Fraktalai gamtoje 9 raidės. Fraktalai
Dažnai nuostabūs mokslo atradimai gali radikaliai pakeisti mūsų gyvenimą. Pavyzdžiui, vakcinos išradimas gali išgelbėti daugybę žmonių, tačiau naujų ginklų sukūrimas veda į žmogžudystes. Žodžiu, vakar (istorijos mastu) žmogus „prisijaukino“ elektrą, o šiandien jau nebeįsivaizduoja savo gyvenimo be jos. Tačiau yra ir atradimų, kurie, kaip sakoma, lieka šešėlyje, nepaisant to, kad ir jie turi vienokią ar kitokią įtaką mūsų gyvenimui. Vienas iš šių atradimų buvo fraktalas. Daugelis žmonių apie šią sąvoką net negirdėjo ir nesugebės paaiškinti jos reikšmės. Šiame straipsnyje pabandysime suprasti klausimą, kas yra fraktalas, ir panagrinėsime šio termino reikšmę mokslo ir gamtos požiūriu.
Tvarka chaose
Kad suprastume, kas yra fraktalas, apibendrinimą turėtume pradėti nuo matematikos pozicijos, tačiau prieš gilindamiesi į tai, šiek tiek pafilosofuosime. Kiekvienas žmogus turi natūralų smalsumą, kurio dėka jis sužino apie jį supantį pasaulį. Dažnai, siekdamas žinių, jis bando vadovautis logika savo sprendimuose. Taigi, analizuodamas aplink vykstančius procesus, jis bando apskaičiuoti ryšius ir išvesti tam tikrus šablonus. Didžiausi planetos protai yra užsiėmę šių problemų sprendimu. Grubiai tariant, mūsų mokslininkai ieško modelių ten, kur jų nėra ir neturėtų būti. Ir vis dėlto net chaose tarp tam tikrų įvykių egzistuoja ryšys. Šis ryšys yra tas, koks yra fraktalas. Kaip pavyzdį apsvarstykite nulūžusią šaką, gulinčią ant kelio. Atidžiau pažvelgę pamatysime, kad su visomis šakomis ir šakelėmis jis pats atrodo kaip medis. Toks atskiros dalies panašumas su viena visuma rodo vadinamąjį rekursyvaus savęs panašumo principą. Fraktalų gamtoje galima rasti visur, nes daugelis neorganinių ir organinių formų susidaro panašiai. Tai debesys, jūros kriauklės, sraigių kriauklės, medžių vainikai ir net kraujotakos sistema. Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visos šios atsitiktinės formos lengvai apibūdinamos fraktaliniu algoritmu. Dabar mes pradėjome apsvarstyti, kas yra fraktalas iš tiksliųjų mokslų perspektyvos.
Keletas sausų faktų
Pats žodis „fraktalas“ iš lotynų kalbos išverstas kaip „dalinis“, „padalytas“, „suskaldytas“, o kalbant apie šio termino turinį, nėra jokios formuluotės. Paprastai jis interpretuojamas kaip į save panašus rinkinys, visumos dalis, kuri atkartoja savo struktūrą mikro lygmeniu. Šį terminą XX amžiaus aštuntajame dešimtmetyje sugalvojo tėvu pripažintas Benoit Mandelbrotas, šiandien fraktalo sąvoka reiškia tam tikros struktūros grafinį vaizdą, kurį padidinus bus panašus į save. Tačiau matematinis pagrindas šios teorijos sukūrimui buvo padėtas dar prieš gimstant pačiam Mandelbrotui, tačiau jis negalėjo išsivystyti, kol neatsirado elektroniniai kompiuteriai.
Istorinis fonas arba kaip viskas prasidėjo
19–20 amžių sandūroje fraktalų prigimties tyrimai buvo pavieniai. Tai paaiškinama tuo, kad matematikai mieliau tyrinėjo objektus, kuriuos būtų galima tirti remiantis bendromis teorijomis ir metodais. 1872 metais vokiečių matematikas K. Weierstrassas sukonstravo niekur nediferencijuojamos tolydžios funkcijos pavyzdį. Tačiau ši konstrukcija pasirodė visiškai abstrakti ir sunkiai suvokiama. Toliau atėjo švedas Helge von Koch, kuris 1904 m. sukonstravo ištisinę kreivę, kuri niekur neturėjo liestinės. Tai gana lengva piešti ir, pasirodo, turi fraktalinių savybių. Vienas iš šios kreivės variantų buvo pavadintas jo autoriaus vardu - „Koch snaigė“. Toliau figūrų panašumo į save idėją išplėtojo būsimas B. Mandelbrot mentorius prancūzas Paulas Levy. 1938 m. jis paskelbė straipsnį „Plokštumos ir erdvinės kreivės ir paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“. Jame jis aprašė naują tipą – Lewy C kreivę. Visos aukščiau pateiktos figūros sutartinai priskiriamos geometriniams fraktalams.
Dinaminiai arba algebriniai fraktalai
Mandelbrot rinkinys priklauso šiai klasei. Pirmieji šios krypties tyrinėtojai buvo prancūzų matematikai Pierre'as Fatou ir Gastonas Julia. 1918 m. Julija paskelbė straipsnį, pagrįstą racionalių sudėtingų funkcijų iteracijų tyrimu. Čia jis aprašė fraktalų šeimą, kuri yra glaudžiai susijusi su Mandelbroto rinkiniu. Nepaisant to, kad šis darbas šlovino autorių tarp matematikų, jis greitai buvo pamirštas. Ir tik po pusės amžiaus kompiuterių dėka Julijos kūryba gavo antrą gyvenimą. Kompiuteriai leido kiekvienam žmogui padaryti matomą fraktalų pasaulio grožį ir turtingumą, kurį matematikai galėjo „pamatyti“ rodydami juos per funkcijas. Mandelbrotas pirmasis panaudojo kompiuterį skaičiavimams atlikti (tokio tūrio negalima atlikti rankiniu būdu), kurie leido sukurti šių figūrų vaizdą.
Asmuo, turintis erdvinę vaizduotę
Mandelbrotas pradėjo savo mokslinę karjerą IBM tyrimų centre. Tyrinėdami duomenų perdavimo dideliais atstumais galimybes, mokslininkai susidūrė su didelių nuostolių, atsiradusių dėl triukšmo trukdžių, faktu. Benoit ieškojo būdų, kaip išspręsti šią problemą. Žvelgdamas į matavimų rezultatus, jis pastebėjo keistą modelį, būtent: triukšmo grafikai skirtingose laiko skalėse atrodė vienodai.
Panašus vaizdas buvo stebimas ir vieną dieną, ir septynias dienas ar valandą. Pats Benoit Mandelbrotas dažnai kartojo, kad jis nedirba su formulėmis, o žaidžia su paveikslėliais. Šis mokslininkas pasižymėjo vaizduotės mąstymu, bet kokią algebrinę problemą jis išvertė į geometrinę sritį, kur teisingas atsakymas yra akivaizdus. Tad nenuostabu, kad jis išsiskiria savo turtais ir tapo fraktalinės geometrijos tėvu. Galų gale, suvokti šią figūrą galima tik tada, kai studijuojate brėžinius ir galvojate apie šių keistų sūkurių, formuojančių modelį, prasmę. Fraktalų modeliai neturi identiškų elementų, tačiau jie yra panašūs bet kokiu mastu.
Julija – Mandelbrotas
Vienas iš pirmųjų šios figūros piešinių buvo grafinė rinkinio interpretacija, kuri gimė iš Gastono Julijos darbų ir buvo toliau plėtojama Mandelbroto. Gastonas bandė įsivaizduoti, kaip atrodytų rinkinys pagal paprastą formulę, kuri buvo kartojama per grįžtamojo ryšio kilpą. Pabandykime paaiškinti, kas buvo pasakyta žmonių kalba, taip sakant, ant pirštų. Konkrečiai skaitinei vertei randame naują reikšmę naudodami formulę. Pakeičiame jį į formulę ir randame taip. Rezultatas didelis.Norint pavaizduoti tokį aibę, šią operaciją reikia atlikti daugybę kartų: šimtus, tūkstančius, milijonus. Tai padarė Benoit. Jis apdorojo seką ir perkėlė rezultatus į grafinę formą. Vėliau jis nuspalvino gautą figūrą (kiekviena spalva atitinka tam tikrą pakartojimų skaičių). Šis grafinis vaizdas buvo pavadintas „Mandelbroto fraktalu“.
L. Carpenter: gamtos sukurtas menas
Fraktalų teorija greitai rado praktinį pritaikymą. Kadangi tai labai glaudžiai susiję su į save panašių vaizdų vizualizavimu, menininkai pirmieji priėmė šių neįprastų formų konstravimo principus ir algoritmus. Pirmoji iš jų buvo būsimoji Pixar įkūrėja Lauren Carpenter. Dirbdamas su orlaivių prototipų pristatymu, jis sugalvojo kaip foną panaudoti kalnų atvaizdą. Šiandien su tokia užduotimi gali susidoroti beveik kiekvienas kompiuterio vartotojas, tačiau praėjusio amžiaus aštuntajame dešimtmetyje kompiuteriai tokių procesų atlikti negalėjo, nes tuo metu nebuvo nei grafinių redaktorių, nei aplikacijų trimačiai grafikai. Ir tada Loren aptiko Mandelbroto knygą „Fraktalai: forma, atsitiktinumas ir matmenys“. Jame Benoit pateikė daug pavyzdžių, rodančių, kad gamtoje egzistuoja fraktalai (fyva), aprašė įvairias jų formas ir įrodė, kad jie lengvai apibūdinami matematinėmis išraiškomis. Matematikas įvardijo šią analogiją kaip argumentą dėl teorijos, kurią jis sukūrė reaguodamas į kolegų kritikos antplūdį, naudingumo. Jie teigė, kad fraktalas yra tik gražus paveikslas, neturi jokios vertės ir yra elektroninių mašinų darbo šalutinis produktas. Carpenter nusprendė išbandyti šį metodą praktiškai. Atidžiai išstudijavus knygą, būsimasis animatorius ėmė ieškoti būdo, kaip kompiuterinėje grafikoje įgyvendinti fraktalinę geometriją. Jam prireikė vos trijų dienų, kad kompiuteryje būtų sukurtas visiškai tikroviškas kalnų kraštovaizdžio vaizdas. Ir šiandien šis principas yra plačiai naudojamas. Pasirodo, fraktalų kūrimas nereikalauja daug laiko ir pastangų.
Dailidės sprendimas
Lauren naudojamas principas buvo paprastas. Jis susideda iš didesnių dalijimo į mažus elementus, o tuos į panašius mažesnius ir pan. Carpenteris, naudodamas didelius trikampius, padalino juos į 4 mažus ir taip toliau, kol gavo tikrovišką kalnų kraštovaizdį. Taip jis tapo pirmuoju menininku, kuris kompiuterinėje grafikoje panaudojo fraktalinį algoritmą reikiamam vaizdui sukonstruoti. Šiandien šis principas naudojamas įvairioms tikroviškoms gamtos formoms imituoti.
