 "चार हजारवां" या "4 को 1000 से विभाजित" है:

स्वयं अभ्यास करने का प्रयास करें - यह बहुत सरल है। मुख्य बात मूल अंश को सही ढंग से पढ़ना है। उदाहरण के लिए, 2.5 "2 पूर्ण, 5 दसवां" है, इसलिए

और कुछ 1.125 "1 पूर्ण, 125 हजारवां" है, इसलिए

पिछले उदाहरण में, निश्चित रूप से, कोई यह कहते हुए आपत्ति करेगा कि यह प्रत्येक छात्र के लिए स्पष्ट नहीं है कि 1000, 125 से विभाज्य है। लेकिन यहां आपको यह याद रखना होगा कि 1000 = 10 3, और 10 = 2 ∙ 5, इसलिए

\[\begin(संरेखित करें)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(संरेखित)\]

इस प्रकार, दस की किसी भी घात को केवल गुणनखंड 2 और 5 में विघटित किया जा सकता है - इन कारकों को अंश में देखने की आवश्यकता है ताकि अंत में सब कुछ कम हो जाए।

इससे पाठ समाप्त होता है। आइए अधिक जटिल रिवर्स ऑपरेशन की ओर आगे बढ़ें - देखें "

बड़ी संख्या में छात्र, और न केवल, सोच रहे हैं कि भिन्न को संख्या में कैसे बदला जाए। ऐसा करने के लिए, कई काफी सरल और समझने योग्य तरीके हैं। किसी विशिष्ट पद्धति का चुनाव निर्णायक की प्राथमिकताओं पर निर्भर करता है।

सबसे पहले, आपको यह जानना होगा कि भिन्न कैसे लिखे जाते हैं। और वे इस प्रकार लिखे गए हैं:

1. साधारण। इसे तिरछा या स्तंभ (1/2) का उपयोग करके अंश और हर के साथ लिखा जाता है।
2. दशमलव. इसे अल्पविराम (1.0, 2.5, इत्यादि) से अलग करके लिखा जाता है।

इससे पहले कि आप हल करना शुरू करें, आपको यह जानना होगा कि अनुचित भिन्न क्या है, क्योंकि यह अक्सर होता है। इसका अंश हर से बड़ा है, उदाहरण के लिए, 15/6। इन तरीकों से बिना किसी प्रयास या समय के अनुचित भिन्नों को भी हल किया जा सकता है।

मिश्रित संख्या तब होती है जब परिणाम एक पूर्ण संख्या और एक भिन्नात्मक भाग होता है, उदाहरण के लिए 52/3।

किसी भी प्राकृतिक संख्या को पूरी तरह से भिन्न प्राकृतिक हर वाले भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए: 1= 2/2=3/3 = आदि।

आप कैलकुलेटर का उपयोग करके भी अनुवाद कर सकते हैं, लेकिन उनमें से सभी में यह फ़ंक्शन नहीं होता है। एक विशेष इंजीनियरिंग कैलकुलेटर है जिसमें ऐसा कार्य होता है, लेकिन इसका उपयोग करना हमेशा संभव नहीं होता है, खासकर स्कूल में। इसलिए इस विषय को समझ लेना ही बेहतर है.

पहली बात जिस पर आपको ध्यान देना चाहिए वह यह है कि यह कौन सा भिन्न है। यदि इसे अंश के समान मानों से 10 तक आसानी से गुणा किया जा सकता है, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए: आप अंश और हर में साधारण ½ को 5 से गुणा करते हैं और 5/10 प्राप्त करते हैं, जिसे 0.5 के रूप में लिखा जा सकता है।

यह नियम इस तथ्य पर आधारित है कि दशमलव के हर में हमेशा एक गोल मान होता है, जैसे 10,100,1000, इत्यादि।

इससे यह पता चलता है कि यदि आप अंश और हर को गुणा करते हैं, तो आपको गुणन के परिणामस्वरूप हर में बिल्कुल वही मान प्राप्त करने की आवश्यकता होती है, भले ही अंश में कुछ भी आए।

यह याद रखने योग्य है कि कुछ अंशों को परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, ऐसा करने के लिए, आपको समाधान शुरू करने से पहले इसे जांचना होगा।