Pirmoji 3D vizualizacija naudojant fraktalų algoritmą
Po kelerių metų Lauren pritaikė savo pasiekimus didelio masto projekte - animaciniame vaizdo įraše „Vol Libre“, parodytame „Siggraph“ 1980 m. Šis vaizdo įrašas sukrėtė daugelį, o jo kūrėjas buvo pakviestas dirbti į „Lucasfilm“. Čia animatorius sugebėjo išnaudoti visas savo galimybes, sukūrė trimačius peizažus (ištisą planetą) vaidybiniam filmui „Žvaigždžių kelias“. Bet kuri šiuolaikinė programa („Fractals“) ar 3D grafikos kūrimo programa („Terragen“, „Vue“, „Bryce“) naudoja tą patį algoritmą tekstūroms ir paviršiams modeliuoti.
Tomas Beddardas
Buvęs lazerių fizikas, o dabar skaitmeninis menininkas ir menininkas, Beddardas sukūrė daugybę labai intriguojančių geometrinių formų, kurias pavadino Fabergé fraktalais. Išoriškai jie primena dekoratyvinius rusų juvelyro kiaušinius, turi tą patį puikų, įmantrų raštą. Beddardas naudojo šablono metodą, kad sukurtų savo skaitmeninius modelių atvaizdus. Gauti produktai stebina savo grožiu. Nors daugelis atsisako lyginti rankų darbo gaminį su kompiuterine programa, reikia pripažinti, kad gaunamos formos yra nepaprastai gražios. Svarbiausia, kad kiekvienas gali sukurti tokį fraktalą naudodamas WebGL programinės įrangos biblioteką. Tai leidžia tyrinėti įvairias fraktalų struktūras realiuoju laiku.
Fraktalai gamtoje
Nedaug žmonių atkreipia dėmesį, tačiau šios nuostabios figūros yra visur. Gamta kuriama iš panašių į save figūrų, tik mes to nepastebime. Pakanka pažvelgti pro padidinamąjį stiklą į savo odą ar medžio lapą, ir pamatysime fraktalus. Arba paimkite, pavyzdžiui, ananasą ar net povo uodegą – jie susideda iš panašių figūrų. O Romanescu brokolių veislė apskritai stebina savo išvaizda, nes ją tikrai galima pavadinti gamtos stebuklu.
Muzikinė pauzė
Pasirodo, fraktalai – tai ne tik geometrinės figūros, tai gali būti ir garsai. Taigi muzikantas Jonathanas Coltonas muziką rašo naudodamas fraktalinius algoritmus. Teigiama, kad ji atitinka natūralią harmoniją. Kompozitorius visus savo kūrinius publikuoja pagal CreativeCommons Attribution-Noncommercial licenciją, kuri numato nemokamą kūrinių platinimą, kopijavimą ir perdavimą kitiems.
Fraktalų indikatorius
Ši technika rado labai netikėtą pritaikymą. Jos pagrindu buvo sukurtas biržos rinkos analizės įrankis, todėl jis pradėtas naudoti Forex rinkoje. Šiais laikais fraktalinis indikatorius randamas visose prekybos platformose ir yra naudojamas prekybos technikoje, vadinamoje kainų išmušimu. Šią techniką sukūrė Billas Williamsas. Kaip autorius komentuoja savo išradimą, šis algoritmas yra kelių „žvakių“ derinys, kuriame centrinė atspindi maksimalų arba, atvirkščiai, minimalų kraštutinį tašką.
Pagaliau
Taigi pažiūrėjome, kas yra fraktalas. Pasirodo, mus supančiame chaose iš tikrųjų egzistuoja idealios formos. Gamta yra geriausias architektas, idealus statybininkas ir inžinierius. Jis išdėstytas labai logiškai, ir jei nerandame modelio, tai nereiškia, kad jo nėra. Galbūt mums reikia pažvelgti kitu mastu. Galime drąsiai teigti, kad fraktalai vis dar turi daug paslapčių, kurių dar turime atrasti.
Matematinės figūros, žinomos kaip fraktalai, yra kilusios iš žinomo mokslininko Benoit Mandelbrot genijaus. Didžiąją savo gyvenimo dalį praleido JAV, kur Jeilio universitete dėstė matematiką. 1977 ir 1982 m. Mandelbrotas paskelbė mokslinius darbus, skirtus „fraktalinės geometrijos“ arba „gamtos geometrijos“ tyrimams, kuriuose iš pažiūros atsitiktines matematines formas jis suskaidė į sudedamąsias dalis, kurios, atidžiau pažvelgus, pasikartoja. įrodo kažkokio kopijavimo modelio egzistavimą . Mandelbroto atradimas turėjo reikšmingų teigiamų pasekmių fizikos, astronomijos ir biologijos raidai.
Kaip veikia fraktalas?
Fraktalas (iš lotyniško „fractus“ - sulaužytas, sutraiškytas, sulaužytas) yra sudėtinga geometrinė figūra, sudaryta iš kelių begalinių dalių sekų, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą, ir kartojama mažėjant masteliui.
Fraktalo struktūra visomis mastelėmis yra nebanali. Čia reikia paaiškinti, kas tai yra. Taigi taisyklingos figūros, tokios kaip apskritimas, elipsė ar lygiosios funkcijos grafikas, yra išdėstytos taip, kad, atsižvelgiant į nedidelį taisyklingos figūros fragmentą pakankamai dideliu masteliu, jis bus panašus į tiesi linija. Fraktalams mastelio padidėjimas nesupaprastina figūros struktūros, o visose skalėse matome vienodai sudėtingą vaizdą.
Gamtoje daugelis objektų pasižymi fraktalinėmis savybėmis, pavyzdžiui: medžių vainikai, žiediniai kopūstai, debesys, žmonių ir gyvūnų kraujotakos ir alveolių sistemos, kristalai, snaigės, kurių elementai išsidėstę į vieną sudėtingą struktūrą, pakrantės (leidžiama fraktalo koncepcija). mokslininkai išmatuoti Britų salų pakrantę ir kitus anksčiau neišmatuotus objektus).
Pažvelkime į žiedinio kopūsto struktūrą. Jei nupjaunate vieną iš gėlių, akivaizdu, kad rankose lieka tas pats kalafioras, tik mažesnio dydžio. Galime pjaustyti vėl ir vėl, net ir po mikroskopu, bet gauname tik mažytes žiedinio kopūsto kopijas. Šiuo paprasčiausiu atveju net nedidelėje fraktalo dalyje yra informacijos apie visą galutinę struktūrą.
Ryškus fraktalo pavyzdys gamtoje yra „Romanescu“, taip pat žinomas kaip „Romanescu brokolis“ arba „koralinis žiedinis kopūstas“. Pirmą kartą ši egzotiška daržovė paminėta Italijoje XVI amžiuje. Šio kopūsto pumpurai auga logaritmine spirale. 3D menininkai, dizaineriai ir virėjai nenustoja ja žavėtis. Be to, pastarieji ypač vertina daržovę dėl rafinuoto skonio (saldaus ir riešutinio, o ne sieringo), kokį tik gali turėti kopūstai, ir dėl to, kad ji yra mažiau trupanti nei paprastas žiedinis kopūstas. Be to, romėnų brokoliuose gausu vitamino C, antioksidantų ir karotinoidų.
Fraktalai skaitmeninėse technologijose
Fraktalų geometrija įnešė neįkainojamą indėlį į naujų technologijų kūrimą skaitmeninės muzikos srityje, taip pat leido suspausti skaitmeninius vaizdus. Esami fraktalinio vaizdo glaudinimo algoritmai yra pagrįsti suglaudinto vaizdo saugojimo, o ne paties skaitmeninio vaizdo, principu. Suspausto vaizdo pagrindinis vaizdas išlieka fiksuotu tašku. „Microsoft“ leisdama savo enciklopediją panaudojo vieną iš šio algoritmo variantų, tačiau dėl vienokių ar kitokių priežasčių ši idėja nebuvo plačiai naudojama.
IP adresams priskirti sistema naudoja fraktalinio informacijos suspaudimo principą kompaktiškam informacijos apie tinklo mazgus „Netsukuku“ saugojimui. Kiekvienas mazgas saugo 4 kilobaitus informacijos apie gretimų mazgų būseną. Bet koks naujas mazgas prisijungia prie bendrojo interneto nereikalaujant centrinio IP adresų paskirstymo reguliavimo. Galima daryti išvadą, kad fraktalinio informacijos suspaudimo principas užtikrina decentralizuotą viso tinklo veikimą, todėl darbas jame vyksta kuo stabiliau.
Fraktalai plačiai naudojami kompiuterinėje grafikoje – konstruojant medžių, krūmų, jūros paviršių, kalnų peizažų, kitų gamtos objektų vaizdus. Fraktalinės grafikos dėka buvo išrastas efektyvus būdas įgyvendinti sudėtingus ne euklido objektus, kurių vaizdai yra panašūs į natūralius: tai yra fraktalų koeficientų sintezės algoritmai, leidžiantys atkurti bet kurio paveikslėlio kopiją, kiek įmanoma artimesnę originalus. Įdomu tai, kad be fraktalinės „tapybos“ yra ir fraktalinė muzika bei fraktalinė animacija. Vaizduojamajame mene yra kryptis, susijusi su atsitiktinio fraktalo įvaizdžio gavimu - „fraktalų monotipija“ arba „stochatipija“.
Fraktalinės grafikos matematinis pagrindas yra fraktalinė geometrija, kur paveldėjimo iš pirminių „pagrindinių objektų“ principas yra „įpėdinių vaizdų“ konstravimo metodų pagrindas. Pačios fraktalinės geometrijos ir fraktalinės grafikos sąvokos atsirado tik maždaug prieš 30 metų, tačiau jau tvirtai įsitvirtino kasdieniame kompiuterių dizainerių ir matematikų gyvenime.
Pagrindinės fraktalinės kompiuterinės grafikos sąvokos yra šios:
- Fraktalų trikampis - fraktalų figūra - fraktalinis objektas (hierarchija mažėjančia tvarka)
- Fraktalų linija
- Fraktalų kompozicija
- „Pagrindinis objektas“ ir „Įpėdinis objektas“
Kaip sukurti fraktalą?
Fraktalų kūrėjas vienu metu atlieka menininko, fotografo, skulptoriaus ir mokslininko išradėjo vaidmenį. Kokie artimiausi piešinio kūrimo nuo nulio etapai?
- nustatykite piešinio formą naudodami matematinę formulę
- ištirti proceso konvergenciją ir keisti jo parametrus
- pasirinkite vaizdo tipą
- pasirinkti spalvų paletę
Tarp fraktalinių grafinių redaktorių ir kitų grafinių programų galime išskirti:
"Meno dabberis"
„Dailininkas“ (be kompiuterio joks menininkas niekada nepasieks programuotojų nustatytų galimybių tik per pieštuką ir teptuko rašiklį)
„Adobe Photoshop“ (tačiau čia vaizdas nėra sukurtas „nuo nulio“, o, kaip taisyklė, tik apdorojamas)
Siųsti savo gerą darbą žinių bazėje yra paprasta. Naudokite žemiau esančią formą
Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.
Paskelbta http://www.allbest.ru/
Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija
Tema: Fraktalai- ypatingasobjektųgyvasIrnegyvenamaramybė
Chabarovsko TOGU 2015 m
- Turinys
- fraktalinė geometrinė fraktalinė grafika
- Fraktalų istorija
- Fraktalų klasifikacija
- Geometriniai fraktalai
- Algebriniai fraktalai
- Fraktalų taikymas
- Fraktalai ir mus supantis pasaulis
- Fraktalinė grafika
- Fraktalų taikymas
- Gamtos mokslai
- Radijo inžinerija
- Informatika
- Ekonomika ir finansai
Fraktalų istorija
Labai dažnai susiduriame su ypatingais objektais, tačiau mažai kas žino, kad tai fraktalai. Fraktalai yra unikalūs objektai, kuriuos sukuria nenuspėjami chaotiško pasaulio judesiai. Jų yra ir mažuose objektuose, tokiuose kaip ląstelės membrana, ir dideliuose, tokiuose kaip Saulės sistema ir galaktika. Kasdieniame gyvenime fraktalus galime pamatyti tapetuose, ant audinio, kompiuterio darbalaukio ekrano užsklandoje ir gamtoje – tai augalai, jūros gyvūnai ir gamtos reiškiniai.
Nuo senų senovės mokslininkus žavi fraktalai, šiuos objektus mėgsta ir programuotojai bei kompiuterinės grafikos specialistai. Fraktalų atradimas buvo žmogaus pasaulio suvokimo revoliucija ir naujos meno bei mokslo estetikos atradimas.
Taigi, kas yra fraktalai? Fraktalas- geometrinė figūra, turinti panašumo savybę, ty sudaryta iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą kaip visumą.
Fraktalo terminas buvo pasiūlytas 1975 m. Benoit Mandelbrot, norėdamas nurodyti netaisyklingas, panašias struktūras, su kuriomis jis rūpėjo. Fraktalinės geometrijos gimimas – jo knygos „Gamtos fraktalinė geometrija“ paskelbimas 1977 m. Jo darbai buvo paremti mokslininkų Poincaré, Fatou, Julia, Cantor ir Hausdorff darbais, kurie dirbo 1875 m. Toje pačioje vietovėje 1925 m. Tačiau tik mūsų laikais jie sugebėjo sujungti savo darbus į vieną sistemą.
Sąvoka „fraktalas“ kilusi iš lotyniško žodžio „fractus“? susidedantis iš fragmentų. Vienas iš apibrėžimų yra toks: „Fraktalas yra struktūra, susidedanti iš dalių, kurios tam tikra prasme yra panašios į visumą“.
Benoit Mandelbrot savo darbuose pateikė ryškių fraktalų panaudojimo kai kuriems gamtos reiškiniams paaiškinti pavyzdžių. Jis daug dėmesio skyrė įdomiai savybei, kurią turi daugelis fraktalų. Faktas yra tas, kad dažnai fraktalą galima padalyti į savavališkai mažas dalis, kad kiekviena dalis būtų tiesiog sumažinta visumos kopija. Kitaip tariant, jei pažvelgsime į fraktalą pro mikroskopą, nustebsime pamatę tokį patį vaizdą kaip be mikroskopo. Ši savipanašumo savybė ryškiai išskiria fraktalus nuo klasikinės geometrijos objektų.
Šiuolaikiniams mokslininkams, studijuojantiems fraktalus? ne tik nauja žinių sritis. Tai naujo tipo geometrijos, apibūdinančios mus supantį pasaulį ir kurią galima pamatyti ne tik vadovėliuose, bet ir gamtoje bei beribėje Visatoje, atradimas. Dabar Mandelbrotas ir kiti mokslininkai išplėtė fraktalinės geometrijos sritį, kad ją būtų galima pritaikyti beveik viskam pasaulyje – nuo akcijų rinkos kainų prognozavimo iki naujų teorinės fizikos atradimų.
Fraktalų klasifikacija
Yra įvairių fraktalų klasifikacijų.
Pagrindinė fraktalų klasifikacija yra skirstymas į geometrinį ir algebrinį.
Geometriniai fraktalai turi tikslų savęs panašumą, o algebriniai – apytikslį savęs panašumą.
Taip pat skirstomi į natūralius ir žmogaus sukurtus fraktalus.
Žmonių sukurti fraktalai apima tuos, kuriuos išrado mokslininkai; jie turi bet kokio masto fraktalų savybių. Natūralių fraktalų egzistavimo plotas yra ribojamas – tai yra didžiausias ir mažiausias dydis, kuriuo objektas pasižymi fraktalinėmis savybėmis.
Paprasčiausi fraktalai yra geometriniai fraktalai.
Geometriniai fraktalai
Geometriniai fraktalai taip pat vadinami klasikiniais, deterministiniais arba linijiniais. Jie yra vizualiausi, nes turi vadinamąjį standųjį savęs panašumą, kuris nesikeičia keičiantis masteliui. Tai reiškia, kad nesvarbu, kaip arti priartinsite fraktalą, vis tiek matote tą patį modelį.
Dvimačiu atveju tokius fraktalus galima gauti nurodant kokią nors trūkinę liniją, vadinamą generatoriumi. Viename algoritmo žingsnyje kiekvienas tam tikros polilinijos (iniciatoriaus) segmentas pakeičiamas atitinkamos skalės generatoriaus polilinija. Be galo kartojant šią procedūrą, gaunama fraktalinė kreivė. Nepaisant akivaizdaus šios kreivės sudėtingumo, jos formą lemia tik generatoriaus forma.
Žymiausi geometriniai fraktalai: Kocho kreivė, Minkovskio kreivė, Levy kreivė, drakono kreivė, Sierpinski servetėlė ir kilimas, Durerio penkiakampis.
Kai kurių geometrinių fraktalų konstravimas
1). Kocho kreivė.
Jį 1904 metais išrado vokiečių matematikas Helge von Koch. Jai sukonstruoti imamas vienas segmentas, padalintas į tris lygias dalis, o vidurinė grandis pakeičiama lygiakraštiu trikampiu be šios grandies. Kitame veiksme pakartojame operaciją kiekvienam iš keturių gautų segmentų. Be galo kartojant šią procedūrą, gaunama fraktalinė kreivė.
2). Sierpinskio servetėlė.
1915 metais lenkų matematikas Waclawas Sierpinskis sugalvojo įdomų objektą. Norėdami jį sukonstruoti, paimkite vientisą lygiakraštį trikampį. Pirmajame etape iš centro pašalinamas apverstas lygiakraštis trikampis. Antrasis veiksmas pašalina tris apverstus trikampius iš likusių trijų trikampių ir pan. Remiantis teorija, šiam procesui pabaigos nebus, o trikampyje neliks gyvenamojo ploto, tačiau jis taip pat nesuirs – rezultatas bus objektas, susidedantis tik iš skylių.
3). Harter-Hathway drakonas.
Harterio drakoną, dar žinomą kaip Harter-Haithaway drakonas, pirmą kartą ištyrė NASA fizikai? Johnas Haithway'us, Williamas Harteris ir Bruce'as Banksas. Ją 1967 m. aprašė Martinas Gardneris žurnalo „Scientific American“ skiltyje „Matematiniai žaidimai“.
Kitame žingsnyje kiekviena linijos atkarpa pakeičiama dviem atkarpomis, kurios sudaro lygiašonio stačiojo trikampio šonines kraštines, kurių pradinė atkarpa būtų hipotenuzė. Dėl to segmentas atrodo lenkiamas stačiu kampu. Nukrypimo kryptis kinta. Pirmas segmentas lenkiasi į dešinę (judėdamas iš kairės į dešinę), antrasis – į kairę, trečiasis – vėl į dešinę ir t.t.
Geometrinių fraktalų pavyzdžiai
KreivėKochServetėlėSierpinskis
DrakonasHarteris-Hathaway
Antroji didelė fraktalų grupė yra algebriniai. Jie gavo savo vardą, nes yra sukurti remiantis algebrinėmis formulėmis.
Algebriniai fraktalai
Sudėtingi (algebriniai) fraktalai negali būti sukurti be kompiuterio pagalbos. Norint gauti spalvingų rezultatų, šis kompiuteris turi turėti galingą matematinį koprocesorių ir didelės raiškos monitorių. Jie gavo savo vardą, nes yra sukurti remiantis algebrinėmis formulėmis. Dėl šios formulės matematinio apdorojimo ekrane rodomas tam tikros spalvos taškas. Rezultatas yra keista figūra, kurioje tiesios linijos virsta kreivėmis, o savęs panašumo efektai atsiranda įvairiais mastelio lygiais, nors ir ne be deformacijų. Beveik kiekvienas kompiuterio ekrano taškas yra tarsi atskiras fraktalas.
Žymiausi algebriniai fraktalai: Mandelbroto ir Julijos rinkiniai, Niutono telkiniai.
Algebriniai fraktalai turi apytikslį savęs panašumą. Tiesą sakant, jei padidinsite nedidelį bet kurio sudėtingo fraktalo plotą, o tada padarysite tą patį su maža tos srities dalimi, abu padidinimai labai skirsis vienas nuo kito. Abu vaizdai bus labai panašūs detalėmis, tačiau jie nebus visiškai identiški.
ALGEBRIKA FRAKTALAI
Mandelbroto rinkinio aproksimacijos
Fraktalai randa vis daugiau pritaikymo moksle. Pagrindinė priežastis yra ta, kad jie geriau apibūdina realų pasaulį nei tradicinė fizika ir matematika.
Fraktalų taikymas
1). Chaoso teorija: Fraktalai visada siejami su žodžiu chaosas. Chaoso teorija apibrėžiama kaip sudėtingų netiesinių dinaminių sistemų tyrimas. Chaosas yra nuspėjamumo nebuvimas. Tai įvyksta dinaminėse sistemose, kai dviejų labai artimų pradinių verčių sistema elgiasi visiškai skirtingai. Chaotiškos dinaminės sistemos pavyzdys yra oras. Tokių sistemų pavyzdžiai yra neramūs srautai, biologinės populiacijos, visuomenė ir jos posistemės: ekonominės, politinės ir kitos socialinės sistemos. Viena iš pagrindinių šios teorijos sąvokų yra tai, kad neįmanoma tiksliai numatyti sistemos būsenos. Chaoso teorija orientuojasi ne į sistemos netvarką (paveldimą sistemos nenuspėjamumą), o į tvarką, kurią ji paveldi (bendras panašių sistemų elgesys). Taigi chaoso mokslas yra idėjų apie įvairias tvarkos formas sistema, kur atsitiktinumas tampa organizuojančiu principu.
2). Ekonomika: vertybinių popierių rinkos analizė.
3). Astrofizika: galaktikų klasterizacijos procesų Visatoje aprašymas.
4). Geologija: mineralinio šiurkštumo tyrimas;
5). Kartografija: pakrantės formų tyrimas; plataus upių kanalų tinklo tyrimas.
6). Skysčių ir dujų mechanika, paviršių fizika:
- sudėtingų srautų dinamika ir turbulencija.
- liepsnų modeliavimas;
7). Biologija ir medicina:
- gyvūnų populiacijų ir paukščių migracijos modeliavimas;
- epidemijų modeliavimas;
- kraujotakos sistemos sandaros analizė;
- sudėtingų ląstelių membranų paviršių svarstymas;
- kūno viduje vykstančių procesų aprašymas, pavyzdžiui, širdies plakimas.