उदाहरण के लिए: 1.3333, जहां संख्या 3 को अनंत काल तक दोहराया जाता है, और कैलकुलेटर भी इससे छुटकारा नहीं पाएगा। इस समस्या का एकमात्र समाधान यह है कि यदि संभव हो तो इसे पूर्ण संख्या में पूर्णांकित किया जाए। यदि यह संभव नहीं है, तो आपको उदाहरण की शुरुआत में लौटना चाहिए और समस्या के समाधान की शुद्धता की जांच करनी चाहिए, शायद कोई त्रुटि हुई हो;

चित्र 1-3. गुणन द्वारा भिन्नों को परिवर्तित करना।

वर्णित जानकारी को समेकित करने के लिए, निम्नलिखित अनुवाद उदाहरण पर विचार करें:

1. उदाहरण के लिए, आपको 6/20 को दशमलव में बदलना होगा। पहला कदम इसकी जांच करना है, जैसा चित्र 1 में दिखाया गया है।
2. जब आप आश्वस्त हो जाएं कि इसे विघटित किया जा सकता है, जैसा कि इस मामले में 2 और 5 में किया जा सकता है, केवल तभी आपको अनुवाद शुरू करना चाहिए।
3. अधिकांश सरल विकल्पहर को गुणा करेगा, जिसके परिणामस्वरूप परिणाम 100 होगा, जो कि 5 है, क्योंकि 20x5=100।
4. चित्र 2 में उदाहरण के बाद, परिणाम 0.3 होगा।

आप परिणाम को समेकित कर सकते हैं और चित्र 3 के अनुसार हर चीज की फिर से समीक्षा कर सकते हैं। विषय को पूरी तरह से समझने के लिए और अब इस सामग्री का अध्ययन करने का सहारा नहीं लेना चाहिए। यह ज्ञान न केवल बच्चे, बल्कि वयस्क को भी मदद करेगा।

प्रभाग द्वारा अनुवाद

भिन्नों को परिवर्तित करने का दूसरा विकल्प थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन अधिक लोकप्रिय है। इस विधि का प्रयोग मुख्यतः विद्यालयों में शिक्षकों द्वारा समझाने के लिए किया जाता है। कुल मिलाकर, इसे समझाना बहुत आसान है और समझने में तेज़ है।

यह याद रखने योग्य है कि एक साधारण भिन्न को सही ढंग से परिवर्तित करने के लिए, आपको उसके अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा। आख़िरकार, यदि आप इसके बारे में सोचें, तो इसका समाधान विभाजन की प्रक्रिया ही है।

इस सरल नियम को समझने के लिए, आपको निम्नलिखित उदाहरण समाधान पर विचार करना होगा:

1. चलिए 78/200 लेते हैं, जिसे दशमलव में बदलने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, 78 को 200 से विभाजित करें, यानी अंश को हर से।
2. लेकिन शुरू करने से पहले, यह जांचने लायक है, जैसा चित्र 4 में दिखाया गया है।
3. एक बार जब आप आश्वस्त हो जाएं कि इसे हल किया जा सकता है, तो आपको प्रक्रिया शुरू करनी चाहिए। ऐसा करने के लिए, किसी कॉलम या कोने में अंश को हर से विभाजित करना उचित है, जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। बी प्राथमिक स्कूलस्कूल इस प्रभाग को पढ़ाते हैं, और इसमें कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए।

चित्र 6 सबसे सामान्य उदाहरणों के उदाहरण दिखाता है जिन्हें आप आसानी से याद रख सकते हैं ताकि, यदि आवश्यक हो, तो आप उन्हें हल करने में समय बर्बाद न करें। आख़िरकार, स्कूल में, प्रत्येक परीक्षा या स्वतंत्र कार्य को हल करने के लिए बहुत कम समय दिया जाता है, इसलिए आपको इसे किसी ऐसी चीज़ पर बर्बाद नहीं करना चाहिए जिसे आप सीख सकते हैं और बस याद रख सकते हैं।

ब्याज हस्तांतरण

प्रतिशत को दशमलव में बदलना भी काफी आसान है। इसे 5वीं कक्षा में और कुछ स्कूलों में उससे भी पहले पढ़ाया जाना शुरू होता है। लेकिन अगर आपके बच्चे को गणित के पाठ के दौरान यह विषय समझ में नहीं आया है, तो आप उसे फिर से स्पष्ट रूप से समझा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह परिभाषा सीखनी चाहिए कि प्रतिशत क्या है।

प्रतिशत किसी संख्या का सौवां हिस्सा है; दूसरे शब्दों में, यह पूरी तरह से मनमाना है। उदाहरण के लिए, 100 से यह 1 होगा इत्यादि।

चित्र 7 ब्याज रूपांतरण का एक स्पष्ट उदाहरण दिखाता है।

प्रतिशत को परिवर्तित करने के लिए, आपको बस % चिह्न को हटाना होगा और फिर इसे 100 से विभाजित करना होगा।

एक अन्य उदाहरण चित्र 8 में दिखाया गया है।

यदि आपको उलटा "रूपांतरण" करने की आवश्यकता है, तो आपको सब कुछ बिल्कुल विपरीत करने की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, संख्या को एक सौ से गुणा किया जाना चाहिए और फिर एक प्रतिशत चिह्न जोड़ा जाना चाहिए।

और सामान्य को प्रतिशत में बदलने के लिए, आप इस उदाहरण का भी उपयोग कर सकते हैं। केवल शुरुआत में ही आपको भिन्न को संख्या में बदलना चाहिए और उसके बाद ही प्रतिशत में।

उपरोक्त के आधार पर आप अनुवाद के सिद्धांत को आसानी से समझ सकते हैं। इन तरीकों का उपयोग करके, आप किसी बच्चे को कोई विषय समझा सकते हैं यदि वह इसे समझ नहीं पाया है या इसके पूरा होने के समय पाठ में मौजूद नहीं था।

और आपके बच्चे को भिन्न को संख्या या प्रतिशत में कैसे परिवर्तित करें, यह समझाने के लिए किसी शिक्षक को नियुक्त करने की आवश्यकता कभी नहीं होगी।

इस लेख में हम देखेंगे कि कैसे भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करना, और विपरीत प्रक्रिया पर भी विचार करें - दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना। यहां हम भिन्नों को परिवर्तित करने के नियमों की रूपरेखा तैयार करेंगे और देंगे विस्तृत समाधानविशिष्ट उदाहरण.

पेज नेविगेशन.

भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए हम उस क्रम को निरूपित करें जिसमें हम निपटेंगे भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करना.

सबसे पहले, हम देखेंगे कि 10, 100, 1,000, ... वाले भिन्नों को दशमलव के रूप में कैसे दर्शाया जाए। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि दशमलव भिन्न मूलतः 10, 100, ... वाले हर के साथ साधारण भिन्न लिखने का एक संक्षिप्त रूप है।

उसके बाद, हम आगे बढ़ेंगे और दिखाएंगे कि किसी भी साधारण भिन्न (सिर्फ हर 10, 100,... वाले भिन्न को नहीं) को दशमलव भिन्न के रूप में कैसे लिखा जाता है। जब साधारण भिन्नों का इस प्रकार उपचार किया जाता है, तो परिमित दशमलव भिन्न और अनंत आवर्त दशमलव भिन्न दोनों प्राप्त होते हैं।

अब सब कुछ के बारे में क्रम से बात करते हैं।

10, 100, ... हर वाली सामान्य भिन्नों को दशमलव में बदलना

कुछ उचित भिन्नों को दशमलव में बदलने से पहले "प्रारंभिक तैयारी" की आवश्यकता होती है। यह सामान्य भिन्नों पर लागू होता है, जिनके अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या से कम होती है। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 2/100 को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए पहले तैयार किया जाना चाहिए, लेकिन भिन्न 9/10 को किसी तैयारी की आवश्यकता नहीं है।

दशमलव भिन्नों में रूपांतरण के लिए उचित साधारण भिन्नों की "प्रारंभिक तैयारी" में अंश के बाईं ओर इतने सारे शून्य जोड़ना शामिल है कि कुल मात्राअंक हर में शून्य की संख्या के बराबर हो गए। उदाहरण के लिए, शून्य जोड़ने के बाद एक भिन्न जैसा दिखेगा।

एक बार जब आपके पास उचित भिन्न तैयार हो जाए, तो आप इसे दशमलव में परिवर्तित करना शुरू कर सकते हैं।

आइए देते हैं 10, या 100, या 1,000, ... के हर के साथ एक उचित सामान्य भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने का नियम. इसमें तीन चरण होते हैं:

• लिखें 0;
• इसके बाद हम एक दशमलव बिंदु लगाते हैं;
• हम अंश-गणक से संख्या लिखते हैं (यदि हमने उन्हें जोड़ा है तो जोड़े गए शून्य के साथ)।

आइए उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

उचित भिन्न 37/100 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

हर में संख्या 100 होती है, जिसमें दो शून्य होते हैं। अंश में संख्या 37 होती है, इसके अंकन में दो अंक होते हैं, इसलिए, इस भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए तैयार करने की आवश्यकता नहीं होती है।

अब हम 0 लिखते हैं, एक दशमलव बिंदु लगाते हैं, और अंश से संख्या 37 लिखते हैं, और हमें दशमलव अंश 0.37 मिलता है।

उत्तर:

0,37 .