8). Fraktalų antenos: Fraktalinės geometrijos naudojimą kuriant antenų įrenginius pirmasis panaudojo amerikiečių inžinierius Nathanas Cohenas, kuris tada gyveno Bostono centre, kur buvo uždrausta montuoti išorines antenas ant pastatų. Jis iš aliuminio folijos iškirpo Kocho kreivės formą ir įklijavo ją ant popieriaus lapo, tada pritvirtino prie imtuvo. Paaiškėjo, kad tokia antena veikia ne prasčiau nei įprasta. Ir nors fiziniai tokios antenos veikimo principai dar nebuvo ištirti, tai nesutrukdė Cohenui įkurti savo įmonę ir pradėti jų serijinę gamybą.
9). Vaizdo glaudinimas: Fraktalinio vaizdo glaudinimo algoritmų pranašumai yra labai mažas supakuoto failo dydis ir trumpas vaizdo atkūrimo laikas. Kitas fraktalinio suspaudimo privalumas yra tas, kad padidinus vaizdą, nėra pikselių efekto (taškų dydis padidinamas iki dydžių, kurie iškraipo vaizdą). Naudojant fraktalinį suspaudimą, po padidinimo vaizdas dažnai atrodo dar geriau nei anksčiau.
10). Kompiuterinė grafika: Šiandien kompiuterinė grafika išgyvena intensyvaus vystymosi laikotarpį. Ji sugebėjo monitoriaus ekrane atkurti begalę įvairių fraktalų formų ir peizažų, panardindama žiūrovą į nuostabią virtualią erdvę. Šiais laikais gana paprastų algoritmų pagalba tapo įmanoma sukurti trimačius fantastiškų peizažų ir formų vaizdus, kurie laikui bėgant gali virsti dar įdomesniais paveikslėliais. Fraktalų polinkį į kalnus, gėles ir medžius išnaudoja kai kurie grafiniai redaktoriai (pavyzdžiui, fraktalų debesys iš 3D studijos MAX, fraktalų kalnai programoje World Builder). Fraktaliniai modeliai šiandien plačiai naudojami kompiuteriniuose žaidimuose, sukuriant juose nuo realybės sunkiai atskiriamą aplinką.
Dvidešimtojo amžiaus pabaiga buvo pažymėta ne tik nuostabiai gražių ir be galo įvairių struktūrų, vadinamų fraktalais, atradimu, bet ir gamtos fraktališkumo suvokimu. Mus supantis pasaulis yra labai įvairus, o jo objektai netelpa į griežtus euklido linijų ir paviršių rėmus.
Fraktalai ir mus supantis pasaulis
« Grožis visada yra reliatyvus...Neturėtume manyti, kad vandenyno pakrantės tikrai beformės vien dėl to, kad jų forma skiriasi nuo taisyklingos mūsų pastatytų molų formos; kalnų forma negali būti laikoma netaisyklinga, nes tai nėra taisyklingi kūgiai ar piramidės; vien todėl, kad atstumai tarp žvaigždžių yra nevienodi, tai nereiškia, kad jas danguje išsklaidė neveiksni ranka. Šios klaidos egzistuoja tik mūsų vaizduotėje , iš tikrųjų jie nėra tokie ir jokiu būdu netrukdo tikrosioms gyvybės apraiškoms Žemėje nei augalų ir gyvūnų karalystėje, nei tarp žmonių“. Šie anglų mokslininko žodžiai XVII a. Richardas Bentley nurodo, kad idėja sujungti pakrančių, kalnų ir dangaus objektų formas ir supriešinti jas su euklido konstrukcijomis žmonių galvose kilo labai ilgai.
Galilėjus Galilėjus sakė, kad „didžioji gamtos knyga parašyta geometrijos kalba“. Dabar galime drąsiai teigti, kad tai parašyta fraktalinės geometrijos kalba.
Tai, ką stebime gamtoje, dažnai mus intriguoja begaliniu to paties modelio kartojimu, padidintu arba sumažintu tiek kartų, kiek norisi. Keistos pakrančių formos ir įmantrūs upių vingiai, skaldyti kalnų masyvų paviršiai ir debesų kontūrai, besidriekiančios medžių šakos ir koraliniai rifai, nedrąsus žvakės mirgėjimas ir putoti kalnų upių upeliai – visa tai yra fraktalai. Kai kurios iš jų, pavyzdžiui, debesys ar audringi upeliai, nuolat keičia savo formą, kiti, kaip medžiai ar kalnų grandinės, išlaiko savo struktūrą nepakitusią. Visoms fraktalų struktūroms būdingas jų panašumas – pagrindinė savybė, užtikrinanti pagrindinio fraktalų dėsnio – vienybės dėsnio visatos įvairovėje – įvykdymą.
Žmogaus sistemos ir organai taip pat yra fraktalinės struktūros. Pavyzdžiui, kraujagyslės šakojasi kelis kartus, t.y. turi fraktalinį pobūdį. Širdies elektrinis aktyvumas yra fraktalinis procesas. Kardiologai išsiaiškino, kad širdies plakimo spektrinės charakteristikos paklūsta fraktalų dėsniams, kaip ir žemės drebėjimai ir ekonominiai reiškiniai. Virškinimo trakto audiniuose vienas banguotas paviršius yra įterptas į kitą. Plaučiai taip pat yra pavyzdys, kai didelis plotas yra suspaustas į mažą erdvę. Tiesą sakant, visa žmogaus kūno struktūra yra fraktalinė; tai jau pripažino mokslininkai. Vieno paprasto, apibrėžiančio įvairų kompleksą, principas yra įterptas į žmogaus genomą, kai vienoje gyvo organizmo ląstelėje yra informacijos apie visą organizmą kaip visumą.
Fraktalinės struktūros gamtoje
Štai keletas nuotraukų pavyzdžių:
Kaip sakė biologas Johnas Haldane'as: „Pasaulis yra ne tik keistesnis, nei manome, bet ir keistesnis, nei galime įsivaizduoti. Fraktalai nėra Mandelbroto išradimai. Jie egzistuoja objektyviai. Gamtos formose ir procesuose, moksle ir mene, kurie atspindi ir supranta šį pasaulį. 1993 metais Benoit Mandelbrot buvo apdovanotas garbinga fizikos Wolf premija „už tai, kad mūsų požiūris į pasaulį pasikeitė dėl fraktalinės geometrijos idėjų“.
Šiuo metu fraktaliniai paveikslai yra labai populiarūs. Jie daro absoliučiai fantastišką įspūdį. Daug plonų linijų, sudarančių vieną visumą, arba neįprastų elementų, susipynusių į vieną paveikslą. Ryškios šviesos blyksniai ir vidutiniškai lygios linijos. Fraktalas atrodo gyvas. Jis dega, šviečia, traukia ir negali atitraukti akių, tyrinėdamas net menkiausias ir nereikšmingiausias smulkmenas.
Fraktalinė grafika
Fraktalų paveikslai interjere
Fraktalų taikymas
Gamtos mokslai
Fizikoje fraktalai natūraliai atsiranda modeliuojant netiesinius procesus, tokius kaip turbulentinis skysčio srautas, sudėtingi difuzijos-adsorbcijos procesai, liepsnos, debesys ir pan. Fraktalai naudojami modeliuojant akytas medžiagas, pavyzdžiui, naftos chemijos produktuose. Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir vidaus organų sistemoms (kraujagyslių sistemai) apibūdinti. Sukūrus Kocho kreivę, buvo pasiūlyta ją naudoti skaičiuojant pakrantės ilgį.
Radijo inžinerija
Fraktalinės geometrijos panaudojimą kuriant antenų įrenginius pirmasis panaudojo amerikiečių inžinierius Nathanas Cohenas, kuris tada gyveno Bostono centre, kur buvo uždrausta montuoti išorines antenas ant pastatų. Natanas iš aliuminio folijos iškirpo Kocho kreivės formą ir įklijavo ją ant popieriaus lapo, tada pritvirtino prie imtuvo. Cohenas įkūrė savo įmonę ir pradėjo jų serijinę gamybą.
Informatika
Vaizdo suspaudimas
Fraktalų medis
Yra vaizdų glaudinimo algoritmai, naudojantys fraktalus. Jie paremti idėja, kad vietoj paties vaizdo galima saugoti suspaudimo žemėlapį, kuriam šis vaizdas (ar koks nors artimas) yra fiksuotas taškas. Vieną iš šio algoritmo variantų naudojo Microsoft, leisdama savo enciklopediją, tačiau šie algoritmai nebuvo plačiai naudojami.
Kompiuterinė grafika
Fraktalai plačiai naudojami kompiuterinėje grafikoje kuriant gamtos objektų, tokių kaip medžiai, krūmai, kalnų peizažai, jūros paviršiai ir pan., vaizdus. Fraktaliniams vaizdams generuoti yra daug programų.
Decentralizuotas tinklai
IP adresų priskyrimo sistema Netsukuku tinkle (šis tinklas yra projektas, skirtas sukurti paskirstytą savaime besiorganizuojantį peer-to-peer tinklą, galintį užtikrinti daugybės mazgų sąveiką su minimalia centrinio procesoriaus ir atminties apkrova) fraktalinės informacijos suspaudimo principas, siekiant kompaktiškai saugoti informaciją apie tinklo mazgus. Kiekvienas Netsukuku tinklo mazgas saugo tik 4 KB informacijos apie gretimų mazgų būseną, o bet kuris naujas mazgas prisijungia prie bendro tinklo nereikalaujant centrinio IP adresų paskirstymo reguliavimo, o tai, pavyzdžiui, būdinga Internetas. Taigi, fraktalinės informacijos suspaudimo principas garantuoja visiškai decentralizuotą, taigi ir stabiliausią viso tinklo veikimą.
Ekonomika ir finansai
A. A. Almazovas savo knygoje „Fraktalų teorija. Kaip pakeisti savo požiūrį į rinkas“ pasiūlė būdą, kaip naudoti fraktalus analizuojant akcijų kainas, ypač Forex rinkoje.
Kiekvieną kartą, kai žiūrite į fraktalus, galvojate apie tai, koks gražus yra tikrasis pasaulis ir matematikos pasaulis, ir kad matematika iš tikrųjų yra kalba, galinti apibūdinti beveik viską, kas egzistuoja Visatoje.
Bibliografija
1. Mandelbrot B. Fraktalinė gamtos geometrija. M.: “Kompiuterinių tyrimų institutas”, 2002. 656 p.
2. Morozovas A.D. Įvadas į fraktalų teoriją. N. Novgorodas: Leidykla Nižnij Novgorod. Universitetas, 1999, 140 p.
3. Peitgen H.-O., Richter P. H. Fraktalų grožis. M.: “Mir”, 1993. - 176 p.
4. Tikhoplavas V.Yu., Tikhoplavas T.S. Chaoso harmonija arba fraktalinė tikrovė. Sankt Peterburgas: leidykla „Ves“, 2003. 340 p.
5. Federas E. Fraktalai. M: „Mir“, 1991. 254 p.
6. Schroederis M. Fraktalai, chaosas, galios dėsniai. Miniatiūros iš begalinio rojaus. Iževskas: „RKhD“, 2001. 528 p.
Svetainių apie fraktalus sąrašas
1. http://www.fractals.nsu.ru.
2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.