अंश 10, 100, ... वाले उचित साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदलने के कौशल को मजबूत करने के लिए, हम एक अन्य उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

उचित भिन्न 107/10,000,000 को दशमलव के रूप में लिखें।

समाधान।

अंश में अंकों की संख्या 3 है, और हर में शून्य की संख्या 7 है, इसलिए दशमलव में रूपांतरण के लिए इस सामान्य भिन्न को तैयार करने की आवश्यकता है। हमें अंश में बाईं ओर 7-3=4 शून्य जोड़ने की आवश्यकता है ताकि वहां अंकों की कुल संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। हम पाते हैं।

जो कुछ बचा है वह आवश्यक दशमलव अंश बनाना है। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम 0 लिखते हैं, दूसरे, हम अल्पविराम लगाते हैं, तीसरा, हम अंश से संख्या को शून्य 0000107 के साथ लिखते हैं, परिणामस्वरूप हमें दशमलव अंश 0.0000107 मिलता है।

उत्तर:

0,0000107 .

अनुचित भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करते समय किसी तैयारी की आवश्यकता नहीं होती है। निम्नलिखित का पालन किया जाना चाहिए 10, 100, ... वाले हर वाले अनुचित भिन्नों को दशमलव में बदलने के नियम:

• अंश-गणक से संख्या लिखिए;
• हम दाहिनी ओर के उतने अंकों को अलग करने के लिए दशमलव बिंदु का उपयोग करते हैं जितने मूल भिन्न के हर में शून्य होते हैं।

आइए एक उदाहरण को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग को देखें।

उदाहरण।

अनुचित भिन्न 56,888,038,009/100,000 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

सबसे पहले, हम अंश 56888038009 से संख्या लिखते हैं, और दूसरी बात, हम दाईं ओर के 5 अंकों को दशमलव बिंदु से अलग करते हैं, क्योंकि मूल भिन्न के हर में 5 शून्य होते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास दशमलव अंश 568880.38009 है।

उत्तर:

568 880,38009 .

किसी मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए, जिसके भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 10, या 100, या 1,000, ... है, आप मिश्रित संख्या को एक अनुचित साधारण भिन्न में बदल सकते हैं, और फिर परिणामी को परिवर्तित कर सकते हैं भिन्न को दशमलव भिन्न में। लेकिन आप निम्नलिखित का भी उपयोग कर सकते हैं 10, या 100, या 1,000, के भिन्नात्मक हर वाली मिश्रित संख्याओं को दशमलव भिन्नों में बदलने का नियम:

• यदि आवश्यक हो, तो हम अंश में बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर मूल मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग की "प्रारंभिक तैयारी" करते हैं;
• मूल मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग लिखिए;
• दशमलव बिंदु लगाएं;
• हम अंश-गणक से संख्या को जोड़े गए शून्य के साथ लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें जिसमें हम एक मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए सभी आवश्यक चरण पूरे करते हैं।

उदाहरण।

मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें.

समाधान।

भिन्नात्मक भाग के हर में 4 शून्य होते हैं, और अंश में 17 संख्या होती है, जिसमें 2 अंक होते हैं, इसलिए, हमें अंश में बाईं ओर दो शून्य जोड़ने की आवश्यकता है ताकि वहां अंकों की संख्या के बराबर हो जाए हर में शून्य. ऐसा करने पर अंश 0017 होगा।

अब हम मूल संख्या का पूरा भाग, यानी संख्या 23 लिखते हैं, एक दशमलव बिंदु लगाते हैं, जिसके बाद हम अंश से संख्या को जोड़े गए शून्य के साथ लिखते हैं, यानी 0017, और हमें वांछित दशमलव मिलता है अंश 23.0017.

आइए संपूर्ण समाधान को संक्षेप में लिखें: .

निःसंदेह, पहले मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना और फिर उसे दशमलव भिन्न में परिवर्तित करना संभव था। इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखता है:।

उत्तर:

23,0017 .

भिन्नों को परिमित और अनंत आवर्त दशमलवों में परिवर्तित करना

न केवल 10, 100, ... वाले साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदला जा सकता है, बल्कि अन्य हर वाले साधारण भिन्नों को भी दशमलव भिन्नों में बदला जा सकता है। अब हम यह पता लगाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

कुछ मामलों में, मूल साधारण भिन्न को आसानी से 10, या 100, या 1,000, ... में से किसी एक में घटा दिया जाता है (एक साधारण भिन्न को एक नए हर में लाते हुए देखें), जिसके बाद परिणामी भिन्न का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल नहीं होता है दशमलव अंश के रूप में. उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि भिन्न 2/5 को हर 10 वाली भिन्न में घटाया जा सकता है, इसके लिए आपको अंश और हर को 2 से गुणा करना होगा, जिससे भिन्न 4/10 मिलेगा, जो कि, के अनुसार पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों को आसानी से दशमलव अंश 0, 4 में परिवर्तित किया जा सकता है।

अन्य मामलों में, आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने की दूसरी विधि का उपयोग करना होगा, जिस पर अब हम विचार करने के लिए आगे बढ़ेंगे।

एक साधारण अंश को दशमलव अंश में बदलने के लिए, अंश के अंश को हर से विभाजित किया जाता है, अंश को पहले दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या में शून्य के साथ एक समान दशमलव अंश से बदल दिया जाता है (हमने इसके बारे में अनुभाग बराबर और में बात की है) असमान दशमलव अंश)। इस मामले में, विभाजन उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन किया जाता है, और भागफल में एक दशमलव बिंदु रखा जाता है जब लाभांश के पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाता है। नीचे दिए गए उदाहरणों के समाधान से यह सब स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण।

भिन्न 621/4 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

आइए अंश 621 में संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में निरूपित करें, एक दशमलव बिंदु और उसके बाद कई शून्य जोड़ें। पहले, आइए 2 अंक 0 जोड़ें, बाद में, यदि आवश्यक हो, तो हम हमेशा और शून्य जोड़ सकते हैं। तो, हमारे पास 621.00 है।

आइए अब संख्या 621,000 को एक कॉलम से 4 से विभाजित करें। पहले तीन चरण प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने से अलग नहीं हैं, जिसके बाद हम निम्नलिखित चित्र पर पहुंचते हैं:

इस प्रकार हम लाभांश में दशमलव बिंदु तक पहुंचते हैं, और शेष शून्य से भिन्न होता है। इस मामले में, हम भागफल में एक दशमलव बिंदु डालते हैं और अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए, एक कॉलम में विभाजित करना जारी रखते हैं:

यह विभाजन पूरा करता है, और परिणामस्वरूप हमें दशमलव भिन्न 155.25 प्राप्त होता है, जो मूल साधारण भिन्न से मेल खाता है।

उत्तर:

155,25 .

सामग्री को समेकित करने के लिए, किसी अन्य उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

भिन्न 21/800 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

इस सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, हम दशमलव भिन्न के एक कॉलम से 21,000... को 800 से विभाजित करते हैं। पहले चरण के बाद, हमें भागफल में एक दशमलव बिंदु लगाना होगा, और फिर विभाजन जारी रखना होगा:

अंत में, हमें शेषफल 0 मिला, इससे सामान्य भिन्न 21/400 का दशमलव भिन्न में रूपांतरण पूरा हो गया, और हम दशमलव भिन्न 0.02625 पर पहुँच गए।

उत्तर:

0,02625 .

ऐसा हो सकता है कि किसी साधारण भिन्न के अंश को हर से विभाजित करने पर भी हमें 0 का शेषफल न मिले। इन मामलों में, विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। हालाँकि, एक निश्चित चरण से शुरू करके, शेषफल समय-समय पर दोहराना शुरू कर देता है, और भागफल में संख्याएँ भी दोहराई जाती हैं। इसका मतलब यह है कि मूल अंश को अनंत आवधिक दशमलव अंश में बदल दिया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

उदाहरण।

भिन्न 19/44 को दशमलव के रूप में लिखें।

समाधान।

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, कॉलम द्वारा विभाजन करें:

यह पहले से ही स्पष्ट है कि विभाजन के दौरान अवशेष 8 और 36 दोहराए जाने लगे, जबकि भागफल में संख्या 1 और 8 दोहराई जाती हैं। इस प्रकार, मूल सामान्य भिन्न 19/44 को आवधिक दशमलव भिन्न 0.43181818...=0.43(18) में बदल दिया जाता है।

उत्तर:

0,43(18) .