3. http://www.multifractal.narod.ru.
4. http://algolist.manual.ru.
Paskelbta Allbest.ru
Panašūs dokumentai
Fraktalinio matmens svarstymas kaip viena iš inžinerinio paviršiaus charakteristikų. Gamtinių fraktalų aprašymas. Nelygios (nutrūkusios) linijos ilgio matavimas. Panašumas ir mastelio keitimas, savęs panašumas ir giminingumas sau. Perimetro ir ploto santykis.
testas, pridėtas 2015-12-23
Fraktalų teorijos atsiradimo istorija. Fraktalas yra į save panaši struktūra, kurios vaizdas nepriklauso nuo mastelio. Tai yra rekursyvus modelis, kurio kiekviena dalis kurdama pakartoja viso modelio kaip visumos plėtrą. Fraktalų teorijos praktinis taikymas.
mokslinis darbas, pridėtas 2010-12-05
Klasikiniai fraktalai. Savęs panašumas. Snaigė Kochas. Sierpinski kilimas. L sistemos. Chaotiška dinamika. Lorentzo atraktorius. Mandelbrot ir Julia rinkiniai. Fraktalų taikymas kompiuterinėse technologijose.
kursinis darbas, pridėtas 2006-05-26
Kai kurių keturkampių ypatybės. Geometrinių situacijų modelių įgyvendinimas dinaminės geometrijos aplinkose. Dinaminės aplinkos „Gyvoji geometrija“ ypatumai, lygiagretainio, rombo, stačiakampio ir kvadrato modelių konstravimo joje ypatumai.
kursinis darbas, pridėtas 2013-05-28
Geometrinis pasaulio vaizdas ir fraktalų teorijos atsiradimo prielaidos. Deterministinės L sistemos elementai: abėcėlė, inicijavimo žodis ir generavimo taisyklių rinkinys. Fraktalinės socialinių procesų savybės: sinergetika ir chaotiška dinamika.
kursinis darbas, pridėtas 2014-03-22
Geometrinių dėsnių apraiškų gyvojoje gamtoje tyrimas ir panaudojimas ugdomojoje praktinėje veikloje. Geometrinių dėsnių aprašymas ir geometrinių konstrukcijų esmė. Grafinis ugdymas ir jo vieta šiuolaikiniame pasaulyje.
baigiamasis darbas, pridėtas 2010-06-24
Modelio sampratos apibrėžimas, jų taikymo moksle ir kasdieniniame gyvenime poreikis. Medžiagos charakteristikos ir idealūs modeliavimo metodai. Matematinių modelių klasifikacija (deterministiniai, stochastiniai), jų kūrimo proceso etapai.
santrauka, pridėta 2015-08-20
Dalių išdėstymo simetrijos, proporcingumo, proporcingumo ir vienodumo sampratų tyrimas. Geometrinių figūrų simetrinių savybių charakteristikos. Simetrijos vaidmens architektūroje, gamtoje ir technikoje, sprendžiant loginius uždavinius aprašymai.
pristatymas, pridėtas 2011-12-06
Mokslo matematizacijos istorija. Pagrindiniai matematizacijos metodai. Matematizavimo ribos ir problemos. Matematinių metodų taikymo įvairiuose moksluose problemos siejamos su pačia matematika (matematiniu modelių tyrimu), su modeliavimo sritimi.
santrauka, pridėta 2005-05-24
Aukso pjūvio tyrimo samprata ir istorija. Jos atspindžio matematikoje, gamtoje, architektūroje ir tapyboje bruožai. Aukso pjūvio sudarymo tvarka ir principai, sandara ir praktinio taikymo sritys, matematinis pagrindimas ir prasmė.
Atgal į priekį
Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.
Autoriai:
Bekbulatova Alina,
Getmanova Sofija
Lyderiai:
Mogutova Tatjana Michailovna,
Deryushkina Oksana Valerievna
Įvadas.
Teorinė projekto dalis:
- Fraktalinės geometrijos raidos istorija.
- Fraktalo samprata.
- Fraktalų tipai:
a) geometriniai fraktalai, geometrinių fraktalų pavyzdžiai;
b) algebriniai fraktalai, algebrinių fraktalų pavyzdžiai;
c) stochastiniai fraktalai, pavyzdžiai.
- Natūralūs fraktalai.
- Praktinis fraktalų pritaikymas:
- literatūroje;
- telekomunikacijų srityje;
- medicinoje;
- architektūroje;
- projektuojant;
- ekonomikoje;
- žaidimuose, kine, muzikoje
- gamtos moksluose
- fizikoje;
- biologijoje
- fraktalai namų šeimininkėms
- šiuolaikinė tapyba – fraktalinė grafika.
- Fraktalinė grafika.
- Fraktalų geometrijos vaidmuo gyvenime – tai himnas fraktalams!
Praktinė projekto dalis
- Sukurtas mokslinis darbas „Kelionė į fraktalų pasaulį“
- Skelbimas internete.
- Dalyvavimas olimpiadose ir konkursuose.
- Sukurkite savo fraktalus.
- Brošiūros „Nuostabusis fraktalų pasaulis“ sukūrimas
- Vykdydamas festivalį „Nuostabusis fraktalų pasaulis.
Įvadas
Geometrija dažnai apibūdinama kaip šalta ir sausa. Viena iš priežasčių – nesugebėjimas apibūdinti visko, kas mus supa: debesies, kalno, medžio ar pajūrio formą. Debesys – ne sferos, kalnai – ne kūgeliai, pakrantės – ne apskritimai, o pluta nėra lygi, o žaibai nekeliauja tiesia linija. Su dideliu džiaugsmu sužinojome, kad šiuolaikiniame pasaulyje egzistuoja nauja geometrija – fraktalų geometrija.
Fraktalų atradimas sukėlė revoliuciją ne tik geometrijoje, bet ir fizikoje, chemijoje, biologijoje ir visose mūsų gyvenimo srityse.
Projekto aktualumas:
- Fraktalų vaidmuo šiuolaikiniame pasaulyje yra gana didelis
- Įtikinami argumentai dėl fraktalų tyrimo aktualumo yra jų taikymo mastas
Tyrimo hipotezė:
Fraktalų geometrija yra moderni, labai įdomi žmogaus žinių sritis. Fraktalinės geometrijos atsiradimas yra nuolatinės žmogaus evoliucijos ir jo pasaulio supratimo būdų plėtimosi įrodymas.
Projekto tikslas:
Studijuokite fraktalų teoriją, kad sukurtumėte mokslinį darbą „Nuostabusis fraktalų pasaulis“ ir sukurtumėte bei kompiuteriniu būdu įgyvendintumėte fraktalų piešimo plokštumoje algoritmus.
Projekto tikslai:
- Susipažinti su fraktalinės geometrijos atsiradimo ir raidos istorija;
- Išstudijuokite fraktalų rūšis ir jų pritaikymą šiuolaikiniame pasaulyje.
- Vykdykite fraktalų kūrimo programas Pascal ir Logo programavimo kalbomis
- Sukurkite mokslinį darbą apie fraktalus ir paskelbkite jį internete.
- Sukurkite brošiūrą „Nuostabusis fraktalų pasaulis“
- Surengkite festivalį „Nuostabusis fraktalų pasaulis“, kad supažindintume moksleivius su mūsų darbo rezultatais.
Prie projekto dirbome 4 mėnesius.
Pagrindiniai mūsų darbo etapai:
- Reikalingos informacijos rinkimas: naudojantis internetu, knygomis, leidiniais šia tema. (2 savaitės)
- Informacijos rūšiavimas pagal temas: darbo rašymo tvarkos sisteminimas ir nustatymas. Darbas truko 2 savaites.
- Tekstinio darbo rengimas: teksto rašymas, dalinis susistemintos informacijos rengimas. Tai užtruko vieną mėnesį.
- Prezentacijos kūrimas: susistemintos informacijos suspaudimas, pristatymo struktūros nustatymas, sukūrimas ir apipavidalinimas ir vyko per mėnesį.
- Fraktalų kūrimo programos mokymasis ir savo fraktalų kūrimas Pascal ir Logo programavimo kalbomis (iki šios dienos)
Teorinė projekto dalis
Studijavome fraktalinės geometrijos kūrimo istoriją.
Susidomėjimas fraktaliniais objektais atgijo XX amžiaus aštuntojo dešimtmečio viduryje.
Fraktalinės geometrijos gimimas dažniausiai siejamas su Mandelbrot knygos „Gamtos fraktalų geometrija“ išleidimu 1977 m. Jo darbuose buvo naudojami kitų mokslininkų, dirbusių 1875–1925 m., moksliniais rezultatais (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Tačiau tik mūsų laikais buvo įmanoma sujungti jų darbus į vieną sistemą.
Taigi, kas yra fraktalas?
Fraktalas - geometrinė figūra, sudaryta iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą.
Mažoje fraktalo dalyje yra informacijos apie visą fraktalą.Šiandien žodis „fraktalas“ dažniausiai reiškia grafinį į save panašios struktūros vaizdą didesniu mastu.
Fraktalai skirstomi į geometrinius, geometrinius ir stochastinius.
Geometriniai fraktalai taip pat vadinami klasikiniais. Jie yra vizualiausi, nes turi vadinamąjį standųjį savęs panašumą, kuris nesikeičia keičiantis masteliui. Tai reiškia, kad nesvarbu, kaip arti priartinsite fraktalą, vis tiek matote tą patį modelį.
Pateiksime žinomiausius geometrinių fraktalų pavyzdžius.
Snaigė Kochas.
1904 m. išrado vokiečių matematikas Helge von Koch.
Jai sukonstruoti imamas vienas segmentas, padalintas į tris lygias dalis, o vidurinė grandis pakeičiama lygiakraštiu trikampiu be šios grandies. Kitame veiksme pakartojame operaciją kiekvienam iš keturių gautų segmentų. Be galo kartojant šią procedūrą, gaunama fraktalinė kreivė.
Durerio penkiakampis.
Fraktalas atrodo kaip krūva penkiakampių, suspaustų kartu. Tiesą sakant, jis formuojamas naudojant penkiakampį kaip iniciatorių ir lygiašonius trikampius, didesnės kraštinės ir mažesnės kraštinės santykis yra lygiai lygus taip vadinamam auksiniam pjūviui.Šie trikampiai iškirpti iš kiekvieno penkiakampio vidurio, gaunama figūra, panaši į 5 mažus penkiakampius, priklijuotus prie vieno didelio.
Sierpinskio servetėlė.
1915 metais lenkų matematikas Waclawas Sierpinskis sugalvojo įdomų objektą.
Norėdami jį sukonstruoti, paimkite vientisą lygiakraštį trikampį. Pirmajame etape iš centro pašalinamas apverstas lygiakraštis trikampis. Antrasis veiksmas pašalina tris apverstus trikampius iš likusių trijų trikampių ir pan.
Drakono kreivė.
Išrado italų matematikas Giuseppe Peano.
Sierpinski kilimas.
Paimamas kvadratas, padalintas į devynis vienodus kvadratus, vidurinis išmetamas, o su likusiais kartojama ta pati operacija iki begalybės.
Antrasis fraktalų tipas yra algebriniai fraktalai.