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, हम यह पता लगाएंगे कि कौन सी साधारण भिन्नों को परिमित दशमलव भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है, और कौन सी भिन्नों को केवल आवधिक अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है।

आइए हमारे सामने एक अघुलनशील साधारण अंश है (यदि अंश कम करने योग्य है, तो हम पहले अंश को कम करते हैं), और हमें यह पता लगाना होगा कि इसे किस दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है - परिमित या आवधिक।

यह स्पष्ट है कि यदि एक साधारण भिन्न को हर 10, 100, 1,000, ... में से किसी एक में घटाया जा सकता है, तो परिणामी भिन्न को पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों के अनुसार आसानी से अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन हरों के लिए 10, 100, 1,000, आदि। सभी साधारण भिन्न नहीं दिये गये हैं। केवल वे भिन्न जिनके हर संख्याएँ 10, 100, ... में से कम से कम एक हों, ऐसे हरों में घटाई जा सकती हैं और कौन-सी संख्याएँ 10, 100, ... की भाजक हो सकती हैं? संख्याएँ 10, 100, ... हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देंगी, और वे इस प्रकार हैं: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... इसका तात्पर्य यह है कि भाजक 10, 100, 1,000, आदि हैं। केवल संख्याएँ ही हो सकती हैं जिनका विघटन होता है प्रमुख कारककेवल संख्याएँ 2 और (या) 5 शामिल हैं।

अब हम साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलने के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

• यदि हर के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर केवल संख्याएँ 2 और (या) 5 हैं, तो इस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है;
• यदि हर के विस्तार में दो और पाँच के अलावा अन्य अभाज्य संख्याएँ हों, तो यह भिन्न एक अनंत दशमलव आवर्त भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।

उदाहरण।

सामान्य भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित किए बिना, मुझे बताएं कि 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 में से किस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है, और कौन से को केवल आवधिक भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

समाधान।

भिन्न 47/20 के हर को 20=2·2·5 के रूप में अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है। इस विस्तार में केवल दो और पाँच हैं, इसलिए इस भिन्न को हर 10, 100, 1,000, ... में से किसी एक में घटाया जा सकता है (इस उदाहरण में, हर 100 में), इसलिए, इसे अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

भिन्न 7/12 के हर को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने पर रूप 12=2·2·3 होता है। चूँकि इसमें 2 और 5 से भिन्न, 3 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है, इस भिन्न को एक परिमित दशमलव के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे आवधिक दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है।

अंश 21/56- संकुचनशील, संकुचन के बाद यह 3/8 का रूप ले लेता है। हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर 2 के बराबर तीन गुणनखंड होते हैं, इसलिए, सामान्य भिन्न 3/8, और इसलिए समान भिन्न 21/56, को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

अंततः भिन्न 31/17 के हर का विस्तार 17 ही है, इसलिए इस भिन्न को परिमित दशमलव भिन्न में नहीं, बल्कि अनंत आवर्त भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

उत्तर:

47/20 और 21/56 को एक परिमित दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है, लेकिन 7/12 और 31/17 को केवल एक आवधिक भिन्न में बदला जा सकता है।

साधारण भिन्न अनंत गैर-आवधिक दशमलव में परिवर्तित नहीं होते हैं

पिछले पैराग्राफ की जानकारी इस प्रश्न को जन्म देती है: "क्या भिन्न के अंश को हर से विभाजित करने पर अनंत गैर-आवधिक भिन्न प्राप्त हो सकता है?"

उत्तर: नहीं. किसी सामान्य भिन्न को परिवर्तित करते समय, परिणाम या तो एक परिमित दशमलव भिन्न या अनंत आवधिक दशमलव भिन्न हो सकता है। आइए हम बताते हैं कि ऐसा क्यों है.

शेषफल से विभाज्यता पर प्रमेय से यह स्पष्ट है कि शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है, अर्थात यदि हम किसी पूर्णांक को पूर्णांक q से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 0, 1, 2 में से केवल एक संख्या हो सकता है। , ..., q−1. इसका तात्पर्य यह है कि कॉलम द्वारा साधारण भिन्न के अंश के पूर्णांक भाग को हर q से विभाजित करने के बाद, q से अधिक चरणों में निम्नलिखित दो स्थितियों में से एक उत्पन्न नहीं होगी:

• या हमें 0 का शेषफल मिलेगा, इससे विभाजन समाप्त हो जाएगा, और हमें अंतिम दशमलव अंश प्राप्त होगा;
• या हमें वह शेषफल मिलेगा जो पहले ही आ चुका है, जिसके बाद शेष पिछले उदाहरण की तरह दोहराना शुरू कर देंगे (विभाजित करते समय से) समान संख्या q पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं, जो पहले से उल्लेखित विभाज्यता प्रमेय का अनुसरण करता है), इसके परिणामस्वरूप एक अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त होगा।

कोई अन्य विकल्प नहीं हो सकता है, इसलिए, एक साधारण अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करते समय, एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस पैराग्राफ में दिए गए तर्क से यह भी पता चलता है कि दशमलव अंश की अवधि की लंबाई हमेशा संबंधित साधारण अंश के हर के मान से कम होती है।

दशमलव को भिन्नों में बदलना

अब आइए जानें कि दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदला जाए। आइए अंतिम दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करके प्रारंभ करें। इसके बाद, हम अनंत आवर्त दशमलव भिन्नों को उलटने की एक विधि पर विचार करेंगे। निष्कर्ष में, आइए अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की असंभवता के बारे में कहें।

अनुवर्ती दशमलवों को भिन्नों में परिवर्तित करना

अंतिम दशमलव के रूप में लिखा गया भिन्न प्राप्त करना काफी सरल है। अंतिम दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदलने का नियमइसमें तीन चरण होते हैं:

• सबसे पहले, दिए गए दशमलव अंश को अंश में लिखें, पहले दशमलव बिंदु और बाईं ओर के सभी शून्य, यदि कोई हो, को हटा दें;
• दूसरे, हर में एक लिखें और उसमें उतने ही शून्य जोड़ें जितने मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों;
• तीसरा, यदि आवश्यक हो, परिणामी अंश को कम करें।

आइए उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

दशमलव 3.025 को भिन्न में बदलें।

समाधान।

यदि हम मूल दशमलव अंश से दशमलव बिंदु हटा दें, तो हमें संख्या 3,025 प्राप्त होती है। बायीं ओर कोई शून्य नहीं है जिसे हम हटा दें। तो, हम वांछित भिन्न के अंश में 3,025 लिखते हैं।

हम हर में संख्या 1 लिखते हैं और उसके दाईं ओर 3 शून्य जोड़ते हैं, क्योंकि मूल दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक होते हैं।

तो हमें सामान्य भिन्न 3,025/1,000 मिला। हम पाते हैं कि इस भिन्न को 25 तक कम किया जा सकता है .

उत्तर:

.

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 0.0017 को भिन्न में बदलें।

समाधान।

दशमलव बिंदु के बिना, मूल दशमलव अंश 00017 जैसा दिखता है, बाईं ओर के शून्य को हटाने पर हमें संख्या 17 प्राप्त होती है, जो वांछित साधारण भिन्न का अंश है।

हम हर में चार शून्य के साथ एक लिखते हैं, क्योंकि मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद 4 अंक होते हैं।

परिणामस्वरूप, हमारे पास एक साधारण भिन्न 17/10,000 है। यह अंश अपरिवर्तनीय है, और दशमलव भिन्न का साधारण भिन्न में रूपांतरण पूरा हो गया है।

उत्तर:

.

जब मूल अंतिम दशमलव अंश का पूर्णांक भाग गैर-शून्य होता है, तो इसे सामान्य अंश को दरकिनार करते हुए तुरंत मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है। आइए देते हैं अंतिम दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने का नियम:

• दशमलव बिंदु से पहले की संख्या को वांछित मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग के रूप में लिखा जाना चाहिए;
• भिन्नात्मक भाग के अंश में आपको बाईं ओर के सभी शून्यों को त्यागने के बाद मूल दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग से प्राप्त संख्या लिखनी होगी;
• भिन्नात्मक भाग के हर में आपको संख्या 1 लिखने की आवश्यकता है, जिसमें दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़ें जितने मूल दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं;
• यदि आवश्यक हो, तो परिणामी मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग को कम करें।

आइए दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दशमलव अंश 152.06005 को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त करें