Jie gavo savo vardą, nes yra sukurti remiantis algebrinėmis formulėmis. Dėl šios formulės matematinio apdorojimo ekrane rodomas tam tikros spalvos taškas. Rezultatas yra keista figūra, kurioje tiesios linijos virsta kreivėmis ir įvairiais mastelio lygiais atsiranda panašumo efektai. Beveik kiekvienas kompiuterio ekrano taškas yra tarsi atskiras fraktalas.
Žymiausių algebrinių fraktalų pavyzdžiai.
Mandelbroto rinkinys.
Mandelbroto rinkiniai yra labiausiai paplitę tarp algebrinių fraktalų. Jį galima rasti daugelyje mokslinių žurnalų, knygų viršeliuose, atvirukuose ir kompiuterių ekrano užsklandose. Šis fraktalas primena karšimo mašiną, prie kurios pritvirtintos liepsnojančios medį primenančios ir apskritos vietos.
Daug Julijos.
Julijos rinkinį išrado prancūzų matematikas Gastonas Julia. Ne mažiau žinomas algebrinis fraktalas.
Niutono baseinai.
Stochastiniai fraktalai.
Fraktalai, kurių konstravimo metu iteracinėje sistemoje kai kurie parametrai keičiasi atsitiktinai, vadinami stochastiniais. Sąvoka „stochastiškumas“ kilusi iš graikų kalbos žodžio, reiškiančio „prielaida“.
Tokiu atveju gaunami objektai labai panašūs į natūralius – asimetriški medžiai, raižytos pakrantės ir kt. Dvimačiai stochastiniai fraktalai naudojami modeliuojant reljefą ir jūros paviršius.
Šie fraktalai naudojami modeliuojant reljefą ir jūros paviršius bei elektrolizės procesą. Ši fraktalų grupė tapo plačiai paplitusi Michaelo Barnsley iš Džordžijos technologijos instituto darbo dėka.
Tipiškas šios klasės fraktalų atstovas yra „Plazma“.
Mums suprantamiausi yra vadinamieji gamtiniai fraktalai.
„Didžioji gamtos knyga parašyta geometrijos kalba“ (Galileo Galilėjus).
Natūralūs fraktalai.
- Laukinėje gamtoje:
- Jūros žvaigždės ir ežiai
- Gėlės ir augalai (brokoliai, kopūstai)
- Medžių lajos ir augalų lapai
- Vaisiai (ananasai)
- Žmonių ir gyvūnų kraujotakos sistema ir bronchai
- Negyvoje gamtoje:
- Geografinių objektų (šalių, regionų, miestų) ribos
- Šerkšno raštai ant lango stiklo
- Stalaktitai, stalagmitai, heliktitai.
Beveik visi gamtos dariniai: medžių lajos, debesys, kalnai, pakrantės turi fraktalinę struktūrą.
Ką tai reiškia?
Jei žiūrite į fraktalinį objektą kaip į visumą, tada į jo dalį padidintu masteliu, tada į dalį šios dalies, nesunku pastebėti, kad jie atrodo vienodai.
Jūriniai fraktalai.
Aštuonkojis – dugne gyvenantis jūros gyvūnas iš galvakojų būrio.
Jo kūnai ir čiulptukai ant visų aštuonių šio gyvūno čiuptuvų turi fraktalinę struktūrą.
Kitas tipiškas fraktalinio povandeninio pasaulio atstovas yra koralas.
Gamtoje žinoma daugiau nei 3500 koralų rūšių.
Žalias fraktalas – paparčio lapai.
Paparčio lapai turi fraktalinės figūros formą – jie yra panašūs į save.
Svogūnas yra fraktalas, kuris priverčia verkti.Žinoma, tai paprastas fraktalas: paprasti skirtingo skersmens apskritimai, netgi galima sakyti, primityvus fraktalas.
Ryškus fraktalo pavyzdys gamtoje yra „Romanescu“, taip pat žinomas kaip „romaniški brokoliai“ arba „koraliniai žiediniai kopūstai“.
Žiediniai kopūstai- tipiškas fraktalas.
Pažvelkime į žiedinio kopūsto struktūrą.
Jei nupjaunate vieną iš gėlių, akivaizdu, kad rankose lieka tas pats kalafioras, tik mažesnio dydžio. Galime pjaustyti vėl ir vėl, net ir po mikroskopu, bet gauname tik mažytes žiedinio kopūsto kopijas.
Matrioška - suvenyrinis žaislas- tipiškas fraktalas. Fraktališkumo principas yra akivaizdus, kai visos medinio žaislo figūrėlės yra išrikiuotos iš eilės, o ne viena kitos viduje.
Žmogus yra fraktalas.
Vaikas gimsta ir auga, o šį procesą lydi „savęs panašumo“, fraktalumo principas.
Fraktalų spektras platus.
Fraktalai literatūroje
Tarp literatūros kūrinių yra tekstinio, struktūrinio ar fraktalinio pobūdžio. Literatūriniuose fraktaluose teksto elementai be galo kartojami:
Kunigas turėjo šunį
jis ją mylėjo.
Ji suvalgė mėsos gabalą
jis ją nužudė.
Palaidotas žemėje
Antraštė rašė:
Kunigas turėjo šunį...
„Čia yra namas.
Kurį Džekas pastatė.
O štai kviečiai.
Namuose,
Kurį Džekas pastatė
O štai linksmas paukštis zylė,
Kuris sumaniai vagia kviečius,
Kuris laikomas tamsioje spintoje
Namuose,
Kurį Džekas pastatė... .
Fraktalai telekomunikacijose.
Duomenims perduoti per atstumą naudojamos fraktalų formos antenos, kurios labai sumažina jų dydį ir svorį.
Fraktalai medicinoje.
Šiuo metu medicinoje plačiai naudojami fraktalai. Pats žmogaus kūnas susideda iš daugybės fraktalinių struktūrų: kraujotakos sistemos, raumenų, bronchų, bronchų takų plaučiuose, arterijų.
Elektrokardiogramoms analizuoti naudojama fraktalų teorija.
Įvertinus fraktalinės dimensijos dydį ir ritmus, galima anksčiau ir tiksliau spręsti apie homeostazės sutrikimus ir specifinių širdies ligų išsivystymą.
Fraktaliniais algoritmais apdoroti rentgeno vaizdai suteikia aukštesnės kokybės vaizdą ir atitinkamai geresnę diagnostiką!!
Kita aktyvaus fraktalų naudojimo sritis yra gastroenterologija.
Naujas tyrimo metodas medicinoje elektrogastroenterografija – tai tyrimo metodas, leidžiantis įvertinti skrandžio, dvylikapirštės žarnos ir kitų virškinamojo trakto dalių bioelektrinį aktyvumą.
Fraktalai architektūroje.
Fraktalinis gamtos ir geometrinių objektų raidos principas giliai įsiskverbia į architektūrą ir kaip išorinio objekto sprendimo vaizdas, ir kaip vidinis architektūrinės formos formavimo principas.
Pradėjo dizaineriai iš viso pasaulio naudokite savo darbe nuostabias fraktalines struktūras, kurias tik neseniai aprašė žinomi matematikai.
Fraktalų naudojimas pakėlė beveik visas šiuolaikinio dizaino sritis į naują lygį.
Fraktalinių struktūrų įdiegimas daugeliu atvejų padidino tiek vizualius, tiek funkcinius dizaino komponentus.
Dizaineris Takeshi Miyakawa vaikystėje svajojo tapti matematiku.
Kaip kitaip paaiškintume šį baldą: Fractal 23 naktinė spintelė turi 23 įvairaus dydžio ir proporcijų stalčius, kurie kažkaip sugeba sugyventi vienas su kitu kubinio korpuso viduje, užpildydami beveik visą jiems skirtą erdvę.
Fraktalai ekonomikoje.
Pastaruoju metu tarp ekonomistų išpopuliarėjo fraktalai, analizuojantys vertybinių popierių kursus, valiutą ir prekybos rinkas.
Fraktalai rinkoje pasirodo gana dažnai.
Fraktalai žaidimuose.
Šiandien daugelis žaidimų (turbūt ryškiausias Minecraft pavyzdys), kuriuose yra įvairių gamtos peizažų, vienaip ar kitaip naudoja fraktalinius algoritmus. Sukurta daug programų peizažams ir peizažams, remiantis fraktaliniais algoritmais, generuoti.
Fraktalai kine.
Kine įvairių fantastinių peizažų kūrimui naudojamas fraktalinis algoritmas. Fraktalų geometrija leidžia specialiųjų efektų menininkams lengvai sukurti tokius objektus kaip debesys, dūmai, liepsnos, žvaigždėtas dangus ir kt. Ką tuomet galime pasakyti apie fraktalinę animaciją, tai tikrai nuostabus vaizdas.
Elektroninė muzika.
Fraktalinės animacijos reginį sėkmingai naudoja VJ. Tokios vaizdo instaliacijos ypač dažnai naudojamos elektroninės muzikos atlikėjų koncertuose.
Gamtos mokslai.
Fraktalai dažnai naudojami geologijoje ir geofizikoje. Ne paslaptis, kad salų ir žemynų pakrantės turi tam tikrą fraktalinį matmenį, kurį žinant galima labai tiksliai apskaičiuoti pakrančių ilgius.
Lūžių tektonikos ir seismiškumo tyrimai kartais taip pat tiriami naudojant fraktalinius algoritmus.
Geofizika naudoja fraktalus ir fraktalų analizę tirdama magnetinio lauko anomalijas, tirdama bangų sklidimą ir svyravimus elastingose terpėse, tirdama klimatą ir daugelį kitų dalykų.
Fraktalai fizikoje.
Fizikoje fraktalai naudojami labai plačiai. Kietojo kūno fizikoje fraktaliniai algoritmai leidžia tiksliai apibūdinti ir numatyti kietųjų, poringų, kempinių kūnų ir aerogelių savybes. Tai padeda sukurti naujas medžiagas, turinčias neįprastų ir naudingų savybių.
Kietosios medžiagos pavyzdys yra kristalai.
Srauto turbulencijos tyrimas labai gerai prisitaiko prie fraktalų.
Perėjimas prie fraktalinio vaizdavimo palengvina inžinierių ir fizikų darbą, todėl jie gali geriau suprasti sudėtingų sistemų dinamiką.
Naudodami fraktalus taip pat galite imituoti liepsnas.
Fraktalai biologijoje.
Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir vidaus organų sistemoms (kraujagyslių sistemai) apibūdinti. Sukūrus Kocho kreivę, buvo pasiūlyta ją naudoti skaičiuojant pakrantės ilgį.
Fraktalai namų šeimininkėms.
Fraktalų teoriją lengva perkelti į namus, įskaitant virtuvę.
Naudojimo rezultatas gali būti bet kas: fraktaliniai auskarai, fraktalinės skanios kepenėlės ir daug daugiau. Jums tereikia pasitelkti žinias ir išradingumą!
Fraktalinė grafika plačiai naudojama šiuolaikiniame pasaulyje. Paveikslai populiarūs – fraktalinės grafikos rezultatas.
Ir tai nėra atsitiktinumas. Pasigrožėkite fraktalinės grafikos grožiu!
Praktinė projekto dalis
- Sukūrė mokslinį darbą „Kelionė į fraktalų pasaulį“
- Studijavome fraktalų kūrimo programas Pascal ir Logo programavimo kalbomis.