इनका उपयोग अत्यंत व्यापक रूप से और सबसे अधिक मात्रा में किया जाता है विभिन्न क्षेत्र मानवीय गतिविधिचाहे वह वैज्ञानिक और व्यावहारिक कंप्यूटिंग हो, विभिन्न उपकरणों का विकास और संचालन हो, आर्थिक गणनाएं आदि हों। विभिन्न कारणों से इसे लागू करना अक्सर आवश्यक होता है दशमलव रूपांतरण, साथ ही विपरीत प्रक्रिया भी। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समान परिवर्तनअपेक्षाकृत आसानी से और कुछ नियमों और तकनीकों के अनुसार तैयार किए जाते हैं जो गणित में कई सैकड़ों वर्षों से मौजूद हैं।

दशमलव भिन्न को अभाज्य भिन्न में बदलना

दशमलव रूपांतरण"साधारण" अंश में यह काफी आसान और सरल है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित तकनीक का उपयोग किया जाता है: मूल संख्या के दशमलव बिंदु के दाईं ओर स्थित संख्या को नए अंश के अंश के रूप में लिया जाता है, संख्या दस को संख्या के बराबर घात तक, हर के रूप में उपयोग किया जाता है अंश के अंकों का. जहाँ तक शेष सम्पूर्ण भाग का प्रश्न है, वह अपरिवर्तित रहता है। यदि पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है, तो परिवर्तन के बाद इसे छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण 1

पचास दशमलव पच्चीस, पचास दशमलव एक के बराबर होता है और पच्चीस को एक सौ से विभाजित करने पर पचास दशमलव एक चौथाई के बराबर होता है।

भिन्न को दशमलव में बदलना

भिन्न को दशमलव में बदलनावास्तव में, इसका उलटा है दशमलव भिन्न को अभाज्य भिन्न में परिवर्तित करना. इसके कार्यान्वयन में भी कोई कठिनाई नहीं होती है और वास्तव में, यह एक काफी सरल अंकगणितीय ऑपरेशन है। के लिए भिन्न को दशमलव में बदलेंआपको कुछ नियमों के अनुसार अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा।

उदाहरण 1

अमल करने की जरूरत है अंश रूपांतरणपाँच आठवाँ भाग दशमलव.

पाँच को आठ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है दशमलवशून्य दशमलव छह सौ पच्चीस हजारवाँ।

=

0.625

भिन्न को दशमलव में बदलने के परिणाम को पूर्णांकित करना

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, जैसी प्रक्रिया के विपरीत दशमलव रूपांतरण, यह प्रक्रिया अक्सर अनिश्चित काल तक चल सकती है। ऐसे मामलों में वे कहते हैं कि प्रक्रिया का परिणाम भिन्न को दशमलव में परिवर्तित करनासटीक नहीं हो सकता. हालाँकि, अभ्यास से पता चलता है कि अधिकांश मामलों में, बिल्कुल सटीक परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं होती है। एक नियम के रूप में, विभाजन प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब वह पहले से ही उन दशमलव अंशों के मान प्राप्त कर लेती है जो प्रत्येक का प्रतिनिधित्व करते हैं विशिष्ट मामलाव्यावहारिक रुचि.

उदाहरण 1

आपको एक किलोग्राम वजन वाले मक्खन के टुकड़े को बराबर वजन के नौ टुकड़ों में काटने की जरूरत है। इस प्रक्रिया को करते समय, यह पता चलता है कि उनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान 1/9 किलोग्राम है। यदि सभी नियमों के अनुसार किया जाए परिवर्तनयह सामान्य अंशवी दशमलव अंश, तो यह पता चलता है कि परिणामी भागों में से प्रत्येक का द्रव्यमान शून्य पूर्णांक और एक किलोग्राम की अवधि में एक के बराबर है।

अंकगणित में दिए गए मानक नियमों के अनुसार पूर्णांकन किया जाता है: यदि "खारिज" अंकों में से पहले का मान 5 या अधिक है, तो अंतिम महत्वपूर्ण अंकों में एक की वृद्धि की जाती है। अन्यथा यह अपरिवर्तित रहता है.

उदाहरण 2

अंश परिवर्तित करेंएक आठवें से दशमलव अंश तक।

जब किसी को आठ से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम शून्य दशमलव एक सौ पच्चीस हजारवां होता है, या पूर्णांकित - शून्य दशमलव तेरह सौवां होता है।