- Sukūrė savo fraktalus.
- Mes patys pagaminome „Sierpinski servetėlę“ ir „Sierpinski kilimą“
- Pagaminti „Fraktalų auskarai“
- Sukūrė paveikslų seriją „Fraktalinės grafikos stebuklai“
- Internete paskelbė kūrinį „Kelionė į fraktalų pasaulį“.
- Su darbu „Kelionė į fraktalų pasaulį“ dalyvavome VII visos Rusijos moksleivių ir studentų olimpiadoje „Mokslas 2.0“ akademiniame dalyke „Matematika“. Užėmėme pirmą vietą.
- Su kūriniu „Kelionė į fraktalų pasaulį“ dalyvavome visos Rusijos konkurse „Didieji atradimai ir išradimai“. Užėmėme pirmą vietą.
- Su darbu „Kelionė į fraktalų pasaulį“ dalyvavome VIII visos Rusijos moksleivių ir studentų olimpiadoje „Aš – tyrinėtojas“ matematikos akademiniame dalyke. Užėmėme pirmą vietą.
- Sukūrė pristatymą „Nuostabusis fraktalų pasaulis“
- Sukūrė brošiūras „Fraktalų naudojimas“ ir „Fraktalai aplink mus“
- 8-11 klasių mokiniams surengėme festivalį „Nuostabusis fraktalų pasaulis“.
Taigi galime drąsiai pasakyti apie didžiulį praktinį fraktalų ir fraktalų algoritmų pritaikymą šiandien.
Sritys, kuriose naudojami fraktalai, yra labai plati ir įvairi.
Ir tikrai, artimiausiu metu fraktalai, fraktalų geometrija taps artimi ir suprantami kiekvienam iš mūsų. Mes negalime gyventi be jų savo gyvenime!
Tikėkimės, kad fraktalinės geometrijos atsiradimas yra nuolatinės žmogaus evoliucijos ir jo pasaulio pažinimo ir supratimo būdų plėtimosi įrodymas. Galbūt mūsų vaikai taip pat lengvai ir prasmingai operuos su fraktalų ir netiesinės dinamikos sąvokomis, kaip mes dirbame su klasikinės fizikos ir euklidinės geometrijos sąvokomis.
Projekto rezultatai
- Susipažinome su fraktalinės geometrijos atsiradimo ir raidos istorija;
- Mes tyrinėjome fraktalų rūšis ir jų pritaikymą šiuolaikiniame pasaulyje.
- Sukūrėme savo fraktalus Pascal ir Logo programavimo kalbomis
- Sukūrė mokslinį darbą apie fraktalus.
- Sukūrė brošiūras „Fraktalai aplink mus“ ir „Fraktalų naudojimas“
- 8-11 klasių mokiniams surengėme festivalį „Nuostabusis fraktalų pasaulis“.
Kaip buvo atrastas fraktalas
Matematinės figūros, žinomos kaip fraktalai, yra kilusios iš žinomo mokslininko Benoit Mandelbrot genijaus. Didžiąją savo gyvenimo dalį jis dėstė matematiką Jeilio universitete JAV. 1977–1982 m. Mandelbrotas paskelbė mokslinius darbus, skirtus „fraktalinės geometrijos“ arba „gamtos geometrijos“ tyrimams, kuriuose iš pažiūros atsitiktines matematines formas išskaidė į komponentinius elementus, kurie, atidžiau panagrinėjus, pasirodė besikartojantys. įrodė, kad yra tam tikras kopijavimo modelis. Mandelbroto atradimas turėjo reikšmingų pasekmių fizikos, astronomijos ir biologijos raidai.
Fraktalai gamtoje
Gamtoje daugelis objektų pasižymi fraktalinėmis savybėmis, pavyzdžiui: medžių vainikai, žiediniai kopūstai, debesys, žmonių ir gyvūnų kraujotakos ir alveolių sistemos, kristalai, snaigės, kurių elementai išsidėstę į vieną sudėtingą struktūrą, pakrantės (leidžiama fraktalo koncepcija). mokslininkai išmatuoti Britų salų pakrantę ir kitus anksčiau neišmatuotus objektus).
Pažvelkime į žiedinio kopūsto struktūrą. Jei nupjaunate vieną iš gėlių, akivaizdu, kad rankose lieka tas pats kalafioras, tik mažesnio dydžio. Galime pjaustyti vėl ir vėl, net ir po mikroskopu, bet gauname tik mažytes žiedinio kopūsto kopijas. Šiuo paprasčiausiu atveju net nedidelėje fraktalo dalyje yra informacijos apie visą galutinę struktūrą.
Fraktalai skaitmeninėse technologijose
Fraktalų geometrija įnešė neįkainojamą indėlį į naujų technologijų kūrimą skaitmeninės muzikos srityje, taip pat leido suspausti skaitmeninius vaizdus. Esami fraktalinio vaizdo glaudinimo algoritmai yra pagrįsti suglaudinto vaizdo saugojimo, o ne paties skaitmeninio vaizdo, principu. Suspausto vaizdo pagrindinis vaizdas išlieka fiksuotu tašku. „Microsoft“ leisdama savo enciklopediją panaudojo vieną iš šio algoritmo variantų, tačiau dėl vienokių ar kitokių priežasčių ši idėja nebuvo plačiai naudojama.
Fraktalinės grafikos matematinis pagrindas yra fraktalinė geometrija, kur paveldėjimo iš pirminių „pagrindinių objektų“ principas yra „įpėdinių vaizdų“ konstravimo metodų pagrindas. Pačios fraktalinės geometrijos ir fraktalinės grafikos sąvokos atsirado tik maždaug prieš 30 metų, tačiau jau tvirtai įsitvirtino kasdieniame kompiuterių dizainerių ir matematikų gyvenime.
Pagrindinės fraktalinės kompiuterinės grafikos sąvokos yra šios:
- Fraktalų trikampis - fraktalų figūra - fraktalinis objektas (hierarchija mažėjančia tvarka)
- Fraktalų linija
- Fraktalų kompozicija
- „Pagrindinis objektas“ ir „Įpėdinis objektas“
Kaip ir vektorinėje bei trimatėje grafikoje, taip ir fraktalinių vaizdų kūrimas yra matematiškai apskaičiuojamas. Pagrindinis skirtumas nuo pirmųjų dviejų grafikos tipų yra tas, kad fraktalinis vaizdas yra sudarytas pagal lygtį arba lygčių sistemą – norint atlikti visus skaičiavimus nereikia saugoti nieko kito, išskyrus formulę, kompiuterio atmintyje – ir tai matematinio aparato kompaktiškumas leido šią idėją panaudoti kompiuterinėje grafikoje. Paprasčiausiai pakeitę lygties koeficientus, galite lengvai gauti visiškai kitokį fraktalinį vaizdą – naudojant kelis matematinius koeficientus, nurodomi labai sudėtingų formų paviršiai ir linijos, leidžiančios įgyvendinti tokias kompozicijos technikas kaip horizontalės ir vertikalės, simetrija ir asimetrija. , įstrižainės kryptys ir daug daugiau.
Kaip sukurti fraktalą?
Fraktalų kūrėjas vienu metu atlieka menininko, fotografo, skulptoriaus ir mokslininko išradėjo vaidmenį. Kokie artimiausi piešinio kūrimo nuo nulio etapai?
- nustatykite piešinio formą naudodami matematinę formulę
- ištirti proceso konvergenciją ir keisti jo parametrus
- pasirinkite vaizdo tipą
- pasirinkti spalvų paletę
Tarp fraktalinių grafinių redaktorių ir kitų grafinių programų galime išskirti:
- "Meno dabberis"
- „Dailininkas“ (be kompiuterio joks menininkas niekada nepasieks programuotojų nustatytų galimybių tik per pieštuką ir teptuko rašiklį)
- „Adobe Photoshop“ (tačiau čia vaizdas nėra sukurtas „nuo nulio“, o, kaip taisyklė, tik apdorojamas)
Panagrinėkime savavališkos fraktalinės geometrinės figūros struktūrą. Jo centre yra paprasčiausias elementas - lygiakraštis trikampis, kuris gavo tą patį pavadinimą: „fraktalas“. Viduriniame kraštinių segmente statysime lygiakraščius trikampius, kurių kraštinė lygi trečdaliui pradinio fraktalinio trikampio kraštinės. Tuo pačiu principu statomi dar mažesni antrosios kartos įpėdiniai trikampiai – ir taip toliau iki begalybės. Gautas objektas vadinamas „fraktalų figūra“, iš kurios sekų gauname „fraktalų kompoziciją“.
Šaltinis: http://www.iknowit.ru/
Fraktalai ir senovinės mandalos
Iš esmės mandala yra sudėtingos struktūros geometrinis simbolis, kuris interpretuojamas kaip Visatos modelis, „kosmoso žemėlapis“. Tai pirmasis fraktalumo požymis!
Jie siuvinėti ant audinio, dažyti ant smėlio, pagaminti spalvotais milteliais ir pagaminti iš metalo, akmens, medžio. Dėl ryškios ir užburiančios išvaizdos jis puikiai puošia Indijos šventyklų grindis, sienas ir lubas. Senovės indų kalboje „mandala“ reiškia mistinį Visatos dvasinės ir materialinės energijų santykio ratą arba, kitaip tariant, gyvybės gėlę.
Norėjau parašyti labai trumpą fraktalinių mandalų apžvalgą su mažiausiai pastraipų, rodančių, kad ryšys aiškiai egzistuoja. Tačiau bandant suprasti ir sujungti informaciją apie fraktalus ir mandalas į vieną visumą, pajutau kvantinį šuolį į man nežinomą erdvę.
Šios temos neaprėptį demonstruoju citata: „Tokios fraktalinės kompozicijos ar mandalas gali būti naudojamos tapybos, gyvenamųjų ir darbo erdvių dizaino elementų, nešiojamų amuletų, vaizdajuosčių, kompiuterinių programų pavidalu...“ Apskritai fraktalų tyrimo tema yra tiesiog didžiulė.
Vienas dalykas, kurį galiu pasakyti tikrai, yra tai, kad pasaulis yra daug įvairesnis ir turtingesnis nei mūsų mintys apie jį.
Fraktaliniai jūros gyvūnai
Mano spėjimai apie fraktalinius jūros gyvūnus nebuvo nepagrįsti. Štai pirmieji atstovai. Aštuonkojis – dugne gyvenantis jūros gyvūnas iš galvakojų būrio.
Žvelgiant į šią nuotrauką, man tapo akivaizdi jo kūno fraktalinė struktūra ir visų aštuonių šio gyvūno čiuptuvų čiulptukai. Suaugusio aštuonkojo čiuptuvų čiulptukų skaičius siekia iki 2000.
Įdomus faktas yra tai, kad aštuonkojis turi tris širdis: viena (pagrindinė) varo mėlyną kraują po visą kūną, o kitos dvi – žiaunos – stumia kraują per žiaunas. Kai kurios šių giliavandenių fraktalų rūšys yra nuodingos.
Prisitaikydamas ir maskuodamasis prie aplinkos, aštuonkojis turi labai naudingą galimybę keisti spalvą.
Aštuonkojai laikomi „protingiausiais“ iš visų bestuburių. Jie susipažįsta su žmonėmis ir pripranta prie tų, kurie juos maitina. Įdomu būtų pasižiūrėti į lengvai dresuojamus, geros atminties ir net geometrines figūras atpažįstančius aštuonkojus. Tačiau šių fraktalinių gyvūnų gyvenimo trukmė yra trumpa – daugiausiai 4 metai.
Žmogus naudoja šio gyvo fraktalo ir kitų galvakojų rašalą. Menininkai jų ieško dėl patvarumo ir gražaus rudo atspalvio. Viduržemio jūros regiono virtuvėje aštuonkojai yra vitaminų B3, B12, kalio, fosforo ir seleno šaltinis. Tačiau manau, kad reikia mokėti virti šiuos jūros fraktalus, kad su malonumu juos valgytum kaip maistą.
Beje, reikia pažymėti, kad aštuonkojai yra plėšrūnai. Fraktaliniais čiuptuvais jie laiko grobį moliuskų, vėžiagyvių ir žuvų pavidalu. Gaila, jei toks gražus moliuskas tampa šių jūros fraktalų maistu. Mano nuomone, jis taip pat yra tipiškas jūrų karalystės fraktalų atstovas.
Tai sraigių giminaitis pilvakojis nudibranch Glaucus, taip pat žinomas kaip Glaucus, taip pat žinomas kaip Glaucus atlanticus, taip pat žinomas kaip Glaucilla marginata. Šis fraktalas neįprastas ir tuo, kad gyvena ir juda po vandens paviršiumi, jį laiko paviršiaus įtempimas. Nes moliuskas yra hermafroditas, tada po poravimosi abu "partneriai" deda kiaušinius. Šis fraktalas randamas visuose atogrąžų zonos vandenynuose.
Jūros karalystės fraktalai
Kiekvienas iš mūsų bent kartą gyvenime laikėme jūros kriauklę ir su nuoširdžiu vaikišku susidomėjimu ją apžiūrėjome.
Paprastai kriauklės yra gražus suvenyras, primenantis kelionę prie jūros. Žvelgiant į šį bestuburių moliuskų spiralinį darinį, nekyla abejonių dėl jo fraktalinio pobūdžio.
Mes, žmonės, esame kažkuo panašūs į šiuos minkštakūnius moliuskus, gyvename gerai įrengtuose betoniniuose fraktaliniuose namuose, dedame ir perkeliame savo kūnus į greitus automobilius.
Kitas tipiškas fraktalinio povandeninio pasaulio atstovas yra koralas.
Gamtoje žinoma per 3500 koralų veislių, kurių paletė siekia iki 350 spalvų atspalvių.
Koralas yra koralų polipų, taip pat iš bestuburių šeimos, kolonijos skeleto medžiaga. Didžiulės jų sankaupos sudaro ištisus koralinius rifus, kurių formavimosi fraktalinis būdas yra akivaizdus.
Koralą galima drąsiai vadinti fraktalu iš jūros karalystės.
Taip pat žmonės jį naudoja kaip suvenyrą ar žaliavą papuošalams ir papuošalams. Tačiau labai sunku atkartoti fraktalinės gamtos grožį ir tobulumą.
Dar kartą atlikdama ritualą virtuvėje su peiliu ir pjaustymo lenta, o paskui, panardinusi peilį į šaltą vandenį, ašarojau ir dar kartą sugalvojau, kaip susitvarkyti su ašarų fraktalu, kuris iškyla prieš akis kone kasdien. .
Fraktališkumo principas yra toks pat kaip ir garsiosios lizdinės lėlės – lizdo. Štai kodėl fraktalumas nepastebimas iš karto. Be to, šviesi, vienoda spalva ir natūralus jos gebėjimas sukelti nemalonius pojūčius neprisideda prie atidaus visatos stebėjimo ir fraktalinių matematinių modelių nustatymo.
Tačiau alyvinės spalvos salotinis svogūnas dėl savo spalvos ir ašarą gaminančių fitoncidų nebuvimo privertė susimąstyti apie natūralų šios daržovės fraktalumą. Žinoma, tai paprastas fraktalas, paprasti įvairaus skersmens apskritimai, netgi galima sakyti, pats primityviausias fraktalas. Tačiau nepakenktų prisiminti, kad kamuolys yra laikomas idealia geometrine figūra mūsų Visatoje.
Internete buvo paskelbta daug straipsnių apie naudingas svogūnų savybes, tačiau kažkaip niekas nebandė ištirti šio natūralaus egzemplioriaus fraktalumo požiūriu. Galiu pasakyti tik apie svogūno formos fraktalo naudojimo savo virtuvėje naudingumą.
P.S. Jau įsigijau daržovių pjaustytuvą fraktalams smulkinti. Dabar turime pagalvoti, kokia fraktališka yra tokia sveika daržovė, kaip paprastas baltasis kopūstas. Tas pats lizdavimo principas.
Fraktalai liaudies mene
Mano dėmesį patraukė pasaulinio garso žaislo Matryoshka istorija. Atidžiau pažvelgę galime drąsiai teigti, kad šis suvenyrinis žaislas yra tipiškas fraktalas.
Fraktališkumo principas yra akivaizdus, kai visos medinio žaislo figūrėlės yra išrikiuotos iš eilės, o ne viena kitos viduje.
Mano nedidelis šio žaislinio fraktalo atsiradimo pasaulio rinkoje istorijos tyrimas parodė, kad šio grožio šaknys yra japoniškos. Lėlė matrioška visada buvo laikoma originaliu rusišku suvenyru. Tačiau paaiškėjo, kad ji buvo japoniškos senojo išminčiaus Fukurumos figūrėlės, kažkada į Maskvą atvežtos iš Japonijos, prototipas.
Tačiau pasaulinę šlovę šiai japonų figūrėlei atnešė Rusijos žaislų pramonė. Iš kur kilo mintis apie žaislo įdėjimą į fraktalą, man asmeniškai lieka paslaptis. Greičiausiai šio žaislo autorius naudojo figūrų įdėjimo viena kitos viduje principą. O investuoti lengviausia – panašios įvairaus dydžio figūros, o tai jau fraktalas.
Ne mažiau įdomus tyrimo objektas yra fraktalinio žaislo tapyba. Tai dekoratyvinis paveikslas - Khokhloma. Tradiciniai Khokhloma elementai yra žolelių gėlių, uogų ir šakų raštai.
Vėl visi fraktalumo požymiai. Juk tą patį elementą galima pakartoti kelis kartus skirtingomis versijomis ir proporcijomis. Rezultatas – liaudies fraktalų tapyba.
Ir jei nieko nenustebinsite naujai sukurtu kompiuterinių pelių, nešiojamųjų kompiuterių dangtelių ir telefonų dažymu, tai automobilio fraktalinis derinimas liaudišku stiliumi yra kažkas naujo automobilių dizaine. Galima tik stebėtis fraktalų pasaulio pasireiškimu mūsų gyvenime tokiu neįprastu būdu tokiais įprastais mums dalykais.
Fraktalai virtuvėje
Ant mano virtuvės stalo puikavosi tipiškas augalų pasaulio fraktalo atstovas.
Su visa savo meile žiediniams kopūstams, aš visada aptikdavau egzempliorius vienodu paviršiumi be matomų fraktališkumo požymių, o net daugybė žiedynų, sulipusių vienas kitame, nedavė pagrindo šioje naudingoje daržovėje pamatyti fraktalą.
Tačiau šio konkretaus pavyzdžio paviršius su aiškiai apibrėžta fraktalų geometrija nepaliko nė menkiausios abejonės dėl šios rūšies kopūstų fraktalinės kilmės.
Dar viena kelionė į prekybos centrą tik patvirtino kopūstų fraktalų statusą. Tarp daugybės egzotiškų daržovių buvo ir visa dėžė fraktalų. Tai buvo Romanescu, arba romaniški brokoliai, žiediniai kopūstai.
Pasirodo, dizaineriai ir 3D menininkai žavisi jo egzotiškomis fraktalą primenančiomis formomis.
Kopūstų pumpurai auga logaritmine spirale. Pirmasis Romanescu kopūstų paminėjimas atkeliavo iš Italijos XVI amžiuje.
O brokoliniai kopūstai mano racione nėra dažnas svečias, nors maistinių medžiagų ir mikroelementų kiekiu daug kartų pranašesnis už kalafiorą. Tačiau jo paviršius ir forma yra tokie vienodi, kad man nė į galvą neatėjo mintis pamatyti jame daržovių fraktalą.
Fraktalai kvilinge
Pamačiusi ažūrinius amatus quilling technika neapleido jausmas, kad jie man kažką primena. Tų pačių elementų kartojimas skirtingais dydžiais, žinoma, yra fraktalumo principas.
Pažiūrėjus dar vieną meistriškumo klasę apie kvilingą, nebeliko jokių abejonių dėl kvilingo fraktališkumo. Galų gale, norint pagaminti įvairius quilling amatų elementus, naudojama speciali liniuotė su skirtingo skersmens apskritimais. Nepaisant viso gaminių grožio ir unikalumo, tai neįtikėtinai paprasta technika.
Beveik visi pagrindiniai quilling amatų elementai yra pagaminti iš popieriaus. Norėdami sukaupti nemokamo „quilling“ popieriaus, pažiūrėkite į savo namų knygų lentynas. Tikrai ten rasite porą ryškių blizgančių žurnalų.
Quilling įrankiai yra paprasti ir nebrangūs. Tarp jūsų namų raštinės reikmenų rasite viską, ko reikia mėgėjiškam quilling darbui atlikti.
O kvilingo istorija Europoje prasideda XVIII amžiuje. Renesanso epochoje vienuoliai iš Prancūzijos ir Italijos vienuolynų naudojo quilling papuošdami knygų viršelius ir net nežinojo apie savo išrastos popieriaus ridenimo technikos fraktalinę prigimtį. Merginos iš aukštuomenės netgi lankė kvilingo kursus specialiose mokyklose. Taip ši technika pradėjo plisti šalyse ir žemynuose.
Šią vaizdo klipų meistriškumo klasę apie prabangių plunksnų kūrimą galima pavadinti „pasidaryk pats“ fraktalais. Popierinių fraktalų pagalba gaunami nuostabūs išskirtiniai Valentino atvirukai ir daug kitų įdomybių. Juk fantazija, kaip ir gamta, yra neišsemiama.
Ne paslaptis, kad japonų erdvė gyvenime yra labai ribota, todėl jie turi stengtis išnaudoti ją efektyviai. Takeshi Miyakawa parodo, kaip tai galima padaryti efektyviai ir estetiškai. Jo fraktalų kabinetas patvirtina, kad fraktalų panaudojimas dizaine yra ne tik duoklė madai, bet ir harmoningas dizaino sprendimas ribotos erdvės sąlygomis.
Šis fraktalų naudojimo realiame gyvenime pavyzdys, susijęs su baldų dizainu, man parodė, kad fraktalai yra tikri ne tik popieriuje matematinėse formulėse ir kompiuterinėse programose.
Ir atrodo, kad gamta visur naudoja fraktalumo principą. Tereikia į tai atidžiau pažvelgti, ir jis pasireikš visa savo didinga gausa ir būties begalybe.
